第2讲 三角函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第2讲　三角函数的图象与性质 【基础·回扣】 1.A　2.B　3.BD　4.右　　5.－ 【典例·讲解】 【例1】　（1）B　把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）后的图象对应的函数为y＝cos 2x，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的图象对应的函数为y＝cos［2（x－）］＝cos（2x－）.故选B. （2）B　将f（x）＝sin（ωx＋）的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin［ω（x＋）＋］＝sin（ωx＋＋）＝cos（ωx＋），则＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω＞0，所以ω的最小值为3.故选B. 【训练1】　（1）A　因为y＝cos 2x＝sin（2x＋），将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝sin[2（x＋φ）]＝sin（2x＋2φ）的图象，所以sin（2x＋）＝sin（2x＋2φ），则＋2kπ＝2φ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，k＝1时，φ＝，故选A. （2）D　图2相对于图1进行了向右平移1个单位，再横向缩短为原来的，图2对应函数为y＝f（2x－1）.故选D. 【例2】　（1）B　令f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1＝0，则sin（2x＋φ）＝－，根据图象得x＝－为函数零点，零点左右函数为上升趋势，则2×（－）＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ＋，k∈Z，因为｜φ｜＜π，则k＝0，φ＝. （2）C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. 【训练2】　（1）D　连接BC交x轴于点E，由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故｜AE｜＝｜BE｜，｜AE｜＝T＝·＝，｜BE｜＝＝，故＝，解得ω＝，故选D. （2）[2，4） 解析：由题意知，当x∈［0，］时，f（x）＝2sin x＋2｜cos x｜＝ 作出f（x）在［0，］上的图象，如图所示，结合图形可知，若f（x）＝λ在［0，］上有且仅有4个不相等的实数根，则2≤λ＜4. 【例3】　AC　f（x）＝sin2（x＋）＋sin2（x＋）＝＋＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin（2x－）＋1，则f（x）的最小正周期是＝π，故选项A正确；由三角函数的性质可知f（x）≤＋1，即f（x）的最大值是＋1，故选项B错误；x∈（，）时，2x－∈（ ，），因为y＝sin z在z∈（ ，）上单调递减，故f（x）在区间（，）上单调递减，故选项C正确；令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心为（＋，1），k∈Z，令＋＝得k＝∉Z，所以f（x）的图象不关于点（，1）中心对称，故选项D错误.故选A、C. 【训练3】　（1）C　由f（x）＝＝tan 2x，可得x≠＋kπ，且x≠＋π，k∈Z，故T＝π.故选C. （2）D　依题意，函数f（x）＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），当x∈［－，m］时，2x＋∈［－，2m＋］，显然sin（－）＝sin＝－，sin＝1，且正弦函数y＝sin x在［，］上单调递减，由f（x）在区间［－，m］上的值域为［－，1］，得≤2m＋≤，解得≤m≤，所以实数m的取值范围是［，］. （3）解：①因为f（0）＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝. ②g（x）＝f（x）＋f（x－）＝cos（2x＋）＋cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝（cos 2x－sin 2x）＝cos（2x＋）， 故函数g（x）的值域为[－，]. 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z）， 所以g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ－］（k∈Z）. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以g（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　三角函数的图象与性质 【备考指南】　三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，利用三角函数的性质可求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，试题主要以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下. 1.函数y＝sin x的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z），单调递减区间为［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）. 1.（2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7sin的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 2.函数y＝tan x的对称中心为（，0），k∈Z； 单调递增区间为（－＋kπ，＋kπ），k∈Z. 2.（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. 3.函数y＝cos x的对称轴为x＝kπ，k∈Z； 对称中心为（kπ＋，0），k∈Z； 零点为x＝＋kπ，k∈Z. 3.〔多选〕设函数f（x）＝cos（2x－），则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的一个周期为　 　 B.f（x）的图象关于直线x＝对称 C.f（x）的一个零点是 D.f（x）的最大值为1，最小值为－1 4.平移变换：左“＋”右“－”，一定要注意对x前的系数的处理.　 4.要得到函数y＝sin（4x－）的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向　　　平移　　　　个单位长度. 5.y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；当φ＝kπ＋（k∈Z）时为偶函数. 5.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）－cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）是定义在R上的奇函数，则f（－）＝　　　　. 考点一　图象变换 【易错提醒】　对于y＝sin x（或y＝cos x）的图象，变为y＝sin ωx（或y＝cos ωx）的图象时，x的变化量为原来的倍. 【例1】　（1）把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　　） A.cos（2x－） B.cos（2x－） C.cos（x－） D.cos（x－） （2）（2025·江苏南通二模）将函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后与函数g（x）＝cos（ωx＋）的图象重合，则ω的最小值为（　　） A.2 B.3 C.6 D.9 【易错提醒】　注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 【训练1】　（1）将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝cos 2x的图象，则φ可以是（　　） A. B. C. D.π （2）〔创新命题角度〕已知函数f（x）的部分图象如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（　　） A.y＝f（2x－） B.y＝f（－） C.y＝f（－1） D.y＝f（2x－1） 考点二　图象与解析式 【通性通法】　已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求解析式，A易求，关键是求ω和φ，常有如下方法： （1）五点法：由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，即可求出φ； （2）代入法：将一些已知点（最高点、最低点或“零点”）的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ. 【例2】　（1）函数f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1（｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则φ＝（　　） A. B. C. D. （2）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 【训练2】　（1）〔创新交汇〕已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝（　　） A.1 B. C.π D. 【瓶颈突破】　根据函数解析式作出函数图象，将方程的根的问题转化为f（x）的图象与直线y＝λ的交点个数的问题. （2）（2025·湖南长沙三模）已知函数f（x）＝2sin x＋2｜cos x｜，若f（x）＝λ在［0，］上有且仅有4个不相等的实数根，则λ的取值范围为　　　　. 考点三　三角函数的性质 【通性通法】　研究三角函数的性质，首先化函数为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，一定要保证ω＞0，否则易出错，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f（x）的性质. 【例3】　〔多选〕（2025·湖北武汉二调）函数f（x）＝sin2（x＋）＋sin2（x＋），则下列关于f（x）的说法中正确的是（　　） A.最小正周期是π B.最大值是2 C.在区间（，）上单调递减 D.图象关于点（，1）中心对称 【易错提醒】　易忽视函数的定义域致误. 【训练3】　（1）（2025·江西赣州一模）函数f（x）＝的最小正周期是（　　） A. B. C.π D.2π （2）已知函数f（x）＝（sin x＋cos x）cos x－，若f（x）在区间［－，m］上的值域为［－，1］，则实数m的取值范围是（　　） A.［，） B.［，］ C.［，） D.［，］ （3）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝. ①求φ； ②设函数g（x）＝f（x）＋f（x－），求g（x）的值域和单调区间. 提示：完成课后作业　专题一　第2讲 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $