第1讲 三角恒等变换与平面向量-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习学生用书Word

第1讲　三角恒等变换与平面向量 【备考指南】　三角函数的化简与求值、平面向量的运算是高考命题的热点，三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；平面向量主要考查向量模、夹角、数量积、参数的最值或范围，多以选择题、填空题的形式考查. 1.asin α＋bcos α＝·sin（α＋φ），其中tan φ＝. 1.已知函数f（x）＝sin x－cos x，则f（）＝（　　） A. B. C. D. 2.sin（α±β）＝sin αcos β±cos αsin β； cos（α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β； tan（α±β）＝. 2.〔多选〕下列等式成立的是（　　） A.cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝ B.sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β C.tan 255°＝2＋ D.若tan（α＋）＝，则sin αcos α＝ 3.sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3.〔多选〕下列各式中，值为的是（　　） A. B.tan 15°cos215° C.cos2－sin2 D. 4.已知＝λ＋μ（λ，μ为常数），则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5.设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）： （1）若b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0； （2）若a≠0，b≠0，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 4.（2025·山东济宁模拟）如图，在△ABC中，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋（m∈R）.则m＝（　　） A. B. C.1 D.2 5.（2025·全国Ⅱ卷12题）已知平面向量a＝（x，1），b＝（x－1，2x），若a⊥（a－b），则｜a｜＝　　　　. 考点一　三角恒等变换 【通性通法】　三角恒等变换的常用技巧 “化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2，cos2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂. 【例1】　（1）（2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π，cos＝，则sin（α－）＝（　　） A. B. C. D. （2）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　　　　. 【常用结论】　半角公式 sin＝±， cos＝±， tan＝＝. 【训练1】　（1）（2025·河南九师联盟二模）已知α是第三象限角，cos（α＋）＝，则＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 【常用结论】　常用拆角、拼角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）等. （2）（2025·浙江宁波一模）已知角α，β满足tan α＝，2sin β＝cos（α＋β）sin α，则tan β＝（　　） A. B. C. D. 【易错提醒】　注意角的范围. （3）已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos＝　　　　. 考点二　平面向量 【通性通法】　数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义. 提醒　在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况. 【例2】　（1）（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　） A.－6 B.－5 C.5 D.6 （2）（2025·天津高考14题）△ABC中，D为AB中点，＝，＝a，＝b，则＝　　　（用a，b表示）；若｜｜＝5，AE⊥CB，则·＝　　　　. 【训练2】　（1）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝（　　） A. B. C. D. 【常用结论】　向量a在向量b上的投影向量为·. 【通性通法】　数量积的最值（范围）问题的求解思路 （1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值（范围）问题； （2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题. （2）（2025·浙江稽阳联谊学校二模）若非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且向量b在向量a上的投影向量是－a，则向量a与b的夹角为（　　） A. B. C. D. （3）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是（　　） A.[－5，3] B.[－3，5] C.[－6，4] D.[－4，6] 提示：完成课后作业　专题一　第1讲 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲　三角恒等变换与平面向量 【基础·回扣】 1.C　2.ABC　3.AD　4.A　5. 【典例·讲解】 【例1】　（1）D　cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin（α－）＝（sin α－cos α）＝×＝. （2）－　解析：易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－. 【训练1】　（1）A　法一　因为cos（＋α）＝－sin α＝，所以sin α＝－，因为α是第三象限角，所以cos α＝－，则＝＝＝＝－2. 法二　由法一知sin α＝－，cos α＝－，则tan＝＝－3，所以＝＝－2. （2）B　因为2sin β＝cos（α＋β）sin α，即2sin[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）sin α，所以2sin（α＋β）cos α－2cos（α＋β）sin α＝cos（α＋β）sin α，整理得2sin（α＋β）cos α＝3cos（α＋β）sin α，变形得tan（α＋β）＝tan α＝，所以tan β＝tan[（α＋β）－α]＝＝. （3）　解析：∵α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，∴cos α＝－，cos β＝，∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝.又∵＜α＜π，0＜β＜，∴0＜α－β＜π，∴0＜＜.∴cos＝＝＝. 【例2】　（1）C　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. （2）a＋b　－15　解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b. 法一　∵｜｜＝5，∴25＝（a＋b）2，即900＝a2＋16b2＋8a·b　①，易得＝b－a，∵⊥，∴·＝0，即（a＋b）·（b－a）＝0，得4b2－a2－3a·b＝0　②，由①②得2 700＝80b2－5a2，∴16b2－a2＝540，∴·＝（a＋b）·（a－b）＝（a2－8b2＋2a·b）＝［a2－8b2＋（4b2－a2）］＝（a2－16b2）＝×（－540）＝－15. 法二　＝－＝a－b，＝－＝－＝a－b，从而＝a＋b＝（a＋4b）＝[6（a－b）－5（a－2b）]＝－，则＝（－），故·＝·（－）＝－｜｜2＝－15. 【训练2】　（1）D　因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝. （2）D　∵b在a上的投影向量为·a＝－a，∴＝－，∴a·b＝－｜a｜2，则cos＜a，b＞＝＝＝－，由于＜a，b＞∈[0，π]，∴＜a，b＞＝. （3）D　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系（图略），则A（3，0），B（0，4），设P（x，y），则x2＋y2＝1，＝（3－x，－y），＝（－x，4－y），所以·＝x2－3x＋y2－4y＝（x－）2＋（y－2）2－，又（x－）2＋（y－2）2表示圆x2＋y2＝1上一点到点（，2）距离的平方，圆心（0，0）到点（，2）的距离为，所以·∈［（－1）2－，（＋1）2－］，即·∈[－4，6]，故选D. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $