5.4 三角函数的图象与性质-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第四节　三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，　　，(2π，0)． (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，__(π，－1)__，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 函数的最值 最大值1，当且仅当　x＝2kπ＋，k∈Z　； 最小值－1，当且仅当　x＝2kπ－，k∈Z　 最大值1，当 且仅当　x＝2kπ，k∈Z　；　 最小值－1，当且仅当　x＝2kπ－π，k∈Z　 无最大值和最小值 单调性 增区间　(k∈Z)　； 减区间　(k∈Z)　 增区间　[k·2π－π，k·2π](k∈Z)　； 减区间　[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)　 增区间 (k∈Z) 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 周期 性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为　2π　 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为　2π　 周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为　π　 对称性 对称中心 　(kπ，0)，k∈Z　 ，k∈Z 　，k∈Z　 对称轴 　x＝kπ＋，k∈Z　 x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z 　三角函数的定义域、值域(最值) (1)函数y＝的定义域为____________________________． (2)函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0, ]上的值域为________． 【解析】　(1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0, 2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0, 2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为. (2)当x∈时， 2x－∈，sin∈， 故3sin∈. 即此时函数f(x)的值域是. 【答案】　(1)(k∈Z) (2) 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数的图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． [针对训练] 1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　D　) A.　　　　 B. C. D. 解析：由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)． 　三角函数的单调性 角度一　求三角函数的单调区间 (2025·湖北武汉华中师范大学第一附属中学模拟)已知函数f(x)＝sin＋2cos2ωx(ω>0)的周期为π. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)≥，求x的取值范围． 【解】　(1)f(x)＝sin＋2cos2ωx＝sin 2ωx－ cos 2ωx＋1＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋ cos 2ωx＋1＝sin ＋1， 因为T＝＝π，所以ω＝1. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)因为f(x)≥，所以sin＋1≥， 所以sin≥－， 所以2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)≥时，x的取值范围为，k∈Z. 角度二　已知三角函数的单调区间求参数 (2025·湖南师大附中3月月考)(一题多解)若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　) A. B. C. D. 【解析】　法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增， 所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B. 法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B. 【答案】　B 1．已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2．已知单调区间求参数的三种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解． (3)周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解． [针对训练] 2．(2025·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　B　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z，故选B. 3．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是(　B　) A. B. C. D. 解析：记t＝sin x，x∈，则函数f(x)可转化为g(t)＝－10t2－10t－＝－102＋2.因为函数的最大值为2，显然此时t＝－.令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，由题意知x∈，当x＝－时，t＝－1，g(－1)＝－，结合g(t)的图象及函数的值域为，可得－≤sin m≤0，解得－≤m≤0.故选B. 　三角函数的周期性、对称性、奇偶性 角度一　三角函数的周期性与奇偶性 (2024·新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin(2x－)，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 【解析】　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC. 【答案】　BC 1．三角函数周期的求解方法 公式法 (1)三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π； (2)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期 2.与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 角度二　三角数的对称性 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　) A. B. C. D. 【解析】　由题意可得＝π，所以ω＝2， 可得f(x)＝Asin(2x＋φ)， 再由函数图象关于直线x＝对称， 故f＝Asin＝±A， 故可取φ＝－. 故函数f(x)＝Asin， 令2x－＝kπ，k∈Z， 可得x＝＋，k∈Z， 故函数的对称中心为，k∈Z. 所以函数f(x)图象的一个对称中心是.故选B. 【答案】　B 三角函数对称性问题的2种求解方法 定义法 正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点 公式法 函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z [针对训练] 4．(2025·江苏南京月考)(多选)设f(x)＝2cos 2x，则(　AD　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)的最小正周期是 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)的图象关于点(－，0)对称 解析：因为f(x)＝2cos 2x，所以f(x)为偶函数，最小正周期T＝＝π，A正确，B错误；f()＝2cos＝，故f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；f(－)＝2cos(－)＝0，故f(x)的图象关于点(－，0)对称，D正确．故选AD. 5．(2025·山东高三新高考预测)(多选)若将函数f(x)＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　ACD　) A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)的区间[0，]上单调递减 C．直线x＝不是函数g(x)图象的对称轴 D．g(x)在上的最小值为－ 解析：g(x)＝cos[2(x＋)＋]＝cos(2x＋)，g(x)的最小正周期为π，A中说法正确；当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，故g(x)在[0，]上有增有减，B中说法错误；g()＝0，故直线x＝不是函数g(x)图象的对称轴，C中说法正确；当x∈时，2x＋∈[0，]，且当2x＋＝，即x＝时，g(x)取最小值－，D中说法正确． 学科网（北京）股份有限公司 $