第2讲 三角函数的图象与性质-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书Word

第2讲　三角函数的图象与性质 【备考指南】　三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，利用三角函数的性质可求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，试题主要以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下. 1.（2021·新高考Ⅰ卷4题）下列区间中，函数f（x）＝7sin的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 1.函数y＝sin x的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z），单调递减区间为［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）. 解析：A　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为⫋，所以区间是函数f（x）的单调递增区间.故选A. 2.（2025·全国Ⅰ卷4题）已知点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x－）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. 2.函数y＝tan x的对称中心为（，0），k∈Z； 单调递增区间为（－＋kπ，＋kπ），k∈Z. 解析：B　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan（x－）的图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. 3.函数y＝cos x的对称轴为x＝kπ，k∈Z；对称中心为（kπ＋，0），k∈Z；零点为x＝＋kπ，k∈Z. 3.〔多选〕设函数f（x）＝cos（2x－），则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的一个周期为 B.f（x）的图象关于直线x＝对称 C.f（x）的一个零点是 D.f（x）的最大值为1，最小值为－1 解析：BD　因为最小正周期T＝＝＝π，故A错误；因为f（）＝cos（2×－）＝1，故B正确，C错误；因为f（x）＝cos（2x－）中A＝1，所以f（x）的最大值为1，最小值为－1，故D正确. 4.要得到函数y＝sin（4x－）的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向　右　　平移　　　　个单位长度. 4.平移变换：左“＋”右“－”，一定要注意对x前的系数的处理.　 解析：要得到y＝sin（4x－）＝sin［4（x－）］的图象，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度即可. 5.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）－cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）是定义在R上的奇函数，则f（－）＝　　－　　. 5.y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；当φ＝kπ＋（k∈Z）时为偶函数.　 解析：f（x）＝sin（2x＋φ）－cos（2x＋φ）＝2sin（2x＋φ－），可得φ－＝kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝2sin 2x，∴f（－）＝2sin（－）＝－. 考点一　图象变换 【例1】　（1）把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）＝（　　） A.cos（2x－） B.cos（2x－） C.cos（x－） D.cos（x－） 解析：B　把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）后的图象对应的函数为y＝cos 2x，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的图象对应的函数为y＝cos［2（x－）］＝cos（2x－）.故选B. （2）（2025·江苏南通二模）将函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后与函数g（x）＝cos（ωx＋）的图象重合，则ω的最小值为（　　） A.2 B.3 C.6 D.9 解析：B　将f（x）＝sin（ωx＋）的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin［ω（x＋）＋］＝sin（ωx＋＋）＝cos（ωx＋），则＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω＞0，所以ω的最小值为3.故选B. 【易错提醒】　对于y＝sin x（或y＝cos x）的图象，变为y＝sin ωx（或y＝cos ωx）的图象时，x的变化量为原来的倍. 【训练1】　（1）将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝cos 2x的图象，则φ可以是（　　） A. B. C. D.π 解析：A　因为y＝cos 2x＝sin（2x＋），将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝sin[2（x＋φ）]＝sin（2x＋2φ）的图象，所以sin（2x＋）＝sin（2x＋2φ），则＋2kπ＝2φ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，k＝1时，φ＝，故选A. （2）〔创新命题角度〕已知函数f（x）的部分图象如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（　　） A.y＝f（2x－） B.y＝f（－） C.y＝f（－1） D.y＝f（2x－1） 解析：D　图2相对于图1进行了向右平移1个单位，再横向缩短为原来的，图2对应函数为y＝f（2x－1）.故选D. 【易错提醒】　注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 考点二　图象与解析式 【例2】　（1）函数f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1（｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则φ＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　令f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1＝0，则sin（2x＋φ）＝－，根据图象得x＝－为函数零点，零点左右函数为上升趋势，则2×（－）＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ＋，k∈Z，因为｜φ｜＜π，则k＝0，φ＝. （2）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 解析：C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. 【通性通法】　已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求解析式，A易求，关键是求ω和φ，常有如下方法： （1）五点法：由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，即可求出φ； （2）代入法：将一些已知点（最高点、最低点或“零点”）的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ. 【训练2】　（1）〔创新交汇〕已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝（　　） A.1　　　　　　 　　B. C.π D. 解析：D　连接BC交x轴于点E，由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故｜AE｜＝｜BE｜，｜AE｜＝T＝·＝，｜BE｜＝＝，故＝，解得ω＝，故选D. （2）（2025·湖南长沙三模）已知函数f（x）＝2sin x＋2｜cos x｜，若f（x）＝λ在［0，］上有且仅有4个不相等的实数根，则λ的取值范围为　　[2，4）　　. 解析：由题意知，当x∈［0，］时，f（x）＝2sin x＋2｜cos x｜＝作出f（x）在［0，］上的图象，如图所示，结合图形可知，若f（x）＝λ在［0，］上有且仅有4个不相等的实数根，则2≤λ＜4. 【瓶颈突破】　根据函数解析式作出函数图象，将方程的根的问题转化为f（x）的图象与直线y＝λ的交点个数的问题. 考点三　三角函数的性质 【例3】　〔多选〕（2025·湖北武汉二调）函数f（x）＝sin2（x＋）＋sin2（x＋），则下列关于f（x）的说法中正确的是（　　） A.最小正周期是π B.最大值是2 C.在区间（，）上单调递减 D.图象关于点（，1）中心对称 解析：AC　f（x）＝sin2（x＋）＋sin2（x＋）＝＋＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin（2x－）＋1，则f（x）的最小正周期是＝π，故选项A正确；由三角函数的性质可知f（x）≤＋1，即f（x）的最大值是＋1，故选项B错误；x∈（，）时，2x－∈（，），因为y＝sin z在z∈（，）上单调递减，故f（x）在区间（，）上单调递减，故选项C正确；令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心为（＋，1），k∈Z，令＋＝得k＝∉Z，所以f（x）的图象不关于点（，1）中心对称，故选项D错误.故选A、C. 【通性通法】　研究三角函数的性质，首先化函数为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，一定要保证ω＞0，否则易出错，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f（x）的性质. 【训练3】　（1）（2025·江西赣州一模）函数f（x）＝的最小正周期是（　　） A. B. C.π D.2π 解析：C　由f（x）＝＝tan 2x，可得x≠＋kπ，且x≠＋π，k∈Z，故T＝π.故选C. （2）已知函数f（x）＝（sin x＋cos x）cos x－，若f（x）在区间［－，m］上的值域为［－，1］，则实数m的取值范围是（　　） A.［，） B.［，］ C.［，） D.［，］ 解析：D　依题意，函数f（x）＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），当x∈［－，m］时，2x＋∈［－，2m＋］，显然sin（－）＝sin＝－，sin＝1，且正弦函数y＝sin x在［，］上单调递减，由f（x）在区间［－，m］上的值域为［－，1］，得≤2m＋≤，解得≤m≤，所以实数m的取值范围是［，］. （3）（2025·全国Ⅱ卷15题）已知函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0≤φ＜π），f（0）＝. ①求φ； ②设函数g（x）＝f（x）＋f（x－），求g（x）的值域和单调区间. 解：①因为f（0）＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝. ②g（x）＝f（x）＋f（x－）＝cos（2x＋）＋cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝（cos 2x－sin 2x）＝cos（2x＋）， 故函数g（x）的值域为[－，]. 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ－（k∈Z）， 所以g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ－］（k∈Z）. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以g（x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 【易错提醒】　易忽视函数的定义域致误. （时间：45分钟，满分：79分） 一、单项选择题（每小题5分，共35分） 1.函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 解析：B　函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称，又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数f（x）为偶函数. 2.（2025·湖南长沙模拟预测）函数f（x）＝｜sin（2x＋）｜的最小正周期是（　　） A. B. C.π D.2π 解析：B　因为函数y＝sin（2x＋）的最小正周期T＝＝＝π，所以函数f（x）＝｜sin（2x＋）｜的最小正周期为.故选B. 3.若f（x）＝sin（2x＋）在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为（　　） A.（0，］ B.（0，］ C.（0，］ D.（0，π] 解析：A　∵0∈[－t，t]，∴只需考虑f（x）的含0的单调递增区间.由－≤2x＋≤，得－≤x≤，∴－≤－t＜t≤，解得0＜t≤. 4.（2025·浙江名校协作体考试）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）满足f（）＝1，最小正周期为π，函数g（x）＝sin 2x，则为得到g（x）的图象，需将f（x）的图象向左平移（　　） A.个单位长度 B.个单位长度 C.个单位长度 D.个单位长度 解析：A　由题意知，＝π，得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），又f（）＝1，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ）＝sin（2x－）＝sin［2（x－）］，又g（x）＝sin 2x，故为得到g（x）的图象，需将f（x）的图象向左平移个单位长度.故选A. 5.（2025·天津河西一模）已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）图象的一条对称轴是x＝，且在[0，π]上有且仅有两个对称中心，则函数f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝sin（x＋） B.f（x）＝sin（x＋） C.f（x）＝sin（2x＋） D.f（x）＝sin（x＋） 解析：B　因为函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）图象的一条对称轴是x＝，则＋＝kπ＋（k∈Z），解得ω＝2k＋（k∈Z），当0≤x≤π时，≤ωx＋≤πω＋，因为函数f（x）在[0，π]上有且仅有两个对称中心，则2π≤πω＋＜3π，解得≤ω＜，故ω＝，所以f（x）＝sin（＋）.故选B. 6.（2025·浙江绍兴一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10 min内（含10 min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是（　　） A.16 B.17 C.18 D.19 解析：B　设乙家庭转动t min出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，0＜t≤10，只需考查旋转的第一周内即可，而摩天轮的座舱每分钟转动＝，则乙家庭的座舱t min转过的弧度数为t，摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为＝，甲家庭的座舱转过的弧度数为＋t，依题意，甲、乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则＋t＋t＝2π，整理得k＝48－t＋1≥17，当且仅当t＝10时取等号，所以k的最小值是17.故选B. 7.（2025·广东广州一模）已知ω＞0，曲线y＝cos ωx与y＝cos（ωx－）相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝（　　） A.π B.π C.π D.π 解析：A　法一　作出y＝cos ωx与y＝cos（ωx－）（ω＞0）的部分图象，如图，设两个函数图象相邻的三个交点为A，B，C，则易知∠ABC＝.由cos ωx＝cos（ωx－）得，ωx＋ωx－＝2kπ，k∈Z，所以ωx＝＋kπ，k∈Z，x＝＋，k∈Z.分别令k＝0，1，2可得A（，），B（，－），C（，），由·＝0可得（，－）·（－，－）＝0，所以＝3，所以ω＝π.故选A. 法二　由题意，两曲线相邻的三个交点构成直角三角形，且直角边长度相等.根据三角函数图象性质，相邻的两个交点横坐标差为，因此直角三角形的斜边长度为.利用勾股定理，可得：（）2＋（）2＝（）2，解得ω＝π.故选A. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8.（2025·山东日照一模）已知函数f（x）＝sin（2x＋），则下列说法中正确的有（　　） A.f（x）的图象关于直线x＝对称 B.f（x）的图象关于点（，0）中心对称 C.f（x）在（－，）上单调递增 D.若f（x1）－f（x2）＝2，则｜x1－x2｜的最小值为 解析：BCD　A选项，x＝时，2x＋＝π，因为x＝π不是y＝sin x的对称轴，故A错误；B选项，x＝时，2x＋＝π，因为（π，0）是y＝sin x的对称中心，故B正确；C选项，x∈（－，）时，2x＋∈（－，），因为y＝sin x在（－，）上单调递增，故C正确；D选项，因为f（x）max＝1，f（x）min＝－1，由f（x1）－f（x2）＝2得f（x1）＝1，f（x2）＝－1，所以｜x1－x2｜的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为T，因为T＝＝π，所以｜x1－x2｜的最小值为，故D正确. 9.（2025·辽宁二模）如图是不慎丢失部分图象后，函数f（x）＝2tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的局部图象，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为 B.（，0）是f（x）图象的一个对称中心 C.｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z） D.f（x）的图象是由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的 解析：AC　由图象可知f（x）的最小正周期为T＝［－（－）］＝，故A正确；由T＝＝，则ω＝2，即f（x）＝2tan（2x＋φ），由图象的对称性可知（，0）为函数f（x）的一个对称中心，且在函数图象上，所以f（）＝2tan（＋φ）＝0，因为｜φ｜＜，所以φ＝－，则f（x）＝2tan（2x－），因为f（）＝2tan（－）＝2≠0，所以（，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故B错误；令2x－＝，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f（x）的对称中心为（＋，0），则｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，故C正确；由函数y＝2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到y＝2tan 2x，再向右平移个单位长度，得到y＝2tan［2（x－）］＝2tan（2x－）≠f（x），故D错误.故选A、C. 10.（2025·浙江温州二模）已知函数f（x）＝sin x，g（x）＝cos x，则以下两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（　　） A.y＝f（x）－g（x）与y＝f（x） B.y＝[f（x）]2－[g（x）]2与y＝f（x）g（x） C.y＝f[f（x）]与y＝f[g（x）] D.y＝f[f（x）]与y＝g[f（x）] 解析：AC　对于A选项，f（x）－g（x）＝sin x－cos x＝sin（x－），函数y＝f（x）＝sin x，所以这两个函数的图象能通过平移重合，A正确；对于B选项，[f（x）]2－[g（x）]2＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，f（x）g（x）＝sin xcos x＝sin 2x，函数y＝[f（x）]2－[g（x）]2的振幅为1，函数y＝f（x）g（x）的振幅为，所以y＝[f（x）]2－[g（x）]2与y＝f（x）g（x）的图象不能通过平移重合，B错误；对于C选项，因为f[f（x）]＝sin（sin x），f[g（x）]＝sin（cos x）＝sin［sin（x＋）］，将函数y＝f[f（x）]的图象向左平移个单位长度可与函数y＝f[g（x）]的图象重合，C正确；对于D选项，g[f（x）]＝cos（sin x）＝sin（sin x＋），函数y＝f[f（x）]与y＝g[f（x）]的图象不能通过平移重合，D错误.故选A、C. 三、填空题（每小题5分，共15分） 11.已知函数f（x）＝2sin（ωx－）（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，则f（x）的最小正周期可能是　（答案不唯一）　（写出一个满足条件的答案即可）. 解析：∵函数f（x）＝2sin（ωx－）（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，∴ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝4＋6k，k∈Z.∵ω＞0，∴ω＝4＋6k，k∈N，f（x）的最小正周期为T＝＝，k∈N，当k＝0时，f（x）的最小正周期为T＝. 12.函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x的最小值为　－1　. 解析：法一（观察法）　因为当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，函数y＝｜sin x｜和y＝cos x都取最小值，且最小值分别为0和－1，所以函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x的最小值为0＋（－1）＝－1. 法二（利用周期函数的性质）　因为f（x＋2π）＝｜sin（x＋2π）｜＋cos（x＋2π）＝｜sin x｜＋cos x，所以2π是函数f（x）的一个周期，所以求函数f（x）的最小值，只需求出其在一个周期内的最小值即可.下面考虑x∈[0，2π）.f（x）＝｜sin x｜＋cos x＝作出函数f（x）在[0，2π）上的大致图象，如图，所以当x＝π时，函数f（x）＝｜sin x｜＋cos x取得最小值－1.故函数f（x）的最小值为－1. 13.已知函数f（x）＝sin（2ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，f（x）在（－，）上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝a交于点C，D，且｜AB｜＝2｜CD｜，则a＝　　　　. 解析：因为函数f（x）＝sin（2ωx＋）的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π⇒ω＝1.所以f（x）＝sin（2x＋）.当x∈（－，）时，2x＋∈（0，π），所以sin（2x＋）∈（0，1].作函数f（x）＝sin（2x＋），x∈（－，）的草图如图所示.函数f（x）的图象关于直线x＝对称，设｜CD｜＝2t，则B（＋2t，a），D（＋t，a）.0＜t＜，所以sin［2（＋t）＋］＝sin［2（＋2t）＋］⇒cos 2t＝cos 4t⇒cos 2t＝（2cos22t－1）⇒2cos22t－cos 2t－＝0，解得cos 2t＝或cos 2t＝－（舍去）.所以a＝sin［2（＋2t）＋］＝cos 4t＝2cos22t－1＝2×－1＝. 【高考新风向】（14题6分，15题5分，共11分） 14.〔创新考法〕〔多选〕设函数f（x）＝，则（　　） A.f（x）的图象有对称轴 B.f（x）是周期函数 C.f（x）在区间（0，）上单调递增 D.f（x）的图象关于点（，0）中心对称 解析：ABD　函数f（x）的定义域为x≠，k∈Z，关于原点对称.∵f（－x）＝＝＝＝f（x），∴f（x）是偶函数，关于y轴对称，故A正确；∵f（x＋2π）＝＝＝f（x），∴T＝2π是函数f（x）的一个周期，故B正确；f（x）＝，∵f（）＝＝＞0，f（）＝＝0，显然f（）＞f（），故f（x）在区间（0，）上不单调递增，故C错误；f（－x）＋f（＋x）＝＋＝＋＝0，∴f（x）的图象关于点（，0）中心对称.故选A、B、D. 15.〔创新交汇〕如图，将绘有函数f（x）＝Msin（x＋φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则φ＝　　. 解析：如图，设C，D分别为x轴上的两点，且AC⊥x轴，BD⊥x轴，因为f（x）的最小正周期T＝＝6，所以｜CD｜＝＝3，又｜AC｜＝M，｜BC｜＝＝，当折成直二面角时，因为AC⊥x轴，AC⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，所以AC⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以AC⊥BC，所以｜AB｜＝＝＝，解得M＝1（负值已舍去），所以f（x）＝sin（x＋φ），所以f（0）＝sin φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝或，又因为函数f（x）在y轴右侧附近单调递减，所以φ＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $