第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第１２节　利用导数研究函数的极值、最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．借助函数的图象,了解函数在 某点取得极值的必要条件和充 分条件． ２．能利用导数求某些函数的极 大值、极小值以及给定闭区间 上函数的最大值、最小值(其 中多项式函数不超过三次)． ３．体会导数与单调性、极值、最 大(小)值的关系 １．利用导数研究函数的极值, 达成数学抽象和数学运算 素养． ２．利用导数研究函数的最值, 提升逻辑推理和数学运算 素养． ３．利用导数研究生活中的优 化问题,发展数学建模和数 学运算素养 　　函数的极值与最值是高考的热点内 容,对极值的考查主要有２个命题角度: ①判断极值的情况,②已知函数求极值． 考查函数最值时必定涉及函数的单调性, 还会涉及到方程和不等式．题型有大题也 有小题且有一定难度．另外已知函数的极 值(最值)情况求参数的取值范围也是考 查的热点内容,涉及函数的单调性时,往 往需要进行分类讨论,这类题综合性强, 难度较大 [必备知识] １．函数极值的概念 一般地,当函数f(x)在点x０ 处连续时, (１)如果在x０ 附近的左侧f′(x)＞０,右侧f′(x)＜ ０,那么f(x０)是　　　　． (２)如果在x０ 附近的左侧f′(x)＜０,右侧f′(x)＞ ０,那么f(x０)是　　　　． ２．求可导函数f(x)的极值的步骤 (１)求导函数f′(x)． (２)求方程f′(x)＝０的根． (３)列表,检验f′(x)在方程f′(x)＝０的根左右两 侧的函数值的符号,如果　　　　,那么函数 y＝f(x)在这个根处取得极大值;如果　　　　, 那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值;如果左 右两侧符号一样,那么这个根不是极值点． (４)得极值,由表得极大值与极小值． ３．求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 (１)求函数y＝f(x)在(a,b)内的　　　　． (２)将函数y＝f(x)的　　　　与端点处的　　　　 　　　　　比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值,得出函数f(x)在[a,b]上的 最值． ４．利用导数求解实际问题中的优化问题 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题 称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的 有力工具,用导数解决优化问题的基本思路是: 优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解 决数学问题→优化问题的答案． 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类: (１)给出了具体的函数关系式,只需研究这个函数的 性质即可． (２)函数关系式中含有比例系数,根据已知数据求出 比例系数得到函数关系式,再研究函数的性质． (３)没有给出函数关系,需要先建立函数关系,再研 究函数的性质． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．对于可导函数f(x),f′(x０)＝０是函数f(x)在 x＝x０处有极值的必要不充分条件． ２．若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断, 则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值． ３．若函数f(x)在闭区间[a,b]内是单调函数,则 f(x)一定在区间端点处取得最值． ４．若函数f(x)在开区间(a,b)上的图象连续不断,且 有唯一的极值点,则这个极值点就是函数的最 值点． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”． (１)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一 的． (　　 ) (２)函数的极大值不一定比极小值大． (　　 ) (３)对可导函数f(x),f′(x０)＝０是x０ 点为极值 点的充要条件． (　　 ) (４)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　 ) (５)开区间上的单调连续函数无极值和最值． (　　 ) (６)函数f(x)＝１x 在区间[－１,１]上有最值． (　　 ) [小题查验] １．函数f(x)＝(x２－１)２＋２的极值点是 (　　 ) A．x＝１　　　　　　　B．x＝－１ C．x＝１或－１或０ D．x＝０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 ２．函数f(x)＝ax３＋bx在x＝１处有极值－２,则 a,b的值分别为 (　　 ) A．１,－３ B．１,３ C．－１,３ D．－１,－３ ３．(多选题)(２０２５􀅰曲师大附中模拟)定义:设f′(x)是 f(x)的导函数,f″(x)是函数f′(x)的导函数,若方 程f″(x)＝０有实数解x０,则称点(x０,f(x０))为函 数y＝f(x)的“拐点”．探究发现:任何一个三次函数 都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中 心．已知函数f(x)＝ax３＋bx２＋５３ (ab≠０)图象的 对称中心为(１,１),则下列说法中正确的有 (　　) A．a＝１３ ,b＝－１ B．函数f(x)既有极大值又有极小值 C．函数f(x)有三个零点 D．y＝f(x)在区间(１,２)上单调递减 ４．(２０２５􀅰全国二卷)若x＝２是函数f(x)＝(x－ １)(x－２)(x－a)的极值点,则f(０)＝　　　　． ５．从边长为１０cm×１６cm的矩形纸板的四角截去 四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,则 盒子容积的最大值为　　　　cm３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　利用导数研究函数的极值(多维探究) [命题角度１]　由函数图象判断其极值情况 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．设函数f(x)在 R上可导,其 导函数为f′(x),且函数y＝ (１－x)f′(x)的图象如图所 示,则下列结论中 一 定 成 立 的是 (　　 ) A．函数f(x)有极大值f(２)和极小值f(１) B．函数f(x)有极大值f(－２)和极小值f(１) C．函数f(x)有极大值f(２)和极小值f(－２) D．函数f(x)有极大值f(－２)和极小值f(２) [命题角度２]　利用导数求函数的极值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．(２０２５􀅰济南二模)已知函数f(x)＝(x－１)ex－ ax２＋b,曲线y＝f(x)在点(１,f(１))处的切线方 程为y＝(e－２)x＋３－e． (１)求实数a,b的值; (２)求f(x)的单调区间和极值． 　　 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤 (１)先求函数的定义域,再求函数y＝f(x)的导 数f′(x); (２)求方程f′(x)＝０的根; (３)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如 果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极 大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处 取得极小值．如果左右符号相同,则此根处 不是极值点． 易错警示:若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有 极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函 数,即在某区间上单调函数没有极值． [命题角度３]　已知极值求参数的取值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)在(０,＋∞)上有 两个极植,则实数a的取值范围为　　　　． ４．(２０２５􀅰苏州模拟)已知x＝x１ 和x＝x２ 分别是 函数f(x)＝２ax－ex２(a＞０且a≠１)的极小值 点和极大值点．若x１＜x２,则a 的取值范围是 　　　　． 　　 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 １．列式:根据极值点处导数为０和极值这两个 条件列方程组,利用待定系数法求解． ２．验证:因为某点处的导数值等于０不是此点 为极值点的充要条件,所以利用待定系数法 求解后必须验证根的合理性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第二章　函数、导数及其应用 考点二　利用导数研究函数的最值(师生共研) 数学运算———利用导数法求最值中的数学素养 　　利用导数法求解函数最值应该注意两个方面的 问题:一是函数的定义域,函数与其导函数的定义域 可能不一致;二是确定函数在某个区间上的最值时, 注意极值与最值的区别． [典例]　已知函数f(x)＝x－１x －lnx． (１)求f(x)的单调区间; (２)求函数f(x)在 １e ,e[ ] 上的最大值和最小值 (其中e是自然对数的底数)． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,首先 可判断函数在[a,b]上的单调性,若函数在[a, b]上单调递增或单调递减,则f(a),f(b)一个 为最大值,一个为最小值．若函数在[a,b]上不 单调,一 般 先 求 [a,b]上 f(x)的 极 值,再 与 f(a),f(b)比较,最大的即为最大值,最小的即 为最小值． 易错警示:求极值、最值时,要求步骤规范、表格 齐全;含参数时,要讨论参数的大小． [跟踪训练] 已知函数f(x)＝１＋klnx－１＋lnxx æ è ç ö ø ÷(k≠０)． (１)若f(x)存在最大值 M,证明:M＋k＞１; (２)在(１)的条件下,设函数g(x)＝xex＋ M－１ k －x, 求g(x)的最小值(用含 M,k的代数式表示)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　利用导数研究生活中的优化问题(课堂共研) [典例]　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米,高 为h米,体积为V 立方米．假设建造成本仅与表 面积有关,侧面的建造成本为１００元/平方米,底 面的建造成本为１６０元/平方米,该蓄水池的总 建造成本为１２０００π元(π为圆周率)． (１)将V 表示成r的函数V(r),并求该函数的定 义域; (２)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h 为何 值时该蓄水池的体积最大． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (１)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实 际问题的数学模型,写出相应的函数关系式 y＝f(x)． (２)求导数f′(x),解方程f′(x)＝０． (３)判断使f′(x)＝０的点是极大值点还是极小 值点． (４)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问 题中作答．一般地,对于实际问题,若函数在 给定的定义域内只有一个极值点,那么该点 也是最值点． [跟踪训练] (２０２５􀅰绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经 验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与 销售价格 x(单位:元/千克)满足 关 系 式 y＝ a x－３＋１０ (x－６)２,其中３＜x＜６,a为常数．已 知销售价格为５元/千克时,每日可售出该商品 １１千克． (１)求a的值; (２)若该商品的成本为３元/千克,试确定销售价格 x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 学习至此,请完成配套训练　课时冲关十七 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二 [子题1]解：图为f(x)=3x3-a,且f(x)在区间(1， [典例们[解](1)对fx)求导得了(x)=上-4 十)上为增函数，所以(x)≥0在(1，十o∞)上恒成立， 4x2 即3.x2一u≥0在(1，+o)上恒成立， 由x)在点(1,1D)处的切线垂直于直线y=豆， 所以≤3x2在(1，十oo)上恒成立，所以a≤3， 即4的取值范国为（一∞，3]. 知f1)=-是-a=-2,解得a=号 [子题2]解：由f(x)=3.x2-a≤0在(-1,1)上恒成立， 得a≥3.x在(-1,1)上位成立. 2由a物)=普+是-hx一是 3 因为一1<x1,所以3x<3,所以a≥3. 则f(x)=-4r-5 即当a的取值范国为[3，十∞)时，f(x)在（一1,1）上单 调递减. 4.x2 [子题3]解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为 令f(x)=0,解得x=-1或x=5, 因x=一1不在f(x)的定义域(0，十∞)内，故舍去. -3@,3@.3a=1,即4=3. 3 当x∈(0,5)时，(x)<0.故f(x)在(0,5)上单调递减： 33 当x∈(5，+∞)时，f(x)>0, [子题4]解：：f(.x)=x-a.x-1,∴.了(x)=3x2-a 故f(x)在(5，十∞)上单调递增 跟踪训练 显然a>0,由f(x)=0,得x=土3@ 31 解：(1)函数f(x)的定义战为R。 ,f(x)在区间（一1,1）上不单调， 由已知得了)=。一a. ∴0<30<1，得0<a<3, 3 :函数y=∫(x)的导函数是奇函数， 即a的取值范国为(0,3 f--f.脚。a=ta e 第12节 夯实·必备知识必备知识 解得a= 1.(1)极大值(2)极小值2.(3)左正右负左负右正 3.(1)极值(2)各极值函数值f(a),∫(b) (2)由(1)(r)=e +1a=1- 思考辨析(1)×(2)√(3)×(4)×(5)/(6)× eH-a. 小题查验 ①当a≥1时，(x)<0恒成立， 1.C2.A3.ABD4.-45.144 a∈[1，十oo)时，函数y=f(x)在R上单调递减. 跃升·关键能力考点一 ②当0<a<1时，由fz)>0,得(1-a)(e+1)>1,即e> 1.D[由题图可知，当x<一2时，f(x)>0:当一2<x<1 -1计亡。解得>n户。 时，(x)<0:当1<x<2时·f(x)<0:当x>2时， 广(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=一2处取得极 由f(x)<0,得(1-a)(e+1)<1, 大值，在x=2处取得极小值.门 即e<-1计己解得血已。 2.解：(1)广(x)=e+(x-1)e2-2ax=xe-2ax, 由题意知，f(1)=e-2a=e-2,所以a=1, a(0.1)时，画数y=fx)在（血已。+o）上单调 又因为f(1)=-1+b=(e-2)×1+3-e=1, 所以b=2. 增，在（∞，ln巴a)上单酒递减， (2)由(1)知，f(x)=xe'-2.x=x(e-2), 当x∈（-∞，0)时，f(x)>0;当x∈(0，ln2)时， 考点三 f(x)0: [母题][解](1)f(x)=3x°-a. 当r∈(1n2,+oo)时，f(x)>0. ①当a≤0时，了(x)≥0， 所以f(x)的单调增区间为（一∞，0），(1n2,十∞)，单调 所以f(x)在（一∞，十o∞）上为增函数. 递减区间为(0，ln2): 当x=0时，f(x)取得极大值f(0)=1: ②当>0时，令32-a=0,得x=士3@ 3 当x=ln2时，f(x)取得极小值fIn2)=2ln2-(In2). 当>友<-@时，>0： 3.解析：了(x)=lnx十1一2ux, 由题意知lnx十1一2a.x-0在(0，十cc)上有两个不相等 3 3 当-3@<<3时，fx)<0. 的实根，则2a=lnt十1 3 3 设g(x)=血+中1，则g(x=- 因此f(x)在 00, (+】 上单调递 当0<x<1时，g'(x)>0,g(x)单递增： 增，在一 V3a 3a 当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 上单调递减. 33 所以g(x)的极大值为g(1)=1, 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增： 又当x>1时，g(x)>0, 当a>0时，f(x)在 , /3 w√/3a 当x→十∞时，g(x)→0， 3: 上单 3 当x→0时，g(x)→一o∞， 调递增，在 3a3a 上单调递减。 所以0<2a<1,即0<a<2 (2)因为f(x)在（一∞，十o∞）上是增函数， 答案：(0，）】 所以f(x)=3x2一a≥0在（一∞，+o∞）上恒成立， 4.解析：了(x)=2(alna-ex)至少要有两个零点x= 即a≤3x对x∈R恒成主. =x:,f"(x)=2a'(In a):-2e. 因为3x≥0，所以只需a≤0. (1)若a>1,则“(.x)在R上单调递增，此时若"(xo)= 又因为a=0时，f(x)=3.x≥0，f(x)=x-1在R上 0,则f(x)在（一o,xn)上单调递减，在(x,十o)上单 是增函数，所以a0, 调递增，此时若有x=x1和x=x分别是函数f(.x) 即a的取值范围为（一o∞，0]. 2a一ex(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点， ·312· 参考答案 则x1>,不符合题意. 当x≤-1时，g'(x)<0,又g(0)=e-1<0, (2)若0<a<1,则"(x)在R上单调递减，此时若 (x)=0,则了(x)在(-o,x)上单调递增，在(xo,十 ∞)上单调造浅，且=ogn此时若有=和 所以存在工，∈(0， 1-M ,使得g(x1)=0, x=x分别是函数f(x)=2a'-ex(a>0且a≠1)的极 可知g(x)=g()=1e-, 小值点和板大值点，且<，别需满足了G)>0,脚品。 因为g(红，)=0，所以x,+1=e5+ >dog.<an→ha<in→ e 所以n(,+1D+x,=14. k dna<1-hhe,可解释<a<e,南于0<a< 由1)可知，lnx,=一1，即上=e山， e 取交集即释a<1 则l1+-+-. o 答案（日1） 所以ln(1+1)十x1=e0十。-1. 设(x)=ln(x十1)十x,易知A(x)单调递增， 考点二 且A(x1)=λ(e-1), [典例们[解](Dfx)=二-lnE=1-上-lnx, 所以x1=e0一1， f(x)的定义域为(0，+∞). 所以gr)=石。》-五=c1+1-c0=2 e'o 6-e0=1+M-1 由f(x)>0,得0<x<1,由f(x)<0,得x>1, 所以fx)=1一一1nx的单调递增区间为(0,1)，单调递 即g)的最小值为1+M-】 减区间为(1，十○). 考点三 [典例][解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100× (2由1得了)在[日上单朔超增，在[1.d上单 2πrh=200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水 调递减， 池的总成本为(200πrh十160πr2)元.又根据题意得 所以)在[日上的最大值为)=1一1-h1=0 200h+160r=1200x,所以A=(300-4r).从而 （日）=1-e- 1=2-e,f(e)=1 -In e= V)=xra=吾(30r-4r).南h>0,且>0可得0< -f(日)Ke. r<5√3，故函数V(r)的定义域为(0,53). 所以f田在[日e上的最小位为()=2-e (2)周为V(r)=吾(30r-4r).所以V() 球上所起，)在[日小上的最大值为0，最小值为2-心 若（300-12r).令V()=0,解得n-5-5(国为 =一5不在定义域内，含去). 跟踪训练 当r∈(0,5)时，V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增： 解：Df)=( 1-(1+nx) 当r∈(5,55)时，V(r)<0,故V(r)在(5,53)上单调递减. x _k(r+In z) 由此可知，V(r)在r=5处取得最大值，此时h=8.即当r =5,h=8时，该蓄水池的体积最大. 设g(x)=x十lnx,易知p(x)单调递增， 跟踪训练 又为9（）是-1<0g1)=1>0. 解：(1)因为x=5时，y=11, 所以受+10=11，即a=2 所以存在x∈（合，1使得x)=0 2 ①当k>0时，列表可知，f(x)在(0，x。)上单调递减，在 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y=一3十 (x,十∞)上单调递增， 10(x一6)，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 所以f(x)无最大值，即k>0不符合题意： ②当k<0时，列表可知，f(x)在(0，x。)上单调递增，在 )=-3》[2+10-6r] (x。,十∞)上单调递减， =2+10(x-3)(x-6)°，3<x<6. 1+In zo 从而，f(x)=10[(x-6)+2(.x-3)(x-6)] 所以f(x)m.=f(x)=1十klnx。 =30(.x-4)(x-6).令(.x)=0,得x=4或x=6. 因为x。十lnxn=0,所以lnx。=一x, 于是，当x变化时，(x),f(x)的变化情况如下表： 所以=1-+名-）>1- x (3,4) (4,6) 所以f(x)十k>1,即M十>1. f(z) + 0 、 (2)由(1)可知k<0,且M+k>1, 所以M1<-1. k f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 g(x)=(x+1)e早-1，g(x)=(x+2)e,令 由上表可得，x=4时，函数f(x)在区间(3.6)内的极大 ”(x)=0,解得x=一2， 值，点，也是最大值，点，所以，当x一4时，函数「(x)取得最 所以g'(x)在（一∞，一2）上单调递减， 大值，且最大值等于42.所以，当销售价格为4元/千克 在（一2，十∞）上单调递增. 时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. ·313·