微突破3 最值、范围问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word

微突破3　最值、范围问题 【备考指南】　近几年高考试题中，与数列有关的最值、范围问题既有解答题，也有选择题、填空题，难度中等或偏上. 1.在数列{an}中，an＝（n＋1）（）n，则数列{an}中的最大项是（　　） A.第6项 B.第8项 C.第6项和第7项 D.第7项和第8项 1.在数列{an}中，若an最大，则；若an最小，则 解析：C　由题意，可得（n＋1）（）n≥（n＋2）（）n＋1且（n＋1）（）n≥n（）n－1，所以即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项. 2.已知bn＝，则数列{bn}的最小项的值为（　　） A. B. C. D. 2.相邻项比较，作商（与1比较，要求是正项数列），或作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）. 解析：D　∵bn＝，且bn＞0，bn＋1＝，∴＝＝（）2.当＞1时，n＞＋1，∴当n≥3时，bn＜bn＋1.b1＝2，b2＝1，b3＝，∴当n＝3时，bn有最小值. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a1＝－11，当且仅当n＝6时Sn取得最小值，则d的取值范围为（　　） A.（，） B.（，） C.［，） D.［，） 3.求Sn最值的方法 （1）邻项变号法：当a1＞0，d＜0时，满足的m使得Sn取得最大值为Sm；当a1＜0，d＞0时， 满足的m使得Sn取得最小值为Sm； （2）把数列看成函数，利用函数的性质求最值. 解析：A　法一　因为当且仅当n＝6时Sn最小，所以a6＜0，a7＞0，则a1＋5d＜0，a1＋6d＞0，结合a1＝－11，可解得＜d＜. 法二　因为等差数列{an}中a1＝－11，所以Sn＝na1＋d＝d－11n＝n2－（11＋）n，又当n＝6时Sn取得最小值，所以d＞0，则＜＜，解得＜d＜. 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，且对任意的n∈N*，－Sn≤t2＋3t恒成立，则实数t的取值范围为（　　） A.（－∞，－5] B.（－∞，－5]∪[2，＋∞） C.[－5，0） D.[－5，0）∪[2，＋∞） 4.化归为关于参数的不等式. 解析：B　设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得又Sn＝na1＋d＝（n2－9n），所以当n＝4或5时，Sn取得最小值，最小值为－10，所以－Sn的最大值为10，由－Sn≤t2＋3t对任意的n∈N*恒成立，所以10≤t2＋3t，解得t≤－5或t≥2，所以实数t的取值范围是（－∞，－5]∪[2，＋∞）. 【思维建模】　数列中有关最值、范围问题的常见题型及解题策略 【例1】　设数列{an}的前n项积为Tn，满足TnTn－1＋2Tn＝2Tn－1（n∈N*，n≥2），且an≠0，a1＝. （1）求数列{an}的通项公式an； 解：（1）由TnTn－1＋2Tn＝2Tn－1，得－＝. 又＝＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列， 所以＝＋（n－1）＝，所以Tn＝， 所以an＝＝（n≥2）. 因为n＝1时，a1＝符合上式，所以an＝. （2）若数列{bn}满足bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Sn的最值. 解：（2）由（1）知，an＝， 所以bn＝an＋＝＋＝－＋2. 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（－＋2）＋（－＋2）＋…＋（－＋2）＝－＋2n， 显然Sn＝－＋2n在n∈N*上单调递增， 所以当n＝1时，Sn取得最小值，无最大值. 【易错提醒】　利用数列和式的单调性求其最值，要首先判断其单调性，且注意数列中的n≥1，n∈N*. 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝2an＋1－3. （1）求数列{an}的通项公式； 解：（1）因为S1＝2a2－3且S1＝a1＝，所以a2＝， 由Sn＝2an＋1－3，可得Sn－1＝2an－3（n≥2）， 两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， 易知an≠0，所以＝， 又＝，所以对任意的n∈N*，＝， 所以{an}是首项和公比均为的等比数列，所以an＝a1×qn－1＝（）n. （2）若cn＝，求使cn取得最大值时的n的值. 解：（2）由（1）可得cn＝（）n（n2＋n）， 当n≥2时，由＝＝＞1，可得n＜5. 故当n＜5时，c1＜c2＜c3＜c4，当n＞5时，c5＞c6＞c7＞…， 又当n＝4时，c4＝（）4（42＋4）＝， 当n＝5时，c5＝（）5（52＋5）＝， 所以c4＝c5，所以c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞c7＞…， 综上，当n＝4或n＝5时，cn取得最大值. 【通性通法】　求n的值或最值，一般涉及数列的项或前n项和的最值与范围，通常化归为解关于n的不等式，或根据数列的单调性求解. 【训练1】　（2025·江苏南京、盐城一模）已知数列{an}的前n项和Sn满足＝an＋（1－n）t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2. （1）求t的值； 解：（1）因为＝an＋（1－n）t，n∈N*， 所以＝a2－t，又S2＝a1＋a2，所以a2－a1＝2t. 又a2＝a1＋2，所以t＝1. （2）证明：{an}为等差数列； 解：（2）证明：由（1）可得＝an＋1－n，n∈N*，所以Sn＝nan＋n－n2， 因此Sn＋1＝（n＋1）an＋1＋n＋1－（n＋1）2， 两式相减得an＋1＝（n＋1）an＋1－nan－2n， 整理得an＋1－an＝2，n∈N*，所以{an}为等差数列. （3）若n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，求a1的取值范围. 解：（3）由（2）得Sn＝na1＋×2＝n2＋（a1－1）n， 由n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，得得1＜a1＜3＋. 因为1＜a1＜3＋对∀n∈N*恒成立， 所以1＜a1≤3，故a1的取值范围为（1，3]. 【易错提醒】　切勿由n2＜Sn＜（n＋1）2，取n＝1直接得答案，n2＜Sn＜（n＋1）2相当于恒成立问题，应由Sn的关系式列不等式组求解. 【训练2】　（2025·辽宁葫芦岛一模）设数列{an}是公差大于1的等差数列，{an}，{bn}满足＝－，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，且2a1＝a2，S2＋T2＝16. （1）求{an}的通项公式； 解：（1）设数列{an}的公差为d，d＞1， ∵2a1＝a2，∴2a1＝a1＋d，解得a1＝d，a2＝2d， ∴S2＝a1＋a2＝3d， 由＝－，可知＝，b1＝＝，＝，b2＝＝＝， 又T2＝b1＋b2＝＋＝，∴S2＋T2＝3d＋＝16， 即3d2－16d＋5＝0，解得d＝5或d＝（舍去）， ∴an＝a1＋（n－1）d＝5n. （2）若存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2＜3，求实数t的取值范围. 解：（2）由（1）知an＝5n， 又＝－，可得＝，解得bn＝n＋， ∴{bn}为等差数列，故Tn＝＝＝， ∵存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2＜3，即（10Tn－9n）min＋t＋t2＜3， 又10Tn－9n＝n2－6n＝（n－3）2－9，∴＝－9， 故－9＋t＋t2＜3，整理得t2＋t－12＜0，解得－4＜t＜3. ∴实数t的取值范围是（－4，3）. （时间：30分钟，满分：48分） 一、单项选择题（每小题5分，共10分） 1.（2025·湖北武汉四调）已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为（　　） A.－9 B.－7 C.－3 D.－19 解析：D　令an＝2n－11＜0，因为n∈N*，所以解得n＝1，2，3，所以数列{an}的前3项为负，从第4项起为正，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19.故选D. 2.（2025·山东临沂二模）已知{an}为正项等差数列，若4a3－a7＝8，则a1a3的最大值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 解析：C　4a3－a7＝4（a1＋2d）－（a1＋6d）＝3a1＋2d＝8，解得a1＝，由于{an}为正项等差数列，则解得0＜d＜4，a1a3＝·（＋2d）＝＝（8－2d）（4＋2d）≤·（）2＝8，当且仅当d＝1，a1＝2时等号成立，所以a1a3的最大值为8.故选C. 二、多项选择题（6分） 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a4＋a11＞0，a7·a8＜0，则（　　） A.数列{an}是递增数列 B.S6＞S9 C.当n＝7时，Sn最大 D.当Sn＞0时，n的最大值为14 解析：BCD　∵在等差数列{an}中，a1＞0，a4＋a11＝a7＋a8＞0，a7·a8＜0，∴a7＞0，a8＜0，∴公差d＜0，数列{an}是递减数列，A错误；∵S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＜0，∴S6＞S9，B正确；∵a7＞0，a8＜0，数列{an}是递减数列，∴当n＝7时，Sn最大，C正确；∵a4＋a11＞0，a7＞0，a8＜0，∴S14＝＝＞0，S15＝＝＜0，∴当Sn＞0时，n的最大值为14，D正确.故选B、C、D. 三、解答题（共32分） 4.（15分）（2025·河南焦作二模）已知等差数列{an}满足2a2＋a3＝0，a4＝10，数列{bn}的首项为9，且{an＋bn}是公比为2的等比数列. （1）求{an}的通项公式； （2）探究{bn}的单调性，并求其最值. 解：（1）设数列{an}的公差为d， 由题可得解得所以an＝a1＋（n－1）d＝－8＋6（n－1）＝6n－14， 即数列{an}的通项公式为an＝6n－14. （2）因为b1＝9，a1＝－8，所以a1＋b1＝1，又an＝6n－14， 由题知an＋bn＝6n－14＋bn＝1·2n－1＝2n－1，得到bn＝2n－1－6n＋14， 所以bn＋1－bn＝2n－1－6， 当n＝1，2，3时，bn＋1－bn＜0， 当n≥4时，bn＋1－bn＞0， 所以b1＞b2＞b3＞b4＜b5＜b6＜…， 故数列{bn}先单调递减后单调递增，且数列{bn}有最小值，最小值为b4＝－2，无最大值. 5.（17分）已知数列{an}满足：an＋1＝an＋（）n＋1，且a1＝－.设{an}的前n项和为Tn，bn＝3n·an. （1）证明：{bn}是等差数列； （2）求Tn； （3）若不等式Tn＋≤tan对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围. 解：（1）证明：因为bn＝3n·an， 所以bn＋1＝3n＋1·an＋1， bn＋1－bn＝3n＋1·an＋1－3n·an ＝3n＋1［an＋（）n＋1］－3n·an＝1， 且b1＝－2，所以{bn}是以－2为首项，且公差为1的等差数列. （2）由（1）知，bn＝n－3， 所以an＝＝（）n·（n－3）. 则Tn＝（－2）·（）1＋（－1）·（）2＋0·（）3＋…＋（n－4）·（）n－1＋（n－3）·（）n，Tn＝（－2）·（）2＋（－1）·（）3＋0·（）4＋…＋（n－4）·（）n＋（n－3）·（）n＋1， 两式相减得Tn＝－＋（）2＋（）3＋（）4＋…＋（）n－（n－3）·（）n＋1＝－＋－（n－3）·（）n＋1＝－－（－）·（）n， 因此Tn＝－－（－）·（）n. （3）由Tn＋≤tan， 得－（－）·（）n≤t（n－3）·（）n， 依题意，t（n－3）≥对n∈N*恒成立， 当1≤n＜3时，t≤＝－－×， －－×≥－，则t≤－； 当n＝3时，不等式恒成立； 当n＞3时，t≥＝－－×，－－×＜－，则t≥－， 于是－≤t≤－， 综上，实数t的取值范围是［－，－］. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $