微突破1 切线与公切线问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word

微突破1　切线与公切线问题 【备考指南】　曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大. 1.（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）＝ex＋2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1 C.y＝2x D.y＝3x 1.曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. 解析：B　由f（x）＝ex＋2x，得f'（x）＝ex＋2，则f（0）＝1，f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x＋1.故选B. 2.已知曲线y＝ln x与曲线y＝a（x－）在交点（1，0）处有相同的切线，则a＝（　　） A.1 B. C.－ D.－1 2.若两曲线共切点，则切线为两曲线的公切线. 解析：B　因为（ln x）'＝，［a（x－）］'＝a（1＋），曲线y＝ln x与曲线y＝a（x－）在交点（1，0）处有相同的切线，所以2a＝1，a＝.故选B. 3.（2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝　　4　　. 3.若直线是曲线的切线，则切点既在切线上又在曲线上. 解析：y'＝ex＋1，又切线斜率为2，则ex＋1＝2，得切点横坐标为x＝0，又切点在直线y＝2x＋5上，则切点坐标为（0，5），又切点也在曲线上，代入得a＝4. 4.曲线y＝ex－2＋1过坐标原点的切线方程为　　y＝x　　. 4.求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点. 解析：由y＝ex－2＋1，可得y'＝ex－2，设切点坐标为（t，et－2＋1），可得切线方程为y－（et－2＋1）＝et－2（x－t），把原点（0，0）代入切线方程，可得0－（et－2＋1）＝et－2（0－t），即（t－1）et－2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－（e0＋1）＝e0（x－2），即y＝x. 【思维建模】　求曲线y＝f（x）的切线方程的三种类型及方法 （1）已知切点P（x0，f（x0）），求切线方程：求出切线的斜率f'（x0），由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P（x0，f（x0）），通过方程k＝f'（x0）解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点（非切点），求切线方程：设切点为P（x0，f（x0）），利用导数求得切线斜率f'（x0），再由斜率公式求得切线斜率，列方程（组）解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 【例】　（1）（2024·全国甲卷理6题）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 解析：A　f'（x）＝，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A. （2）（2025·辽宁省部分重点中学协作体考试）过原点且与曲线y＝xsin x相切的直线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：C　设切点为（x0，x0sin x0），因为曲线y＝xsin x，所以y'＝sin x＋xcos x，所以＝sin x0＋x0cos x0，所以x0cos x0＝0，所以x0＝0或cos x0＝0，当x0＝0时，k＝0，所以切线方程为y－0＝0（x－0），即y＝0；当x0＝时，k＝1，所以切线方程为y－0＝1（x－0），即y＝x；当x0＝－时，k＝－1，所以切线方程为y－0＝－1（x－0），即y＝－x，所以切线有3条.故选C. （3）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝　　ln 2　　. 解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，则切点为（－，a＋ln），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln＝0，故a＝ln 2. 【通性通法】　求两曲线不共切点的公切线的一般思路 （1）分别设出两曲线的切点； （2）分别求两曲线的切线方程； （3）由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，然后求解即可. 【训练】　（1）（2025·河南郑州一模）已知曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为（　　） A.（1，3） B.（－1，3） C.（1，3）或（－1，3） D.（1，－3） 解析：C　设切点P（x0，y0），f'（x）＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f'（x0）＝3－1＝2，∴＝1，∴x0＝±1，又切点P（x0，y0）在y＝f（x）上，∴y0＝－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为（1，3）或（－1，3）. （2）若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则直线l的方程为（　　） A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋ C.y＝x＋1 D.y＝x＋ 解析：D　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝　①.设直线l与曲线y＝的切点坐标为（x0，）（x0＞0），则y'＝＝k　②，＝kx0＋b　③.由②③可得b＝，将b＝，k＝代入①得x0＝1或x0＝－（舍去），所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋.故选D. （3）已知曲线f（x）＝x2－4x＋4，g（x）＝x－1，则f（x）和g（x）的公切线的条数为（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：A　设公切线与f（x）和g（x）分别相切于点（m，f（m）），（n，g（n）），f'（x）＝2x－4，g'（x）＝－x－2，g'（n）＝f'（m）＝，解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构造函数h（x）＝8x3－8x2＋1，则h'（x）＝8x（3x－2），所以h（x）在（－∞，0），（，＋∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，极大值h（0）＞0，极小值h（）＜0，当x→－∞时，h（x）→－∞；当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故函数h（x）的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条. 【通性通法】　两曲线公切线条数的判断方法 （1）由两曲线公切线的几何特征，构建等量关系式f'（x1）＝g'（x2）＝； （2）解上述方程组，当无解时，两曲线不存在公切线；当有一解时，公切线只有一条；当有两个不同的解时，公切线有两条. （时间：30分钟，满分：46分） 一、单项选择题（每小题5分，共25分） 1.已知函数f（x）＝2x，则函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0 C.x·ln 2－y－1＝0 D.x·ln 2－y＋1＝0 解析：D　函数f（x）＝2x，求导得f'（x）＝2xln 2，则f'（0）＝ln 2，而f（0）＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln 2·（x－0），即x·ln 2－y＋1＝0. 2.若直线y＝kx与曲线y＝ln x相切，则k＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　设切点为（x0，ln x0），令f（x）＝ln x，则f'（x）＝，∴f'（x0）＝＝k，∴解得 3.（2025·北京市第二中学二模）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1－x）ex的切线有且仅有2条，则a的取值范围为（　　） A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－∞，－3）∪（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞） 解析：C　设切点为（x0，（1－x0）），由已知得y'＝－xex，则切线斜率k＝－x0，切线方程为y－（1－x0）＝－x0（x－x0），直线过点A（a，0），则－（1－x0）＝－x0（a－x0），化简得－（a＋1）x0＋1＝0，切线有且仅有2条，即Δ＝（a＋1）2－4＞0，化简得a2＋2a－3＞0，即（a＋3）·（a－1）＞0，解得a＜－3或a＞1. 4.已知函数f（x）＝ex－ax＋b（a，b∈R），g（x）＝x2＋x，若这两个函数的图象在公共点A（1，2）处有相同的切线，则a－b＝（　　） A.e－2 B.e＋2 C.e D.e2 解析：A　因为f（x）＝ex－ax＋b（a，b∈R），g（x）＝x2＋x，所以f'（x）＝ex－a，g'（x）＝2x＋1，因为f（x），g（x）在公共点A（1，2）处有相同的切线，所以即所以a－b＝e－2. 5.已知函数f（x）＝ln x与g（x）的图象关于直线y＝x对称，直线l与g（x），h（x）＝ex＋1－1的图象均相切，则l的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为函数f（x）＝ln x与g（x）的图象关于直线y＝x对称，所以f（x）＝ln x与g（x）互为反函数，所以g（x）＝ex，则g'（x）＝ex.由h（x）＝ex＋1－1，得h'（x）＝ex＋1，设直线l与函数g（x）＝ex的图象的切点坐标为（x1，），与函数h（x）＝ex＋1－1的图象的切点坐标为（x2，－1），则直线l的斜率k＝＝，故x1＝x2＋1，显然x1≠x2，故k＝＝＝1，所以直线l的倾斜角为.故选B. 二、多项选择题（6分） 6.若过y轴上一点P（0，m）最多可作出n（n∈N*）条直线与函数f（x）＝xex的图象相切，则（　　） A.n可以取到3 B.m＋n＜3 C.当n＝1时，m的取值范围是（－∞，－） D.当n＝2时，m存在且唯一 解析：ABD　设切点为（x0，x0），f'（x）＝（x＋1）ex，则＝（x0＋1），所以－m＝.令g（x）＝x2ex，则g'（x）＝（x2＋2x）·ex，易得g（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，极大值为g（－2）＝4e－2，极小值为g（0）＝0，当x→－∞时，g（x）→0，作出g（x）的图象如图所示，显然当m∈（－4e－2，0）时，g（x）＝－m有三个解，即有三条切线，n＝3；当m＝0时，g（x）＝－m有一个解，即有且仅有一条切线，n＝1；当m＞0时，g（x）＝－m无解，即不存在切线，不符合题意；当m＝－4e－2时，g（x）＝－m有两个解，即有两条切线，n＝2；当m＜－4e－2时，g（x）＝－m有一个解，即有一条切线，n＝1，所以A、B、D正确，C错误. 三、填空题（每小题5分，共15分） 7.过点（－1，0）作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线方程为　　2x－y＋2＝0（或x＋4y＋1＝0）　　. 解析：y＝x3－x，y'＝3x2－1，设切点坐标为（x0，－x0），则切线斜率为3－1，得切线方程为y－（－x0）＝（3－1）（x－x0），代入点（－1，0），得2＋3－1＝0，即（x0＋1）2（2x0－1）＝0，解得x0＝－1或x0＝，当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0. 8.已知直线l与曲线C1：y＝x2和C2：y＝－均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为　2　. 解析：由已知得C1，C2的导函数分别为y'＝2x，y'＝，设C1，C2上的切点分别为（x1，y1），（x2，y2），则有2x1＝＝＝，解得故l：y＝4x－4，且直线l与坐标轴的交点坐标分别为（1，0），（0，－4），围成的三角形面积为×1×4＝2. 9.（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝｜ln x｜图象的两条切线相互垂直，并分别交y轴于A，B两点，则｜AB｜＝　2　. 解析：设函数f（x）在点P（x1，f（x1））和Q（x2，f（x2））（x1＜x2）处的两条切线互相垂直，如图，可得f（x）＝｜ln x｜的零点为1，故不妨设0＜x1＜1，x2＞1，则P（x1，－ln x1），Q（x2，ln x2），当x∈（1，＋∞）时，f（x）＝ln x，f'（x）＝，当x∈（0，1）时，f（x）＝－ln x，f'（x）＝－，则kAP＝－，kBQ＝.所以kPA·kQB＝－1，即x1x2＝1.因为lPA：y－（－ln x1）＝－（x－x1），即y＝－x＋1－ln x1，lQB：y－ln x2＝（x－x2），即y＝x＋ln x2－1，则A（0，1－ln x1），B（0，ln x2－1），因为0＜x1＜1，且x1x2＝1，故｜AB｜＝1－ln x1－（ln x2－1）＝2－ln x1x2＝2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $