专题5 第5讲 大题专攻——圆锥曲线中的最值、范围问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线中的最值、范围问题，依据高考评价体系梳理考情，明确此类问题在解答题中以椭圆、抛物线、双曲线为载体，考查逻辑推理、数学运算等核心素养。通过分析高频考点分布，结合2023年全国甲卷真题，归纳几何法、函数法、不等式法等常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题感悟+考点攻坚+跟踪检测”模式，如以2023年全国甲卷抛物线最值题为例，示范几何法中利用定义转化距离、函数法中构建面积函数求导等突破方法，培养学生逻辑推理与数学运算素养。设跟踪训练强化答题技巧，助力学生高效得分，为教师提供精准复习教学指导。

第5讲　大题专攻 ——圆锥曲线中的最值、范围问题 目录 CONTENTS 课时跟踪检测 锁定高考·明方向 研透高考·攻重点 有的放矢 事半功倍 重难攻坚 快速提升 01 锁定高考·明方向 有的放矢 事半功倍 目录 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 最值问题 在解答题中会继续以椭圆、抛物线、双曲线为几何 载体考查最值、范围问题.主要考查逻辑推理、数 学运算等核心素养 范围问题 目录 二、真题感悟 　（2023·全国甲卷理20题）（最值问题）已知直线x－2y＋1＝0与抛物线 C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，｜AB｜＝4 . 目录 （1）求p； 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0， 由Δ1＝16p2－8p＞0，得p＞ . 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p， ∴｜AB｜＝ · ＝ · ＝4 ，解得p＝2或p＝－ （舍去），故p＝2. 目录 （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且 · ＝0，求△MFN面 积的最小值. 解：由（1）知，抛物线的焦点为F（1，0）. 由题意知直线MN的斜率不可能为0， ∴设MN的方程为x＝my＋t，M（x3，y3），N （x4，y4）， 联立消去x得y2－4my－4t＝0， ∴Δ＝16m2＋16t＞0，即m2＋t＞0， 由根与系数的关系得y3＋y4＝4m，y3y4＝－4t， ∵ · ＝0，∴（x3－1，y3）·（x4－1，y4）＝0， 目录 即（x3－1）（x4－1）＋y3y4＝（my3＋t－1） （my4＋t－1）＋y3y4＝（m2＋1）y3y4＋m（t－ 1）（y3＋y4）＋（t－1）2＝（m2＋1）（－4t）＋ m（t－1）·4m＋（t－1）2＝0， 即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0， 即4m2＝t2－6t＋1. 设F到MN的距离为d，则d＝ ， 又｜MN｜＝ ｜y3－y4｜＝ · ＝ · ＝4 · ， 目录 ∴S△MFN＝ ｜MN｜·d＝ ×4 · · ＝2 ·｜t－1｜＝ ·｜t－1｜＝ ｜t－1｜＝（t－1）2. ∵4m2＝t2－6t＋1≥0，解得t≤3－2 或t≥3＋2 ， ∴当且仅当t＝3－2 时，S△MFN取得最小值12－8 . 即△MFN面积的最小值为12－8 . 目录 　圆锥曲线中最值（范围）问题的思维路径 （1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何意义，则考虑利用圆锥曲 线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后 数形结合求解； 重难排查 目录 （2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的 函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这 个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构 建以待求量为元的不等式求解. 常从以下四个方面考虑： （ⅰ）利用根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （ⅱ）利用已知参数的范围，求新参数的范围，其核心是在两个参数 间建立等量关系； （ⅲ）利用已知的或隐含的不等关系建立关于参数的不等式，从而求 出参数的取值范围； （ⅳ）利用基本不等式求出参数的取值范围. 目录 02 研透高考·攻重点 重难攻坚 快速提升 目录 几何法求最值（范围） 【例1】　（2024·西安联考节选）若点P是双曲线C： － ＝1右支上的 一点，点A是圆E：x2＋（y－5）2＝1上的一点，点B是圆F：（x＋5）2 ＋y2＝1上的一点，求｜PA｜＋｜PB｜的最小值. 考点一 目录 解：如图.双曲线C： － ＝1中，a＝4，b＝3，则c＝ ＝5. 设右焦点为F2（5，0）. 圆E：x2＋（y－5）2＝1的圆心为E（0，5），半径r1＝1， 圆F：（x＋5）2＋y2＝1的圆心为F（－5，0），半径r2＝1，且F（－5， 0）恰为双曲线的左焦点. 连接EF2交双曲线右支于点P，连接PF，则｜EF2｜＝5 . 又点P是双曲线C右支上的一点，则｜PF｜＝｜PF2｜＋2a＝｜PF2｜ ＋8， 目录 所以｜PA｜＋｜PB｜≥｜PE｜＋｜PF｜－r1－r2＝｜PE｜＋｜PF2｜ ＋8－2≥｜EF2｜＋6＝5 ＋6，当且仅当E，P，F2三点共线（P在EF2 之间）时，等号成立. 即｜PA｜＋｜PB｜的最小值为5 ＋6. 目录 　　若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与 圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决. 感悟提升 目录 如图，点F是抛物线y2＝12x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝12x及圆 （x－3）2＋y2＝16的实线部分上运动，且线段AB总是平行于x轴，求 △FAB周长的取值范围. 跟踪训练 目录 解：抛物线的准线l：x＝－3，焦点F（3，0）. 由抛物线定义可得｜AF｜＝xA＋3， 圆（x－3）2＋y2＝16的圆心为（3，0），半径为4， 所以△FAB的周长为｜AF｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝xA＋3＋（xB－xA）＋ 4＝xB＋7， 由抛物线y2＝12x及圆（x－3）2＋y2＝16，可得交点的横坐标为1， 所以xB∈（1，7），所以xB＋7∈（8，14）， 所以△FAB的周长的取值范围是（8，14）. 目录 不等式法求最值（范围） 【例2】　若P，C，D为曲线G：y2＝－4x上的三个动点，∠CPD的平 分线交x轴于点Q（a，0）（a＜－1），点Q到直线PC的距离为1，若 PQ⊥CD，求a的取值范围. 解：设C（x1，y1），D（x2，y2），P（x0，y0）. 设直线PC的方程为x－x0＝m（y－y0），直线PD的方程为x－x0＝n （y－y0）， ∵PQ是∠CPD的平分线，点Q到直线PC的距离为1，∴点Q到直线PD 的距离为1，由 ＝1， 可得（1－ ）m2＋2（x0－a）y0m－（x0－a）2＋1＝0， 同理可得（1－ ）n2＋2（x0－a）y0n－（x0－a）2＋1＝0， 考点二 目录 即m，n是关于t的方程（1－ ）t2＋2（x0－a）y0t－（x0－a）2＋1＝ 0的两根，∴m＋n＝ . 由得y2＋4my＋4x0－4my0＝0， ∴y0＋y1＝－4m，∴y1＝－4m－y0，同理可得y2＝－4n－y0， ∴y1＋y2＝－4（m＋n）－2y0， ∴kCD＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 ∵kPQ＝ ，kPQ·kCD＝－1， ∴ ＝ ， ∴ ＞0， ∵a＜－1，∴16a2＋4a－8＞0，则－4a－9＞0， ∴a＜－ 时满足题意. ∴a的取值范围为（－∞，－ ）. 目录 构造不等式求最值（范围）的方法 （1）利用判别式来构造不等关系； （2）利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式； （4）利用基本不等式求最值（范围）. 感悟提升 目录 　双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点（2 ，1）. （1）求双曲线C的方程； 解：由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2－4y2＝k （k≠0）， 把点（2 ，1）代入C：x2－4y2＝k（k≠0）可得k＝4， 所以双曲线C的方程为 －y2＝1. 跟踪训练 目录 （2）设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线 PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于点M，N，求｜MN｜的最小值. 解：由题易知，点P在右支上时｜MN｜取最小值. 由（1）可得A1（－2，0），A2（2，0），设P（x，y），根据双曲 线方程可得 · ＝ ， 设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2（k1，k2＞0）， 则k1k2＝ ，直线PA1的方程为y＝k1（x＋2），令x＝1，得M（1， 3k1）， 目录 直线PA2的方程为y＝k2（x－2），令x＝1，得N（1，－k2）， 所以｜MN｜＝｜3k1－（－k2）｜＝3k1＋k2≥2 ＝ ， 当且仅当3k1＝k2，即k1＝ ，k2＝ 时，等号成立. 故｜MN｜的最小值为 . 目录 函数法求最值（范围） 【例3】　已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴 相切，点P的轨迹记为C. （1）求C的方程； 解：设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（ ， ），根据圆与y轴相切，可得 ＝ ｜PF｜＝ ，化简得y2＝4x， 所以C的方程为y2＝4x. 考点三 目录 （2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴 于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N. 当四边形MANB的面 积最小时，求l的方程. 解：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k （x－1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立⇒k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0， 所以x1＋x2＝ ，x1x2＝1， 设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜｜tan θ｜，｜BN｜ ＝｜BF｜｜tan θ｜， 所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜ ＝｜AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜， 目录 因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝ ＋2＝ ， 由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝ ｜AB｜·（｜AM｜ ＋｜BN｜）＝ ＝ ＝ ， 设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝ ＝8（t＋ ＋ ）， 所以S'（t）＝8（1－ － ）＝8（ ）＝ 8 ， 目录 当t＞ 时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜ 时，S' （t）＜0，S（t）单调递减， 所以当t＝ ，即｜k｜＝ 时，面积最小，此时k＝± ， 故直线l的方程为y＝± （x－1），即 x－y－ ＝0或 x＋ y－ ＝0. 目录 构造函数法求最值（范围）的策略 　　先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），把所求最值（范 围）的几何量（代数式）表示为某个函数，然后利用函数方法（单调性或 导数）进行求解. 感悟提升 目录 设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E：x2－ ＝1于A， C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两 点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值. 跟踪训练 目录 解：由双曲线的对称性，知｜OA｜＝｜OC｜，｜OB｜＝｜OD｜， 所以四边形ABCD为平行四边形， 所以S四边形ABCD＝4S△OAD. 由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为x＝my＋2 （m≠± ）. 联立消去x，得（3m2－1）y2＋12my＋9＝0. Δ＝36（m2＋1）＞0， 目录 设A（x1，y1），D（x2，y2）， 则y1＋y2＝ ，y1y2＝ . 因为A，D均在双曲线右支上， 所以 所以 目录 解得0≤m2＜ . 所以S△OAD＝ ×｜OF｜×｜y1－y2｜ ＝ ， ＝ ＝ （0≤m2＜ ）. 令 ＝t（1≤t＜ ）， 目录 则m2＝t2－1，所以S△OAD＝ ＝ （1≤t＜ ）. 令函数f（t）＝ －3t，易得f（t）在区间［1， ）上单调递减， 所以当t＝1时，（S△OAD）min＝6. 所以四边形ABCD面积的最小值为24. 目录 03 课时跟踪检测 目录 1. （2024·上海春招20题节选）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆 Γ： ＋ ＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点A的横坐标为2，求｜AF1｜； 解：由题意可知a＝ ，b＝ ，故c＝ ＝2，所 以F1（－2，0），F2（2，0）. 设点A的坐标为（x1，y1），由题意知x1＝2，则 ＝ ， 所以｜AF1｜＝ ＝ . 1 2 3 4 目录 （2）设Γ的上、下顶点分别为M1，M2，记△AF1F2的面积为S1， △AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求｜OA｜的取值范围. 解：由已知，得S1＝ ×4×｜y1｜＝2｜y1｜，S2＝ ×2 ×｜x1｜＝ ｜x1｜，且x1≠0，y1≠0. 由题意可得2｜y1｜≥ ｜x1｜，则｜x1｜≤ ｜y1｜，又 ＋ ＝1，所以 ＝6（1－ ）， 所以0＜ ＝6（1－ ）≤2 ， 1 2 3 4 目录 解得 ≤ ＜2， 因此｜OA｜＝ ＝ ∈（ ， ］. 故｜OA｜的取值范围为（ ， ］. 1 2 3 4 目录 2. 已知双曲线C的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），离心率为2，右顶 点为（1，0）. （1）求双曲线C的标准方程； 解：由离心率e＝ ＝2， 又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2， 又右顶点为（1，0）， 所以a2＝1，所以b2＝3， 故双曲线C的标准方程为x2－ ＝1. 1 2 3 4 目录 （2）过E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求 · 的取值范围. 解：设直线l的方程为y＝kx＋2， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则由 得（3－k2）x2－4kx－7＝0， 因为直线l与双曲线C的一支交于M，N两点， 1 2 3 4 目录 所以 解得3＜k2＜7. 因此 · ＝（x1，y1－2）·（x2，y2－2） ＝x1x2＋（y1－2）（y2－2） ＝x1x2＋k2x1x2 ＝（k2＋1）x1x2＝7 1 2 3 4 目录 ＝7（1＋ ）， 因为3＜k2＜7，所以0＜k2－3＜4， 所以 ＞1， 所以 · ＝7（1＋ ）＞14， 故 · 的取值范围为（14，＋∞）. 1 2 3 4 目录 3. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为 . （1）求椭圆C的方程； 解：由题可知， ＝ ，2b＝2，又a2＝b2＋c2， 解得a2＝3，b2＝1， ∴椭圆C的方程为 ＋y2＝1. 1 2 3 4 目录 （2）设与圆O：x2＋y2＝ 相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为 坐标原点），求线段AB长度的最大值. 1 2 3 4 目录 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ①当AB⊥x轴或y轴时， 易得｜AB｜＝ . ②当AB与x轴，y轴都不垂直时，设直线AB的 方程为y＝kx＋m（k≠0）， 由已知 ＝ ， 得m2＝ （k2＋1）， 把y＝kx＋m代入椭圆方程消去y， 整理得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 1 2 3 4 目录 则Δ＝36k2m2－4（3k2＋1）（3m2－3） ＝36k2－12m2＋12＞0， 故x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， ｜AB｜2＝（1＋k2）（x1－x2）2 ＝（1＋k2）·［ － ］ ＝ ＝ 1 2 3 4 目录 ＝ ＝3（1＋ ） ＝3＋ ≤3＋ ＝4， ∴｜AB｜≤2，当且仅当9k2＝ ，即k＝± 时等号成立， 综上可知，｜AB｜的最大值为2. 1 2 3 4 目录 4. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作 《圆锥曲线论》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是若 平面内动点M与两定点Q，P的距离的比值 ＝λ（λ＞0， λ≠1）是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直 线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2＋y2＝4，定 点分别为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点F与右顶点A，且 椭圆C的离心率为e＝ . （1）求椭圆C的标准方程； 1 2 3 4 目录 解：法一（特殊值法）　令M（±2，0），则由题意可得 ＝ ，且a＝2c， 得c2＝2，∴a2＝8，b2＝a2－c2＝6， 故椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 目录 法二（定义法）　设M（x，y），由题意可得 ＝ ＝λ（λ＞0，λ≠1），整理得x2＋y2＋ x ＋ ＝0， 则又 ＝ ，得a＝2 ，c＝ . ∴b2＝a2－c2＝6，故椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 目录 法三　设M（x，y），则y2＝4－x2，由题意可得 ＝ ＝ ＝ ， ∵ 为常数，∴ ＝ ，又 ＝ ，得a2＝8，c2＝2，∴b2＝a2－c2 ＝6， ∴椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 目录 （2）如图，过右焦点F斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于B， D（点B在x轴上方）两点，点S，T是椭圆C上异于B，D的两 点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD. ①求 的取值范围； ②将点S，F，T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为 ，求直线l的方程. 1 2 3 4 目录 解： ①由 ＝ ＝ ，且 ＝ ，得 ＝ . 令 ＝μ，则 ＝μ ，设D（x0，y0），则由（1）可得3 ＋ 4 ＝24，且B（ （μ＋1）－μx0，－μy0）. 又直线l的斜率k＞0，∴x0∈（－2 ， ）. 1 2 3 4 目录 将代入3x2＋4y2－24＝0得3[（1＋μ）－ μx0]2＋4μ2 －24＝0， 化简得（μ＋1）（5μ－3－ μx0）＝0， ∵μ＞0，∴μ＝ ∈（ ，1），即 的取值范围为（ ，1）. 1 2 3 4 目录 ②由①知， ＝ ＝ ，由阿波罗尼斯 圆的定义知，S，T，F在以B，D为定点的阿波罗尼 斯圆上，设该圆的圆心为C1，半径为r，与直线l的另 一个交点为N， 则有 ＝ ＝ ， 得r＝ . 又 ＝πr2＝ π，故r＝ ， 1 2 3 4 目录 ∴ － ＝ . 又｜DF｜＝ ＝ ＝2 － x0， ∴ － ＝ － ＝ － ＝ ＝ ， 1 2 3 4 目录 解得x0＝－ ，y0＝－ ＝－ ， ∴k＝ ＝ ， ∴直线l的方程为y＝ x－ . 1 2 3 4 目录 $