4 微专题(2) 函数的公切线问题-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学讲义聚焦函数公切线这一导数应用高考难点，整合求切线方程、求值、判断条数、参数范围四大核心题型，按问题类型构建知识网络。通过考点梳理明确解题规律，方法指导提炼消元转化技巧，真题讲解结合模拟题剖析思路，助力学生系统突破。 资料以逻辑推理和数学运算素养为导向，创新采用“题型分类+函数构造”教学策略，如判断公切线条数时引导学生构造函数分析极值，培养用数学思维解决问题的能力。设置分层跟踪训练，配合规律方法总结，确保高效复习，为教师把控节奏和提升学生应考能力提供有力支持。

微专题(二)　函数的公切线问题 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. 　求两函数的公切线 　(2025·湘潭模拟)已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公切线，则直线l的方程为________． 【答案】　y＝ex－1或y＝x 【解析】　设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)， 则ea＝＝， 整理得(a－1)(ea－1)＝0， 解得a＝1或a＝0， 当a＝1时，l的方程为y＝ex－1； 当a＝0时，l的方程为y＝x. 【规律方法】　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． [跟踪训练] 1．(2025·南平模拟)已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为　2x－y－e＝0　. 解析：设曲线g(x)＝aln x和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同， 则f′(x)＝2x，g′(x)＝， 由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 即 解得a＝2e，x0＝， 故切点为(，e)， 切线斜率k＝f′(x0)＝2， 所以切线方程为y－e＝2(x－)， 即2x－y－e＝0. 　与公切线有关的求值问题 　(2025·德阳模拟)已知曲线y＝ex在点(x1，y1)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，y2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 【解析】　根据常用函数的导数可知 y＝ex⇒y′＝ex， y＝ln x⇒y′＝， 则两函数在点(x1，y1)和(x2，y2)处的切线分别为 y－y1＝ (x－x1)， y－y2＝(x－x2)， 化简得y＝x＋(1－x1) ， y＝x＋ln x2－1， 化简得x1x2＋x2－x1＋1＝0⇒(x1＋1)(x2－1)＝－2. 【答案】　B 【规律方法】　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． [跟踪训练] 2．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于(　D　) A．0 B．－1 C．3 D．－1或3 解析：设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)， 由f(x)＝xln x得f′(x)＝1＋ln x， 可得切线的斜率为1＋ln m， 则切线方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)， 将A(0，－1)代入切线方程可得 －1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)， 解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1， 联立 可得x2＋(a－1)x＋1＝0， 由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. 　判断公切线条数 　(2025·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　设公切线与y＝x2的切点为(x1，x)， 与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝， 则在切点(x1，x)处的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝x＋ln x2－1， ∴ 整理得到x－ln x1＝1＋ln 2， 令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)， 则f′(x)＝2x－＝， f′(x)>0⇒x>；f′(x)<0⇒0<x<， ∴f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f ()＝＋ln 2<1＋ln 2， 即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程x－ln x1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2. 【规律方法】　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 【答案】　C [跟踪训练] 3．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　A　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4， g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝， 解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0， 构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1， h′(x)＝8x(3x－2)， 则h(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上单调递增， 在(0，)上单调递减，极大值h(0)>0，极小值h()<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条． 　求参数的取值范围 　(2025·保定模拟)若曲线f(x)＝(k<0)与g(x)＝ex有三条公切线，则k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【解析】　设公切线为l，P(x1，y1)是l与f(x)的切点，由f(x)＝， 得f′(x)＝，设Q(x2，y2)是l与g(x)的切点， 由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex， 所以l的方程为y－y1＝(x－x1)， 因为y1＝， 整理得y＝x＋， 由题意此方程有三个不相等的实根， 设h(x)＝－ex(x－1)2， 即直线y＝4k与曲线h(x)有三个不同的交点， 因为h′(x)＝ex(1－x2)， 令h′(x)＝0，则x＝±1， 当x<－1或x>1时，h′(x)<0； 当－1<x<1时，h′(x)>0， 所以h(x)有极小值为h(－1)＝－4e－1， h(x)有极大值为h(1)＝0， 因为h(x)＝－ex(x－1)2，ex>0，(x－1)2≥0，所以h(x)≤0， 当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0； 当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞， 故h(x)的大致图象如图． 所以当－4e－1<4k<0，即－<k<0时，直线y＝4k与曲线h(x)有三个交点． 【答案】　A 【规律方法】　利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． [跟踪训练] 4．(2025·桂林模拟)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　D　) A．(0,1) B. C. D. 解析：y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m， y＝(a>0)在点(n，)处的切线斜率为， 如果两个曲线存在公切线，那么2m＝. 又由斜率公式得到2m＝， 由此得到m＝2n－2， 则4n－4＝有解， 则y＝4x－4，y＝的图象有公共点． 当直线y＝4x－4与曲线y＝相切时，设切点为(s，t)，则＝4，且t＝4s－4＝， 可得t＝4，s＝2， 即有切点(2,4)，a＝， 故a的取值范围是a≥. 学科网（北京）股份有限公司 $