江西吉安市五所县二中2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷

吉安市五所县二中2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷答案与解析 一、单选题 1．C 直线的斜率，，∴.故选C. 2．A 因为点，,所以的中点，所以关于平面对称的点的坐标为，故选：A. 3．A 取中点为，连接，所以，又面面且交线为，面，所以面，面，则.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，，所以，.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:A. 4．B 圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即，∴， 当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B. 5．A 如图所示，因为，分别是，的中点，点在线段上，且， ，， ， 又有，，故选A. 6．A 设椭圆的左焦点为，则，可得,则， 如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．故选：A． 7．D 如图，由抛物线,得焦点,准线方程为，过作准线的垂线， ，则，直线的斜率为，可得直线的方程为，联立 ，可得，设，则,可得中点横坐标为5 ， 中点到抛物线准线的距离为，故选D . 8．C 由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，在中，由正弦定理得，又，∴，即，∵在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，∴，即，由双曲线的几何性质，知，∴，即，∴，解得，又，双曲线离心率的范围是．故选：C． 二、多选题 9．BCD 双曲线化为标准形式为，则，， ，故离心率，即A错误；双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；由双曲线的定义知，，，则，△的周长为，即C正确；对于椭圆，有，，，，由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确.故选：BCD. 10．BCD 对于选项A，由，也可能是或，故错误；对于选项B，因为对 空间中任意一点，，则， 整理得.由空间向量基本定理可知点，，，四点共面，故正确； 对于选项C，由是空间中的一组基底，则，向量，，不共面，可得向量，，也不共面，所以也是空间的一组基底，故正确；对于选项D，若空间四个点，，，，，可得，即，则，，三点共线，故正确.故选：BCD. 11．AC A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确； B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误； C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；D：设，则 ．因为，所以当时，最小值为，错误. 故选：AC． 三、填空题 12． 设，且，则 （1）， （2）； 由得：，，. 又，，.故答案为：. 13． 因为，所以下焦点的坐标为，渐近线方程为，即，则下焦点到的距离为．，解得，则，所以该双曲线的方程为．故答案为. 14． 连接，如图，因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，则平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”，所以的最小值为.故答案为. 四、解答题 15．(1)；(2). 解：(1)设圆的方程为，则，解得，，，∴圆的方程为. (2)动直线的方程为.则得，∴动直线过定点，∴直线：，∴圆心到m的距离为,∴PQ的长为. 16．(1);(2). 解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，解得λ=11或(舍去).故所求椭圆的标准方程为. （2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，由，解得，∴该双曲线的方程为． 17．（1）；（2）. 解：（1）由于，由平面向量的运算性质可得： ， 所以. （2），, ， . 18．(1)；(2). 解：（1）由题意得双曲线a＝1，c＝2，则b²＝c²﹣a²＝3，所以C1的标准方程为. （2）设过（0，1）的直线l的方程为y＝kx+1，联立，可得（3﹣k²）x²﹣2kx﹣4＝0，因为直线与双曲线相切，所以Δ＝4k²+16（3﹣k²）＝0，解得k＝±2， 又因为直线l与双曲线右支相切，所以l方程为：y＝﹣2x+1，联立，可得19x²﹣16x﹣8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，x1x2， 则|MN||x1﹣x2|•，又原点O到直线l的距离d，所以的面积Sd•|MN|． 19．（1）；（2）． 解：（1）因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故,即,故椭圆的标准方程为. （2）设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或. 又，故，所以. 又 故，即；综上可得或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市五所县二中2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每题5分，共计40分) 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 5．已知空间四边形，其对角线为，，，分别是，的中点，点在线段上，且，现用基底表示向量，有，则，，的值分别为 A．，， B．，， C．，， D．，， 6．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．1 B．－1 C． D． 7．直线过交抛物线于，抛物线焦点为，，则中点到抛物线准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 8．已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每题6分，共计18分) 9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的周长为30 D．点在椭圆上 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 11．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（    ） A．周长的最小值为18 B．四边形可能为矩形 C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是 D．的最小值为-1 三、填空题(本题共3小题，每题5分，共计15分) 12．已知椭圆的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OM的斜率之积等于_________． 13．如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为______． 14．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 四、解答题(本题共5小题，共计77分) 15．（13分）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)动直线l：过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度. 16．（15分）（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程. （2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程． 17．（15分）在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点. （1）求AM的长； （2）求的余弦值. 18．（17分）在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C1以椭圆C2：1长轴的两个端点为焦点，以C2的焦点为顶点．(1)求C1的标准方程； (2)过（0，1）的直线l与C1的右支相切，且与C2交于点M，N，求的面积． 19．（17分）已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $