微突破4 数列中的放缩问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

微突破4　数列中的放缩问题 备考指南 数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结 合，难度中等偏上，其核心技能是放缩技巧的应用. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 和易求，先求和再放缩证明不等式. 1. 已知数列{bn}的通项公式为bn＝ ，设数列{ }的前n项和为 Sn，求证：Sn＜ . 证明：因为 ＝ ＝ － . 则Sn＝ －1＋ － ＋…＋ － ＝ －1＜ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 求证： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1（n∈N*）. 和不易求，先放缩再求和证明不等式. 证明：∵ ＜ ， ∴左边＜ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝1－ ＜1＝右边， ∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＜1（n∈N*）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【思维建模】　放缩法快解数列不等式 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 【例1】　（2025·广东广州二模）设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn 和8的等差中项. （1）求数列{an}的通项公式； 【瓶颈突破】　对于第（1）问，先通过等差中项，确定数列{an}的递推关系，再由an与Sn的关系求通项； 对于第（2）问，先确定数列{bn}的通项公式，观察通项公式特征，和易求，先求和再放缩证明不等式. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 因为an是Sn和8的等差中项， 所以an＝ ，即Sn＝2an－8　①. 当n＝1时，S1＝2a1－8，得a1＝8. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－8　②， ①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，即 ＝2. 所以数列{an}是首项为8，公比为2的等比数列. 所以an＝8×2n－1＝2n＋2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）令bn＝log2an，数列{ }的前n项和为Tn，证明： ≤Tn＜ . 解： 证明：因为bn＝log2an＝log22n＋2＝n＋2，得 ＝ ＝ － ， 所以Tn＝ ＋ ＋…＋ ＝（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝ － . 由于n≥1，得0＜ ≤ ，得 ≤ － ＜ ，所以 ≤Tn＜ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【例2】　设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为2Sn＝n2＋n　①， 当n≥2时，2Sn－1＝（n－1）2＋n－1　②， 所以①－②得2an＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n，即an＝n， 又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝ ，求T99； 解： 因为bn＝ ＝ ＝ － ， 所以T99＝b1＋b2＋…＋b99＝ －1＋ － ＋…＋ － ＝ －1＝9. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＞9. 解： 证明：因为 ＝ ＞ ＝ － ， 所以 ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＞ －1＋ － ＋…＋ － ＝ －1＝9， 即 ＋ ＋ ＋…＋ ＞9. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练】　已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝－ . （1）求数列{an}的通项公式； 【瓶颈突破】　对于第（1）问，当n≥2时，观察数列的递推特征，变形可得 － ＝ － ，利用累加法求解即可，最后注意检验n＝1时的情形； 对于第（2）问，先验证n＝1时不等式成立，再根据n＝1时的值，确定放缩程度，再求解即可. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 当n≥2时，an－4an－1＝－ ， 两边同除4n后得 － ＝ － ，所以 上述等式累加得 －1＝－1＋ ，即 ＝ ，所以an＝ . 又n＝1时，a1＝4满足an＝ ，故an＝ （n∈N*）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）已知数列{bn}满足bn＝nan－1，证明： ＋ ＋…＋ ＜ . 解： 证明：由（1）得bn＝nan－1＝4n－1， 当n＝1时， ＝ ＜ ，又 ＝ ＝ ≤ ， 则当n≥2时， ＋ ＋…＋ ＜ （1＋ ＋ ＋…＋ ） ＝ · ＝ （1－ ）＝ － · ＜ . 综上，对任意的n∈N*， ＋ ＋…＋ ＜ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：20分钟，满分：30分） 目 录 解答题（共30分） 1. （15分）（2025·河北沧州一模）若数列{an}的前n项和为Sn，且an＞ 0， －2Sn＋an＝0. （1）求数列{an}的通项公式； 1 2 解： 当n＝1时， －2S1＋a1＝0，a1＝1或a1＝0（舍去）， 因为 －2Sn＋an＝0，当n≥2时， －2Sn－1＋an－1＝0， 两式作差得 －2Sn＋an－（ －2Sn－1＋an－1）＝0， 即 － －an－an－1＝0， 故（an＋an－1）（an－an－1－1）＝0， 又因为an＞0，所以an－an－1＝1（n≥2），且a1＝1， 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式为an＝n. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若bn＝ ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜ . 解： 证明：由（1）可知，bn＝ ， 故Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ， Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ， 两式作差得 Tn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ － ＝ （1－ ）－ . 所以Tn＝ （3－ ），因为 ＞0，所以Tn＜ . 1 2 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （15分）已知首项为3的正项数列{an}的前n项积为Tn＝ . （1）求数列{an}的通项公式； 解： 由题意得 ＝ ， ＝ ， 所以 ＝ ＝ ，即 ＝ ， 两边取常用对数得lg ＝lg ， 则nlg an＋1＝（n＋1）lg an，所以 ＝ ＝…＝ ＝lg 3，所以数 列{ }为常数列，lg an＝nlg 3＝lg 3n，所以数列{an}的通项公式为an＝3n. 1 2 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）设数列{ }的前n项和为Sn，证明：Sn＞n－1. 解： 证明：由（1）知an＝3n，令bn＝ ＝ ＝1－ ， 所以Sn＝（1－ ）＋（1－ ）＋…＋（1－ ）＝n－2（ ＋ ＋…＋ ）， 又 ＜ ，所以 ＋ ＋…＋ ＜ ＋ ＋…＋ ＝ ＝ （1－ ）＜ ，故Sn＝n－2（ ＋ ＋…＋ ）＞n－1. 1 2 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $