第8讲 利用导数研究函数的性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word

第8讲　利用导数研究函数的性质 【备考指南】　利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考重点考查内容，多以选择题、填空题的形式考查，或以解答题的形式出现，难度中等. 1.函数f（x）＝x＋＋2ln x的单调递减区间是（　　） A.（－3，1） B.（0，1） C.（－1，3） D.（0，3） 1.求单调区间：解f'（x）＞0或f'（x）＜0（一定注意函数的定义域）. 解析：B　由题知f'（x）＝1－＋＝（x＞0），令f'（x）＜0，得解得0＜x＜1，所以f（x）的单调递减区间为（0，1）. 2.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝x3＋x2f'（1）＋2x－1，则f'（2）＝（　　） A.1 B.－9 C.－6 D.4 2.f'（x）是一个函数，f'（x0）是函数f'（x）在x0处的函数值（常数），不一定为0. 解析：C　因为f（x）＝x3＋x2f'（1）＋2x－1，所以f'（x）＝3x2＋2xf'（1）＋2，把x＝1代入f'（x），得f'（1）＝3×12＋2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－5，所以f'（x）＝3x2－10x＋2，所以f'（2）＝－6. 3.已知函数f（x）＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的极大值为（　　） A.2 B.－ C.3＋ln 2 D.－2＋2ln 2 3.f（x）在x＝a处取得极值⇔f'（a）＝0且x＝a两侧的单调性相反. 解析：B　f'（x）＝＋2ax－3，∵f（x）在x＝2处取得极小值，∴f'（2）＝4a－2＝0，解得a＝，∴f（x）＝2ln x＋x2－3x，f'（x）＝＋x－3＝，∴f（x）在区间（0，1），（2，＋∞）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，∴f（x）的极大值为f（1）＝－3＝－. 4.函数f（x）＝x3－4x＋4在[0，3]上的最值是（　　） A.最大值是4，最小值是－ B.最大值是2，最小值是－ C.最大值是4，最小值是－ D.最大值是2，最小值是－ 4.将函数f（x）在[a，b]内的各极值与区间端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 解析：A　因为f（x）＝x3－4x＋4，x∈[0，3]，所以f'（x）＝x2－4，由f'（x）＝x2－4＞0，得2＜x≤3，由f'（x）＝x2－4＜0，得0≤x＜2，所以f（x）在[0，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，又f（0）＝4，f（2）＝－，f（3）＝1，所以f（x）在[0，3]上的最大值是4，最小值是－. 5.（2025·浙江台州一模）若f（x）＝＋ax在R上单调递减，则实数a的最大值为　　－　　. 5.f（x）在（a，b）上单调递增⇔f'（x）≥0在（a，b）上恒成立（参变分离）. 解析：因为f（x）＝＋ax在R上单调递减，所以f'（x）≤0在R上恒成立，所以f'（x）＝＋a≤0在R上恒成立，所以a≤－在R上恒成立，令g（x）＝－，则g（x）＝－＝－＝－≥－＝－，当且仅当ex＝，即x＝0时等号成立，所以a≤－，故实数a的最大值为－. 考点一　利用导数研究函数的单调性 考向1　判断函数的单调性 【例1】　（2025·山东临沂二模节选）已知函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln x，当a＞0时，讨论f（x）的单调性. 解：当a＞0时，对函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋ln x求导得， f'（x）＝2ax－（a＋2）＋＝＝＝＝（x＞0）， 若a＝2，则f'（x）＝≥0（x＞0），此时f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增， 若0＜a＜2，则＞，当0＜x＜或x＞时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减， 若a＞2，则0＜＜，当0＜x＜或x＞时，f'（x）＞0，当＜x＜时，f'（x）＜0，此时f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减. 综上所述，若a＝2，则f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增； 若0＜a＜2，则f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减； 若a＞2，则f（x）在（0，），（，＋∞）上单调递增，在（，）上单调递减. 【通性通法】　导数与函数中分类讨论的界点 （1）根据二次项系数确定分类“界点”； （2）根据判别式确定分类“界点”； （3）根据导函数的零点与定义域的关系确定分类“界点”. 考向2　单调性的应用 【例2】　（1）若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　） A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－∞，0） 解析：C　函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x，若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故选C. 【通性通法】　函数f（x）在区间D上存在单调递增（或递减）区间，可转化为f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在x∈D上有解. （2）（2025·黑龙江齐齐哈尔二模）已知函数f（x）＝2x－sin 2x，则不等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为　　（－3，1）　　. 解析：f（x）＝2x－sin 2x的定义域为R，∵f'（x）＝2－2cos 2x＝2（1－cos 2x）≥0，∴函数f（x）是R上的增函数，∵f（－x）＝－2x－sin（－2x）＝－（2x－sin 2x）＝－f（x），∴函数f（x）是奇函数，∴由f（x2）＋f（2x－3）＜0得f（x2）＜－f（2x－3）＝f（3－2x），∴x2＜3－2x⇒x2＋2x－3＜0⇒（x－1）（x＋3）＜0⇒－3＜x＜1，∴不等式f（x2）＋f（2x－3）＜0的解集为（－3，1）. 【通性通法】　利用导数比较大小或解不等式的策略 利用导数比较大小或解不等式，常要构造函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式. 【训练1】　（1）（2025·北京通州一模）已知函数f（x）＝x2＋cos x，则f（－2），f（3），f（π）的大小关系是（　　） A.f（－2）＜f（3）＜f（π） B.f（π）＜f（3）＜f（－2） C.f（3）＜f（－2）＜f（π） D.f（－2）＜f（π）＜f（3） 解析：A　因为f（－x）＝x2＋cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，f'（x）＝x－sin x，令g（x）＝x－sin x，x∈（0，＋∞），则g'（x）＝1－cos x≥0，x∈（0，＋∞），所以函数g（x）＞g（0）＝0，即当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（－2）＝f（2）＜f（3）＜f（π）.故选A. （2）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A.（0，4） B.（－∞，1），（，4） C.（0，） D.（0，1），（4，＋∞） 解析：D　由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后减再增的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f（x），即g'（x）＝＜0，则函数g（x）＝的单调递减区间为（0，1），（4，＋∞）.故选D. （3）若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则实数m的取值范围为　　（，1）　　. 解析：由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则需满足0≤m＜1＜m＋，解得＜m＜1，所以实数m的取值范围为（，1）. 【瓶颈突破】　若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数值是否异号）. 考点二　利用导数求函数的极值、最值 考向1　利用导数求函数的极值 【例3】　（1）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 解析：BCD　因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D. 【瓶颈突破】　函数f（x）既有极大值也有极小值等价转化为函数f'（x）在（0，＋∞）上有两个零点. （2）（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.若f（x）有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围. 解：易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a. 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值； 当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a， 所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）. 法一（导数法）　令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0）， 则g'（a）＝－－2a＜0，所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数， 又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1时，g（a）＜0. 故实数a的取值范围为（1，＋∞）. 法二（图象法）　由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－a2＋1（a＞0）. 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象， 由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0. 所以实数a的取值范围为（1，＋∞）. 【通性通法】　对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号.f'（x0）＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，因此需要检验参数的值. 考向2　利用导数研究函数的最值 【例4】　已知函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（　　） A.[－1，2） B.［－，1） C.［－2，） D.[－1，1） 解析：A　由题意得f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）.令f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，令f'（x）＜0，得0＜x＜2，则f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），即x＝2时，函数取得极小值f（2）＝－1.又因为当x3－3x2＋3＝－1，即x3＋1＋3（1－x2）＝（x＋1）·（x－2）2＝0时，解得x＝－1或x＝2，可作出f（x）的图象如图所示，故要使函数f（x）＝x3－3x2＋3在区间（a，a＋6）上存在最小值，则有解得－1≤a＜2，即实数a的取值范围为[－1，2）.故选A. 【通性通法】　求函数在开区间上的最值问题时，不仅要研究其极值，还需研究其单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象求解. 【训练2】　（1）已知函数f（x）＝ex－ax2在R上无极值，则a的取值范围是（　　） A. B. C.［0，］ D. 解析：C　由题意得f'（x）＝ex－2ax，故f'（0）＝1＞0，因为函数f（x）＝ex－ax2在R上无极值，所以f'（x）≥0在R上恒成立，当x＞0时，a≤，设g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝＝，当0＜x＜1时，得g'（x）＜0，当x＞1时，得g'（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，从而g（x）≥g（1）＝，故a≤；当x＜0时，由f'（x）≥0得a≥，又＜0，则a≥0.综上，a的取值范围是［0，］. 【瓶颈突破】　若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内一定不具有单调性，反之，若函数在某区间上单调，则函数在此区间内没有极值. （2）（2025·江苏宿迁二模）若函数f（x）＝有最大值，则实数k的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　当x≥2时，f（x）＝，则f'（x）＝，当2≤x＜e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，则函数f（x）在x＝e处取得极大值，且极大值为f（e）＝，因为函数f（x）＝有最大值，则解得0≤k≤，因此实数k的最大值为.故选C. 【瓶颈突破】　f（x）＝kx，x＜2时不存在最值. （时间：60分钟，满分：92分） 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1.函数f（x）＝－2ln x－x－的单调递增区间是（　　） A.（0，＋∞） B.（－3，1） C.（1，＋∞） D.（0，1） 解析：D　f'（x）＝－－1＋＝＝，x＞0.令f'（x）＞0， 得0＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（0，1）.故选D. 2.已知函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（　　） A.[0，1] B.（－∞，0]∪[1，＋∞） C.[0，2] D.（－∞，0]∪[2，＋∞） 解析：C　由f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1，得f'（x）＝x2＋2（a－1）x＋1.根据题意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2. 3.（2025·江苏无锡质检）当x＝2时，函数f（x）＝x3＋bx2－12x取得极值，则f（x）在区间[－4，4]上的最大值为（　　） A.8 B.12 C.16 D.32 解析：C　f'（x）＝3x2＋2bx－12，∵f（x）在x＝2处取得极值，∴f'（2）＝12＋4b－12＝0，∴b＝0，则f（x）＝x3－12x，由f'（x）＝0，得x＝±2，f（x）在[－4，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，在（2，4]上单调递增，又f（－2）＝－8＋24＝16，f（4）＝64－48＝16，∴f（x）max＝16.故选C. 4.已知a＝ln，b＝，c＝，则下列结论正确的是（　　） A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜b＜c D.c＜a＜b 解析：C　设f（x）＝（x＞0），则f'（x）＝＝，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.a＝ln＝ln 2＝ln 2＝ln 4＝f（4），又b＝＝f（3），c＝＝f（e），e＜3＜4，且f（x）在（e，＋∞）上单调递减，所以f（4）＜f（3）＜f（e），所以a＜b＜c. 5.（2025·江苏扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A.a＞－2 B.a＞－ C.a＜－2 D.a＜－ 解析：C　由函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，则f'（x）＞0恒成立，此时f（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'（x）＝aeax＋2＝0，解得x＝ln（－），当x＞ln（－）时，f'（x）＞0，当x＜ln（－）时，f'（x）＜0，故x＝ln（－）是f（x）＝eax＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，∴ln（－）＞0⇒ln（－）＜0⇒0＜－＜1，解得a＜－2.故选C. 6.（2025·辽宁锦州模拟）若函数f（x）＝xe2a－x－b（x－1）2在R上单调，a，b为实数，则（　　） A.a≥b B.a≤b C.a≥－b D.a≤－b 解析：D　f'（x）＝e2a－x－xe2a－x－2b（x－1）＝（1－x）（e2a－x＋2b），因为f（x）在R上单调，所以f'（x）无变号零点，则x＝1是方程e2a－x＋2b＝0的解，故e2a－1＋2b＝0，即b＝－e2a－1，a－（－b）＝a－e2a－1，令g（a）＝a－e2a－1，则g'（a）＝1－e2a－1，令g'（a）＝0，解得a＝，a∈（－∞，）时，g'（a）＞0，a∈（，＋∞）时，g'（a）＜0，所以g（a）在（－∞，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减，g（a）max＝g（）＝0，所以a－（－b）≤0，即a≤－b；a－b＝a＋e2a－1，令h（a）＝a＋e2a－1，h（a）在R上单调递增，无最值，则a，b大小不确定.故选D. 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 7.（2025·全国Ⅱ卷10题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2－3）ex＋2，则（　　） A.f（0）＝0 B.当x＜0时，f（x）＝－（x2－3）e－x－2 C.f（x）≥2当且仅当x≥ D.x＝－1是f（x）的极大值点 解析：ABD　A.根据奇函数的定义有f（0）＝0，故A正确；B.当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝（x2－3）e－x＋2，因为f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝－（x2－3）e－x－2，故B正确；C.当x＞0时，f'（x）＝（x2＋2x－3）ex＝（x－1）（x＋3）ex，所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，又f（）＝2，所以由f（x）≥2得x≥；当x＜0时，f（－1）＝2（e－1）＞2，满足f（x）≥2，但－1∉[，＋∞），故C错误；D.由C知，D正确. 8.（2025·山东山师附中一模）已知函数f（x）＝ln＋ax＋b（x－1）3，则（　　） A.函数f（x）的定义域为（0，2） B.当a＝0，b＝0时，函数f（x）在定义域上单调递增 C.曲线y＝f（x）是中心对称图形 D.若b＝0，且f'（x）≥0，a的最小值是0 解析：ABC　对于A，由函数解析式可得＞0，解得0＜x＜2，所以函数f（x）的定义域为（0，2），显然A正确；对于B，当a＝0，b＝0时f（x）＝ln＝ln x－ln（2－x），易知函数y＝ln x单调递增，y＝ln（2－x）单调递减，所以函数f（x）在定义域上单调递增，B正确；对于C，令g（x）＝ln，g（2－x）＝ln，g（x）＋g（2－x）＝0，因此g（x）的图象关于点（1，0）中心对称，易知f（x）＝g（x）＋a（x－1）＋a＋b（x－1）3满足f（x）＋f（2－x）＝2a，可得f（x）的图象关于点（1，a）中心对称，可得C正确；对于D，b＝0时，f（x）＝ln＋ax，其中x∈（0，2），则f'（x）＝＋＋a＝＋a，x∈（0，2），因为x（2－x）≤（）2＝1，当且仅当x＝1时等号成立，故f'（x）min＝2＋a，而f'（x）≥0成立，故a＋2≥0，即a≥－2，所以a的最小值为－2，即D错误.故选A、B、C. 三、填空题（每小题5分，共10分） 9.（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x－a）的极值点，则f（0）＝　　－4　　. 解析：f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所以f（0）＝－4. 10.（2025·贵州贵阳适应性考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且y＝f'（x）＋ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a－1），则实数a的取值范围为　（－∞，）∪（1，＋∞）　. 解析：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x），对等式两边求导有f'（x）＝－f'（－x）　①.因为y＝f'（x）＋ex是偶函数，所以f'（x）＋ex＝f'（－x）＋e－x　②.由①②得f'（x）＝（e－x－ex）＝.当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f（a）＞f（2a－1），所以｜a｜＜｜2a－1｜，解得a＞1或a＜. 四、解答题（共30分） 11.（15分）（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x. （1）若a＝1，求f（x）的极值； （2）若a≥－，求f（x）的单调区间. 解：（1）当a＝1时，f（x）＝－x2＋2ln x，定义域为（0，＋∞）， 则f'（x）＝－2x＋＝. 当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 故当x＝1时，f（x）取得极大值－1，无极小值. （2）由f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，x＞0， 得f'（x）＝－2x＋＋1－a＝＝. 令（x＋a）（2x－a－1）＝0，得x＝－a或x＝. 若a≥0，则－a≤0，＞0， 当x∈（0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 若－＜a＜0，则＞－a＞0， 当x∈（0，－a）和（，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（－a，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 若a＝－，则＝－a＝，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f（x）单调递减. 综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，＋∞）； 当－＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（－a，），单调递减区间为（0，－a）和（，＋∞）； 当a＝－时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间. 12.（15分）（2025·上海高考19题）已知f（x）＝x2－（m＋2）x＋mln x，m∈R. （1）若f（1）＝0，求不等式f（x）≤x2－1的解集； （2）若函数y＝f（x）满足在（0，＋∞）上存在极大值，求m的取值范围. 解：（1）由题设条件可得，f（1）＝1－（m＋2）＝0，解得m＝－1，所以f（x）＝x2－x－ln x. 由f（x）≤x2－1，可得ln x＋x－1≥0， 令g（x）＝ln x＋x－1，则g'（x）＝＋1＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增， 易知g（1）＝0，所以g（x）≥0即g（x）≥g（1），可得x≥1. 综上，不等式f（x）≤x2－1的解集为[1，＋∞）. （2）f'（x）＝2x－（m＋2）＋＝＝. ①当＞1，即m＞2时，由f'（x）＞0得x∈（0，1）∪（，＋∞）；由f'（x）＜0得x∈（1，）.故f（x）在（0，1），（，＋∞）上单调递增，在（1，）上单调递减，此时f（x）在x＝1处取得极大值. ②当0＜＜1，即0＜m＜2时，由f'（x）＞0得x∈（0，）∪（1，＋∞）；由f'（x）＜0得x∈（，1）.故f（x）在（0，），（1，＋∞）上单调递增，在（，1）上单调递减，此时f（x）在x＝处取得极大值. ③当＝1，即m＝2时，f'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，即f（x）在（0，＋∞）上单调递增，此时函数f（x）在（0，＋∞）上无极大值. ④当≤0，即m≤0时，由f'（x）＜0得x∈（0，1）；由f'（x）＞0得x∈（1，＋∞）.故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，此时f（x）在x＝1处取得极小值，无极大值. 综上可知，m的取值范围为（0，2）∪（2，＋∞）. 【高考新风向】（每小题5分，共10分） 13.〔创新交汇〕P是平面直角坐标系xOy内一点，我们以x轴正半轴为始边，射线OP为终边构成角θ∈[0，2π]，OP的长度r作为θ的函数，若其解析式为r＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜，则P的轨迹可能为（　　） 解析：B　r（θ）＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜，r（θ＋）＝＋＝｜2sin 2θ｜＋｜sin 4θ｜＝r（θ），可以得到r是以为周期的函数，所以P的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D；由于A、B项均关于y＝x对称，所以仅研究θ∈［0，］，此时，令r＝2sin 2θ＋sin 4θ，r'＝4（cos 2θ＋cos 4θ），令cos 2θ＝t∈[0，1]，令f（t）＝2t2＋t－1＝0，解得t＝（t＝－1舍去），则f（t）在上小于等于0，在（，1］上大于0，即r（θ）在（0，）内单调递增，在（，）内单调递减，在［0，）内有且仅有一个极值点，所以OP不会一直增大，B正确. 14.〔创新定义〕（2025·江西南昌模拟）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知f（x）＝ex－ex2＋（x－1）2，则下列给出的函数中其图象与y＝f（x）的图象“相似”的是（　　） A.y＝x2 B.y＝－x2 C.y＝x3－3x D.y＝－x3＋3x 解析：C　f'（x）＝ex－ex＋2x－2，则f'（1）＝0，令f'（x）＝0，则ex＝（e－2）x＋2，如图，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝ex，y＝（e－2）x＋2的大致图象，由图可知，函数y＝ex与y＝（e－2）x＋2的图象有两个交点，则函数y＝f'（x）有两个零点1，x0，且x0＜0，令f'（x）＞0，则x＞1或x＜x0，令f'（x）＜0，则x0＜x＜1，所以f（x）在（－∞，x0），（1，＋∞）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，所以图象从左到右看，f（x）先有极大值点x0，再有极小值点1. 法一　A错误，函数y＝x2在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以函数y＝x2有极小值点，无极大值点；B错误，函数y＝－x2在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝－x2有极大值点，无极小值点；C正确，对y＝x3－3x求导，得y'＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x＜－1或x＞1时，y'＞0，当－1＜x＜1时，y'＜0，所以函数y＝x3－3x在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减，所以图象从左到右看，函数y＝x3－3x先有极大值点－1，再有极小值点1；D错误，y＝－x3＋3x＝－（x3－3x），则由C选项可得，图象从左到右看，函数y＝－x3＋3x先有极小值点－1，再有极大值点1.故选C. 法二　根据二次函数的图象性质可排除A、B.三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象在a＜0时为倒“N”型，图象从左到右看先有极小值点，再有极大值点，排除D.故选C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $