微突破2 三角形中的 特征线-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word

微突破2　三角形中的 特征线 【备考指南】　与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等. 1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝5，c＝4，则BC边上的中线AD的长为（　　） A. B. C. D. 1.（1）向量法：＝（＋）； （2）中线长定理：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝（AB2＋AC2）－BC2. 解析：C　法一　如图，由余弦定理可得cos B＝＝＝.在△ABD中，有AB＝c＝4，BD＝BC＝a＝3，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝16＋9－2×4×3×＝，解得AD＝. 法二　在△ABC中，根据中线长公式可得AD＝＝＝. 2.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝（　　） A. B. C. D. 2.在△ABC中，若AD平分∠BAC： （1）内角平分线定理：＝； （2）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. 解析：D　法一　由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得×2×3×sin 120°＝×2AD×sin 60°＋×3AD×sin 60°，解得AD＝. 法二　由＝，得3BD＝2DC，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos 60°，在△ADC中，DC2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos 60°，即36＋9AD2－18AD＝36＋4AD2－12AD，解得AD＝. 3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝－，则AB边上的高h＝　　　　. 3.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和该边长度. 解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×（－）＝16，故c＝4.∵cos C＝－，C∈（0，π），∴sin C＝＝.设AB边上的高为h，则absin C＝ch，即×2×3×＝×4h，解得h＝. 【思维建模】　三角形中“特征线”问题的解题步骤 【例】　（2025·重庆学业质量调研）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC为钝角，AB＝BC＝2，CD＝4，sin∠BCD＝. （1）求cos∠BDC； 解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝π， 又∠ABC为钝角，∴∠BCD为锐角. ∵sin∠BCD＝， ∴cos∠BCD＝＝. 又BC＝2，CD＝4，∴在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝16，得BD＝4， ∴在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC＝＝. （2）设点E为AD的中点，求BE的长. 解：（2）如图，在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC， ∴cos∠ABD＝cos∠BDC＝. 在△ABD中，∵E为AD的中点， ∴＝＋. 由（1）知，BD＝4，即｜｜＝4， 又｜｜＝BA＝2，∴｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＋·＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜·｜｜cos∠ABD＝， ∴｜｜＝，即BE＝. 变式　〔由特殊到一般〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2，A＝，求△ABC的周长. 解：法一　设CD＝x，则在△ABC中，cos∠BAC＝＝　①. 在△ACD中，cos∠ADC＝＝. 在△ADB中，cos∠ADB＝. 因为cos∠ADC＋cos∠ADB＝0，所以6x2＋18－c2＝0　②. 由①②可解得c＝6，x＝，所以△ABC的周长为3＋9. 法二　因为BD＝2DC，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以＝＋·＋，即12＝c2＋×c×3×＋×9，即c2＋6c－72＝0，解得c＝6或c＝－12（舍去）. 由余弦定理得a2＝36＋9－2×6×3×＝27，所以a＝3， 所以△ABC的周长为3＋3＋6＝3＋9. 【常用结论】　如图，在△ABC中，BD＝λCD，有两个角度列式： （1）利用cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，结合余弦定理找关系； （2）利用＝＋，平方后找关系. 【训练】　（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，三角形三边上的高之比为2∶3∶4，则cos C＝　　－　　； 解析：由于a＜b＜c，则三边a，b，c上的高之比为ha∶hb∶hc＝4∶3∶2，即4∶3∶2＝∶∶，设a＝3x，则b＝4x，c＝6x，在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝－. （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C＋＝tan B（tan C－1）. ①求角A； ②若a＝，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝，且BC平分∠ABD，求△ACD面积的取值范围. 解：①由tan C＋＝tan B（tan C－1）， 得tan B＋tan C＝－（1－tan Btan C）， 即＝－， 即tan（B＋C）＝－，所以tan（π－A）＝－，即tan A＝， 又A∈（0，π），所以A＝. ②设∠ABC＝∠CBD＝x， 在△BCD中，∠BDC＝，故x∈（0，）， 则∠ACD＝2π－－－2x＝π－2x. 在△ABC与△BCD中，由正弦定理有＝，＝， 则AC＝CD＝2sin x， 故S△ACD＝（2sin x）2sin（π－2x）＝4sin3xcos x. 令φ（x）＝4sin3xcos x，x∈（0，）， 则φ'（x）＝12sin2xcos2x－4sin4x ＝4sin2x（cos x＋sin x）（cos x－sin x）， 易知φ'（x）＞0，则函数φ（x）＝4sin3xcos x在（0，）上单调递增， 又φ（0）＝0，φ（）＝， 所以△ACD面积的取值范围为（0，）. 【常用结论】　在△ABC中，若h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. （时间：30分钟，满分：45分） 一、单项选择题（每小题5分，共10分） 1.在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC＝（　　） A.2 B.4 C.2 D.4 解析：B　法一　设BC＝2x，则BD＝CD＝x.在△ACD中，由余弦定理的推论可得，cos∠ADC＝＝.在△ABD中，由余弦定理的推论可得，cos∠ADB＝＝.又∠ADC＋∠ADB＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠ADB，所以有＝－，整理可得x2＝12，解得x＝2，所以BC＝4. 法二　＝（＋），则＝（＋＋2·），即25＝（25＋49＋2×5×7×cos∠BAC），解得cos∠BAC＝，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝25＋49－2×5×7×＝48，所以BC＝4. 2.（2025·湖北武汉四调）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C＝，c＝6，△ABC面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的平分线，则CD＝（　　） A. B.1 C. D. 解析：B　因为∠ACB＝，且CD是∠ACB的平分线，所以∠ACD＝∠BCD＝，由S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，得b·CD·sin∠ACD＋a·CD·sin∠BCD＝，解得CD＝.又S△ABC＝absin∠ACB＝ab＝，所以ab＝4.因为c＝6，所以在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab，所以（a＋b）2＝c2＋3ab＝36＋12＝48，所以a＋b＝4，所以CD＝＝＝1，故选B. 二、填空题（共5分） 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，c＝，BC边上的高等于a，则△ABC的面积是　　　　，sin A＝　　. 解析：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD＝a.又B＝，c＝，在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，即a2＋a2＝2，解得a＝3，所以S△ABC＝AB·BC·sin∠ABD＝××3×＝.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝1＋4＝5，所以b＝.由正弦定理＝，得＝，可得sin A＝. 三、解答题（共30分） 4.（15分）在△ABC中，已知tan Atan B－tan A－tan B＝，角C的平分线CD交AB于点D. （1）求证：＝＋； （2）若CD＝CB＝2，求△ABC的面积. 解：（1）证明：∵tan Atan B－tan A－tan B＝， ∴（tan Atan B－1）＝tan A＋tan B， ∴＝－， ∴tan（A＋B）＝－，∴tan∠ACB＝， ∵0＜∠ACB＜π，∴∠ACB＝， ∵CD为角C的平分线，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD， ∴·CA·CB·sin∠ACB＝·CD·CA·sin∠ACD＋·CD·CB·sin∠BCD， ∴CA·CB＝CD·CB＋CD·CA， 即＝＋. （2）将CD＝CB＝2代入＝＋， 可得CA＝＋1， ∴S△ABC＝×CA×CB×sin ∠ACB＝×2×（＋1）×＝. 5.（15分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝tan B＋tan C. （1）求角C； （2）若c＝2，边AB的中点为D，求中线CD长度的取值范围. 解：（1）因为＝tan B＋tan C，所以＝＋， 即＝＝＝， 又A，B∈（0，π），所以sin A≠0，所以tan C＝1. 因为C∈（0，π），所以C＝. （2）由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝4， 又＝（＋），则＝（＋）2＝（a2＋b2＋ab）＝ab＋1. 由正弦定理可得a＝2sin A，b＝2sin B＝ 2sin（－A）＝2cos A＋2sin A. 则ab＝4sin2A＋4sin Acos A＝4·＋2sin 2A＝4sin（2A－）＋2， 由题意得解得＜A＜，则2A－∈（，），所以sin（2A－）∈（，1］， 所以ab∈（4，4＋2]，所以∈（5，3＋2]， 所以中线CD长度的取值范围为（，1＋]. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $