微突破1 ω的值（范围）问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

微突破1　ω的值（范围）问题 【备考指南】　在三角函数的图象和性质中，求ω的值（范围）问题是近几年高考的一个热点内容，主要考查由三角函数的单调性、最值、零点等求ω的值（范围），难度中等. 1.若已知y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在区间[x1，x2]上单调递增，则[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z. 1.若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A.［0，］ B.［0，］ C.［，3］ D.［，3］ 2.利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，建立关于T，ω，φ的方程求解. 2.已知直线x＝，x＝π是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，＜φ＜）图象上两条相邻的对称轴，则φ＝（　　） A.π B. C. D. 3.由三角函数的最值（值域）求ω的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解. 3.已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）在［0，］上的值域为［－，1］，则ω的取值范围为（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，］ D.［，］ 4.已知函数的零点求ω的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围. 4.设函数f（x）＝sin ωx，若函数f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（　　） A.（1，2） B.[1，2） C.（2，3） D.[2，3） 【思维建模】　求ω的值（范围）问题的思路 【瓶颈突破】　（1）对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，则需要确定含有k个零点的区间长度； （2）若在区间上至多含有k个零点，则需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值. 【例】　（1）（2025·湖南九校联盟第二次联考）已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx，若沿x轴方向平移f（x）的图象，总能保证平移后的曲线与直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（　　） A.（ 1，） B.（ 2，） C.［1，） D.［2，） （2）（2025·北京东城一模）已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0），若f（x）的最小正周期为π，则ω＝　　　　；若存在x1，x2∈[π，2π]，使得｜f（x1）－f（x2）｜＝2，则ω的最小值为　　　　. 【训练】　（1）已知ω＞0，函数f（x）＝cos的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　） A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 （2）〔多选〕（2025·广东江门一模）已知函数f（x）＝2sin（2ωx＋）（ω＞0），则下列结论正确的是（　　） A.若f（x）相邻两条对称轴距离为，则ω＝2 B.当ω＝1，x∈［0，］时，f（x）的值域为[－，2] C.当ω＝1时，f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos（2x＋）的图象 D.若f（x）在区间［0，］上有且仅有两个零点，则5≤ω＜8 【瓶颈突破】　根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数y＝sin（ωx－）含有数0的单调区间，列不等式求解即可. （3）若直线x＝是曲线y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，且函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，则ω的最小值为　　　　. 提示：完成课后作业　专题一　微突破1 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微突破1　ω的值（范围）问题 【基础·回扣】 1.D　2.A　3.C　4.D 【典例·讲解】 【例】　（1）D　由f（x）＝sin ωx＋cos ωx可得f（x）＝2sin（ωx＋），若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数为g（x）＝2sin（ωx＋φ）.令g（x）＝1，即sin（ωx＋φ）＝，x∈[0，π]，取z＝ωx＋φ，则z∈[φ，ωπ＋φ].依题意知，sin z＝在[φ，ωπ＋φ]上至少有2解，至多有3解，则须使区间[φ，ωπ＋φ]的长度在2π到之间，即2π≤ωπ＜，解得2≤ω＜. （2）2　　解析：因为函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2，因为f（x）＝sin ωx（ω＞0）∈[－1，1]，又｜f（x1）－f（x2）｜＝2，所以f（x1），f（x2）为函数的最大值或最小值，要使ω最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，由x∈[π，2π]，则ωx∈[ωπ，2ωπ]，则或解得≤ω≤，所以ω的最小值为. 【训练1】　（1）A　注意正、余弦型函数的对称中心与对称轴的最短距离为，依题意，可得－≥.将T＝代入上式，得ω≥2，故选A. （2）BD　对于A，若f（x）相邻两条对称轴的距离为，则T＝2×＝π＝，故ω＝1，A错误；对于B，当ω＝1时，f（x）＝2sin（2x＋），当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，则f（x）的值域为[－，2]，B正确；对于C，当ω＝1时，f（x）＝2sin（2x＋），f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝f（x＋）＝2sin［2（x＋）＋］＝2sin（2x＋）＝2cos（2x＋）的图象，C错误；对于D，当x∈［0，］时，2ωx＋∈［，＋］，若f（x）在区间［0，］上有且仅有两个零点，则2π≤＋＜3π，解得5≤ω＜8，故D正确. （3）11　解析：因为直线x＝是曲线y＝sin（ωx－）（ω＞0）的一条对称轴，则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－≤，得－≤x≤，则函数y＝sin（ωx－）在［－，］上单调递增，而函数y＝sin（ωx－）在区间［0，］上不单调，则＜，解得ω＞9，所以ω的最小值为11. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $