10.3 随机事件的概率与古典概型-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

第三节　随机事件的概率与古典概型 1．有限样本空间与随机事件 (1)样本点：随机试验的每个可能的基本结果． (2)样本空间：全体样本点的集合，一般用Ω表示． (3)有限样本空间：样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}． (4)随机事件(事件)：样本空间Ω的子集． (5)基本事件：只包含一个样本点的事件． 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件A发生，则事件B__一定发生__，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) __B⊇A__(或__A⊆B__) 相等 关系 若B⊇A且__A⊇B__，那么称事件A与事件B相等 __A＝B__ 并事件(和事件) 若某事件发生__当且仅当事件A发生或事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) __A∪B__(或__A＋B__) 交事件(积事件) 若某事件发生__当且仅当事件A发生且事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) __A∩B__(或__AB__) 互斥 事件 若A∩B为__不可能__事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立 事件 若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然事件__，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且A∪B＝Ω 3.古典概型 (1)特点 ①有限性：样本空间的样本点__只有有限个__； ②等可能性：每个样本点发生的可能性__相等__． (2)概率计算公式P(A)＝. 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型． 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：__1≥P(A)≥0__. (2)P(Ω)＝__1__，P(∅)＝__0__. (3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__． (4)如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝__1－P(B)__． (5)如果A⊆B，那么P(A)__≤__P(B)． (6)P(A∪B) ＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 5．频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐　稳定于　事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 　古典概型 (2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率是______． 答案： 解析：设3次取出的球上的数字依次为a，b，c，则无放回地随机取3次球的取法有A＝120(种)，则|m－n|＝＝≤，可得|a＋b－2c|≤3.当c＝1时，a，b需要满足“1≤a＋b≤5”，所有可能情况为(2,3)，(3,2)，共2种． 当c＝2时，a，b需要满足“1≤a＋b≤7”，所有可能情况为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,4)，(4,3)，共10种． 当c＝3时，a，b需要满足“3≤a＋b≤9”，所有可能情况为(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(1,5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)，(2,4)，(4,2)，(2,5)，(5,2)，(2,6)，(6,2)，(4,5)，(5,4)，共16种． 当c＝4时，a，b需要满足“5≤a＋b≤11”，所有可能情况为(1,5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(3,6)，(6,3)，(6,5)，(5,6)，共16种． 当c＝5时，a，b需要满足“7≤a＋b≤13”，所有可能情况为(1,6)，(6,1)，(2,6)，(6,2)，(3,4)，(4,3)，(3,6)，(6,3)，(4,6)，(6,4)，共10种． 当c＝6时，a，b需要满足“9≤a＋b≤15”，所有可能情况为(4,5)，(5,4)，共2种． 故共有2＋10＋16＋16＋10＋2＝56(种)可能情况，所以所求概率P＝＝. 1．古典概型中样本点的探求方法 2．利用公式法求解古典概型问题的步骤 [针对训练] 1．2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为(　D　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有C＝6(种)方法，所以他们选课相同的概率为，故选D. 　随机事件的频率与概率 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量； Y 51 48 45 42 频数 4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率． 【解】　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下： Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 所种作物的平均年收获量为 ＝＝46. (2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝. 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝. 1．概率与频率的关系 2．随机事件概率的求法 [针对训练] 2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160, 200,140,110,160,220,140,160. (1)完成频率分布表； 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率． 解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 (2)由已知可得Y＝＋425， 故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) ＝＋＋＝. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为. 　互斥事件、对立事件的概率 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)1张奖券的中奖概率； (2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【解】　(1)设“1张奖券中奖”为事件M， 则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝， 因为A，B，C两两互斥， 所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝， 故1张奖券的中奖概率为. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. [针对训练] 3．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3，0.2,0.1,0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为__0.7__. 解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A，B，C，D表示，则事件A，B，C，D是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. 学科网（北京）股份有限公司 $