微突破2 三角形中的“特征线”-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

微突破2　三角形中的“特征线” 【基础·回扣】 1.C　2.D　3.　 【典例·讲解】 【例】　解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝π，又∠ABC为钝角，∴∠BCD为锐角. ∵sin∠BCD＝， ∴cos∠BCD＝＝. 又BC＝2，CD＝4，∴在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝16，得BD＝4， ∴在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC＝＝. （2）如图，在梯形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC， ∴cos∠ABD ＝cos∠BDC＝. 在△ABD中，∵E为AD的中点， ∴＝＋. 由（1）知，BD＝4，即｜｜＝4， 又｜｜＝BA＝2，∴｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＋·＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜·｜｜cos∠ABD＝， ∴｜｜＝，即BE＝. 变式　解：法一　设CD＝x，则在△ABC中，cos∠BAC＝＝　①. 在△ACD中，cos∠ADC＝＝. 在△ADB中，cos∠ADB＝. 因为cos∠ADC＋cos∠ADB＝0， 所以6x2＋18－c2＝0　②. 由①②可解得c＝6，x＝，所以△ABC的周长为3＋9. 法二　因为BD＝2DC，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以＝＋·＋，即12＝c2＋×c×3×＋×9，即c2＋6c－72＝0，解得c＝6或c＝－12（舍去）. 由余弦定理得a2＝36＋9－2×6×3×＝27，所以a＝3， 所以△ABC的周长为3＋3＋6＝3＋9. 【训练1】　（1）－　解析：由于a＜b＜c，则三边a，b，c上的高之比为ha∶hb∶hc＝4∶3∶2，即4∶3∶2＝∶∶，设a＝3x，则b＝4x，c＝6x，在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝－. （2）解：①由tan C＋＝tan B（tan C－1）， 得tan B＋tan C＝－（1－tan Btan C）， 即＝－， 即tan（B＋C）＝－，所以tan（π－A）＝－，即tan A＝， 又A∈（0，π），所以A＝. ②设∠ABC＝∠CBD＝x， 在△BCD中，∠BDC＝， 故x∈（0，）， 则∠ACD＝2π－－－2x＝π－2x. 在△ABC与△BCD中，由正弦定理有＝，＝， 则AC＝CD＝2sin x， 故S△ACD＝（2sin x）2sin（π－2x）＝4sin3xcos x. 令φ（x）＝4sin3xcos x，x∈（0，）， 则φ'（x）＝12sin2xcos2x－4sin4x ＝4sin2x（cos x＋sin x）（cos x－sin x）， 易知φ'（x）＞0，则函数φ（x）＝4sin3xcos x在（0，）上单调递增， 又φ（0）＝0，φ（）＝， 所以△ACD面积的取值范围为（0，）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破2　三角形中的“特征线” 【备考指南】　与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等. 1.（1）向量法：＝（＋）；（2）中线长定理：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝（AB2＋AC2）－BC2. 1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝5，c＝4，则BC边上的中线AD的长为（　　） A. B. C. D. 2.在△ABC中，若AD平分∠BAC：（1）内角平分线定理：＝；（2）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. 2.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝（　　） A. B. C. D. 3.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和该边长度. 3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝－，则AB边上的高h＝　　　　. 【思维建模】　三角形中“特征线”问题的解题步骤 【例】　（2025·重庆学业质量调研）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC为钝角，AB＝BC＝2，CD＝4，sin∠BCD＝. （1）求cos∠BDC； （2）设点E为AD的中点，求BE的长. 【常用结论】　如图，在△ABC中，BD＝λCD，有两个角度列式： （1）利用cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，结合余弦定理找关系； （2）利用＝＋，平方后找关系. 变式　〔由特殊到一般〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2，A＝，求△ABC的周长. 【常用结论】　在△ABC中，若h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 【训练】　（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，三角形三边上的高之比为2∶3∶4，则cos C＝　　　　； （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C＋＝tan B（tan C－1）. ①求角A； ②若a＝，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝，且BC平分∠ABD，求△ACD面积的取值范围. 提示：完成课后作业　专题一　微突破2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $