微突破1 ω的值（范围）问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

微突破1　ω的值（范围）问题 备考指南 在三角函数的图象和性质中，求ω的值（范围）问题是近几年高考的一个热点内容，主要考查由三角函数的单调性、最值、零点等求ω的值（范围），难度中等. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. 若函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［ ， ］上单调递减，则ω的 取值范围是（　　） A. ［0， ］ B. ［0， ］ C. ［ ，3］ D. ［ ，3］ √ 若已知y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在区间[x1，x2]上单调递增，则[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　令 ＋2kπ≤ωx≤ ＋2kπ（k∈Z），得 ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z，因为f（x）在［ ， ］上单调递减，所以 得6k＋ ≤ω≤4k＋3，k∈Z. 又ω＞0，所以k≥0，又6k＋ ≤4k＋3，所 以k＝0.从而 ≤ω≤3，故选D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 已知直线x＝ ，x＝π是函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0， ＜φ＜ ）图象上两条相邻的对称轴，则φ＝（　　） A. π B. C. D. √ 利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，建立关于T，ω，φ的方程求解. 解析： 　由题意得π－ ＝ ＝ ，解得ω＝ ，故f（x）＝ sin （ x＋ φ），则当x＝ 时， × ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，解得φ＝kπ（k∈Z）， 又 ＜φ＜ ，故φ＝π.故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）在［0， ］上的值域为 ［－ ，1］，则ω的取值范围为（　　） A. ［ ， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ， ］ D. ［ ， ］ √ 由三角函数的最值（值域）求ω的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　当x∈［0， ］时，ωx－ ∈［－ ， － ］.由f（x）在 ［0， ］上的值域为［－ ，1］，知 ≤ － ≤ ，解得 ≤ω≤ ，故实数ω的取值范围是［ ， ］. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 设函数f（x）＝ sin ωx，若函数f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则正 实数ω的取值范围是（　　） A. （1，2） B. [1，2） C. （2，3） D. [2，3） √ 已知函数的零点求ω的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围. 解析： 　若函数f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ωπ∈[2π，3π），故 2≤ω＜3. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【思维建模】　求ω的值（范围）问题的思路 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 【例】　（1）（2025·湖南九校联盟第二次联考）已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx，若沿x轴方向平移f（x）的图象，总能保证平移后的曲 线与直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数 ω的取值范围为（　　） A. （1， ） B. （2， ） C. ［1， ） D. ［2， ） √ 【瓶颈突破】　（1）对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，则需要确定含有k个零点的区间长度； （2）若在区间上至多含有k个零点，则需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx可得f（x）＝2 sin （ωx＋ ），若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数为g（x）＝2 sin （ωx＋φ）.令g（x）＝1，即 sin （ωx＋φ）＝ ，x∈[0，π]，取z ＝ωx＋φ，则z∈[φ，ωπ＋φ].依题意知， sin z＝ 在[φ，ωπ＋φ]上至少 有2解，至多有3解，则须使区间[φ，ωπ＋φ]的长度在2π到 之间，即 2π≤ωπ＜ ，解得2≤ω＜ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）（2025·北京东城一模）已知函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0），若f （x）的最小正周期为π，则ω＝ ；若存在x1，x2∈[π，2π]，使 得｜f（x1）－f（x2）｜＝2，则ω的最小值为 ⁠. 2 ​ 解析：因为函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）的最小正周期为π，所以 ＝ π，解得ω＝2，因为f（x）＝ sin ωx（ω＞0）∈[－1，1]，又｜f（x1） －f（x2）｜＝2，所以f（x1），f（x2）为函数的最大值或最小值，要使 ω最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，由x∈[π，2π]，则 ωx∈[ωπ，2ωπ]，则 或 解得 ≤ω≤ ，所以ω的 最小值为 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练】　（1）已知ω＞0，函数f（x）＝ cos 的一条对称轴为 直线x＝ ，一个对称中心为点 ，则ω有（　　） A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值1 D. 最大值1 √ 解析： 　注意正、余弦型函数的对称中心与对称轴的最短距离为 ，依题 意，可得 － ≥ .将T＝ 代入上式，得ω≥2，故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）〔多选〕（2025·广东江门一模）已知函数f（x）＝2 sin （2ωx＋ ）（ω＞0），则下列结论正确的是（　　） A. 若f（x）相邻两条对称轴距离为 ，则ω＝2 B. 当ω＝1，x∈［0， ］时，f（x）的值域为[－ ，2] C. 当ω＝1时，f（x）的图象向左平移 个单位长度得到函数y＝ cos （2x ＋ ）的图象 D. 若f（x）在区间［0， ］上有且仅有两个零点，则5≤ω＜8 √ √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　对于A，若f（x）相邻两条对称轴的距离为 ，则T＝2× ＝ π＝ ，故ω＝1，A错误；对于B，当ω＝1时，f（x）＝2 sin （2x＋ ），当x∈［0， ］时，2x＋ ∈［ ， ］，则f（x）的值域为[－ ，2]，B正确；对于C，当ω＝1时，f（x）＝2 sin （2x＋ ），f （x）的图象向左平移 个单位长度得到函数y＝f（x＋ ）＝2 sin ［2 （x＋ ）＋ ］＝2 sin （2x＋ ）＝2 cos （2x＋ ）的图象，C错误； 对于D，当x∈［0， ］时，2ωx＋ ∈［ ， ＋ ］，若f（x）在区间 ［0， ］上有且仅有两个零点，则2π≤ ＋ ＜3π，解得5≤ω＜8，故D 正确. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）若直线x＝ 是曲线y＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）的一条对称轴，且 函数y＝ sin （ωx－ ）在区间［0， ］上不单调，则ω的最小值 为 ⁠. 【瓶颈突破】　根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数y＝ sin （ωx－ ）含有数0的单调区间，列不等式求解即可. 11 解析：因为直线x＝ 是曲线y＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）的一条对称轴， 则 ω－ ＝kπ＋ ，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－ ≤ωx－ ≤ ， 得－ ≤x≤ ，则函数y＝ sin （ωx－ ）在［－ ， ］上单调递 增，而函数y＝ sin （ωx－ ）在区间［0， ］上不单调，则 ＜ ， 解得ω＞9，所以ω的最小值为11. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：30分钟，满分：45分） 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1. （2025·河南郑州模拟）若x1＝ ，x2＝ 是函数f（x）＝ sin ωx（ω＞ 0）两个相邻的极值点，则ω＝（　　） A. 2 B. C. 1 D. √ 解析： 　由题意知，f（x）＝ sin ωx（ω＞0）的最小正周期T＝ ＝2 （ － ）＝π，得ω＝2.故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 如图，函数f（x）＝2tan（ωx＋ ）（ω＞0）的部分图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且△ABC的面积为 ，则ω＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　根据题意，当x＝0时，f（0）＝2tan ＝2，又因为△ABC的面 积为 ，所以S△ABC＝ ×2×AB＝ ，则AB＝ ，所以函数f（x）的周期 为 ，可得周期T＝ ＝ ，解得ω＝2，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx－φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，在 （0， ）上单调递增，且∀x∈（0， ），f（x）＜2，则ω的取值范围是 （　　） A. ［1， ］ B. （1，2] C. （0，1] D. （0，2] √ 解析： 　因为函数f（x）为奇函数，所以φ＝kπ＋ （k∈Z），由0＜φ ＜π，得φ＝ ，则f（x）＝2 sin ωx（ω＞0）.又函数f（x）在（0， ） 上单调递增，且∀x∈（0， ），f（x）＜2，所以0＜ ω≤ ，解得0＜ ω≤2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. （2025·安徽安庆二模）已知函数f（x）＝ sin （2ωx＋ ）（ω＞ 0）的图象关于点（ ，0）对称，且f（x）在（0， ）上没有最小值，则 ω的值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为f（x）的图象关于点（ ，0）对称，所以f（ ）＝ sin （ ＋ ）＝0，故 ＋ ＝kπ，k∈Z，即ω＝2k－ ，k ∈Z，当2ωx＋ ＝－ ＋2kπ，k∈Z，即x＝－ ＋ ，k∈Z时，函数f（x）取得最小 值，因为f（x）在（0， ）上没有最小值，所以 ≥ ，即ω≤ ，由ω ＝2k－ ≤ ，解得k≤ ，故k＝1，得ω＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx－ ）＋1（ω＞0）的图象在区间（0， 2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A. （0， ］ B. （ ， ］ C. （ ， ］ D. ［ ，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以 ωx－ ∈（－ ，2ωπ－ ），令t＝ωx－ ， 则t∈（－ ，2ωπ－ ），作出y＝2 cos t＋1 的部分图象如图所示，则f（x）的图象在区 间（0，2π）内至多存在3条对称轴等价于y＝2 cos t＋1的图象在区间（－ ，2ωπ－ ）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－ ∈（－ ，3π］，解得ω∈（0， ］.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 6. 已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx（ω＞0），若∃x0∈［－ ， ］使 得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值 为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝ sin （ωx＋ ），因为∃x0∈ ［－ ， ］使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平 行，所以函数f（x）在［－ ， ］上存在最值，即函数f（x）在［－ ， ］上存在对称轴，令ωx＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，得x＝ ＋ ， k∈Z，因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤ ＋ ≤ ，即－ ≤ ＋ ≤ ， 则 k∈Z，又ω＞0，故k＝0时，ω取最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、填空题（每小题5分，共15分） 7. 已知函数f（x）＝ cos （ωx＋ ）＋ cos （ωx－ ）（ω＞0）在 （ ，π）上单调递增，则ω的取值范围为 　　［ ， ］　　. ［ ， ］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：因为f（x）＝ cos （ωx＋ ）＋ cos （ωx－ ）＝ cos （ωx ＋ ）＋ sin （ωx＋ ）＝2 cos （ωx＋ － ）＝2 cos （ωx＋ ），令π ＋2kπ≤ωx＋ ≤2π＋2kπ，k∈Z，因为ω＞0，所以 ≤x≤ ，k∈Z，因为f（x）在（ ，π）上单调递增，所以 解得 ＋4k≤ω≤ ＋2k.由 ＋4k≤ ＋2k，得k≤ ， 又k∈Z且ω＞0，所以k＝0，故 ≤ω≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 8. 已知f（x）＝ sin ωx（ω∈N*），若在区间［0， ］上存在两个不相 等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝2，则ω的值可以为 ⁠ .（填一个值即可） 解析：因为0≤x≤ ，所以0≤ωx≤ ，又f（x）＝ sin ωx（ω∈N*）在 区间［0， ］上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）＋f（b）＝ 2，所以 ≥ ，解得ω≥5（ω∈N*），所以ω的值可以为5. 5（答案不 唯一，大于等于5的正整数均可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 9. 已知函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx（ω＞0），若集合{x∈（0， π）｜f（x）＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是 ⁠. 解析：函数f（x）＝ sin ωx－ cos ωx＝2 sin （ωx－ ），令2 sin （ωx－ ）＝－1，得ωx－ ＝－ ＋2kπ或ωx－ ＝ ＋2kπ （k∈Z），所以x＝ ＋ 或x＝ ＋ （k∈Z），设直线y＝－1与 y＝f（x）在（0，＋∞）上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为 B，则xA＝ ＋ ，xB＝ ＋ .由于方程f（x）＝－1在（0，π）上有 且只有四个实数根，则xA＜π≤xB，即 ＋ ＜π≤ ＋ ，解得 ＜ ω≤ . （ ， ］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $