创新交汇 三角函数、解三角形与其他知识的综合问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

创新交汇　三角函数、解三角形与其他知识的综合问题 【备考指南】　随着高考改革的不断深入，各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，以三角形为背景，其考查的知识内容和范围，涉及平面几何、立体几何、不等式、向量、新定义等学科分支，对综合运用各种知识解题的灵活性要求有所加强，应予以重视. 类型一　三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题 【通性通法】　三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题，通常将已知条件转化为三角函数问题，或利用正、余弦定理进行边角互化，可以考查几何体中的线段长度或几何体角度之间的关系，或者构造长度、角度的函数求最值. 【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn}是首项为1，公比为2的等比数列，记∠PnAPn＋1＝θn，n∈N*. （1）若tan θ3＝，求点A的坐标； （2）若点A的坐标为（0，8），求tan θn的最大值及相应n的值. 【训练1】　（2025·山东潍坊二模）在△ABC中，AC＝AB，D为边BC上一点，满足BD＝2DC，以A，D为焦点作一个椭圆G，若G经过B，C两点，则G的离心率为（　　） A. B. C. D. 类型二　三角函数、解三角形的新定义问题 【通性通法】　解决三角函数、解三角形新定义问题的思路 （1）找出新定义的几个要素及其所代表的意义； （2）把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中； （3）利用三角函数的公式、性质及正、余弦定理等解答问题. 【例2】　（2025·江西景德镇模拟）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记（P，Q；M）＝；若点M在线段PQ外，（P，Q；M）＝－.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上. （1）若AD是角A的平分线，且b＝3c，由A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； （2）若A＝60°，a＝4，AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，（B，C；D）＝－4，求△ABC的周长； （3）若A＝120°，AD＝4，由A点对BC施以视角运算，（B，C；D）＝，求b＋4c的最小值. 【瓶颈突破】　cos 3θ＝cos（θ＋2θ）＝cos θcos 2θ－sin θsin 2θ. 【训练2】　（2025·江西萍乡二模）已知x∈R，n为正整数，对于函数fn（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，若对任意的θ，都有fn（cos θ）＝cos nθ，则称fn（x）为n次切比雪夫函数.例如：因为cos 2x＝2cos2x－1，所以f2（x）＝2x2－1为二次切比雪夫函数. （1）求f3（x）； （2）证明：对任意正整数n，都有fn＋2（x）＝2xfn＋1（x）－fn（x）； （3）若函数g（x）＝[f6（x）＋1]＋k有一个绝对值不大于1的零点，证明：g（x）所有零点的绝对值都不大于1. 提示：完成课后作业　专题一　创新交汇 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新交汇　三角函数、解三角形与其他知识的综合问题 【典例·讲解】 【例1】　解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意得xn＝2n－1.由tan θ3＝，得tan θ3＝tan（∠OAP4－∠OAP3）＝＝＝，解得t＝4或t＝8，故点A的坐标为（0，4）或（0，8）. （2）由题意，点Pn的坐标为（2n－1，0），tan∠OAPn＝，所以tan θn＝tan（∠OAPn＋1－∠OAPn）＝＝. 因为＋≥2，所以tan θn≤＝，当且仅当＝，即n＝4时等号成立.故当n＝4时，tan θn最大，其最大值为. 【训练1】　C　设｜DC｜＝m，｜AC｜＝n，则｜BD｜＝2m，｜AB｜＝n，设该椭圆长半轴长为a，由椭圆的定义可知：解得所以｜BD｜＝a，｜DC｜＝a，｜AC｜＝a，｜AB｜＝a，在△ABC中，显然有∠ADC＝π－∠ADB，所以cos∠ADC＝－cos∠ADB，设｜AD｜＝x，由余弦定理可知： ＝－， 即＝－，解得x＝a，因此椭圆的焦距为2c＝｜AD｜＝a，所以椭圆的离心率为e＝＝＝.故选C. 【例2】　解：（1）因为AD是角A的平分线，所以∠BAD＝∠DAC且D在线段BC上， 所以（B，C；D）＝＝， 又b＝3c，所以（B，C；D）＝＝. （2）因为点D在射线BC上，∠BAC＝60°，且AB⊥AD，所以D在线段BC外，且∠DAC＝30°， 所以（B，C；D）＝－＝－＝－＝－4， 所以c＝2b， 在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以42＝b2＋4b2－4b2cos 60°，即3b2＝16， 解得b＝或b＝－（舍去）， 所以△ABC的周长为C△ABC＝a＋b＋c＝4＋4. （3）因为（B，C；D）＝＞0，所以＝，则∠BAD＝∠DAC，因为A＝120°，所以∠BAD＝∠DAC＝60°， 又S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以bcsin 120°＝b·ADsin 60°＋c·ADsin 60°， 又AD＝4，所以bc＝4（b＋c），所以＋＝1， 所以b＋4c＝（b＋4c）（＋）＝＋＋20≥2＋20＝36， 当且仅当＝，即b＝12，c＝6时等号成立， 所以b＋4c的最小值为36. 【训练2】　解：（1）因为cos 3θ＝cos θcos 2θ－sin θsin 2θ＝cos θ（2cos2θ－1）－2sin2θcos θ＝4cos3θ－3cos θ， 所以f3（x）＝4x3－3x. （2）证明：因为cos[（n＋2）x]＝cos[（n＋1）x＋x]＝cos[（n＋1）x]·cos x－sin[（n＋1）x]·sin x，cos nx＝cos[（n＋1）x－x]＝cos[（n＋1）x]·cos x＋sin[（n＋1）x]·sin x，两式相加得cos[（n＋2）x]＋cos nx＝2cos x·cos[（n＋1）x]， 即fn＋2（x）＝2xfn＋1（x）－fn（x）. （3）证明：因为f3（cos θ）＝cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ， 所以f6（cos θ）＝cos 6θ＝2cos23θ－1＝2（4cos3θ－3cos θ）2－1＝32cos6θ－48cos4θ＋18cos2θ－1， 即f6（x）＝32x6－48x4＋18x2－1，g（x）＝16x6－24x4＋9x2＋k， f6（cos θ）＝cos 6θ，当x∈[－1，1]时，f6（x）∈[－1，1]，g（x）＝[f6（x）＋1]＋k∈[k，k＋1]， 因为g（x）有一个绝对值不大于1的零点，则解得－1≤k≤0， 令t＝x2≥0，得h（t）＝16t3－24t2＋9t＋k，则h'（t）＝48t2－48t＋9， ①当x＞1时，即t＞1时，h'（t）＞h'（1）＝9＞0，则h（t）在（1，＋∞）上单调递增，g（x）在（1，＋∞）上单调递增， 即x＞1时，g（x）＞g（1）＝1＋k≥0，即g（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，＋∞）上无零点； ②当x＜－1时，t＞1，h'（t）＞0，则h（t）在（1，＋∞）上单调递增，则g（x）在（－∞，－1）上单调递减， 即x＜－1时，g（x）＞g（－1）＝1＋k≥0，即g（x）＞0恒成立，即g（x）在（－∞，－1）上无零点. 综合①②可知，g（x）所有零点的绝对值都不大于1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $