微突破3 最值、范围问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

微突破3　最值、范围问题 备考指南 近几年高考试题中，与数列有关的最值、范围问题既有解答题，也有选择题、填空题，难度中等或偏上. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. 在数列{an}中，an＝（n＋1）（ ）n，则数列{an}中的最大项是 （　　） A. 第6项 B. 第8项 C. 第6项和第7项 D. 第7项和第8项 √ 在数列{an}中，若an最大，则 ； 若an最小，则 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由题意，可得（n＋1）（ ）n≥（n＋2）（ ）n＋1且（n＋ 1）（ ）n≥n（ ）n－1，所以 即6≤n≤7，所以最 大项为第6项和第7项. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知bn＝ ，则数列{bn}的 最小项的值为（　　） A. B. C. D. √ 相邻项比较，作商（与1比较，要求是正项数列），或作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）. 解析： ∵bn＝ ，且bn＞0，bn＋1＝ ，∴ ＝ ＝ （ ）2.当 ＞1时，n＞ ＋1，∴当n≥3时，bn＜bn＋1.b1＝2，b2 ＝1，b3＝ ，∴当n＝3时，bn有最小值 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a1＝－11，当且仅当 n＝6时Sn取得最小值，则d的取值范围为（　　） A. （ ， ） B. （ ， ） C. ［ ， ） D. ［ ， ） √ 求Sn最值的方法 （1）邻项变号法：当a1＞0，d＜0时，满足 的m使得Sn取得最 大值为Sm；当a1＜0，d＞0时， 满足 的m使得Sn取得最小值为Sm； （2）把数列看成函数，利用函数的性质求最值. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　法一　因为当且仅当n＝6时Sn最小，所以a6＜0，a7＞0，则a1 ＋5d＜0，a1＋6d＞0，结合a1＝－11，可解得 ＜d＜ . 法二　因为等差数列{an}中a1＝－11，所以Sn＝na1＋ d＝ d－11n＝ n2－（11＋ ）n，又当n＝6时Sn取得最小值，所以 d＞0，则 ＜ ＜ ，解得 ＜d＜ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，且对任意的 n∈N*，－Sn≤t2＋3t恒成立，则实数t的取值范围为（　　） A. （－∞，－5] B. （－∞，－5]∪[2，＋∞） C. [－5，0） D. [－5，0）∪[2，＋∞） √ 化归为关于参数的不等式. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设等差数列{an}的公差为d，由题意得 解得 又Sn＝na1＋ d＝ （n2－9n），所以当n＝4或5时，Sn取得最小值，最小值为－10，所以－ Sn的最大值为10，由－Sn≤t2＋3t对任意的n∈N*恒成立，所以10≤t2＋ 3t，解得t≤－5或t≥2，所以实数t的取值范围是（－∞，－5]∪[2，＋∞）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【思维建模】　数列中有关最值、范围问题的常见题型及解题策略 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 【例1】　设数列{an}的前n项积为Tn，满足TnTn－1＋2Tn＝2Tn－1 （n∈N*，n≥2），且an≠0，a1＝ . （1）求数列{an}的通项公式an； 解： 由TnTn－1＋2Tn＝2Tn－1，得 － ＝ . 又 ＝ ＝ ，所以数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， 所以 ＝ ＋ （n－1）＝ ，所以Tn＝ ， 所以an＝ ＝ （n≥2）. 因为n＝1时，a1＝ 符合上式，所以an＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若数列{bn}满足bn＝an＋ ，求数列{bn}的前n项和Sn的最值. 【易错提醒】　利用数列和式的单调性求其最值，要首先判断其单调性，且注意数列中的n≥1，n∈N*. 解： 由（1）知，an＝ ， 所以bn＝an＋ ＝ ＋ ＝ － ＋2. 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（ － ＋2）＋（ － ＋2）＋…＋（ － ＋2）＝ － ＋2n， 显然Sn＝ － ＋2n在n∈N*上单调递增， 所以当n＝1时，Sn取得最小值 ，无最大值. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝ ，Sn＝2an＋1－3. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为S1＝2a2－3且S1＝a1＝ ，所以a2＝ ， 由Sn＝2an＋1－3，可得Sn－1＝2an－3（n≥2）， 两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， 易知an≠0，所以 ＝ ， 又 ＝ ，所以对任意的n∈N*， ＝ ， 所以{an}是首项和公比均为 的等比数列，所以an＝a1×qn－1＝（ ）n. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若cn＝ ，求使cn取得最大值时的n的值. 【通性通法】　求n的值或最值，一般涉及数列的项或前n项和的最值与范围，通常化归为解关于n的不等式，或根据数列的单调性求解. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 由（1）可得cn＝（ ）n（n2＋n）， 当n≥2时，由 ＝ ＝ ＞1，可得n＜5. 故当n＜5时，c1＜c2＜c3＜c4，当n＞5时，c5＞c6＞c7＞…， 又当n＝4时，c4＝（ ）4（42＋4）＝ ， 当n＝5时，c5＝（ ）5（52＋5）＝ ， 所以c4＝c5，所以c1＜c2＜c3＜c4＝c5＞c6＞c7＞…， 综上，当n＝4或n＝5时，cn取得最大值 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练1】　（2025·江苏南京、盐城一模）已知数列{an}的前n项和Sn满 足 ＝an＋（1－n）t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2. （1）求t的值； 解： 因为 ＝an＋（1－n）t，n∈N*， 所以 ＝a2－t，又S2＝a1＋a2，所以a2－a1＝2t. 又a2＝a1＋2，所以t＝1. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）证明：{an}为等差数列； 解： 证明：由（1）可得 ＝an＋1－n，n∈N*，所以Sn＝nan＋n －n2， 因此Sn＋1＝（n＋1）an＋1＋n＋1－（n＋1）2， 两式相减得an＋1＝（n＋1）an＋1－nan－2n， 整理得an＋1－an＝2，n∈N*，所以{an}为等差数列. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）若n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，求a1的取值范围. 【易错提醒】　切勿由n2＜Sn＜（n＋1）2，取n＝1直接得答案，n2＜Sn＜（n＋1）2相当于恒成立问题，应由Sn的关系式列不等式组求解. 解： 由（2）得Sn＝na1＋ ×2＝n2＋（a1－1）n， 由n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，得 得1 ＜a1＜3＋ . 因为1＜a1＜3＋ 对∀n∈N*恒成立， 所以1＜a1≤3，故a1的取值范围为（1，3]. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练2】　（2025·辽宁葫芦岛一模）设数列{an}是公差大于1的等差数 列，{an}，{bn}满足 ＝ － ，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的 前n项和，且2a1＝a2，S2＋T2＝16. （1）求{an}的通项公式； 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 设数列{an}的公差为d，d＞1， ∵2a1＝a2，∴2a1＝a1＋d，解得a1＝d，a2＝2d， ∴S2＝a1＋a2＝3d， 由 ＝ － ，可知 ＝ ，b1＝ ＝ ， ＝ ，b2＝ ＝ ＝ ， 又T2＝b1＋b2＝ ＋ ＝ ，∴S2＋T2＝3d＋ ＝16， 即3d2－16d＋5＝0，解得d＝5或d＝ （舍去）， ∴an＝a1＋（n－1）d＝5n. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2＜3，求实数t的取值范围. 解： 由（1）知an＝5n， 又 ＝ － ，可得 ＝ ，解得bn＝ n＋ ， ∴{bn}为等差数列，故Tn＝ ＝ ＝ ， ∵存在n∈N*，使得10Tn－9n＋t＋t2＜3，即（10Tn－9n）min＋t＋t2＜ 3， 又10Tn－9n＝n2－6n＝（n－3）2－9，∴ ＝－9， 故－9＋t＋t2＜3，整理得t2＋t－12＜0，解得－4＜t＜3. ∴实数t的取值范围是（－4，3）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：30分钟，满分：48分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共10分） 1. （2025·湖北武汉四调）已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为 其前n项和，则Sn的最小值为（　　） A. －9 B. －7 C. －3 D. －19 1 2 3 4 5 √ 解析： 　令an＝2n－11＜0，因为n∈N*，所以解得n＝1，2，3，所以数 列{an}的前3项为负，从第4项起为正，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22 －11＋23－11＝14－33＝－19.故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2025·山东临沂二模）已知{an}为正项等差数列，若4a3－a7＝8，则 a1a3的最大值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 √ 解析： 　4a3－a7＝4（a1＋2d）－（a1＋6d）＝3a1＋2d＝8，解得a1＝ ，由于{an}为正项等差数列，则 解得0＜d＜4，a1a3 ＝ ·（ ＋2d）＝ ＝ （8－2d）（4＋2d） ≤ ·（ ）2＝8，当且仅当d＝1，a1＝2时等号成立，所以a1a3的 最大值为8.故选C. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（6分） 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a4＋a11＞0，a7·a8＜0， 则（　　） A. 数列{an}是递增数列 B. S6＞S9 C. 当n＝7时，Sn最大 D. 当Sn＞0时，n的最大值为14 √ √ √ 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： ∵在等差数列{an}中，a1＞0，a4＋a11＝a7＋a8＞0，a7·a8 ＜0，∴a7＞0，a8＜0，∴公差d＜0，数列{an}是递减数列，A错误；∵S9 －S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＜0，∴S6＞S9，B正确；∵a7＞0，a8＜0，数列 {an}是递减数列，∴当n＝7时，Sn最大，C正确；∵a4＋a11＞0，a7＞0， a8＜0，∴S14＝ ＝ ＞0，S15＝ ＝ ＜0，∴当Sn＞0时，n的最大值为14，D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、解答题（共32分） 4. （15分）（2025·河南焦作二模）已知等差数列{an}满足2a2＋a3＝0， a4＝10，数列{bn}的首项为9，且{an＋bn}是公比为2的等比数列. （1）求{an}的通项公式； 解： 设数列{an}的公差为d， 由题可得 解得 所以an＝a1＋（n－ 1）d＝－8＋6（n－1）＝6n－14， 即数列{an}的通项公式为an＝6n－14. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）探究{bn}的单调性，并求其最值. 解： 因为b1＝9，a1＝－8，所以a1＋b1＝1，又an＝6n－14， 由题知an＋bn＝6n－14＋bn＝1·2n－1＝2n－1，得到bn＝2n－1－6n＋14， 所以bn＋1－bn＝2n－1－6， 当n＝1，2，3时，bn＋1－bn＜0， 当n≥4时，bn＋1－bn＞0， 所以b1＞b2＞b3＞b4＜b5＜b6＜…， 故数列{bn}先单调递减后单调递增，且数列{bn}有最小值，最小值为b4＝ －2，无最大值. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. （17分）已知数列{an}满足：an＋1＝ an＋（ ）n＋1，且a1＝－ .设 {an}的前n项和为Tn，bn＝3n·an. （1）证明：{bn}是等差数列； 解： 证明：因为bn＝3n·an， 所以bn＋1＝3n＋1·an＋1， bn＋1－bn＝3n＋1·an＋1－3n·an ＝3n＋1［ an＋（ ）n＋1］－3n·an＝1， 且b1＝－2，所以{bn}是以－2为首项，且公差为1的等差数列. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）求Tn； 解： 由（1）知，bn＝n－3， 所以an＝ ＝（ ）n·（n－3）. 则Tn＝（－2）·（ ）1＋（－1）·（ ）2＋0·（ ）3＋…＋（n－ 4）·（ ）n－1＋（n－3）·（ ）n， Tn＝（－2）·（ ）2＋（－ 1）·（ ）3＋0·（ ）4＋…＋（n－4）·（ ）n＋（n－3）·（ ）n＋1， 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 两式相减得 Tn＝－ ＋（ ）2＋（ ）3＋（ ）4＋…＋（ ）n－（n－ 3）·（ ）n＋1＝－ ＋ －（n－3）·（ ）n＋1＝－ －（ － ）·（ ）n， 因此Tn＝－ －（ － ）·（ ）n. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）若不等式Tn＋ ≤tan对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围. 解： 由Tn＋ ≤tan， 得－（ － ）·（ ）n≤t（n－3）·（ ）n， 依题意，t（n－3）≥ 对n∈N*恒成立， 当1≤n＜3时，t≤ ＝－ － × ， － － × ≥－ ，则t≤－ ； 当n＝3时，不等式恒成立； 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 当n＞3时，t≥ ＝－ － × ，－ － × ＜－ ，则t≥ － ， 于是－ ≤t≤－ ， 综上，实数t的取值范围是［－ ，－ ］. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $