第7讲 函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word

第7讲　函数的图象与性质 【备考指南】　函数的图象与性质、函数的零点是高考考查的重点和热点，主要考查函数图象的识别与应用、函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合应用，函数零点所在的区间及零点个数、求参数的取值范围等，难度中等及以上.多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 1.（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（　　） 1.确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象. 解析：B　由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝－（－x）2＋（e－x－ex）sin（－x）＝－x2＋（ex－e－x）sin x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f（1）＝－1＋（e－）sin 1＞－1＋（e－）sin＝－1＋－＞0，排除D.故选B. 2.若函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝（　　） A.0 B.－1 C.1 D.±1 2.f（x）为奇函数⇔f（－x）＝－f（x）（定义域为R的奇函数f（0）＝0），f（x）为偶函数⇔f（－x）＝f（x）.（定义域关于原点对称） 解析：C　法一（定义法）　因为函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C. 法二（特殊值法）　因为函数f（x）是奇函数，所以f（－1）＝－f（1），即－a2－1＝－（1＋a），解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C. 3.函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.1 B. C. D.7 3.对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则周期T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝f（x－a），则周期T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝±，则周期T＝2a（a＞0）. 解析：C　因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝，所以f（x＋4）＝＝＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f（2 025）＝f（1）＝＝. 4.（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2＋2x－3，则不等式f（2x－1）＞0的解集为（　　） A.（－∞，0）∪（1，＋∞） B.（0，）∪（1，＋∞） C.（0，）∪（，1） D.（－∞，0）∪（，1） 4.奇函数关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 解析：B　因为f（x）＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝0.因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（－1）＝0.由f（2x－1）＞0，可得2x－1＞1或－1＜2x－1＜0，解得x＞1或0＜x＜.即f（2x－1）＞0的解集为（0，）∪（1，＋∞）.故选B. 5.（2025·福建漳州模拟）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 5.f（x）－g（x）的零点⇔方程f（x）＝g（x）的根⇔y＝f（x）的图象和y＝g（x）图象的交点的横坐标. 解析：B　法一　∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且函数f（x）在定义域上是增函数，∴函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点. 法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两个图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点. 考点一　函数的图象 【例1】　（1）（2025·天津高考3题） 已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：D　由题图可知函数f（x）的定义域为{x｜x≠±1}，且f（x）为偶函数，易得f（x）＝与f（x）＝均为奇函数，排除选项A、B；由题图可知当x＞1时，f（x）＞0，易得当x＞1时，f（x）＝＜0，f（x）＝＞0，排除C.故选D. 【通性通法】　寻找函数图象与解析式对应关系的方法：从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图象的变化趋势，观察函数的单调性；从图象的对称性，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观察函数的周期性. （2）已知函数f（x）＝g（x）＝f（x－2）.若g（x－1）≥1，则x的取值范围为　[2，4]　. 解析：∵函数f（x）＝∴对应的图象如图所示，∵g（x－1）≥1，即f（x－3）≥1⇒－1≤x－3≤1⇒2≤x≤4，∴x的取值范围为[2，4]. 【瓶颈突破】　当方程或不等式不能用代数法求解，但其与函数有关时，常转化为两个函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解. 【训练1】　（1）函数y＝f（x）的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（　　） A.y＝f（1－x） B.y＝－f（1－x） C.y＝f（4－2x） D.y＝－f（4－2x） 解析：A　将f（x）关于y轴对称得f（－x），再向右平移1个单位长度，得f（－x＋1），最后横坐标伸长2倍得f（－x＋1），即得图2所示的函数. （2）（2025·豫西北教研联盟第二次质检）已知函数f（x）＝若a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则cf（c）的取值范围为（　　） A.（0，e] B.（0，e） C.（0，＋∞） D.（－，＋∞） 解析：A　因为f（x）＝所以当x＞0时，f（x）＝｜ln x｜＝所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（）＝f（e）＝1；当x≤0时f（x）＝2x，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（0）＝1，所以f（x）的图象如图所示.又a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），不妨令f（a）＝f（b）＝f（c）＝t，结合图象可知0＜t≤1且1＜c≤e，即0＜f（c）≤1，所以0＜cf（c）≤e，即cf（c）的取值范围为（0，e].故选A. 考点二　函数的性质 考向1　函数的单调性 【例2】　（2025·山东威海一模）已知函数f（x）＝＋x，若对∀x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有＜1，则（　　） A.a≤ B.a≤0 C.a≥－3 D.a≥1 解析：A　由题设，∀x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有＜0，所以f（x）－x＝在（1，3）上单调递减，易知y＝ax2－2x－1在（1，3）上单调递减，当a＝0时，y＝－2x－1满足题设，当a≠0时，⇒0＜a≤或⇒a＜0，综上，a≤.故选A. 【常用结论】　设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2： （1）＜0⇔（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上单调递减； （2）＞k⇔ ＞0⇔f（x）－kx在[a，b]上单调递增. 考向2　奇偶性、周期性与对称性 【例3】　（1）〔多选〕（2025·河南郑州第一次质量预测）关于函数f（x）＝2cos x＋（）cos x，下列结论正确的是（　　） A.函数f（x）的图象关于y轴对称 B.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 C.函数f（x）的最小正周期为2π D.函数f（x）的最小值为2 解析：ABD　f（x）＝2cos x＋（）cos x＝2cos x＋2－cos x.A正确，因为f（x）的定义域为R，f（－x）＝2cos（－x）＋2－cos（－x）＝2cos x＋2－cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称；B正确，因为f（π－x）＝2cos（π－x）＋2－cos（π－x）＝2－cos x＋2cos x＝f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称；C错误，因为f（x＋π）＝2cos（π＋x）＋2－cos（π＋x）＝2－cos x＋2cos x＝f（x），所以π是函数f（x）的一个周期，所以函数f（x）的最小正周期不是2π；D正确，f（x）＝2cos x＋（）cos x≥2＝2，当且仅当2cos x＝（）cos x，即x＝kπ＋，k∈Z时取等号.故选A、B、D. 【常用结论】　（1）若f（x＋a）为偶函数，则函数f（x）的对称轴为直线x＝a； （2）若f（x＋a）为奇函数，则函数f（x）的对称中心为（a，0）； （3）若f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝（2a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称； （4）若f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）对称. （2）〔创新命题角度〕（2025·山东日照一模）已知函数f（x）＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为（　　） A.（1，） B.（1，） C.（2，） D.（2，） 解析：C　由9－3x≠0，解得x≠2，可知f（x）的定义域为{x｜x≠2}，又因为f（2＋x）＋f（2－x）＝＋＝（＋）＝，所以函数f（x）的图象关于点P（2，）对称. 【常用结论】　（1）若函数f（x）满足关系式f（a＋x）＋f（a－x）＝2b，则函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称； （2）若函数f（x）满足关系式f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称. 【训练2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 解析：B　因为函数f（x）在R上单调递增，且当x＜0时，f（x）＝－x2－2ax－a，所以f（x）＝－x2－2ax－a在（－∞，0）上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1），所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增.若函数f（x）在R上单调递增，则－a≤f（0）＝1，即a≥－1，综上，a的取值范围是[－1，0].故选B. （2）已知定义在R上的函数f（x）在区间[－1，0]上单调递增，且满足f（4－x）＝f（x），f（2－x）＝－f（x），则f（k）＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：A　对于函数f（x）有f（4－x）＝f（x），则函数f（x）关于直线x＝2对称.由f（2－x）＝－f（x），则函数f（x）关于点（1，0）对称，所以f（4－x）＝－f（x－2），所以得f（x－2）＝－f（－x），则f（4－x）＝f（－x），故函数f（x）的周期为4，且f（－x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，因为函数f（x）在区间[－1，0]上单调递增，所以f（x）在[0，1]上单调递减，则函数f（x）的大致图象如图，由对称性可得f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（k）＝[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]×3＝0. 【常用结论】　（1）若f（x）的图象有两条对称轴x＝a，x＝b（a≠b），则f（x）为周期函数，周期为T＝2｜a－b｜； （2）若f（x）的图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a≠b），则f（x）为周期函数，周期为T＝2｜a－b｜； （3）若f（x）的图象关于x＝a成轴对称，同时关于（b，0）成中心对称，则f（x）为周期函数，周期为T＝4｜a－b｜. （3）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（）＝（　　） A.－1 B.－2 C.2 D.1 解析：B　因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，又当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（）＝f（8＋）＝f（）＝－f（－）＝－log2［－6×（－）＋2］＝－log24＝－2，故选B. 考点三　函数的零点 【例4】　（1）若函数f（x）＝x－，则方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：A　由f（x）＝x－＝则可作出函数f（x）＝x－的图象如图所示，由方程f2（x）－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，所以方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为3. 【通性通法】　判断函数零点个数的方法 （1）利用零点存在定理判断； （2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根； （3）几何法：转化为两个函数图象的交点求解. （2）（2025·江苏南京六校联合调研）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为　　（4，5）　　. 解析：由g（x）＝0，得f（x）＝1.当x≤1时，f（x）＝1，即ex－1＝1，所以ex＝2，所以x＝ln 2∈（－∞，1]，所以g（x）在（－∞，1]上有且只有1个零点. 法一（一元二次方程根的判定法）　因为函数g（x）有三个不同的零点，所以当x＞1时，f（x）＝1，即关于x的方程x2－4x＋a－1＝0有两个不相等的正实根，所以解得4＜a＜5.综上，若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（4，5）. 法二（数形结合法）　因为函数g（x）有三个不同的零点，所以当x＞1时，f（x）＝1，即关于x的方程a＝－x2＋4x＋1有两个不相等的正实根，即直线y＝a与函数y＝－x2＋4x＋1（x＞1）的图象有两个不同的交点，作出函数y＝－x2＋4x＋1（x＞1）的图象，如图所示，由图可知，4＜a＜5.综上，若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（4，5）. 【训练3】　（1）已知x0是函数f（x）＝（）x－x＋4的一个零点，若x1∈（2，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　） A.x0∈（2，4） B.f（x1）＞f（x2） C.f（x1）＜0，f（x2）＜0 D.f（x1）＞0，f（x2）＞0 解析：B　函数y＝（）x在区间（2，＋∞）上单调递减，函数y＝－x＋4在区间（2，＋∞）上单调递减，故函数f（x）＝（）x－x＋4在区间（2，＋∞）上单调递减，又f（2）＞0，f（3）＞0，f（4）＞0，f（5）＜0，所以x0∈（4，5），因为f（x0）＝0，x1∈（2，x0），x2∈（x0，＋∞），由函数f（x）的单调性知f（x1）＞0，f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2）.故选B. （2）（2025·湖南湘潭质检）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝（x＋a）（x－）2.若f（x）有且仅有3个零点，则关于x的不等式f（x）＞f（）的解集为　（－∞，－2）∪（2，＋∞）　. 解析：因为f（x）为偶函数，有且仅有3个零点，所以f（0）＝0，即（0＋a）（0－）2＝0，解得a＝0，即当x≥0时，f（x）＝x（x－）2，所以f（x）的零点为－，0，，满足题意.当x≥0时，f（x）＝x（x－）2＝x3－3x2＋x，f（）＝，由f（x）＞f（），得x3－3x2＋x－＞0，即（x－）2（x－2）＞0，解得x＞2.又f（x）为偶函数，所以f（x）＞f（）的解集为（－∞，－2）∪（2，＋∞）. 【通性通法】　利用函数零点的情况求参数值（范围）的方法 （1）直接法：利用零点存在定理构建不等式（组）确定参数的取值范围； （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. （时间：45分钟，满分：79分） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1.函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）的零点所在的区间是（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 解析：C　因为函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）在（－，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）最多只有一个零点.因为f（0）＝5－lg 1＝5＞0，f（1）＝3－lg 3＞0，f（2）＝1－lg 5＞0，f（3）＝－1－lg 7＜0，所以函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）的零点所在的区间是（2，3）.故选C. 2.（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：A　法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝1＋2x，所以f（－）＝1－＝－.故选A. 法二（优解）　f（－）＝f（）＝f（＋2）＝5－2×（＋2）＝－. 3.（2025·湖北武昌质检）已知函数f（x）＝x｜x｜，则关于x的不等式f（2x）＞f（1－x）的解集为（　　） A.（，＋∞） B.（－∞，） C.（，1） D.（－1，） 解析：A　由f（x）＝x｜x｜＝可知f（x）在R上单调递增，由f（2x）＞f（1－x），有2x＞1－x，即x＞.故选A. 4.函数f（x）＝（x＋）cos x的部分图象大致是（　　） 解析：D　f（x）＝（x＋）cos x的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝（－x－）cos（－x）＝－（x＋）cos x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故A错误；当x＞0，且x趋近0时，x＋＞0，cos x＞0，所以f（x）＞0，故C错误；当x＝π时，f（π）＝（π＋）cos π＝－（π＋）＜0，故B错误. 5.（2025·浙江杭州一模）设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）.若函数f（x）存在零点x0，则（　　） A.x0＜a B.x0＞a C.x0＜c D.x0＞c 解析：B　函数f（x）＝ex＋ln x的定义域为{x｜x＞0}，且y＝ex，y＝ln x均为增函数，故函数f（x）＝ex＋ln x是增函数，由于0＜a＜b＜c，故f（a）＜f（b）＜f（c），满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），说明f（a），f（b），f（c）中有1个负数2个正数或3个负数，且f（a）＜0恒成立，由于f（x）存在零点，故x0＞a.故选B. 6.已知函数f（x）＝e｜x｜－cos x，则f（），f（0），f（－）的大小关系为（　　） A.f（0）＜f（）＜f（－） B.f（0）＜f（－）＜f（） C.f（）＜f（－）＜f（0） D.f（－）＜f（0）＜f（） 解析：B　∵f（x）＝e｜x｜－cos x，∴f（－x）＝e｜－x｜－cos （－x）＝e｜x｜－cos x＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（）＝f（－）.当x＞0时，f（x）＝ex－cos x，则f'（x）＝ex＋sin x，当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＝ex＋sin x＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴f（0）＜f（）＜f（），即f（0）＜f（－）＜f（）. 7.（2025·山东烟台一模）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x＋4）＋f（x）＝0，f（x＋2）为奇函数，且f（1）＝1，则kf（2k－1）＝（　　） A.－9 B.0 C.1 D.9 解析：D　由f（x＋4）＋f（x）＝0⇒f（x）＝－f（x＋4），则f（x＋4）＝－f（x＋8），所以f（x）＝f（x＋8），即f（x）是周期为8的函数，由f（x＋2）为奇函数，则f（－x＋2）＝－f（x＋2），则f（－x）＝－f（x＋4），所以f（－x）＝f（x），即f（x）是偶函数，由f（1）＝f（－1）＝1，则f（3）＝f（5）＝－1，f（7）＝1，结合周期性，对于k∈N*，f（2k－1）依次为1，－1，－1，1，1，－1，－1，1，…，所以f（2k－1）是周期为4的函数，则f（1）＋2f（3）＋3f（5）＋4f（7）＝1－2－3＋4＝0，5f（9）＋6f（11）＋7f（13）＋8f（15）＝5－6－7＋8＝0，故kf（2k－1）＝9f（17）＝9. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8.关于函数f（x）＝lg（－1），下列说法正确的有（　　） A.f（x）的定义域为（－1，1） B.f（x）的图象关于y轴对称 C.f（x）的图象关于原点对称 D.f（x）在（0，1）上单调递增 解析：ACD　因为f（x）＝lg（－1）＝lg，则＞0，解得－1＜x＜1，所以f（x）的定义域为（－1，1），故A正确；因为f（－x）＝lg＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为y＝－1在（0，1）上单调递增，y＝lg x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝lg（－1）在（0，1）上单调递增，故D正确. 9.（2025·江苏海安、宿迁中学测试）下列可能是函数f（x）＝（其中a，b，c∈{－1，0，1}）的图象的是（　　） 解析：BCD　A选项中的图象关于y轴对称，是大于零的常函数，但是f（x）＝不能是大于零的常函数，A选项错误；B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为{x｜x≠0}，可得当c＝0，b＝0，a＝－1，函数f（x）＝－符合题意，B选项正确；C选项中的图象，由定义域得c＝1，由图象在y轴的截距为正得b＝1，当a＝0时，f（x）＝符合题意，C选项正确；D选项中的图象，由定义域得c＝－1，由图象在y轴的截距为零得b＝0，当a＝1时，f（x）＝符合题意，D选项正确. 10.（2025·全国Ⅰ卷8题改编）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系可能为（　　） A.x＞y＞z B.x＞z＞y C.y＞x＞z D.y＞z＞x 解析：ACD　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选A、C、D. 法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g（t），h（t）的图象，由图可知选A、C、D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 11.（2025·山东潍坊一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数f（x）＝　　log2x（答案不唯一，形如f（x）＝logax（a＞1）都可）　. ①f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；②f（x）在（0，＋∞）上是增函数. 解析：对于函数f（x）＝log2x，该函数的定义域为（0，＋∞），且该函数在（0，＋∞）上为增函数，满足性质②；对任意的x1，x2∈（0，＋∞），f（x1x2）＝log2（x1x2）＝log2x1＋log2x2＝f（x1）＋f（x2），满足性质①. 12.（2025·广东深圳模拟）设a∈R，函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝a（x－1）＋1.若y＝f（x）是R上的增函数，则a的取值范围为　　（0，1]　　. 解析：因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且f（0）＝0.当x＞0时，函数f（x）＝a（x－1）＋1＝ax＋1－a，当x＜0时，－x＞0，则f（x）＝－f（－x）＝ax＋a－1，所以f（x）＝因为函数y＝f（x）是R上的增函数，则有解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为（0，1]. 13.（2025·湖南长沙一中二模）若函数f（x）＝（）｜x｜＋m－1至少有一个零点，则m的取值范围为　　[0，1）　　. 解析：函数f（x）＝（）｜x｜＋m－1有零点，则方程（）｜x｜＋m－1＝0有解，即（）｜x｜＝1－m有解，因此函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，而函数y＝（）｜x｜是R上的偶函数，在[0，＋∞）上单调递减，函数y＝（）｜x｜的值域为（0，1]，在同一坐标系内作出函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m，如图，观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，所以m的取值范围为0≤m＜1. 【高考新风向】（14题6分，15题5分，共11分） 14.〔创新定义〕〔多选〕（2025·北京市第35中学一模改编）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”.则下列说法正确的是（　　） A.函数y＝x3＋x可以是某个圆的“太极函数” B.正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数” C.存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数” D.函数y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 解析：ABC　函数y＝x3＋x的图象关于原点中心对称，因此，它可以将圆的周长和面积同时等分，故A正确；正弦函数的图象关于原点中心对称，且可以通过适当选择圆心位置和半径，使得正弦函数的图象将圆的周长和面积同时等分，因此，正弦函数可以是无数个圆的“太极函数”，故B正确；如图，函数y＝g（x）是偶函数，A（0，1），D（，0），C（2，0），AB⊥BC，AD＝CD＝，BD＝CDcos∠ODC＝，于是S△BCD＝S△OAD，因此函数g（x）是圆x2＋y2＝4的一个太极函数，C正确；由选项C知，圆的太极函数可以是偶函数，它的图象不一定关于点中心对称，D错误.故选A、B、C. 15.〔创新设问〕已知函数f（x）＝若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）的取值范围为　［2，］　. 解析：令x＝＋kπ（k∈Z），解得x＝2k＋1（k∈Z），故当x∈[0，2]时，对称轴为直线x＝1，作出函数图象，如图所示，则x2＋x3＝2，因为f（x1）＝f（x2）＝f（x3），所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝f（x1）（x1＋2），又因为f（x1）＝－x1＋1，x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝f（x1）（x1＋2）＝（－x1＋1）（x1＋2）＝－－x1＋2＝－（x1＋）2＋，由f（x1）＝－x1＋1∈（1，2]可得x1∈[－1，0），则有－≤x1＋＜，则0≤（x1＋）2≤，所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝－（x1＋）2＋∈［2，］. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $