第3讲 解三角形-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第3讲　解三角形 【备考指南】　正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.主观题与客观题均有涉及，难度中等或偏下. 1.正弦定理：＝＝＝2R（R为△ABC外接圆半径）. 1.在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝（　　） A. B. C.＋ D.＋ 2.余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，推论：cos A＝. 2.（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（　　） A.45° B.60° C.120° D.135° 3.验证三角形解的情况： （1）任意两角之和小于π； （2）大边对大角，小边对小角. 4.三角形面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般已知哪个角就用哪个公式. 3.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，A＝，则△ABC的解的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.不确定 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝（b－c）2，A＝，则△ABC的面积为　　　　. 考点一　正、余弦定理 【通性通法】　三角形边角转化的主要策略 （1）对于边的“一次齐次式”，常利用正弦定理化边为角； （2）对于含角的余弦值或含边的二次关系的式子，常利用余弦定理进行边角互化. 【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. （1）求B； （2）若△ABC的面积为3＋，求c. 【训练1】　（1）（2024·全国甲卷理11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝（　　） A. B. C. D. 【瓶颈突破】　解三角形问题注意隐含条件的挖掘 （1）在△ABC中，a＋b＞c，｜a－b｜＜c；A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B； （2）在△ABC中，A＋B＋C＝π，sin（A＋B）＝sin C，cos（A＋B）＝－cos C，sin＝cos； （3）若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞⇔A＞－B⇔sin A＞cos B⇔cos A＜sin B. （2）〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列判断正确的是（　　） A.若a＞b，则sin A＞sin B B.若sin A＞sin B，则A＞B C.若sin A＞cos B，则△ABC为锐角三角形 D.若△ABC为锐角三角形，则sin A＞cos B （3）（2025·江苏四市调研）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos B＋1＝. ①证明：B＝2A； ②若sin A＝，b＝，求△ABC的周长. 考点二　最值（范围）问题 【通性通法】　三角形中常见最值（范围）问题的解题策略 （1）利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值或范围； （2）利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简，利用三角函数的性质求最值或范围. 【例2】　（2025·东北四市联考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝. （1）求角A的大小； （2）若BC＝2，求·的最大值. 【易错提醒】　涉及锐角三角形时，要综合考虑三个角均为锐角的条件. 【训练2】　（1）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边.若B＝2A，则的取值范围是（　　） A.（－2，2） B.（0，2） C.（，） D.（，2） （2）〔多选〕（2025·山东济宁一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，且2c－b＝2acos B，则下列结论正确的是（　　） A.A＝ B.△ABC外接圆的面积为π C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC周长的最大值为3 考点三　多个三角形联立问题 【通性通法】　解多个三角形联立问题的步骤 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； （2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； （3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件. 【例3】　如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，cos B＝， cos∠ACB＝，BC＝. （1）求AC； （2）若△ACD的面积为，求CD. 【训练3】　（2025·浙江稽阳联谊学校二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC＝1且bcos C＋csin B＝1＋2c. （1）求角B的大小； （2）如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB＝B，CD＝，AC＝AD，求sin∠BCA的值. 提示：完成课后作业　专题一　第3讲 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　解三角形 【基础·回扣】 1.D　2.A　3.C　4.2　 【典例·讲解】 【例1】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝， 又sin C＝cos B，所以＝cos B， 即cos B＝， 又B∈（0，π），所以B＝. （2）由（1）可得A＝， 则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝， 由正弦定理有＝， 从而a＝·c＝c， 又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1）， 将a＝c代入，解得c＝2. 【训练1】　（1）C　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝60°，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以（sin A＋sin C）2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A＞0，sin C＞0，所以sin A＋sin C＝. （2）ABD　在△ABC中，若a＞b，则根据正弦定理可得sin A＞sin B，选项A正确；由sin A＞sin B及正弦定理得a＞b，则A＞B，选项B正确；若sin A＞cos B，即cos（－A）＞cos B，当cos B＜0，cos（－A）＞0时，△ABC为钝角三角形，选项C错误；若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，则有＞A＞－B＞0，又正弦函数在（0，）上单调递增，所以sin A＞sin（－B），即sin A＞cos B，选项D正确.故选A、B、D. （3）解：①证明：由2cos B＋1＝，得（2cos B＋1）sin A＝sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B， 从而得sin A＝sin Bcos A－cos Bsin A＝sin（B－A）， ∵A，B∈（0，π），∴B－A∈（－π，π）， ∴A＝B－A或A＋（B－A）＝π（舍），∴B＝2A. ②由sin A＝，结合①知A＋B＝3A∈（0，π），则A∈（0，），得cos A＝＝＝， sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝， cos B＝cos 2A＝1－2sin2A＝1－2×＝， ∴sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝＝， 由正弦定理得＝＝，即＝＝，即得a＝2，c＝5. ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋. 【例2】　解：（1）因为tan A＋tan B＝，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝＝， 由正弦定理得tan A＋tan B＝， 又tan A＋tan B＝＋＝＝＝，所以＝，显然cos B≠0， 又在△ABC中，sin C＞0， 所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，所以A＝. （2）法一　由余弦定理及A＝可得a2＝c2＋b2－2cbcos A＝c2＋b2－cb＝4， 又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时“＝”成立， 所以4＋bc≥2bc，则bc≤， ·＝cbcos A≤×＝2＋2， 所以·的最大值为2＋2. 法二　·＝bccos A＝bc＝×sin Bsin C＝4sin Bsin C＝2[cos（B－C）－cos（B＋C）]＝2［cos（B－C）＋］， 因为0＜B＜，0＜C＜，所以－＜B－C＜，则·≤2（1＋）＝2＋2，当且仅当B＝C时“＝”成立. 故·的最大值为2＋2. 【训练2】　（1）C　∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A.由正弦定理得＝＝＝2cos A.∵0＜2A＜，0＜π－3A＜，∴＜A＜，∴＜cos A＜，＜2cos A＜.故选C. （2）BCD　对于选项A，因为2c－b＝2acos B，由余弦定理可得2c－b＝2a×＝，整理可得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝，且A∈（0，π），所以A＝，故A错误；对于选项B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝＝＝1，所以△ABC外接圆的面积为πR2＝π，故B正确；对于选项C，由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc，且b2＋c2≥2bc，即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC面积的最大值为×3×＝，故C正确；对于选项D，由b2＋c2＝3＋bc可得（b＋c）2＝3＋3bc，即bc＝，且bc≤，即≤，解得（b＋c）2≤12，即b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为2＋＝3，故D正确.故选B、C、D. 【例3】　解：（1）由cos B＝，cos∠ACB＝，则sin B＝＝，sin∠ACB＝＝， 又由∠CAB＝π－B－∠ACB， 所以cos∠CAB＝－cos（B＋∠ACB）＝－（×－×）＝， 又由∠CAB∈（0，），可得∠CAB＝， 在△ABC中，由正弦定理得：＝，即＝，可得AC＝2. （2）由AB⊥AD，∠CAB＝，可得∠CAD＝， 由△ACD的面积为，有×2AD×sin ＝，可得AD＝， 在△ACD中，由余弦定理得CD＝＝. 【训练3】　解：（1）∵bcos C＋csin B＝1＋2c＝a＋2c， ∴在△ABC中，由正弦定理得，sin Bcos C＋sin Csin B＝sin A＋2sin C，　 由三角形内角和为180°可得sin A＝sin（B＋C）， ∴sin Bcos C＋sin Csin B＝sin（B＋C）＋2sin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C＋2sin C， 即sin Csin B－cos Bsin C＝2sin C， ∵0°＜C＜180°，∴sin C≠0，∴sin B－cos B＝2，sin B－cos B＝1， 即sin（B－30°）＝1， 又∵0°＜B＜180°， ∴B－30°＝90°，即B＝120°. （2）∵AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形，令∠DCA＝∠CDA＝α， ∴∠CAD＝180°－2α， 在△ACD中，由正弦定理得，＝， 又CD＝，∴AC＝＝. 在△ABC中，由正弦定理得，＝， 又∠BAC＝α－60°，BC＝1， ∴AC＝， ∴sin（α－60°）＝cos α，sin（α－60°）＝sin（90°－α），解得α＝75°， ∴sin∠BCA＝sin（120°－75°）＝. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $