微突破4 数列中的放缩问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word

微突破4　数列中的放缩问题 【备考指南】　数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合，难度中等偏上，其核心技能是放缩技巧的应用. 1.已知数列{bn}的通项公式为bn＝，设数列{}的前n项和为Sn，求证：Sn＜. 1.和易求，先求和再放缩证明不等式. 证明：因为＝＝－. 则Sn＝－1＋－＋…＋－＝－1＜. 2.求证：＋＋＋…＋＜1（n∈N*）. 2.和不易求，先放缩再求和证明不等式. 证明：∵＜， ∴左边＜＋＋＋…＋＝＝1－＜1＝右边， ∴＋＋＋…＋＜1（n∈N*）. 【思维建模】　放缩法快解数列不等式 【例1】　（2025·广东广州二模）设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn和8的等差中项. （1）求数列{an}的通项公式； 解：（1）因为an是Sn和8的等差中项， 所以an＝，即Sn＝2an－8　①. 当n＝1时，S1＝2a1－8，得a1＝8. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－8　②， ①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，即＝2. 所以数列{an}是首项为8，公比为2的等比数列. 所以an＝8×2n－1＝2n＋2. （2）令bn＝log2an，数列{}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜. 解：（2）证明：因为bn＝log2an＝log22n＋2＝n＋2，得＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝（－）＋（－）＋…＋（－）＝－. 由于n≥1，得0＜≤，得≤－＜，所以≤Tn＜. 【瓶颈突破】　对于第（1）问，先通过等差中项，确定数列{an}的递推关系，再由an与Sn的关系求通项； 对于第（2）问，先确定数列{bn}的通项公式，观察通项公式特征，和易求，先求和再放缩证明不等式. 【例2】　设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； 解：（1）因为2Sn＝n2＋n　①， 当n≥2时，2Sn－1＝（n－1）2＋n－1　②， 所以①－②得2an＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n，即an＝n， 又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n. （2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，求T99； 解：（2）因为bn＝＝＝－， 所以T99＝b1＋b2＋…＋b99＝－1＋－＋…＋－＝－1＝9. （3）证明：＋＋＋…＋＞9. 解：（3）证明：因为＝＞＝－， 所以＋＋…＋＝＋＋…＋＞－1＋－＋…＋－＝－1＝9， 即＋＋＋…＋＞9. 【训练】　已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝－. （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列{bn}满足bn＝nan－1，证明：＋＋…＋＜. 解：（1）当n≥2时，an－4an－1＝－， 两边同除4n后得－＝－，所以 上述等式累加得－1＝－1＋，即＝，所以an＝. 又n＝1时，a1＝4满足an＝，故an＝（n∈N*）. （2）证明：由（1）得bn＝nan－1＝4n－1， 当n＝1时，＝＜，又＝＝≤， 则当n≥2时，＋＋…＋＜（1＋＋＋…＋） ＝·＝（1－）＝－·＜. 综上，对任意的n∈N*，＋＋…＋＜. 【瓶颈突破】　对于第（1）问，当n≥2时，观察数列的递推特征，变形可得－＝－，利用累加法求解即可，最后注意检验n＝1时的情形； 对于第（2）问，先验证n＝1时不等式成立，再根据n＝1时的值，确定放缩程度，再求解即可. （时间：20分钟，满分：30分） 解答题（共30分） 1.（15分）（2025·河北沧州一模）若数列{an}的前n项和为Sn，且an＞0，－2Sn＋an＝0. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜. 解：（1）当n＝1时，－2S1＋a1＝0，a1＝1或a1＝0（舍去）， 因为－2Sn＋an＝0，当n≥2时，－2Sn－1＋an－1＝0， 两式作差得－2Sn＋an－（－2Sn－1＋an－1）＝0， 即－－an－an－1＝0， 故（an＋an－1）（an－an－1－1）＝0， 又因为an＞0，所以an－an－1＝1（n≥2），且a1＝1， 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式为an＝n. （2）证明：由（1）可知，bn＝， 故Tn＝＋＋＋…＋＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式作差得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝（1－）－. 所以Tn＝（3－），因为＞0，所以Tn＜. 2.（15分）已知首项为3的正项数列{an}的前n项积为Tn＝. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn＞n－1. 解：（1）由题意得＝，＝， 所以＝＝，即＝， 两边取常用对数得lg ＝lg ， 则nlg an＋1＝（n＋1）lg an，所以＝＝…＝＝lg 3，所以数列{}为常数列，lg an＝nlg 3＝lg 3n，所以数列{an}的通项公式为an＝3n. （2）证明：由（1）知an＝3n，令bn＝＝＝1－， 所以Sn＝（1－）＋（1－）＋…＋（1－）＝n－2（＋＋…＋）， 又＜，所以＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝（1－）＜，故Sn＝n－2（＋＋…＋）＞n－1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $