第5章 概率 复习(高效培优讲义)高一数学湘教版必修第二册

该高中数学概率复习讲义通过知识框架图系统梳理随机事件与样本空间、概率基本性质及运算、用频率估计概率三大模块，用对比表格清晰呈现互斥事件与独立事件的区别，思维导图直观展示事件关系及运算性质，突出概率加法公式与乘法公式、互斥对立事件、事件独立性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，“即学即练”即时巩固概念如随机事件判断，“典例+变式”深度突破概率计算（如古典概型、独立事件概率）、用频率估计概率（如米谷粒分问题）等题型，培养学生逻辑推理与数据观念。易错点提示帮助学生规避认知误区，分层题目满足不同层次学生需求，为教师实施精准复习教学提供有力支持。

第五章 概率 复习讲义 教学目标 巩固对随机事件、样本空间、概率的基本性质、概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性、频率、用频率估计概率等知识的理解与掌握. 教学重点 概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性、用频率估计概率. 教学难点 概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性. 知识点01 随机事件与样本空间 （一）确定性现象与随机现象 1. 在一定条件下必然发生(出现)的现象称为确定性现象. 2. 在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果. 我们把这种现象称为随机现象. （二）随机试验、样本点与样本空间 1. 随机试验：对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验. 随机试验一般用大写字母E表示. 2. 样本点：对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用ω(或带下标)表示. 3. 样本空间：将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Ω表示. 用集合的语言描述时，试验的样本空间是该试验所有样本点构成的全集，样本点是该全集的元素. 它们之间的关系可用如图刻画. （三）事件 1. 基本事件：由一个样本点组成的集合，称为基本事件. 当试验结果(即试验的样本点)ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生，即样本点ω∈A和事件A发生等价. 2. 必然事件：Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生. 我们称样本空间Ω是必 然事件. 3. 不可能事件 空集⌀也是Ω的子集，所以空集⌀是事件. 空集⌀中没有样本点，永远不会发生，所 以我们称⌀是不可能事件. 4.随机事件：一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的子集A是Ω的随机事件，简称为事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示. 5.样本空间与事件 必然事件：一定会发生的事件，本身； 随机事件：样本空间的子集. 不可能事件：一定不会发生的事件，. 6.易错点： (1)样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果； (2)注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合； (3)在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 （四）事件的关系及运算 1.包含关系：事件发生则事件一定发生. 符号：. 2.相等关系：且. 符号：. 3.并事件（和事件）：事件与事件至少有一个发生. 符号：. 4.交事件（积事件）：事件与事件同时发生. 符号：（或）. 5.互斥事件：事件与事件不能同时发生. 符号： 6.对立事件：且 符号：.即与互补. 7.事件的运算性质 (1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A； (2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)； (3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)； (4) =∩， =∪. 【即学即练1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 【即学即练1-2】（多选）（23-24高一下·江西景德镇·期中）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 概率的基本性质及运算 （一）概率 1. 定义 设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同. 当Ω中的事 件A包含了m个样本点时，称P(A)= 为事件A发生的概率，简称为A的概率. 2. 概率的基本性质 性质1：对任意事件，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3：如果事件与事件互斥，那么. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么. 性质5：如果，那么. 性质6： 设，是一个随机试验中的两个事件，有. （二）古典概型及其特征 1. 定义：我们把概率定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 2. 特点 (1)样本空间中只有有限个样本点； (2)每个样本点出现的可能性相等. 3. 计算公式：P(A)= . （三）事件的独立性 1.事件的相互独立 设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立. 注意：当三个事件、、两两独立时，一般不成立. 2.已知两个事件A，B，那么 （1）A，B中至少有一个发生为事件A+B. （2）A，B都发生为事件AB. （3）A，B都不发生为事件 . （4）A，B恰有一个发生为事件A+B. （5）A，B中至多有一个发生为事件A+B+. 3.事件的相互独立性 （1）事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响. （2）若事件A，B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B). （3）若事件A，B相互独立，则事件A与与B， 与也相互独立. （4）相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生， 记作：A∩B(或AB) 互斥事件A，B中有一个发生， 记作：A∪B(或A+B) 公式 P(A∩B)=P(A)·P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B) 4.利用事件的独立性求概率 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. （1）对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率； 另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率. （2）当直接计算事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 【即学即练2-1】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练2-2】(多选)（24-25高二上·河北保定·开学考试）已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 用频率估计概率 （一）频率与概率 1.设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次， 则称Fn(A)= 是n次独立重复试验中事件A发生的频率. 2.一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大； 反之，如果Fn(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系. 3.在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估计. 4.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画， 但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性； 而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性； 因此频率不能完全反映概率. （二）用频率估计概率 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 2.用频率估计概率的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率. 【即学即练3-1】（2025高一·全国·专题练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【即学即练3-2】(多选)（2025高一·全国·专题练习）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 题型01 随机事件与样本空间 【典例1-1】（24-25高一下·河北邯郸·期末）某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（   ） A．“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B．“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C．“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D．“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 【典例1-2】（24-25高一下·吉林长春·期末）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【典例1-3】(多选)（21-22高一上·辽宁大连·期末）下列说法不正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【典例1-4】（20-21高一·全国·课后作业）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有________个样本点． 【变式1-1】（24-25高一下·云南楚雄·期末）从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（   ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件用样本点表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【变式1-4】（2023高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B．若，为两个事件，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与相互对立 【变式1-5】(多选)（23-24高一下·四川达州·期末）某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（    ）． A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 【变式1-6】（22-23高一下·河北衡水·期末）打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示_______． 题型02 概率的计算 【典例2-1】（22-23高一上·辽宁·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【典例2-4】（24-25高一下·河南商丘·期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 【变式2-1】（22-23高一下·广东广州·期末）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（    ） A．在有放回简单随机抽样方式下， B．在不放回简单随机抽样方式下， C．在按性别等比例分层抽样方式下， D．在按性别等比例分层抽样方式下， 【变式2-2】（25-26高一上·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·陕西渭南·期末）现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2025高一上·全国·专题练习）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【变式2-6】（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 题型03 概率加法公式与乘法公式 【典例3-1】（24-25高一下·福建莆田·期末）若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【典例3-2】（25-26高一上·北京房山·期末）甲､乙两人独立破译同一密码，甲破译密码成功的概率为0.3，乙破译密码成功的概率为0.4.则密码被成功破译的概率为（    ） A．0.7 B．0.42 C．0.46 D．0.58 【典例3-3】(多选)（24-25高一上·江西南昌·期末）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【典例3-4】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【变式3-1】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知事件，互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·安徽·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江西景德镇·期末）口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023高二上·山西·学业考试）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【变式3-5】(多选)（24-25高一上·山东日照·期末）现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【变式3-6】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 题型04 用频率估计概率 【典例4-1】（24-25高一下·安徽亳州·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．163石 D．169石 【典例4-2】（25-26高二上·广东·阶段检测）抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（    ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49 【典例4-3】(多选)（2024高一·全国·专题练习）下列结论错误的是（　　） A．若事件的概率为，则必有 B．若事件的概率，则事件是必然事件 C．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为 D．某奖券中奖率为，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 【典例4-4】（22-23高二下·广东揭阳·期中）为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是__________. 【变式4-1】（22-23高一下·全国·课后作业）某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上出现了6次，若用表示正面朝上这一事件，则的频率为（    ） A． B． C．6 D．接近 【变式4-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（25-26高二上·贵州·阶段检测）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)（21-22高一·全国·单元测试）某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【变式4-6】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有_________个. 一、单选题 1.（20-21高一·全国·课后作业）已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为 10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是（   ） A．0.10 B．0.12 C．0.15 D．0.18 2.（24-25高一下·北京丰台·期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（   ） A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中 3.（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高三·全国·一轮复习）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（   ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 6.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 7.（23-24高二上·广东佛山·阶段检测）已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（    ） A．2 B．4 C．6或2 D．8或4 8.（25-26高二上·湖北·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9.（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 10.（25-26高一下·安徽安庆·月考）下列说法正确的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 11.（2025高一·全国·专题练习）（多选）某疫苗在不同实验中平均效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力．关于注射疫苗，下列说法正确的有（    ） A．只要注射该种疫苗，就一定不会感染其所预防疾病 B．注射该种疫苗，能使其所预防疾病感染的风险大大降低 C．若对照组10000人，发病100人，疫苗组20000人，发病40人，则效力为80% D．如果某疫苗组的效力为80%，对照组的发病率为50%，那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病 三、填空题 12.（25-26高一上·江西南昌·期末）学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽中“手工篆刻”的概率为__________． 13.（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 14.（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A、B为互斥事件，且，则______． 四、解答题 15.（24-25高一下·全国·课后作业）从学号为1，2，3，4，5，6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1，3，5号同学为男生，2，4，6号同学为女生，记：“选出1号同学”，“选出2号同学”，“选出3号同学”，“选出4号同学”，“选出5号同学”，“选出6号同学”，“选出的同学学号不大于1，”“选出的同学学号大于4，”“选出的同学学号小于6，”“选出的同学学号小于7”“选出的同学学号大于6”“选出的同学学号为偶数”，“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题： (1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？ (2)如果事件发生，则一定有哪些事件发生？ (3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？在集合中，事件H与这些事件之间有何关系？ (4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？ (5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？ 16.（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 17.（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 18.（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 19.（23-24高一下·甘肃武威·期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章概率复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01随机事件与样本空间 题型01随机事件与样本空间 第五章概率复习 题型02概率的计算 题型03概率加法公式与乘法公式 知识点02概率的基本性质及运算 题型04用频率估计概率 主题03用频率估计概率 教学目标、教学重难点 巩固对随机事件、样本空间、概率的基本性质、概率的加法公式与乘法公式、互斥事件 教学目标 与对立事件、事件的独立性、频率、用频率估计概率等知识的理解与掌握 教学重点 概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性、用频率估计概率， 教学难点 概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性. 知识清单 知识点01随机事件与样本空间 (一)确定性现象与随机现象 1.在一定条件下必然发生（出现）的现象称为确定性现象 2.在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现 哪种结果.我们把这种现象称为随机现象. (二)随机试验、样本点与样本空间 1.随机试验：对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验.随机试验一般用大写字母E表示 2.样本点：对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用①（或带下标）表示 3.样本空间：将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Q表示 用集合的语言描述时，试验的样本空间是该试验所有样本点构成的全集，样本点是该全集的元素.它们之 间的关系可用如图刻画. (三)事件 1.基本事件：由一个样本点组成的集合，称为基本事件 当试验结果（即试验的样本点）ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生，即样本点o∈A和事件A发生 等价。 2.必然事件：2也是2的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生.我们称样本空间Q是必 然事件。 3.不可能事件 第1页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 空集⑦也是Q的子集，所以空集⑦是事件.空集⑦中没有样本点，永远不会发生，所 以我们称⑦是不可能事件」 4.随机事件：一般地，当Q是试验的样本空间时，我们称Q的子集A是Ω的随机事件，简称为事件，一般用 大写字母A,B,C,…来表示 5.样本空间n与事件 必然事件：一定会发生的事件，2本身： 随机事件：样本空间的子集」 不可能事件：一定不会发生的事件，Ω=Φ. 6.易错点： (1)样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果； (2)注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合： (3)在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 (四)事件的关系及运算 1.包含关系：事件A发生则事件B一定发生 符号：ASB 2.相等关系：ASB且BSA. 符号：A=B. 3.并事件（和事件）：事件A与事件B至少有一个发生. 符号：AUB. 4.交事件（积事件）：事件A与事件B同时发生. 符号：A∩B（或AB). 5.互斥事件：事件A与事件B不能同时发生。 符号：AnB=D. 6.对立事件：AUB=2且A∩B=①. 符号：B=A.即A与B互补. 7.事件的运算性质 (1)AUB=BUA,A∩B=B∩A: (2)(AUB)UC=AU (BUC),(AnB)nC=An (Bnc); (3)(AUB)nC=(Anc)U(Bnc),cn (AUB)=(CnA)U(CnB): (4)AUB-AnB,AnB=AUB. 【即学即练1-1】(24-25高一下·全国·课后作业)从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是 必然事件的是() A.3个都是男生B.至少有1个男生C.3个都是女生 D.至少有1个女生 【即学即练1-2】（多选）(23-24高一下·江西景德镇期中)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚 第2页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 炮弹，记事件A为“两次都击中飞机”，事件B为“两次都没击中飞机”，事件C为“恰有一次击中飞机”，事件D 为“至少有一次击中飞机”，则() A.A≤D B.B∩D=0 C.A+C=D D.A+C=B+D 知识点02概率的基本性质及运算 (一)概率 1.定义 设试验的样本空间2有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同.当2中的事 件A包含了m个样本点时，称P(A)=四为事件A发生的概率，简称为A的概率 2.概率的基本性质 性质1：对任意事件A,都有0≤P(A)≤1. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Q)=1,P(D)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B): 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1. 性质5：如果A∈B,那么P(A)≤P(B) 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB) (二)古典概型及其特征 1.定义：我们把概率定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 2.特点 (1)样本空间中只有有限个样本点： (②)每个样本点出现的可能性相等。 3.计算公式：PA)=A中的样本点个数 2中的样本点个数 (三)事件的独立性 1.事件的相互独立 设A,B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称为独立 注意：当三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立 2.已知两个事件A,B,那么 (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB. (3)A,B都不发生为事件AB. (4)A,B恰有一个发生为事件AB+BA (5)A,B中至多有一个发生为事件AB+BA+AB. 3.事件的相互独立性 (1)事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响. (2)若事件A,B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B). 第3页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若事件A,B相互独立，则事件A与B,A与B,A与B也相互独立. (4)相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 相互独立事件A,B同时发生， 互斥事件A,B中有一个发生， 符号 记作：AnB(或AB) 记作：AUB(或A+B) 公式P(A∩B)=P(A)·P(B) P(AUB)=P(A)+P(B) 4.利用事件的独立性求概率 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率， (1)对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率： 另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生（乘法）求出概率。 (2)当直接计算事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 【即学即练2-1】(24-25高一下.内蒙古呼伦贝尔期末)已知事件A,B互斥，且P(AUB)=子，P(A)=3P(B), 则P(⑧=() A君 B. c 0.8 【即学即练2-2（多选）(24-25高二上·河北保定开学考试)已知事件A,B,C两两互斥，若P(A)=P(AUB)= 各P(4u0=吾则() A.PBnC)=克 B.P(8)=吉 C.P(BUC= D.p(=吉 知识点03用频率估计概率 (一)频率与概率 1.设2是某个试验的样本空间，A是2的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次， 则称R,A)=·次试验中A发生的次数是n次独立重复试验中事件A发生的频率 n 2.一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大： 反之，如果F(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大 因此，频率与概率间应有紧密的联系。 3.在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用F.(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增 加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A),即Fn(A)是P(A)的 估计. 4.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画， 但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性： 而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性： 第4页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此频率不能完全反映概率， (二)用频率估计概率 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率 频率本身是随机变化的，当很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率， 2.用频率估计概率的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率 【即学即练3-1】(2025高一全国.专题练习)小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上 的点数都是2，则下列说法正确的是() A.朝上的点数是2的概率和频率均为1B.若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C.抛掷第6次，朝上的点数一定不是2D.抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【即学即练3-2】（多选）(2025高一全国.专题练习)教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800 米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 328 329 330" 331” 332” 335” 337 340” 乙 325 327” 330 330 333" 335” 338 345” 若比赛成绩在330”以下（含330）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有() A.乙比赛成绩优秀的概率为 B.甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C.甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D.为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 题型精讲 题型01随机事件与样本空间 【典例1-1】（24-25高一下·河北邯郸期末)某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发 芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是() A.“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B.“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C.“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D.“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 【典例1-2】(24-25高一下·吉林长春，期末)从装有除颜色外其他完全相同的2个红球（编号为1、2）和2 个白球（编号为1、2）的口袋内任取2个球，则互斥且不对立的两个随机事件是() A.至少有1个白球，都是白球 B.至少有1个白球，至少有1个红球 C.恰有1个白球，恰有2个白球 D.至少有1个白球，都是红球 【典例1-3】（多选)(21-22高一上辽宁大连，期末)下列说法不正确的是() 第5页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.若A,B为两个事件，则“A与B互斥"是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B.若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B相互对立 【典例1-4】（20-21高一全国·课后作业)做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x,y)表示结果，其中x表示红 色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有 个样本点. 【变式1-1】(24-25高一下·云南楚雄期末)从1~5这5个整数中随机抽取1个数，记事件A=“抽到小于3 的数”，事件B=“抽到大于2的数”，事件C=“抽到大于1的奇数”，则（) A.A和B不互斥B.A和B互斥且不对立C.A和C不互斥D.A和C互斥且不对立 【变式1-2】（2024高一下·全国.专题练习)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于 10,事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件A∩B用样本点表示为( ) A.{(5,5)} B.{(4,6),(5,5)} C.{(6,5),(5,5)} D.{(4,6),(6,4),(5,5)} 【变式1-3】(25-26高一上江西南昌·期末)给出关于满足A二B的非空集合A,B的四个命题，其中错误的 命题是() A.若任取x∈A,则x∈B是必然事件 B.若任取x庄A,则xEB是不可能事件 C.若任取x∈B,则x∈A是随机事件 D.若任取x度B,则x度A是必然事件 【变式1-4】(2023高一下.全国.专题练习)下列说法正确的是() A.若A,B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立"的必要不充分条件 B.若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B相互对立 【变式1-5】（多选）(23-24高一下四川达州期末)某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名 同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况.袋子里有大小、质地完全 相同的2个黄球、2个白球，共4个球.这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且 摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛.记事件A=“决赛两人来自同一个班”，事件B=“决赛两人来自 不同班”，事件C=“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件D=“后进行半决赛两人来自不同班”.则(). A.P(AUB)=1 B.A与B互斥但不对立 C.C与D对立 D.P(A)+P(B)=P(C)+P(D) 【变式1-6(22-23高一下河北衡水期末)打靶3次，事件A,="击中i发”，其中i=0,1,2,3.那么A=A1UA2U 第6页共16页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A3表示 题型02概率的计算 【典例2-1】(22-23高一上·辽宁期末)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方 式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12 组随机数：137,960,197,925,271,815,952,683,829,436,730,257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命 中的概率为() A. B.8 c 0 【典例2-2】(25-26高一上·贵州遵义·期末)购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越 受欢迎若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩 偶的概率为() A.27 1 C. 0. 【典例2-3】（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽期末)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一 个，有放回地取3次，则下列说法正确的是() A.取出的3个球颜色相同的概率为号 B.取出的3个球颜色不全相同的概率为号 C.取出的3个球颜色全不相同的概率为 D.取出的3个球无红球的概率为 【典例2-4】(24-25高一下河南商丘·期末)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3 张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为一· 【变式2-1】(22-23高一下广东广州期末)从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两 人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则() A.在有放回简单随机抽样方式下，P(A)= B.在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=} C.在按性别等比例分层抽样方式下，P(A= D.在按性别等比例分层抽样方式下，P(B)=1 【变式2-2】(25-26高一上江西吉安期末)班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选 出2人，则恰好2人都是男生的概率是() A品 B.号 C. 0. 【变式2-3】(25-26高一上·陕西渭南·期末)现从①y=sinx,②y=cosx,③y=4,④y=x3这4个函 数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为() 第7页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. B. C. 【变式2-4】(2025高一上·全国专题练习)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑 板上写出2,3,4，，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦 去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去.若最后剩下的两个数为互质数 (公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数)，则判甲胜；否则判 乙胜.按照这种游戏规则，甲获胜的概率是() A器 B.8器号 c器 0.器 【变式2-5】（多选）(23-24高一下·内蒙古通辽期末)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一 个，有放回地取3次，则下列说法正确的是() A.取出的3个球颜色相同的概率为 B.取出的3个球颜色不全相同的概率为 C.取出的3个球颜色全不相同的概率为号 D.取出的3个球无红球的概率为 【变式2-6】(25-26高一下河北衡水阶段检测)从1,2,3,4,5中随机取出3个数，其和记为a,其余两 个数之积为b,则a>b的概率为 题型03概率加法公式与乘法公式 【典例3-1】(24-25高一下.福建莆田·期末)若P(AUB)=0.9,P(A)=0.7,P(B)=0.5,则P(AnB)=() A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2 【典例3-2】（25-26高一上北京房山期末)甲、乙两人独立破译同一密码，甲破译密码成功的概率为0.3， 乙破译密码成功的概率为0.4.则密码被成功破译的概率为（) A.0.7 B.0.42 C.0.46 D.0.58 【典例3-3】（多选）（24-25高一上·江西南昌·期末)（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是() A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 },那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为， B.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之 和为奇数的概率为 C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜 色球的概率为 D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为号，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是号 第8页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例3-4】(25-26高一上上海普陀期末)已知事件A与事件B互斥，它们都不发生的概率为好，且P(A)= 3P(B),则P(B)= 【变式31】(24-25高一下河北雄安期末)己知事件A,B互斥，P(AUB)=号且P(A=3P(8),则P④= () A.0 B.贵 c.8 【变式32】(25-26高一上安徽期末)甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为号，乙 能破译密码的概率为号，则这份密码被成功破译的概率为〔） A B. 8 C. D. 【变式33】（25-26高一上江西景德镇期末)口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个 球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是() A司 B. C. D. 【变式3-4】（2023高二上山西学业考试)己知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)= 0.2,P(C)=0.7,则P(AUB)=() A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.9 【变式35】（多选）(2425高一上山东日照期末)现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两 支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列） 积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为号 则在比赛结束时，下列说法正确的是() A.甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C.丙队积分为3分的概率为号 D.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为2 【变式36(25-26高二上四川成都-阶段检测)己知随机事件A,B,C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)=0.3, P(C)=0.7,则P(A+B)= 题型04用频率估计概率 【典例4-1】（24-25高一下·安徽毫州·阶段检测)我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓 开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹 谷约为() 第9页共16页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.133石 B.159石 C.163石 D.169石 【典例42】(25-26高二上·广东阶段检测)抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上"的概 率和频率分别是() A.0.5,0.5 B.0.51,0.51 C.0.49,0.49 D.0.5,0.49 【典例4-3】（多选）(2024高一全国专题练习)下列结论错误的是() A.若事件A的概率为P(A),则必有0<P(A)<1 B.若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件 C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药， 则估计有明显疗效的可能性为76% D.某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 【典例44】(22-23高二下·广东揭阳·期中)为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况， 调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路 口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否 则就回答第二个问题被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只 有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200） 中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 【变式41】(22-23高一下·全国·课后作业)某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上出现了6次，若用A表 示正面朝上这一事件，则A的频率为() A司 B. C.6 D.接近 【变式42】(24-25高一上辽宁沈阳.期末)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检， 发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有() A.1万件 B.18万件 C.19万件 D.2万件 【变式43】(2024高一下，全国专题练习)众所周知，长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约 40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机 不超过2h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为() A.4 3 B.4 5 C. . 【变式44】(25-26高二上·贵州阶段检测)在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了500 次试验，发现正面朝上出现了300次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为() A.0.60.6 B.0.60.5 c.0.5,0.5 D.0.5,0.6 第10页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式45】（多选）(21-22高一·全国单元测试)某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成 如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是() ↑频率 0.4 0.3 0.2 01 0 100200300次数 A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上 C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D.从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【变式46】(23-24高一下·新疆乌鲁木齐，期末)在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些 球除颜色外都相同每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红 球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个 强化训练 一、单选题 1.(20-21高一，全国·课后作业)已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10， 5,7,6,第五组的频率是0.20，则第六组的频率是() A.0.10 B.0.12 C.0.15 D.0.18 2.(24-25高一下·北京丰台·期末)某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为() A.至多有一次投中 B.至少有一次投中 C.恰有一次没有投中 D.两次都投中 3.(25-26高一上江西南昌期末)连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是() A得 B岩 c品 0器 4.(24-25高一下河北沧州：期末)已知事件A,B,C两两互斥，且P(A=P4UB)=五，P4U0)= 则P(BUC)=() A. B. c. D.2 第11页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高三·全国.一轮复习)在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中 6次”，则下列说法正确的是() A.样本空间中共有10个样本点 B.事件A中有6个样本点 C.样本点6在事件A内 D.事件A中包含样本点11 6.(25-26高一上辽宁沈阳·期末)已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位 的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0,1,2,3,4表示命中，数 字5，，7,8,9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample(0:999,20,replace=:F)",按回 车键，得到0999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率 为() sample(0:999,20,replace=F) [1]8486337617283091680755606543 [11]2472353844089855714021345862 A. 3 1 B.4 C. 0. 7.(23-24高二上广东佛山阶段检测)己知甲袋中有4个白球、x个红球，乙袋中有2个白球、4个红球，各 个球的大小与质地相同现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同 与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则x=() A.2 B.4 C.6或2 D.8或4 8.(25-26高二上湖北期中)已知一个古典概型的样本空间n和事件A,B,其中n()=16,n(A)=8,n(B)=4, n(AUB)=10,则下列结论错误的是() A.P(AB)=日 B.PAUB)=昌 C.PaB)=吉 D.P(AB)= 二、多选题 9.(2024高一下.全国.专题练习)下列说法中正确的有（) A.任何事件发生的概率总是在[0,1]之间 B.概率是随机的，在试验前不能确定 C.频率是客观存在的，与试验次数无关 D.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 10.(25-26高一下.安徽安庆·月考)下列说法正确的是() A.5人站成一排，“甲站正中间"与“乙站正中间"是互斥事件 第12页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C.数据7.0,7.4,7.6,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的25%分位数为7.4 D.某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽 了4人，则该班级有33名男生 11.(2025高一…全国.专题练习)（多选）某疫苗在不同实验中平均效力为78.1%，最高达90%，安全性良好， 临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射 安慰剂：另一部分为疫苗组，注射疫苗，从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效 力=对照组发病率-疫街组发病率×100%。关于注射疫苗，下列说法正确的有() 对照组发病率 A.只要注射该种疫苗，就一定不会感染其所预防疾病 B.注射该种疫苗，能使其所预防疾病感染的风险大大降低 C.若对照组10000人，发病100人，疫苗组20000人，发病40人，则效力为80% D.如果某疫苗组的效力为80%，对照组的发病率为50%，那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000 个人发病 三、填空题 12.(25-26高一上江西南昌·期末)学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、A1编程、 非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽 中“手工篆刻”的概率为 13.(25-26高一下·辽宁铁岭阶段检测)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为 14.(25-26高三下.上海阶段检测)己知A、B为互斥事件，且P(4)=0.6P(B)=0.2,则P(4nB)=· 四、解答题 15.(24-25高一下.全国课后作业)从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中 1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生，记：C1=“选出1号同学”，C2=“选出2号同学”，C3=“选 出3号同学”，C4=“选出4号同学"，C5=“选出5号同学”，C6=“选出6号同学”，D1=“选出的同学学号不 大于1，”D2=“选出的同学学号大于4，”D3=“选出的同学学号小于6，”E=“选出的同学学号小于7”F=“选 出的同学学号大于6”G=“选出的同学学号为偶数”，H=“选出的同学学号为奇数”，等等.据此回答下列问 题： (1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？ (2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？ (3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？在集合中，事件H与这些事件之间有何关系？ 第13页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？ (5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？ 16.(25-26高一下.安徽合肥阶段检测)2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业 和未来产业实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、 低空经济等新兴支柱产业.建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制 造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同 的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券” (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概 率 (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中 至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次 性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算 判断该规则是否公平，并说明理由. 第14页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(24-25高一下江苏南京期末)一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球， 从中不放回地依次随机摸出3个球， (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率： (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实 18.(24-25高一下·河南驻马店阶段检测)已知一个古典概型试验中，事件4发生的概率为P(A)=事件B 发生的概率为P(B)=号且事件A和事件B的并集发生的概率为P(AUB)= (1)求事件A和事件B同时发生的概率P(AnB). (2)若事件C是事件A的对立事件，求事件C和事件B同时发生的概率P(C∩B): (3)若事件D是事件A和事件B的交集的对立事件，求事件D发生的概率P(D): 第15页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(23-24高一下·甘肃武威期末)龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克 牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色）).现 从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功.现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 P2 P3 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， ()求这三次抽取中至少有一次成功的概率： ()设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p,那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关， 什么样的顺序使概率卫最大？如果无关，请给出简要说明， 第16页共16页函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章概率复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01随机事件与样本空间 题型01随机事件与样本空间 第五章概率复习 题型02概率的计算 题型03概率加法公式与乘法公式 知识点02概率的基本性质及运算 题型04用频率估计概率 主题03用频率估计概率 教学目标、教学重难点 巩固对随机事件、样本空间、概率的基本性质、概率的加法公式与乘法公式、互斥事件 教学目标 与对立事件、事件的独立性、频率、用频率估计概率等知识的理解与掌握 教学重点 概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性、用频率估计概率， 教学难点 概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性. 知识清单 知识点01随机事件与样本空间 (一)确定性现象与随机现象 1.在一定条件下必然发生（出现）的现象称为确定性现象 2.在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现 哪种结果.我们把这种现象称为随机现象. (二)随机试验、样本点与样本空间 1.随机试验：对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验.随机试验一般用大写字母E表示 2.样本点：对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用①（或带下标）表示 3.样本空间：将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Q表示 用集合的语言描述时，试验的样本空间是该试验所有样本点构成的全集，样本点是该全集的元素.它们之 间的关系可用如图刻画. (三)事件 1.基本事件：由一个样本点组成的集合，称为基本事件 当试验结果（即试验的样本点）ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生，即样本点o∈A和事件A发生 等价。 2.必然事件：2也是2的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生.我们称样本空间Q是必 然事件。 3.不可能事件 第1页共35页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 空集⑦也是Q的子集，所以空集⑦是事件.空集⑦中没有样本点，永远不会发生，所 以我们称⑦是不可能事件. 4.随机事件：一般地，当Q是试验的样本空间时，我们称Q的子集A是Ω的随机事件，简称为事件，一般用 大写字母A,B,C,…来表示 5.样本空间2与事件 必然事件：一定会发生的事件，2本身： 随机事件：样本空间的子集」 不可能事件：一定不会发生的事件，Ω=Φ. 6.易错点： (1)样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果； (2)注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合： (3)在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 (四)事件的关系及运算 1.包含关系：事件A发生则事件B一定发生 符号：ASB 2.相等关系：ASB且BSA. 符号：A=B. 3.并事件（和事件）：事件A与事件B至少有一个发生. 符号：AUB. 4.交事件（积事件）：事件A与事件B同时发生. 符号：A∩B(或AB) 5.互斥事件：事件A与事件B不能同时发生。 符号：AnB=D. 6.对立事件：AUB=2且A∩B=①. 符号：B=A.即A与B互补. 7.事件的运算性质 (1)AUB=BUA,AnB=B∩A: (2)(AUB)UC=AU (BUC),(AnB)nC=An (Bnc); (3)(AUB)nC=(Anc)U(Bnc),cn (AUB)=(CnA)U(CnB): (4)AUB-AnB,AnB=AUB. 【即学即练1-1】(24-25高一下·全国·课后作业)从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是 必然事件的是() A.3个都是男生 B.至少有1个男生C.3个都是女生 D.至少有1个女生 【答案】B 【难度】0.85 第2页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解， 【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B 【即学即练1-2】（多选）(23-24高一下江西景德镇期中)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚 炮弹，记事件A为“两次都击中飞机”，事件B为“两次都没击中飞机”，事件C为“恰有一次击中飞机”，事件D 为“至少有一次击中飞机”，则() A.A∈D B.BnD=0 C.A+C=D D.A+C=B+D 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可判断. 【详解】因为样本空间=两次都没击中飞机，第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两 次都击中飞机： “恰有一次击中飞机”指第一次击中、第二次没中或第一次没中、第二次击中： “至少有一次击中飞机”包含三种情况：第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞 机 所以A+C=D,B∩D=0,B+D=2, 所以ACD,A+C≠B+D,故选项A,B,C正确，D不正确. 故选：ABC 知识点02概率的基本性质及运算 (一)概率 1.定义 设试验的样本空间Q有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同.当Q中的事 件A包含了m个样本点时，称P(A)=四为事件A发生的概率，简称为A的概率， 2.概率的基本性质 性质1：对任意事件A,都有0≤P(A)≤1. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Q)=1,P(Φ)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B): 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1. 性质5：如果A∈B,那么P(A)≤P(B) 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB) (二)古典概型及其特征 1.定义：我们把概率定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 2.特点 第3页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)样本空间中只有有限个样本点： (2)每个样本点出现的可能性相等. 3.计算公式：P(A)=A中的样本点个数 9中的样本点个数 （三)事件的独立性 1.事件的相互独立 设A,B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称为独立. 注意：当三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC=P(A)P(B)P(C)一般不成立 2.已知两个事件A,B,那么 (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB (3)A,B都不发生为事件AB. (4)A,B恰有一个发生为事件AB+BA (5)A,B中至多有一个发生为事件AB+BA+AB 3.事件的相互独立性 (1)事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响. (2)若事件A,B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B), (3)若事件A,B相互独立，则事件A与B,A与B,A与B也相互独立 (4)相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 相互独立事件A,B同时发生， 互斥事件A,B中有一个发生， 符号 记作：A∩B(或AB) 记作：AUB(或A+B) 公式P(AnB)=P(A)·P(B) P(AUB)=P(A)+P(B) 4.利用事件的独立性求概率 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率， (1)对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率： 另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生（乘法）求出概率， (2)当直接计算事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率 【即学即练21】(24-25高一下内蒙古呼伦贝尔期末)已知事件A,B互斥，且P(AUB)-子，P(A)=3P(B), 则P(B=() A君 B. c. 0.8 【答案】D 第4页共35页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可。 【详解】由题可知：事件A,B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)=,又P(A=3P(B), 所以P(B)=名则P(同= 故选：D 【即学即练2-2】（多选）(24-25高二上·河北保定·开学考试)已知事件A,B,C两两互斥，若P(A)=,P(4UB)= 各P4u0=吾则() A.P(B0C)= B.P(B)=日 c.PBUO=aD.P(9=日 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解。 【详解】对于A,因为事件A,B,C两两互斥， 所以P(BnC)=P(AnB)=P(AnC)=0,故A错误； 对于B,由P(AUB)=P(A)+P(B)=+P(B)=得P(B)=吉故B正确 对于D,由P(AUO=P(A+P(O)=+P(C=点得P(9=言故D正确： 对于C,因为PBuC)=P(B)+P(O=言+故C正确， 故选：BCD 知识点03用频率估计概率 (一)频率与概率 1.设2是某个试验的样本空间，A是Q的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复次， 则称R,(A)=·次试验中A发生的次数是n次独立重复试验中事件A发生的频率 2.一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率F.(A)也愈大： 反之，如果FA)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大， 因此，频率与概率间应有紧密的联系 3.在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用F.(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增 加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A),即F.A)是P(A)的 估计. 4.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画， 但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性： 而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性； 因此频率不能完全反映概率， 第5页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (二)用频率估计概率 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率 2.用频率估计概率的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率 【即学即练3-1】(2025高一.全国.专题练习)小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上 的点数都是2，则下列说法正确的是() A.朝上的点数是2的概率和频率均为1B.若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C.抛掷第6次，朝上的点数一定不是2D.抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率与概率的概念判断A,由频率与概率的关系判断BD,由概率的概念判断C 【详解】A:由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误： B:当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误： C:抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误： D:每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实 际会有一定的出入，故D正确. 故选：D. 【即学即练3-2】（多选）(2025高一全国专题练习)教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800 米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 328 3'29 330” 331 332 335 337 340 乙 325 327 330 330" 333” 335” 338 345” 若比赛成绩在330"以下（含330”）为优秀，用频率估计概率， 则下列说法正确的有() A. 乙比赛成绩优秀的概率为 B.甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C.甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D.为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动 程度、用频率估计概率 【分析】选项A:由表中数据可以看出乙成绩在330"以下（含330"）的一共有4个，所以优秀的概率为后= 选项B:比较甲乙比赛成绩的平均数因为两人比赛成绩都是3分多，所以比较秒数即可选项C:与选项B的思 路一样，只需比较秒的数据的方差即可 第6页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选项D:因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差，说明甲比乙稳定，所以 派甲更好 【详解】对于A:比赛成绩在330以下（含330）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为号 故A正确： 对于B:为了好计算甲乙的平均数和方差，因为甲乙的成绩都是3分多，所以只需要根据秒数计算即可. 甲的平均数x甲=(28+29+30+31+32+35+37+40)=g=32,75, 乙的平均数x2=(25+27+30+30+33+35+38+45)=号=32.875， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误： 对于C:甲的方差 s=8×[(28-32.75)2+(29-32.75)2+(30-32.75)+(31-32.75)}2+(32-32.75) +(35-32.75)2+(37-32.75)2+(40-32.75)1=15.4375. 乙的方差 2-言×[25-328753+(27-32875}+60-32875}+60-328752+(33-328752 +(35-32.875)2+(38-32.875)2+(45-32.875)]≈36.36，则s7<s2,C正确： 对于D:因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差， 说明甲比乙稳定，所以派甲更好.故D错误。 故选：AC 题型精讲 题型01随机事件与样本空间 【典例1-1】（24-25高一下·河北邯郸·期末)某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发 芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是() A.“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B.“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C.“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D.“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可 【详解】对A,可以同时发生“有一颗红豆种子不发芽”，故不是互斥事件； 对B,可以同时发生“两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽”，故不是互斥事件： 对C,“至少五颗种子发芽”，则至少有2颗绿豆种子发芽，“至多一颗绿豆种子发芽”不会同时发生，则是互 斥事件： 第7页共35页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 对D,可以同时发生，“两颗红豆种子发芽，一颗绿豆种子发芽”，故不是互斥事件 故选：C 【典例1-2】(24-25高一下·吉林长春期末)从装有除颜色外其他完全相同的2个红球（编号为1、2）和2 个白球（编号为1、2）的口袋内任取2个球，则互斥且不对立的两个随机事件是() A.至少有1个白球，都是白球 B.至少有1个白球，至少有1个红球 C.恰有1个白球，恰有2个白球 D.至少有1个白球，都是红球 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可， 【详解】从口袋中任取2个球，所有的情况有：2个红球、1个红球1个白球、2个白球， 对于A选项，至少有1个白球包含：1个红球1个白球、2个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件： 对于B选项，至少有1个红球包含：2个红球、1个红球1个白球， B选项中的两个事件的交事件为：1个红球1个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件： 对于C选项，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件是互斥且不对立： 对于D选项，至少有1个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C 【典例1-3】（多选）（21-22高一上·辽宁大连·期末)下列说法不正确的是（) A.若A,B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立"的必要不充分条件 B.若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B相互对立 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、互斥事件的概率加法公式、判断 命题的必要不充分条件 【分析】A.“A与B互斥"是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确： B.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以该选项错误； C.举反例说明P(A)+P(B)+P(C)=1不一定成立，所以该选项错误： D.举反例说明A与B不对立，所以该选项错误 【详解】解：A.若A,B为两个事件，“A与B互斥"则“A与B不一定相互对立”；“A与B相互对立"则“A 与B互斥”，则“A与B互斥"是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确： B.若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AnB),所以该选项错误： 第8页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1不一定成立，如：掷骰子一次，记A=向上的点 数为1，B=向上的点数为2，C=向上的点数为3，事件A,B,C两两互斥，则P(4+P(⑧)+P(9=++号 所以该选项错误： D.抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是影，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足P(A)+ P(B)=1,但是A与B不对立，所以该选项错误 故选：BCD 【典例1-4】（20-21高一·全国课后作业)做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x,y)表示结果，其中x表示红 色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有 个样本点. 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用古典概型和样本空间的性质求解即可。 【详解】由题意得，一个骰子有6个面，抛两次，基本事件有62=36种， 故这个试验的样本空间共有36个样本点， 故答案为：36 【变式1-1】(24-25高一下·云南楚雄·期末)从1~5这5个整数中随机抽取1个数，记事件A=“抽到小于3 的数”，事件B=“抽到大于2的数”，事件C="抽到大于1的奇数”，则() A.A和B不互民 B.A和B互斥且不对立C.A和C不互斥 D.A和C互斥且不对立 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由题意可得样本空间，进而求得A,B,C的样本点，可得结论， 【详解】这个试验的样本空间为{1,2,3,4,5，A={1,2,B=3,4,5,C=3,5, 则A和B互斥且对立，A和C互斥且但不对立. 故选：D 【变式1-2】(2024高一下·全国·专题练习)向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于 10,事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件A∩B用样本点表示为() A.{(5,5)} B.{(4,6),(5,5)} C.{(6,5),(5,5)} D.{(46),(6,4),(5,5)} 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、写出样本空间、写出某事件的对立事件 【分析】利用列举法求出A,B包含的事件，然后再求公共事件即可。 【详解】由己知得， 事件A=(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)}, 事件B={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,4}, 第9页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以事件A0B=(4,6),(6,4).(5,5)}, 故选：D 【变式1-3】(25-26高一上·江西南昌·期末)给出关于满足A≤B的非空集合A,B的四个命题，其中错误的 命题是() A.若任取x∈A,则xEB是必然事件 B.若任取x庄A,则x∈B是不可能事件 C.若任取x∈B,则x∈A是随机事件 D.若任取X庄B,则庄A是必然事件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据非空集合A,B满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合A,B满足ACB, 所以，对于A,根据子集的定义，任意x∈A必然有xEB,这是必然事件，A选项正确： 对于B,当x庄A时，xEB仍有可能，例A=1},B={1,2,取x=2满足xA但xEB,故B选项错误： 对于C,任取x∈B,则x∈A或x度A都有可能，是随机事件，故C选项正确： 对于D,任取x度B,则x度A一定成立，是必然事件，故D选项正确。 故选：B 【变式1-4】(2023高一下.全国.专题练习)下列说法正确的是() A.若A,B为两个事件，则“A与B互斥"是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B.若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B相互对立 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、概率的基本性质、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A,根据和事件的概率公式判断B,利用反例说明C、D. 【详解】对于A,若事件A与B互斥，则A与B不一定相互对立， 但A与B相互对立，则A与B一定互斥，故“A与B互斥"是“A与B相互对立"的必要不充分条件，故A正确： 对于B,若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),故B错误： 对于C,若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记A=“向上的点数为1”，B=“向上的点数为2”，C=“向上的点数为3”， 事件A,B,C两两互斥，但P(④+P(回)+P(9=名++甘故C错误： 对于D,抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足P(A)+P(B)=1,但是A与B不对立，故D错误. 故选：A 第10页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-5】（多选）(23-24高一下四川达州期末)某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名 同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况.袋子里有大小、质地完全 相同的2个黄球、2个白球，共4个球.这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且 摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛.记事件A=“决赛两人来自同一个班”，事件B=“决赛两人来自 不同班”，事件C=“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件D=“后进行半决赛两人来自不同班”.则(). A.P(AUB)=1 B.A与B互斥但不对立 C.C与D对立 D.P(A)+P(B)=P(C)+P(D) 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】本题依据互斥事件、对立事件的概念以及概率计算即可判断， 【详解】对A、B,由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 故决赛的两人要么来自同一个班级，要么来自不同的班级，故事件A和事件B不可能同时发生， 故事件A和事件B互斥且对立，故P(AUB)=1,故A正确，B不正确， 对C,由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 先进行半决赛的两人如果来自同一班级，则后进行半决赛的两人也来自同一班级， 故事件C和事件D互斥且对立，故C正确 由上述可知，事件A和事件B互斥且对立，事件C和事件D互斥且对立， 故P(A)+P(B)=P(C)+P(D),故D正确 故选：ACD. 【变式1-6】(22-23高一下河北衡水期末)打靶3次，事件A;="击中i发”，其中i=0,1,2,3.那么A=A1UA2U A3表示 【答案】至少击中1发 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据和事件的定义判断 【详解】根据并事件的定义可知，A=A1UA2UA3表示A1、A2A3至少有一个发生， 所以A=A1UA2UA3表示至少击中1发 故答案为：至少击中1发 题型02概率的计算 【典例2-1】(22-23高一上·辽宁.期末)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方 式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中：再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12 组随机数：137,960,197,925,271,815,952,683,829,436,730,257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命 中的概率为() 第11页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A c. D. 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率、随机模拟的其他应用 【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，根据古典概型的概率公 式计算可得. 【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：137,271,436共3组， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为品一号 故选：A 【典例2-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末)购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越 受欢迎若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩 偶的概率为() A吉 B. C. 0.号 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定的条件，求出买3个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可，根据 古典概型求概率」 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，3个盲盒的总情况数为33，即27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有3×2×1=6种情况， 则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为号号 故选：D 【典例2-3】（多选）(23-24高一下·内蒙古通辽期末)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一 个，有放回地取3次，则下列说法正确的是() A.取出的3个球颜色相同的概率为号 B.取出的3个球颜色不全相同的概率为 C.取出的3个球颜色全不相同的概率为号 D.取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】应用古典概型计算各个选项即可， 【详解】设取得黄、红、白球分别为1,2,3， 有放回地取球3次， 共(1,1,1)，(11,2).(1,1,3)，(1,2,1)，(1,3,1)，(2,1,1)，(3,1,1). 第12页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1,2,3),(13,2),(1,2,2),(1,3,3).(2,1,3),(3,1,2),(21,2),(3,1,3),(3,2,1),(2,3,1),(2,2,1),(3,3,1) (2,2,2),(3,3,3),(2,2,3),(23,2)(3,2,2),3,3,2),(3,2,3),(2,3,3)27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有(1,1,0，(2,22).(3,33)3种，其概率为号=号故A错误 颜色不全相同的结果有24种， (1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,3,1),(2,1,1),(3,1,1), (1,2,3),(1,3,2),(1,2,2),(1,3,3).(2,1,3),(3,1,2).(2,1,2),(3,1,3),(3,2,1).(2,3,1),(2,2,1).(3,3,1) 2,23).(23,2)3,22.(33,2).3,23).(23,3),其概率为号=号枚B正确： 颜色全不相同的结果有1,23,1,3.2.(21,3，(3,12.32,1.(23106种，其概率为号-台枚c正确： 无红球的结果有(1,11).11,3).(1,31).31,1).(1,33).(333).(3,13).33,1).8种，其概率为号故D错误. 故选：BC 【典例2-4】(24-25高一下·河南商丘期末)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3 张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为 【答案】/0.4 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解 【详解】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间2={(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,45)，3,4,5)共10个基本事件， 即n(2)=10 用A表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10，则A={(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,45)}共4个基本事件， 即n(A)=4 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率P(4)=周=音-美 故答案为：号 【变式2-1】(22-23高一下·广东广州期末)从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两 人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则(） A.在有放回简单随机抽样方式下，P(A= B.在不放回简单随机抽样方式下，P(8)= C.在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)= D.在按性别等比例分层抽样方式下，P(B)=1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解。 【详解】记3名男生为1,2,3,3名女生为a,b,c 对于选项A,有放回简单随机抽样的样本空间21为 第13页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ny 2 3 a (1,1) (1,2) (1,3) 1,d (1b) (1,c) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,d (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,ad (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) (a,a (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) (bb) (b,c) (c,1 (c,2) (c,3) (c, (c,b) (c,c) 共36个样本点，事件A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}有9个样本点，所以P(4)= 品-子放选项A错误： 对于选项B,不放回简单随机抽样的样本空间22为 1 2 3 a 0 1 (1,2) (1,3) (1,ad (1,b) (1,c) 2 (2,1) (2,3) (2,ad (2,b) (2,c) (3,1) (3,2) (3,a (3,b (3,c) a (a,1) (a,2) (,3)】 (a,b) (L,c） b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a + (b,c) (c,1) (c,2) (c,3) (c,a (c,b) 共30个样本点，事件B= {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a).(3,b),(3,c),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)} 有8个样本点，所以P(0日故选项B错误 对于选项C,在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以P(A)=0,故 选项C错误： 对于选项D,在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间Ω？ 为n3={(1,a,(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),3,c)},共有9个样本点，事件B=23,所以P(B)= 号=1，故选项D正确， 故选：D. 【变式2-2】(25-26高一上江西吉安期末)班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选 出2人，则恰好2人都是男生的概率是() A高 B.月 c. D. 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都是男生的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生， 记这3人为A1,A2,A3,其余2人为B1,B2, 第14页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从5人中选取2人有：A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共有10种情况， 恰好2人都是男生有A1A2,A1A3,A2A3,共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为品 故选：A 【变式2-3】(25-26高一上·陕西渭南·期末)现从①y=sinx,②y=cosx,③y=4,④y=x3这4个函 数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（) A君 B. C. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、计算古典概型问题的概率 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算从这4个函数中随机抽取2个函数的选法总数，再计算恰有1个 函数是奇函数的选法数，最后计算概率即可， 【详解】对于y=sinx定义域为R,令f(x)=six,则f(-x)=sin(-x)=-sinx, ·f(-x)=-f(x),∴y=sinx是奇函数： 对于y=cosx定义域为R,令f(x)=cosx,则f(-x)=cos(-x)=cosx, ÷f(-x)=f(x),y=cosx是偶函数： 对Fy=4定义域为R,令f)=,则f(-刘=4*=（份， ∴y=4是非奇非偶函数；对于y=x3定义域为R, 令f(x)=x3,则f(-x)=(-x)3=-x3,f(-x)=-f(x),“y=x3是奇函数， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有6种选法， 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有4种， 所以，所求概率P=言号 故选：D 【变式2-4】(2025高一上全国专题练习)一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑 板上写出2,3,4，，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦 去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去.若最后剩下的两个数为互质数 (公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数)，则判甲胜；否则判 乙胜.按照这种游戏规则，甲获胜的概率是() A器 B.1012 C.1013 2025 2025 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去 的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 第15页共35页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由于甲、乙都非常聪明，所以他们获胜的关键要看裁判擦去哪个数. 注意2,3,4，，2026中有1012个奇数，1013个偶数. 若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜，理由如下： 乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不是互质数，故乙胜： 若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜，理由如下： 设裁判擦去的是2，则将余下的数配成1012对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成， 如(2,3)，(4,5)，，(2m-2,2m-1),(2m+1,2m+2),…,(2025,2026), 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们为互质数， 故甲必获胜。所以甲获胜的概率为裁判擦去的是偶数的概率，即 2025 故选：C 【变式2-5】（多选）(23-24高一下·内蒙古通辽期末)袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一 个，有放回地取3次，则下列说法正确的是() A.取出的3个球颜色相同的概率为号 B.取出的3个球颜色不全相同的概率为 C.取出的3个球颜色全不相同的概率为 D.取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】应用古典概型计算各个选项即可。 【详解】设取得黄、红、白球分别为1,2,3， 有放回地取球3次， 共(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,3,1)，(21,1)，(3,1,1)， (1,2,3),(1,3,2),(1,2,2),(1,3,3).(2,1,3).(3,1,2),(21,2),(3,1,3),(3,2,1).(2,3,1),(2,2,1).(3,3,1) (2,2,2).(3,3,3),(2,2,3),(2,3,2)3,2,2),(3,3,2).(3,2,3),(2,3,3)27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有(1,11).(22)，(3,33)3种，其概率为号=故A错误： 颜色不全相同的结果有24种， (1,1,2).(1,1,3),(1,2,1),(1,3,1),(2,1,1),(3,1,1), (1,2,3),(13,2),(1,2,2),(1,3,3),(2,1,3),(3,1,2),(2,1,2).(3,1,3),(3,2,1),(2,3,1).(2,2,1),(3,3,1), (2,23).(23,2)3,22).(33,2).3.2,3).(23,3),其概率为=故B正确 颜色全不相同的结果有1,23).(1,32.(21,3).(31,2).32,1).(23,1)6种，其概率为号=号故c正确： 无红球的结果有1,11).(11,3)(1,31).31,1).（1,33).(3,33).(3,13).63,1).8种，其概率为号故D错误. 故选：BC 【变式2-6】(25-26高一下河北衡水阶段检测)从1,2,3,4,5中随机取出3个数，其和记为a,其余两 个数之积为b,则a>b的概率为 第16页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】0.6 【难度】0.7 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典型的概率求解法求解即可. 【详解】要使随机取出的3个数的和大于剩下两个数的积， 则取出的3个数分别为：5,4,3：5,4,2；5,4,1；5,3,2：5,3,1：4,3,2：共6种情况： 而总的抽取情况除了上述的6种外，还有：5,2,1：4,3,1：4,2,1：3,2,1，共4种情况， 故从5个数中任取3个数共10种情况： 所以所求概率为品目 题型03概率加法公式与乘法公式 【典例3-1】（24-25高一下·福建莆田·期末)若P(AUB)=0.9,P(A)=0.7,P(B)=0.5,则P(AnB)=() A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】首先求得P(AB),然后结合P(A∩B)=P(A)-P(AB)即可求解. 【详解】由题意P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.7+0.5-0.9=0.3, 所以P(AnB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.3=0.4 故选：B 【典例3-2】（25-26高一上·北京房山·期末)甲、乙两人独立破译同一密码，甲破译密码成功的概率为0.3， 乙破译密码成功的概率为0.4.则密码被成功破译的概率为（) A.0.7 B.0.42 C.0.46 D.0.58 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、利用对立事件的概率公式求 概率 【分析】密码破译共产生四种不同的结果：甲成功乙失败、甲失败乙成功、甲成功乙成功，甲乙均失败因 为甲乙破译密码是相互独立的，所以根据概率的加法公式和相互独立事件的定义即可求解或可根据对立事 件的概率关系求解 【详解】方法一： 设“甲成功破译密码”为事件A,“乙成功破译密码”为事件B. 则P(A)=0.3,P(B)=0.4. 所以P(AB)=0.3×(1-0.4)=0.18,PAB)=(1-0.3)×0.4=0.28,P(AB)=0.3×0.4=0.12. 所以密码被成功破译的概率为P(AB+P(AB)+P(AB)=0.18+0.28+0.12=0.58. 方法二： 第17页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 密码不能被成功破译的概率为P(AB=(1-0.3)(1-0.4=0.42, 所以密码被成功破译的概率为1-0.42=0.58， 故选：D 【典例3-3】（多选）(24-25高一上·江西南昌·期末)（多选)下列对各事件发生的概率判断正确的是（) A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ;,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为， B.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之 和为奇数的概率为 C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜 色球的概率为 D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率号 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的概率计算判断A;利用古典概型的概率公式求解判断B;利用独立事件和互斥事件 的概率公式计算判断C:利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D. 【详解】对于A,该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则该生在前2个路口不是红灯， 第3个路口是红灯，所求概奉为1-》×号=务A正确： 对于B,从这4张卡片中随机抽取2张，不同结果为(12)，(13)，(14，(23)，(24)，(34)共6个， 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的结果为(12)，(1④.(23).(3到共4个，故概率为-子B错误： 对于C,甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球， 则从每个袋子中各任取一个球：取到不同色球的概率为号×名+言×台-宁C正确： [1-PA·[1-P(B1=号 对于D,由独立事件的概率公式可得 P(A)·[1-P(B)]=P(B)·[1-P(A)]· 0≤P(A)≤1,0≤P(B)≤1 解得PA)=P(8=子D错误。 故选：AC 【典例34】(25-26高一上上海普陀期末)已知事件A与事件B互斥，它们都不发生的概率为，且P(4)= 3P(B),则P(⑧= 【答案】说09375 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 第18页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据所给条件，利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可」 【详解】因为事件A与事件B互斥，且P(A)=3P(B),所以P(AUB)=P(A)+P(B)=4P(B), 又因为事件A与事件B都不发生的概率号 所以1-P(AUB)=子解得P(8)=六所以P(回=1-P(B)= 故答案为：吕 【变式3-1】(24-25高一下.河北雄安期末)己知事件A,B互斥，P(AUB)=且P(A=3P(B),则PA= () A贵 B品 c品 0品 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【详解】由事件A,B互斥，P(AUB)=号得P(A+P(B)=,而P(A)=3P(B), 联立解得P④=品故P④=1-P④=岩 故选：B 【变式32】(25-26高一上·安徽：期末)甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为号，乙 能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为() A吉 B.是 C. 0.5 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件的概率计算公式，即可求解。 【详解】设密码被成功破译的事件为A, 则这份密码没有被破译的概率(1-)×(1-)-×专 所以密码被成功破译的概率为P(A)=1-专告 故选：C 【变式33】(25-26高一上江西景德镇期末)口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个 球除了颜色之外完全相同若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是() A月 B.g C. 0. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 第19页共35页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】分第一个人摸到白球和第一个人摸到黑球两种情况，利用概率乘法公式和加法公式求解 【详解】若第二个人摸到白球，则有2种可能：第一个人摸到白球或第一个人摸到黑球， 所以第二个人摸到白球的概率是P=3×召+×3=3 54545 故选：B 【变式3-4】(2023高二上山西·学业考试)己知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)= 0.2,P(C)=0.7,则P(AUB)=() A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件得到P(B)=0.3,根据互斥事件得到P(AUB)=P(A)+P(B),计算得到答案。 【详解】因为事件B与事件C互为对立，所以P(B)=1-P(C)=0.3, 因为事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5, 故选：B 【变式35】（多选）(24-25高一上山东日照期末)现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两 支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列） 积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为 则在比赛结束时，下列说法正确的是() A.甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C.丙队积分为3分的概率为号 D.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为号 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、利用互斥事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、 独立事件的乘法公式 【分析】对A,根据互斥事件的定义判断：对B,根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平 分析判断；对C,分两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场，讨论求解：对D,根据甲队胜2场分3种情况， 甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解」 【详解】对于A,甲队胜3场是指甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁， 乙队胜3场是指乙胜甲，乙胜丙，乙胜丁，不可能同时发生，故它们是互斥事件，故A正确： 对于B,若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、乙、丙各得4分，丁得3分，故B 错误： 对于C,丙队积分为3分，包含两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场， 若丙胜1负2场，则其概率为C（)°=多 若丙平3场，则其概率为=立 第20页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以丙队积分为3分的概率为P=多+号=寺故C正确： 对于D,甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙雕丙丁，概率为目号（目=品 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为佾（佾=品 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为)xx()°+()x×××2=x 5 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为P=品+品+品=号 2 5 1 故选：ACD 【变式36】(25-26高二上四川成都阶段检测)已知随机事件A,B,C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)=0.3, P(C)=0.7,则P(A+B)= 【答案】0.6呢 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先根据对立事件的概率关系求出P(B),再利用互斥事件的概率加法公式计算P(A+B), 【详解】根据题意，因为P(C)=0.7,事件B与事件C对立， 所以P(B)=0.3 又事件A与事件B互斥，P(A)=0.3, 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.3=0.6. 故答案为：0.6 题型04用频率估计概率 【典例41】(24-25高一下.安徽毫州阶段检测)我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分"题：粮仓 开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹 谷约为() A.133石 B.159石 C.163石 D.169石 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果 【详解】国为252粒内夹谷28粒，所以米内夹谷的频率为：器-青 所以这批米内夹谷约为：1521×1=169石 故选：D 【典例42】(25-26高二上广东阶段检测)抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概 率和频率分别是() 第21页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0.5,0.5 B.0.51,0.51 C.0.49,0.49 D.0.5,0.49 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案. 【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上， 放“正面朝上"的频率为品=049， 每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上"的概率为0.5. 故选：D 【典例4-3】（多选)(2024高一全国专题练习)下列结论错误的是（) A.若事件A的概率为P(A),则必有0<P(A)<1 B.若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件 C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药， 则估计有明显疗效的可能性为76% D.某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、抽奖、彩票的概率解释、用频率估计概率 【分析】根据概率的性质判断A,根据必然事件的定义判断B,根据频率与概率的关系判断C,根据概率的 定义判断D. 【详解】对于A:因为0≤P(A)≤1，故A错误； 对于B:当事件A的概率P(A)=1时，事件A才是必然事件，故B错误： 对于C:样本中有明显的疗效的频率为80×100%=76%，所以估计有明显疗效的可能性为76%，故C正 500 确： 对于D:奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，故D错误. 故选：ABD 【典例44】(22-23高二下广东揭阳·期中)为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况， 调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路 口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否 则就回答第二个问题被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是"”或“不是”，因为只 有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200） 中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 【答案】132 【难度】0.65 【知识点】计算频率、用频率估计概率 第22页共35页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问 到的600人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率， 最后利用样本频率估计总体的方法即可求解 【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同， 所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”， 所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为0.11， 用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为1200×0.11=132人， 故答案为：132. 【变式41】(22-23高一下·全国·课后作业)某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上出现了6次，若用A表 示正面朝上这一事件，则A的频率为() A月 C.6 D.接近 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】根据频率的计算方法即可得到答案 【详解】根据频率计算方法可知A的频率为品= 故选：B 【变式42】(24-25高一上辽宁沈阳·期末)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检， 发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有() A.1万件 B.18万件 C.19万件 D.2万件 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】用样本的合格率估计总体的合格率，再估算出合格产品件数， 【详解】由题意合格率为P=105=9, 100201 因此合格品件数约为20×8=19（万件）， 故选：C 【变式43】(2024高一下·全国.专题练习)众所周知，长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约 40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机 不超过2h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为() A B.4 C. D. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 第23页共35页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先设该校有α名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2h的学生中近视人数；再用频率 估计概率即可求解， 【详解】设该校有a名同学， 则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2h,约有0.7a的学生每天玩手机 不超过2h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为50% 所以每天玩手机超过2h的学生中近视的学生人数为0.3x0.5=0.15a, 则每天玩手机不超过2h的学生中有0.4a一0.15a=0.25a的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为P=25“=三 0.7a14 故选：B 【变式44】(25-26高二上贵州阶段检测)在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了500 次试验，发现正面朝上出现了300次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为() A.0.6,0.6 B.0.60.5 C.0.5,0.5 D.0.5,0.6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上 机会相等求出正面朝上的概率. 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了500次试验，发现正面朝上出现了300次， 出现正面朝上的频率为：需-0.6， 又~海次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是影 出现正面朝上的概率为：号=0.5， 出现正面朝上的频率为0.6，概率为0.5. 故选：B. 【变式45】（多选）(21-22高一·全国单元测试)某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成 如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是() 个频率 0.4 0.3 0.2 01 100200300次数 A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上 C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D.从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 第24页共35页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率 【分析】计算出各个事件的概率，只要概率在0.3到0.4之间即可. 【详解】由频率折线图可知，频率在0.3到0.4之间. 选项A,出现正面朝上的概率为，不符合题意，故A错误： 选项B,掩一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上的概率为=有在03到04之间，符合题意，故B 正确： 选项C,一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意，故C错 误： 选项D,从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为在0.3到0.4之间， 符合题意，故D正确 故选：BD 【变式46】(23-24高一下，新疆乌鲁木齐期末)在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些 球除颜色外都相同每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红 球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】设袋中红球有x个，根据概率的概念列式求解即可. 【详解】设袋中红球有x个，根据题意，得本=0.8，解得：x=24。 经检验：x=24是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24 强化训练 一、单选题 1.(20-21高一·全国课后作业)已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10， 5,7,6,第五组的频率是0.20，则第六组的频率是() A.0.10 B.0.12 C.0.15 D.0.18 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】利用各组的频率之和等于1的性质即得。 【详解】由已知条件可得第一组到第四组数据的频率分别为0.25,0.125,0.175,0.15，又这六组的频率之 第25页共35页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和是1， 因此，第六组的频率为1-0.25-0.125-0.175-0.15-0.20=0.10. 故选：A. 2.(24-25高一下·北京丰台期末)某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中"互斥的为() A.至多有一次投中 B.至少有一次投中 C.恰有一次没有投中 D.两次都投中 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】表示投篮两次的所有基本事件情况，观察可得答案 【详解】某人连续投篮两次，共会发生： 第一次中第二次不中， 第一次不中第二次中， 第一次中第二次中， 第一次不中第二次不中，共4种情况， 事件“恰有一次投中”包含：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中， 所以与之互斥的就是“两次都投中”， 故选：D 3.(25-26高一上江西南昌期末)连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是() A第 B号 c 0若 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典 概率求解即可 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3).(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2).3,3),(3,4,(3,5).(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6): (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36种， 其中至少出现一次1点的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1).(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11 种， 故至少出现一次1点的概率是号 故选：B 4(2425高-下-河北沧州期末)已知事件A,B,C两两互斥，且P0=,P4UB)=7,P(AU9= 则P(BUC)=() 第26页共35页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. B.5 2 c品 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得P(B),P(C),进而可得结果. 【详解】因为事件A,B,C两两互斥， P(A UB)=P(A)+P(B),P(A UC)=P(A)+P(C). 又因为P④)=Pu)=品PAU0=克 可得 +P)=品 +P(G- 解得P(B)=,P(C)= 所以PBUO=PB)+P(9=盖 故选：B 5.（2526高三全国一轮复习)在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中 6次”，则下列说法正确的是() A.样本空间中共有10个样本点 B.事件A中有6个样本点 C.样本点6在事件A内 D.事件A中包含样本点11 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间 【详解】解析样本空间中有11个样本点，故A错：事件A中有5个样本点，故B错：样本点中没有11， 故D错.故选C. 6.(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位 的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0,1,2,3,4表示命中，数 字5,6,7,8,9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample(0:999,20,replace=F)",按回 车键，得到0999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率 为() >sample(0:999,20,replace=F) [1]8486337617283091680755606543 [112472353844089855714021345862 A高 B. C. 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题 第27页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有： 633,309,016,543,247,062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为5=3 2010 故选：A 7.(23-24高二上广东佛山阶段检测)已知甲袋中有4个白球、x个红球，乙袋中有2个白球、4个红球，各 个球的大小与质地相同现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同 与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则x=() A.2 B.4 C.6或2 D.8或4 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式列式计算可得解. 【详解】设事件A为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，事件B为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”， 则P(A)=+(+' x+x4,P(B)=2x442=8 6×5 151 所以8x 8 (+4x+)= ,解得x=2或x=6. 故选：C 8.(25-26高二上.湖北.期中)已知一个古典概型的样本空间n和事件A,B,其中(2)=16，(A)=8,n(B)=4, n(AUB)=10,则下列结论错误的是() A.PAB)=吉 B.P(AUB)= C.P(AB)=日 D.P(AB)= 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、利用 概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】用古典概型概率计算公式分别计算出相应事件的概率即可作出判断 【详解】对于A,n(A0)=(0+nD)-nAuB)=2,所以P(4B)=品-后-言故A正确： 对于B,PAU)==吕-票故B正确： n(2) 对于cn()=n(回）-n(4)=4-2=2,所以P(）)=盟-品-言放c正确： 对于D,P(a=1-P(AU)=1-吾=故D错误 故选：D 二、多选题 9.(2024高一下·全国·专题练习)下列说法中正确的有() 第28页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.任何事件发生的概率总是在[0,1]之间 B.慨率是随机的，在试验前不能确定 C.频率是客观存在的，与试验次数无关 D.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系 【分析】由频率和概率的有关概念即可得出答案 【详解】对于A,任何事件的概率总是在[0,1]之间，其中必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A正确： 对于B,概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关， 而事件的结果是随机的，在试验前不能确定，故B错误； 对于C,只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的， 一般来说，当试验的次数不同，频率是不同的，它与试验次数有关，故C错误： 对于D,由频率的性质可知，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故D正确： 综上所述，正确的有A、D, 故选：AD 10.(25-26高一下.安徽安庆·月考)下列说法正确的是() A.5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C.数据7.0,7.4,7.6,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的25%分位数为7.4 D.某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽 了4人，则该班级有33名男生 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、判断所给事件是否是互斥关系、总体百分位 数的估计 【详解】对于A,“甲站正中间”与“乙站正中间”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确： 对于B,向上面的点数是3的整数倍的概率发-台B错误， 对于C,这组数据己经是从小到大排列，又25%×8=2，故25%分位数为7=7.5。C错误. 对于0,55×19。=33,0正确， 故选AD. 11.(2025高一·全国.专题练习)（多选)某疫苗在不同实验中平均效力为78.1%，最高达90%，安全性良好， 临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射 第29页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效 力=对熙组发病率疫苗组发病率×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的有（) 对照组发病率 A.只要注射该种疫苗，就一定不会感染其所预防疾病 B.注射该种疫苗，能使其所预防疾病感染的风险大大降低 C.若对照组10000人，发病100人，疫苗组20000人，发病40人，则效力为80% D.如果某疫苗组的效力为80%，对照组的发病率为50%，那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000 个人发病 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题目所给的相关定义逐一判断各个选项即可得解 【详解】对于A,由题意，疫苗的平均效力为78.1%，最高达90%，但不是注射该种疫苗，就一定不会感 染其预防的疾病，故选项A错误； 对于B,由题给疫苗效力可知，选项B正确： 对于C,若对照组10000人，发病100人，疫苗组20000人，发病40人，则注射疫苗的效力为%-02%×100%= 1% 80%,故选项C正确： 对于D,若某疫苗组的效力为80%，对照组的发病率为50%，只是反映了一个概率问题， 并不能说明在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病，故选项D错误. 故选：BC 三、填空题 12.(25-26高一上江西南昌·期末)学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、A1编程、 非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽 中“手工篆刻"的概率为 【答案】0.5 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列举出所有可能的情况，利用古典概率求解即可。 【详解】手工篆刻、即兴戏剧、A1编程、非遗糖画分别用A,B,C,D来表示， 则李同学从4个体验项目中任选2个不同项目， 有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种情况， 李同学恰好抽中“手工篆刻”的情况有AB,AC,AD,共3种， 故所求概率为=号 故答案为： 13.(25-26高一下.辽宁铁岭阶段检测)从分别写有1,2,3,4,5的5卡片中不放回地随机抽取3张， 第30页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为 【答案】0.4 【难度】0.75 【知识点】计算古典概型问题的概率 【详解】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间包含(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(24,5)，(3,4,5)共10 个， 抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共4个， 所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率P=音=号 14.(25-26高三下.上海阶段检测)己知A、B为互斥事件，且P(4)=0.6,P(B)=0.2,则PA∩B)=, 【答案】0.2片 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得P(AUB),再利用对立事件的概率求解即得。 【详解】因为A,B为互斥事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.2=0.8, 所以P(AnB)=P(AUB)=1-0.8=0.2 四、解答题 15.（24-25高一下…全国课后作业)从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中 1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生，记：C1=“选出1号同学”，C2=“选出2号同学"”，C3=“选 出3号同学”，C4=“选出4号同学”，C5=“选出5号同学”，C6=“选出6号同学”，D1=“选出的同学学号不 大于1，”D2=“选出的同学学号大于4，"D3=“选出的同学学号小于6，”E=“选出的同学学号小于7”F=“选 出的同学学号大于6”G=“选出的同学学号为偶数”，H=“选出的同学学号为奇数”，等等.据此回答下列问 题： (1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？ (2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？ (3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？在集合中，事件H与这些事件之间有何关系？ (4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？ (5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？ 【答案】(1)答案见解析：(2)答案见解析；(3)答案见解析：(4)答案见解析：(5)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】(1)根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义进行判断即可， (2)根据事件包含关系的定义进行判断即可. (3)根据和事件的定义进行判断即可. 第31页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)根据交事件的定义进行判断即可. (5)根据交事件的性质进行判断即可. 【详解】(1)必然事件有E;随机事件有C1,C2,C3, C4:C5,C6,D1,D2,D3,G,H:不可能事件有F (2)事件D1,D3,E和H一定发生. (3)可能是C1,C5,C3发生，H=C1 UCSUC3 (4)D2和D3同时发生时，即为发生了，D2nD3=C5 (5)有，如C1和C2:C3和C4等， 16.（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测)2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业 和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、 低空经济等新兴支柱产业.建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制 造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同 的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券” (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概 率： (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中 至少有一次抽到“航空航天券"的概率： (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次 性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算 判断该规则是否公平，并说明理由： 【答案】(1g:(2后(3)该规则不公平，理由见解析。 【难度】0.82 【知识点】游戏的公平性、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回 问题的概率 【分析】(1)确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出“类型不同”的样本点，利用古典概型概 率公式计算，即目标事件数除以总样本数 (2)采用“正难则反”策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用1减去该概率得到至少 抽到一次的概率。 (3)类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否 公平 【详解】(1)记“两人抽到的体验券类型恰好不同"为事件A. 设4张“具身智能券"为G1,G2,G3,G4,2张“航空航天券"为D1,D2 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 Q=[G1G2,G1G3,G1G4 G2G3,G2G4,G3G4.DD2,G1D1,G2D1,G3D1.G4D1G1D2,G2D2,G3D2.G4D23: 共有15个样本点， 第32页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A={G1D1,G2D1,G3D1,G4D1,G1D2,G2D2,G3D2,G4D2},有8个样本点， 故P(A=是 (2)记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B,则小华两次都没有抽到“航空航天券”为B 小华抽取一次没有抽到航空航天券”的概率为号 则P(同=x号= 所以P(8)=1-P同=1-青号 (3)该规则不公平.理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由(1)知，“智能社“优先的概率为名“空天社”优先的概率为 因为品<品所以该规则不公平. 17.(24-25高一下江苏南京·期末)一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球， 从中不放回地依次随机摸出3个球 (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率： (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1样本空间见解析： 2)第二次，第三次摸到红球的概率均为 (3)抽签中签的概率与抽签顺序无关 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】(1)依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； (2)由古典概型求得概率： (3)依据概率相同得到结论， 【详解】(1)将三个红球记为r1,r2,T3,一个黄球记为y, 从中不放回地依次随机摸出3个球，该实验的基本事件空间为： ={r1,r2,T3),(t1,r3,r2),(r2,r1r3,(t2,r3,r1),(r3,r1,T2),(r3,r2,r1), (r1,r3y),(r1y,r3),(r3,Ty),(r3y,ri),y,r1r3),y,r3,ri), (t2,r3y),(t2,y,r3),(r3,T2,y),(r3y,r2),(y,r2r3),y,T3,T2), (t1,T2,y),(t1y,r2),(r2,T1,y),(r2,y,r1),y,r,r2),y,T2,Ti) 共有24个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件A,则 A={1,r2,r3,(t1T3,T2),(t2,r1,r3),(t2,r3,Ti),(r3,T1,T2),(r3,T2,r1), (r1,T2,y),(r1y,T2),(T2,T1,y),(r2,y,T1),(rT3,y),(r1,y,T3) (r3,T1y),(r3,y,Ti),(t2,T3y,(t2,yr3),(r3,r2y),(r3,y,r2)} 共有18个基本事件， 第33页共35页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 所以P④-碧-是是即第一次换到红球的概率号 (2)设“第二次摸到红球”为事件B,则 B={(r1,T2,T3),(t1,T3,r2),(t2,r,T3),(t2,r3,r1),(r3,r1,T2),(r3,T2,ri, (r1,r2,y,(r2,T1,y),y,r1,T2),y,r2,T1),(r,T3,y),(r3,T1,y) y,T1,r3),y,3,T1),(r2T3,y),(r3,T2,y),(y,r2,r3),y,r3,r2)} 共有18个基本事件， 所以P()一恩=是-是即第二次摸到红球的藏率为号 设“第三次摸到红球”为事件C,则 C={t,r2,r3),(r1,T3,r2),(r2,T1,T3),(r2T3r1),(T3r1,T2),(t3,T2,r1), (r1,y,r2),(t2,y,r1),y,TT2),y,r2,r1),(ry,r3),(t3,y,T1), y,r1,T3),y,T3,r1),(r2,y,r3),(r3y,r2),(y,Tr2,r3),y,r3,r2)} 共有18个基本事件， 所以P(0-品-共-：即第三次摸到红球的率发 (3)因为P(A)=P(B)=P(C),即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签中签的概率与抽签顺序无关 18.(24-25高一下·河南驻马店阶段检测)已知一个古典概型试验中，事件A发生的概率为P(A)=子事件B 发生的概率为P(B)=子且事件A和事件B的并集发生的概率为P(AUB)= (1)求事件A和事件B同时发生的概率P(A∩B). (2)若事件C是事件A的对立事件，求事件C和事件B同时发生的概率P(C∩B). (3)若事件D是事件A和事件B的交集的对立事件，求事件D发生的概率P(D): 【答案】(P(An)=京2P(CnB)=京(3P0)-普 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式 求概率 【分析】(1)利用概率的加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)即可： (2)利用互斥事件的概率公式P(B)=P(A∩B)+P(CnB)即可； (3)利用对立事件的概率公式P(D)=1-P(A∩B)即可 【详解】(1)由概率的加法公式，可得P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B), 则PanB)=P(A+P(8)-PMuB)-+片吉 (2)因事件C是事件A的对立事件，则B=(A∩B)U(C∩B), 依题意，事件AnB与事件CnB互斥，则P(B)=P(AnB)+P(CnB), 即时+P(cnB).解得P(cnB)= (3)因事件D是事件A和事件B的交集的对立事件， 则P(D)=1-P(An)=1-=号 第34页共35页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(23-24高一下·甘肃武威期末)龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克 牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色）).现 从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功.现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 P2 P3 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率： (2)若三种抽取方式小明各进行一次， ()求这三次抽取中至少有一次成功的概率； ()设在三种方式中仅连续两次成功的概率为卫，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关， 什么样的顺序使概率卫最大？如果无关，请给出简要说明 【答案】（片子是(2）（①）石：()此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取 概率最大 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】(1)运用列举法，结合古典概型求解概率即可： (2)(1)运用对立事件概率性质求解即可；(i)求出各自的概率再比较即可. 【详解】(1)设方式①的样本空间为21，方式②的样本空间为22，方式③的样本空间为23， 则n(01)=8×8=64,n(02)=8×7=56,n(03)=4×4+4×4=32, 设事件A=“抽到一张红10和一张红K,A=(红桃10，红桃K),(红桃10，方块K),(方块10，红桃K, (方块10，方块K),(红桃K,红桃10)，（方块K,红桃10），（红桃K,方块10），（方块K,方块10）， 故=瑞-品=台p=器=品-方=瑞-品-片 (2)(1)记三次抽取至少有一次成功为事件B, 则p(B)=1-1-pD1-p)1-ps)=1-6×9x是G (i)有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大， 若按①@回的顺序，p-言××+日××生品 同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为： 1391395 224224224224112 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 第35页共35页 第五章 概率 复习讲义 教学目标 巩固对随机事件、样本空间、概率的基本性质、概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性、频率、用频率估计概率等知识的理解与掌握. 教学重点 概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性、用频率估计概率. 教学难点 概率的加法公式与乘法公式、互斥事件与对立事件、事件的独立性. 知识点01 随机事件与样本空间 （一）确定性现象与随机现象 1. 在一定条件下必然发生(出现)的现象称为确定性现象. 2. 在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果. 我们把这种现象称为随机现象. （二）随机试验、样本点与样本空间 1. 随机试验：对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验. 随机试验一般用大写字母E表示. 2. 样本点：对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用ω(或带下标)表示. 3. 样本空间：将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Ω表示. 用集合的语言描述时，试验的样本空间是该试验所有样本点构成的全集，样本点是该全集的元素. 它们之间的关系可用如图刻画. （三）事件 1. 基本事件：由一个样本点组成的集合，称为基本事件. 当试验结果(即试验的样本点)ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生，即样本点ω∈A和事件A发生等价. 2. 必然事件：Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生. 我们称样本空间Ω是必 然事件. 3. 不可能事件 空集⌀也是Ω的子集，所以空集⌀是事件. 空集⌀中没有样本点，永远不会发生，所 以我们称⌀是不可能事件. 4.随机事件：一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的子集A是Ω的随机事件，简称为事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示. 5.样本空间与事件 必然事件：一定会发生的事件，本身； 随机事件：样本空间的子集. 不可能事件：一定不会发生的事件，. 6.易错点： (1)样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果； (2)注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合； (3)在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 （四）事件的关系及运算 1.包含关系：事件发生则事件一定发生. 符号：. 2.相等关系：且. 符号：. 3.并事件（和事件）：事件与事件至少有一个发生. 符号：. 4.交事件（积事件）：事件与事件同时发生. 符号：（或）. 5.互斥事件：事件与事件不能同时发生. 符号： 6.对立事件：且 符号：.即与互补. 7.事件的运算性质 (1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A； (2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)； (3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)； (4) =∩， =∪. 【即学即练1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解． 【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B． 【即学即练1-2】（多选）（23-24高一下·江西景德镇·期中）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可判断. 【详解】因为样本空间两次都没击中飞机，第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机； “恰有一次击中飞机”指第一次击中、第二次没中或第一次没中、第二次击中； “至少有一次击中飞机”包含三种情况：第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机. 所以，，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：ABC. 知识点02 概率的基本性质及运算 （一）概率 1. 定义 设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同. 当Ω中的事 件A包含了m个样本点时，称P(A)= 为事件A发生的概率，简称为A的概率. 2. 概率的基本性质 性质1：对任意事件，都有. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3：如果事件与事件互斥，那么. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么. 性质5：如果，那么. 性质6： 设，是一个随机试验中的两个事件，有. （二）古典概型及其特征 1. 定义：我们把概率定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 2. 特点 (1)样本空间中只有有限个样本点； (2)每个样本点出现的可能性相等. 3. 计算公式：P(A)= . （三）事件的独立性 1.事件的相互独立 设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立. 注意：当三个事件、、两两独立时，一般不成立. 2.已知两个事件A，B，那么 （1）A，B中至少有一个发生为事件A+B. （2）A，B都发生为事件AB. （3）A，B都不发生为事件 . （4）A，B恰有一个发生为事件A+B. （5）A，B中至多有一个发生为事件A+B+. 3.事件的相互独立性 （1）事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响. （2）若事件A，B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B). （3）若事件A，B相互独立，则事件A与与B， 与也相互独立. （4）相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生， 记作：A∩B(或AB) 互斥事件A，B中有一个发生， 记作：A∪B(或A+B) 公式 P(A∩B)=P(A)·P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B) 4.利用事件的独立性求概率 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. （1）对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率； 另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率. （2）当直接计算事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 【即学即练2-1】（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 【即学即练2-2】(多选)（24-25高二上·河北保定·开学考试）已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解. 【详解】对于A，因为事件两两互斥， 所以，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于D，由，得，故D正确； 对于C，因为，故C正确. 故选：BCD. 知识点03 用频率估计概率 （一）频率与概率 1.设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次， 则称Fn(A)= 是n次独立重复试验中事件A发生的频率. 2.一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大； 反之，如果Fn(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系. 3.在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估计. 4.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画， 但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性； 而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性； 因此频率不能完全反映概率. （二）用频率估计概率 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 2.用频率估计概率的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率. 【即学即练3-1】（2025高一·全国·专题练习）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C. 【详解】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误； B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误； C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误； D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确． 故选：D． 【即学即练3-2】(多选)（2025高一·全国·专题练习）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度、用频率估计概率 【分析】选项A:由表中数据可以看出乙成绩在以下（含）的一共有4个，所以优秀的概率为. 选项B:比较甲乙比赛成绩的平均数因为两人比赛成绩都是3分多，所以比较秒数即可.选项C:与选项B的思路一样，只需比较秒的数据的方差即可. 选项D:因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差，说明甲比乙稳定，所以派甲更好. 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为，故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，因为甲乙的成绩都是3分多，所以只需要根据秒数计算即可. 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差， 说明甲比乙稳定，所以派甲更好.故D错误. 故选：AC. 题型01 随机事件与样本空间 【典例1-1】（24-25高一下·河北邯郸·期末）某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（   ） A．“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B．“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C．“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D．“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对A，可以同时发生“有一颗红豆种子不发芽”，故不是互斥事件； 对B，可以同时发生“两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” ，故不是互斥事件； 对C，“至少五颗种子发芽”，则至少有2颗绿豆种子发芽，“至多一颗绿豆种子发芽”不会同时发生，则是互斥事件； 对D，可以同时发生，“两颗红豆种子发芽，一颗绿豆种子发芽”，故不是互斥事件. 故选：C 【典例1-2】（24-25高一下·吉林长春·期末）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 【典例1-3】(多选)（21-22高一上·辽宁大连·期末）下列说法不正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件 B．若A，B为两个事件，则 C．若事件A，B，C两两互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、互斥事件的概率加法公式、判断命题的必要不充分条件 【分析】A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确； B. ,所以该选项错误； C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误； D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误. 【详解】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确； B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误； C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误； D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误. 故选：BCD 【典例1-4】（20-21高一·全国·课后作业）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验的样本空间共有________个样本点． 【答案】36 【难度】0.85 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用古典概型和样本空间的性质求解即可. 【详解】由题意得，一个骰子有6个面，抛两次，基本事件有种， 故这个试验的样本空间共有36个样本点. 故答案为：36 【变式1-1】（24-25高一下·云南楚雄·期末）从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（   ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由题意可得样本空间，进而求得的样本点，可得结论. 【详解】这个试验的样本空间为， 则和互斥且对立，和互斥且但不对立． 故选：D. 【变式1-2】（2024高一下·全国·专题练习）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件用样本点表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、写出样本空间、写出某事件的对立事件 【分析】利用列举法求出包含的事件，然后再求公共事件即可. 【详解】由已知得， 事件， 事件， 所以事件， 故选：D． 【变式1-3】（25-26高一上·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 【变式1-4】（2023高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B．若，为两个事件，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与相互对立 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、概率的基本性质、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D. 【详解】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立， 但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，为两个事件，则，故B错误； 对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”， 事件，，两两互斥，但.故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是， 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误. 故选：A. 【变式1-5】(多选)（23-24高一下·四川达州·期末）某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（    ）． A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】本题依据互斥事件、对立事件的概念以及概率计算即可判断. 【详解】对A、B，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 故决赛的两人要么来自同一个班级，要么来自不同的班级，故事件A和事件B不可能同时发生， 故事件A和事件B互斥且对立，故，故A正确，B不正确. 对C，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 先进行半决赛的两人如果来自同一班级，则后进行半决赛的两人也来自同一班级， 故事件C和事件D互斥且对立，故C正确. 由上述可知，事件A和事件B互斥且对立，事件C和事件D互斥且对立， 故，故D正确. 故选：ACD. 【变式1-6】（22-23高一下·河北衡水·期末）打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示_______． 【答案】至少击中1发 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据和事件的定义判断. 【详解】根据并事件的定义可知，表示至少有一个发生， 所以表示至少击中1发. 故答案为：至少击中1发. 题型02 概率的计算 【典例2-1】（22-23高一上·辽宁·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】计算古典概型问题的概率、随机模拟的其他应用 【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：共3组， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A. 【典例2-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定的条件，求出买3个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可，根据古典概型求概率. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，个盲盒的总情况数为，即27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有种情况， 则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为. 故选：D 【典例2-3】(多选)（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 【典例2-4】（24-25高一下·河南商丘·期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 【答案】/0.4 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间共10个基本事件，即 用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率． 故答案为：. 【变式2-1】（22-23高一下·广东广州·期末）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（    ） A．在有放回简单随机抽样方式下， B．在不放回简单随机抽样方式下， C．在按性别等比例分层抽样方式下， D．在按性别等比例分层抽样方式下， 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】记3名男生为，3名女生为. 对于选项A，有放回简单随机抽样的样本空间为 1 2 3 a b c 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) (a,a) (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) (b,b) (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) (c,c) 共36个样本点，事件有9个样本点，所以，故选项A错误； 对于选项B，不放回简单随机抽样的样本空间为 1 2 3 a b c 1 × (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) × (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) × (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) × (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) × (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) × 共30个样本点，事件有18个样本点，所以，故选项B错误； 对于选项C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以，故选项C错误； 对于选项D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间为，共有9个样本点，事件，所以，故选项D正确. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·江西吉安·期末）班上有5名数学爱好者，其中3人是男生.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都是男生的样本个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人是男生， 记这3人为，其余2人为， 从5人中选取人有：，共有10种情况， 恰好2人都是男生有，共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率为. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·陕西渭南·期末）现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、计算古典概型问题的概率 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算从这4个函数中随机抽取2个函数的选法总数，再计算恰有1个函数是奇函数的选法数，最后计算概率即可. 【详解】对于定义域为，令，则， ，是奇函数； 对于定义域为，令，则， ，是偶函数； 对于定义域为，令，则， 是非奇非偶函数；对于定义域为， 令，则，，是奇函数， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有种选法, 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有种， 所以，所求概率. 故选：D 【变式2-4】（2025高一上·全国·专题练习）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得． 【详解】由于甲、乙都非常聪明，所以他们获胜的关键要看裁判擦去哪个数． 注意2，3，4，…，2026中有1012个奇数，1013个偶数． 若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜．理由如下： 乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不是互质数，故乙胜． 若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜．理由如下： 设裁判擦去的是2m，则将余下的数配成1012对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成， 如，，…，，，…，， 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们为互质数， 故甲必获胜．所以甲获胜的概率为裁判擦去的是偶数的概率，即为． 故选：C 【变式2-5】(多选)（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 【变式2-6】（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）从1，2，3，4，5中随机取出3个数，其和记为，其余两个数之积为，则的概率为_________． 【答案】/ 【难度】0.7 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典型的概率求解法求解即可. 【详解】要使随机取出的3个数的和大于剩下两个数的积， 则取出的3个数分别为：5，4，3；5，4，2；5，4，1；5，3，2；5，3，1；4，3，2；共6种情况； 而总的抽取情况除了上述的6种外，还有：5，2，1；4，3，1；4，2，1；3，2，1，共4种情况， 故从5个数中任取3个数共10种情况； 所以所求概率为 题型03 概率加法公式与乘法公式 【典例3-1】（24-25高一下·福建莆田·期末）若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】首先求得，然后结合即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故选：B. 【典例3-2】（25-26高一上·北京房山·期末）甲､乙两人独立破译同一密码，甲破译密码成功的概率为0.3，乙破译密码成功的概率为0.4.则密码被成功破译的概率为（    ） A．0.7 B．0.42 C．0.46 D．0.58 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】密码破译共产生四种不同的结果：甲成功乙失败、甲失败乙成功、甲成功乙成功，甲乙均失败.因为甲乙破译密码是相互独立的，所以根据概率的加法公式和相互独立事件的定义即可求解.或可根据对立事件的概率关系求解. 【详解】方法一： 设“甲成功破译密码”为事件A，“乙成功破译密码”为事件B. 则. 所以，，. 所以密码被成功破译的概率为. 方法二： 密码不能被成功破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：D. 【典例3-3】(多选)（24-25高一上·江西南昌·期末）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B．张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C．甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的概率计算判断A；利用古典概型的概率公式求解判断B；利用独立事件和互斥事件的概率公式计算判断C；利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D． 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为共6个， 取出的张卡片上的数字之和为奇数的结果为共4个，故概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 则从每个袋子中各任取一个球，取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误． 故选：AC 【典例3-4】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【答案】/0.9375 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据所给条件，利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件与事件互斥，且，所以， 又因为事件与事件都不发生的概率为， 所以，解得，所以， 故答案为： 【变式3-1】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知事件，互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【详解】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B 【变式3-2】（25-26高一上·安徽·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】设密码被成功破译的事件为， 则这份密码没有被破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为， 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·江西景德镇·期末）口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】分第一个人摸到白球和第一个人摸到黑球两种情况，利用概率乘法公式和加法公式求解. 【详解】若第二个人摸到白球，则有2种可能：第一个人摸到白球或第一个人摸到黑球， 所以第二个人摸到白球的概率是. 故选：B. 【变式3-4】（2023高二上·山西·学业考试）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 【变式3-5】(多选)（24-25高一上·山东日照·期末）现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）.积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队胜3场与乙队胜3场是互斥事件 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、利用互斥事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平分析判断；对C，分两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场，讨论求解；对D，根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解. 【详解】对于A，甲队胜3场是指甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁， 乙队胜3场是指乙胜甲，乙胜丙，乙胜丁，不可能同时发生，故它们是互斥事件，故A正确； 对于B，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲、乙、丙各得4分，丁得3分，故B错误； 对于C，丙队积分为3分，包含两种情况，丙胜1负2场，或丙平3场， 若丙胜1负2场，则其概率为， 若丙平3场，则其概率为， 所以丙队积分为3分的概率为，故C正确； 对于D，甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：ACD. 【变式3-6】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 题型04 用频率估计概率 【典例4-1】（24-25高一下·安徽亳州·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．133石 B．159石 C．163石 D．169石 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而求得结果. 【详解】因为252粒内夹谷28粒，所以米内夹谷的频率为：. 所以这批米内夹谷约为：石. 故选：D 【典例4-2】（25-26高二上·广东·阶段检测）抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（    ） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案. 【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上， 故“正面朝上”的频率为， 每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5. 故选：D 【典例4-3】(多选)（2024高一·全国·专题练习）下列结论错误的是（　　） A．若事件的概率为，则必有 B．若事件的概率，则事件是必然事件 C．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为 D．某奖券中奖率为，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、抽奖、彩票的概率解释、用频率估计概率 【分析】根据概率的性质判断A，根据必然事件的定义判断B，根据频率与概率的关系判断C，根据概率的定义判断D. 【详解】对于A：因为，故A错误； 对于B：当事件的概率时，事件才是必然事件，故B错误； 对于C：样本中有明显的疗效的频率为，所以估计有明显疗效的可能性为，故C正确； 对于D：奖券中奖率为，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，故D错误． 故选：ABD. 【典例4-4】（22-23高二下·广东揭阳·期中）为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是__________. 【答案】132 【难度】0.65 【知识点】计算频率、用频率估计概率 【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问到的600人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率，最后利用样本频率估计总体的方法即可求解. 【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同， 所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”， 所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为， 用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为人. 故答案为：132. 【变式4-1】（22-23高一下·全国·课后作业）某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上出现了6次，若用表示正面朝上这一事件，则的频率为（    ） A． B． C．6 D．接近 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】根据频率的计算方法即可得到答案. 【详解】根据频率计算方法可知的频率为， 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．2万件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】用样本的合格率估计总体的合格率，再估算出合格产品件数． 【详解】由题意合格率为， 因此合格品件数约为（万件）， 故选：C． 【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】先设该校有a名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2 h的学生中近视人数；再用频率估计概率即可求解. 【详解】设该校有a名同学， 则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50% 所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a， 则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为． 故选：B． 【变式4-4】（25-26高二上·贵州·阶段检测）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 【变式4-5】(多选)（21-22高一·全国·单元测试）某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率 【分析】计算出各个事件的概率，只要概率在0.3到0.4之间即可. 【详解】由频率折线图可知，频率在0.3到0.4之间. 选项A，出现正面朝上的概率为，不符合题意，故A错误； 选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故B正确； 选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意，故C错误； 选项D，从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确. 故选：BD. 【变式4-6】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有_________个. 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24 一、单选题 1.（20-21高一·全国·课后作业）已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为 10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是（   ） A．0.10 B．0.12 C．0.15 D．0.18 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】利用各组的频率之和等于 1的性质即得. 【详解】由已知条件可得第一组到第四组数据的频率分别为 0.25，0.125，0.175，0.15，又这六组的频率之和是 1， 因此，第六组的频率为 . 故选：A . 2.（24-25高一下·北京丰台·期末）某人连续投篮两次，下列事件中与事件“恰有一次投中”互斥的为（   ） A．至多有一次投中 B．至少有一次投中 C．恰有一次没有投中 D．两次都投中 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】表示投篮两次的所有基本事件情况，观察可得答案. 【详解】某人连续投篮两次，共会发生： 第一次中第二次不中， 第一次不中第二次中， 第一次中第二次中， 第一次不中第二次不中，共4种情况， 事件“恰有一次投中”包含：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中， 所以与之互斥的就是“两次都投中”， 故选：D 3.（25-26高一上·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故选：B 4.（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【详解】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 5.（25-26高三·全国·一轮复习）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（   ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间 【详解】解析  样本空间中有11个样本点，故A错；事件中有5个样本点，故B错；样本点中没有11，故D错．故选C． 6.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、整数值随机模拟问题 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有： 633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 7.（23-24高二上·广东佛山·阶段检测）已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（    ） A．2 B．4 C．6或2 D．8或4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式列式计算可得解. 【详解】设事件为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，事件为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”， 则， 所以，解得或. 故选：C. 8.（25-26高二上·湖北·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】用古典概型概率计算公式分别计算出相应事件的概率即可作出判断. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 二、多选题 9.（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系 【分析】由频率和概率的有关概念即可得出答案. 【详解】对于A，任何事件的概率总是在[0，1]之间，其中必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A正确； 对于B，概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关， 而事件的结果是随机的，在试验前不能确定，故B错误； 对于C，只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的， 一般来说，当试验的次数不同，频率是不同的，它与试验次数有关，故C错误； 对于D，由频率的性质可知，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故D正确； 综上所述，正确的有A、D， 故选：AD. 10.（25-26高一下·安徽安庆·月考）下列说法正确的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、判断所给事件是否是互斥关系、总体百分位数的估计 【详解】对于A，“甲站正中间”与“乙站正中间”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确； 对于B，向上面的点数是3的整数倍的概率为，B错误； 对于C，这组数据已经是从小到大排列，又，故25%分位数为，C错误. 对于D，，D正确． 故选AD. 11.（2025高一·全国·专题练习）（多选）某疫苗在不同实验中平均效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力．关于注射疫苗，下列说法正确的有（    ） A．只要注射该种疫苗，就一定不会感染其所预防疾病 B．注射该种疫苗，能使其所预防疾病感染的风险大大降低 C．若对照组10000人，发病100人，疫苗组20000人，发病40人，则效力为80% D．如果某疫苗组的效力为80%，对照组的发病率为50%，那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题目所给的相关定义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由题意，疫苗的平均效力为，最高达，但不是注射该种疫苗，就一定不会感染其预防的疾病，故选项A错误； 对于B，由题给疫苗效力可知，选项B正确； 对于C，若对照组10000人，发病100人，疫苗组20000人，发病40人，则注射疫苗的效力为，故选项C正确； 对于D，若某疫苗组的效力为，对照组的发病率为，只是反映了一个概率问题， 并不能说明在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病，故选项D错误． 故选：BC． 三、填空题 12.（25-26高一上·江西南昌·期末）学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽中“手工篆刻”的概率为__________． 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列举出所有可能的情况，利用古典概率求解即可． 【详解】手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画分别用，，，来表示， 则李同学从4个体验项目中任选2个不同项目， 有，，，，，，共种情况， 李同学恰好抽中“手工篆刻”的情况有，，，共种， 故所求概率为． 故答案为：． 13.（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】计算古典概型问题的概率 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间包含，，，，，，，，，共10个， 抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个， 所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率． 14.（25-26高三下·上海·阶段检测）已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 四、解答题 15.（24-25高一下·全国·课后作业）从学号为1，2，3，4，5，6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1，3，5号同学为男生，2，4，6号同学为女生，记：“选出1号同学”，“选出2号同学”，“选出3号同学”，“选出4号同学”，“选出5号同学”，“选出6号同学”，“选出的同学学号不大于1，”“选出的同学学号大于4，”“选出的同学学号小于6，”“选出的同学学号小于7”“选出的同学学号大于6”“选出的同学学号为偶数”，“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题： (1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？ (2)如果事件发生，则一定有哪些事件发生？ (3)如果事件H发生，则可能是哪些事件发生？在集合中，事件H与这些事件之间有何关系？ (4)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？ (5)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？ 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析；(5)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】（1）根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义进行判断即可. （2）根据事件包含关系的定义进行判断即可. （3）根据和事件的定义进行判断即可. （4）根据交事件的定义进行判断即可. （5）根据交事件的性质进行判断即可. 【详解】（1）必然事件有E；随机事件有，，， ，，，，，，G，H；不可能事件有F． （2）事件，，和H一定发生． （3）可能是，，发生，． （4）和同时发生时，即为发生了，． （5）有，如和；和等． 16.（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)该规则不公平，理由见解析. 【难度】0.82 【知识点】游戏的公平性、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出 “类型不同” 的样本点，利用古典概型概率公式计算，即目标事件数除以总样本数. （2）采用 “正难则反” 策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用 1 减去该概率得到至少抽到一次的概率.   （3）类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否公平. 【详解】（1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点， ，有8个样本点， 故. （2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为. 小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则， 所以. （3）该规则不公平. 理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为， 因为，所以该规则不公平. 17.（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1)样本空间见解析；； (2)第二次，第三次摸到红球的概率均为； (3)抽签中签的概率与抽签顺序无关 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； （2）由古典概型求得概率； （3）依据概率相同得到结论. 【详解】（1）将三个红球记为，一个黄球记为， 从中不放回地依次随机摸出个球，该实验的基本事件空间为： 共有个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第一次摸到红球的概率为. （2）设“第二次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第二次摸到红球的概率为. 设“第三次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第三次摸到红球的概率为. （3）因为，即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签中签的概率与抽签顺序无关. 18.（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)；(2)；(3). 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用概率的加法公式即可； （2）利用互斥事件的概率公式即可； （3）利用对立事件的概率公式即可. 【详解】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 19.（23-24高一下·甘肃武威·期末）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 【答案】(1)，，．(2)（i）；（ii）此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型求解概率即可； （2）（i）运用对立事件概率性质求解即可；（ii）求出各自的概率再比较即可． 【详解】（1）设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 则，，， 设事件，，，，，，，，， 故，，． （2）（i）记三次抽取至少有一次成功为事件B， 则． （ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大． 若按①②③的顺序，， 同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为： ，，，，， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $