11.3 成对数据的统计分析-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学高考复习讲义聚焦成对数据的统计分析核心考点，涵盖相关关系判断、经验回归方程、回归分析及独立性检验，按“概念—方法—应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确相关关系正负及线性相关判定，方法指导细化回归方程参数计算与独立性检验步骤，真题训练精选天津卷、全国甲卷等典型例题，帮助学生系统突破统计应用难点。 资料采用“问题链驱动”教学法，如在回归分析教学中，先引导学生根据样本数据计算回归方程，再通过误差检验判断模型可靠性，培养数学思维与数据观念。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保学生高效掌握相关系数、卡方统计量等关键方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升统计问题解决能力。

第三节　成对数据的统计分析 1．两个变量的相关关系 (1)正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关； (2)负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，称这两个变量负相关； (3)线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，称这两个变量线性相关． 2．经验回归方程 方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的经验回归方程，其中，是待定参数． 3．回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心． (3)样本相关系数：样本相关系数 r＝ 当r>0时，表明两个变量__正相关__； 当r<0时，表明两个变量__负相关__． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． (4)决定系数：R2＝　1－　 其中 (yi－i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好． 4．独立性检验 (1)列联表：列出两个分类变量的__频数表__，称为列联表，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量χ2＝ ，其中n＝__a＋b＋c＋d__为样本容量． (2)独立性检验： 当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，简称独立性检验． 　相关关系的判断 (2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　) 【解析】　选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中的线性相关系数最大，故选A. 【答案】　A 判断相关关系的两种方法 (1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，那么变量之间有相关关系，如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间有线性相关关系． (2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1，相关性越强． [针对训练] 1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断(　C　) A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 解析：由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．故选C. 　回归分析 角度一　线性回归方程及其应用 (2025·福州市第一学期抽测)随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多．每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫．已知一只药用昆虫的产卵数y(单位：个)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表： 日期 2日 7日 15日 22日 30日 温度x/℃ 10 11 13 12 8 产卵数y/个 23 25 30 26 16 科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． (1)若选取的是3月2日与30日这2组的数据，请根据3月7日、15日和22日这3组的数据，求出y关于x的线性回归方程； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 【解】　(1)由已知数据得＝12，＝27， (xi－)(yi－)＝5，(xi－)2＝2. 所以＝＝， ＝－＝27－×12＝－3. 所以y关于x的线性回归方程为＝x－3. (2)由(1)知，y关于x的线性回归方程为 ＝x－3. 当x＝10时，＝×10－3＝22，|22－23|<2， 当x＝8时，＝×8－3＝17，|17－16|<2. 所以(1)中所得的线性回归方程＝x－3是可靠的． 角度二　相关系数及其应用 　某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图． 依据折线图计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系．(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合) 相关系数公式：r＝， 参考数据：≈0.55，≈0.95. 【解】　由已知数据可得＝＝5，＝＝4. 因为(xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6， ＝＝2， ＝＝， 所以相关系数r＝＝＝≈0.95.因为|r|>0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系． 一元线性回归模型应用要点 (1)建立经验回归方程的步骤 ①计算出，，x＋x＋…＋x，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值； ②利用公式计算参数，； ③写出经验回归方程＝x＋. (2)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越接近于1时，两变量的线性相关程度越强． [针对训练] 2．(2025·成都第一次诊断性检测)在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅销售了来自中国的小龙虾，这些小龙虾均标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x与销售单价y(单位：元)之间的关系，经统计得到如下数据： 等级代码数值x 38 48 58 68 78 88 销售单价y/元 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8 (1)已知销售单价y与等级代码数值x之间存在线性相关关系，求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.1)； (2)若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？ 参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝， ＝－. 参考数据：xiyi＝8 440，x＝25 564. 解：(1)由题意，得＝＝63， ＝＝21.5， ＝＝≈0.2， ＝－＝21.5－0.2×63＝8.9. 故所求线性回归方程为＝0.2x＋8.9. (2)由(1)，知当x＝98时，y＝0.2×98＋8.9＝28.5. 所以估计该等级的中国小龙虾销售单价为28.5元． 　独立性检验 (2024·全国甲卷(理))(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. 【解】　(1)第1步：填写列联表 填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 第2步：作出完整的2×2列联表 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 第3步：根据公式求K2 K2＝＝4.687 5. 第4步：根据K2的值判断 因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)第1步：求出 由题意可知＝＝0.64， 第2步：求出p＋1.65的值 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 第3步：由与p＋1.65的大小关系判断 所以＞p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． 1．比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 (1)通过计算χ2的大小判断；χ2越大，两变量有关联的可能性越大． (2)通过计算|ad－bc|的大小判断：|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性越大． 2．独立性检验的一般步骤 第一步：根据样本数据制成2×2列联表； 第二步：根据公式χ2＝计算x2的观测值； 第三步：比较观测值与临界值的大小关系，作出推断． [针对训练] 3．(2025·长沙市统一模拟考试)为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下表： 超过1小时 不超过1小时 男 20 8 女 12 m (1)求m，n的值； (2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？ 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2＝ 解：(1)由已知，该校有女生400人，故＝， 得m＝8，从而n＝20＋8＋12＋8＝48. (2)作出2×2列联表如下： 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 总计 男 20 8 28 女 12 8 20 合计 32 16 48 K2＝＝≈0.685 7<3.841. 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关． 学科网（北京）股份有限公司 $