微突破2 三角形中的“特征线”-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

微突破2　三角形中的“特征线” 备考指南 与三角形的特征线（中线、角平分线、高线）有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中等. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝ 5，c＝4，则BC边上的中线AD的长为（　　） A. B. C. D. √ （1）向量法： ＝ （ ＋ ）； （2）中线长定理：在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝ （AB2＋AC2）－ BC2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　法一　如图，由余弦定理可得 cos B＝ ＝ ＝ .在△ABD中，有AB＝c＝4，BD＝ BC ＝ a＝3，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝16＋9－2×4×3× ＝ ，解得AD＝ . 法二　在△ABC中，根据中线长公式可得AD＝ ＝ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD 为∠BAC的平分线，则AD＝（　　） A. B. C. D. √ 在△ABC中，若AD平分∠BAC： （1）内角平分线定理： ＝ ； （2）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　法一　由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得 ×2×3× sin 120°＝ ×2AD× sin 60°＋ ×3AD× sin 60°，解得AD＝ . 法二　由 ＝ ，得3BD＝2DC，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－ 2AB·AD cos 60°，在△ADC中，DC2＝AC2＋AD2－2AC·AD cos 60°， 即36＋9AD2－18AD＝36＋4AD2－12AD，解得AD＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝ 3， cos C＝－ ，则AB边上的高h＝ 　　​ 　　. ​ 求高一般采用等面积法，即求某边上的高， 需要求出面积和该边长度. 解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×2×3×（－ ）＝ 16，故c＝4.∵ cos C＝－ ，C∈（0，π），∴ sin C＝ ＝ .设AB边上的高为h，则 ab sin C＝ ch，即 ×2×3× ＝ ×4h， 解得h＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【思维建模】　三角形中“特征线”问题的解题步骤 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 【例】　（2025·重庆学业质量调研）在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠ABC为钝角，AB＝BC＝2，CD＝4， sin ∠BCD＝ . （1）求 cos ∠BDC； 解： ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝π， 又∠ABC为钝角，∴∠BCD为锐角. ∵ sin ∠BCD＝ ，∴ cos ∠BCD＝ ＝ . 又BC＝2，CD＝4，∴在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－ 2BC·CD cos ∠BCD＝16，得BD＝4， ∴在△BCD中，由余弦定理得 cos ∠BDC＝ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）设点E为AD的中点，求BE的长. 解： 如图，在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC， ∴ cos ∠ABD＝ cos ∠BDC＝ . 在△ABD中，∵E为AD的中点，∴ ＝ ＋ . 由（1）知，BD＝4，即｜ ｜＝4， 又｜ ｜＝BA＝2，∴｜ ｜2＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋ · ＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋ ｜ ｜·｜ ｜ cos ∠ABD＝ ，∴｜ ｜＝ ，即BE＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 变式　〔由特殊到一般〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a， b，c，若点D在边BC上，且BD＝2DC，b＝3，AD＝2 ，A＝ ，求 △ABC的周长. 【常用结论】　如图，在△ABC中，BD＝λCD，有两个角度列式： （1）利用 cos ∠ADB＋ cos ∠ADC＝0，结合余弦定理找关系； （2）利用 ＝ ＋ ，平方后找关系. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解：法一　设CD＝x，则在△ABC中， cos ∠BAC＝ ＝ 　①. 在△ACD中， cos ∠ADC＝ ＝ . 在△ADB中， cos ∠ADB＝ . 因为 cos ∠ADC＋ cos ∠ADB＝0，所以6x2＋18－c2＝0　②. 由①②可解得c＝6，x＝ ，所以△ABC的周长为3 ＋9. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二　因为BD＝2DC，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，所以 ＝ ＋ · ＋ ，即12＝ c2＋ ×c×3× ＋ ×9，即c2＋6c－72＝0，解得c＝6或c＝－12（舍去）. 由余弦定理得a2＝36＋9－2×6×3× ＝27，所以a＝3 ， 所以△ABC的周长为3 ＋3＋6＝3 ＋9. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练】　（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a ＜b＜c，三角形三边上的高之比为2∶3∶4，则 cos C＝ ⁠； － 【常用结论】　在△ABC中，若h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝ ∶ ∶ ＝ ∶ ∶ . 解析：由于a＜b＜c，则三边a，b，c上的高之比为ha∶hb∶hc＝ 4∶3∶2，即4∶3∶2＝ ∶ ∶ ，设a＝3x，则b＝4x，c＝6x，在 △ABC中，由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝－ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 ②若a＝ ，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝ ，且BC平分 ∠ABD，求△ACD面积的取值范围. 解：①由tan C＋ ＝tan B（ tan C－1）， 得tan B＋tan C＝－ （1－tan Btan C），即 ＝－ ， 即tan（B＋C）＝－ ，所以tan（π－A）＝－ ，即tan A＝ ， 又A∈（0，π），所以A＝ . （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C ＋ ＝tan B（ tan C－1）. ①求角A； 高考专题辅导与测试·数学 目 录 ②设∠ABC＝∠CBD＝x， 在△BCD中，∠BDC＝ ，故x∈（0， ）， 则∠ACD＝2π－ － －2x＝π－2x. 在△ABC与△BCD中，由正弦定理有 ＝ ， ＝ ， 则AC＝CD＝2 sin x， 故S△ACD＝ （2 sin x）2 sin （π－2x）＝4 sin 3x cos x. 令φ（x）＝4 sin 3x cos x，x∈（0， ）， 则φ'（x）＝12 sin 2x cos 2x－4 sin 4x 高考专题辅导与测试·数学 目 录 ＝4 sin 2x（ cos x＋ sin x）（ cos x－ sin x）， 易知φ'（x）＞0，则函数φ（x）＝4 sin 3x cos x在（0， ）上单调递增， 又φ（0）＝0，φ（ ）＝ ， 所以△ACD面积的取值范围为（0， ）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：30分钟，满分：45分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共10分） 1. 在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC＝ （　　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 1 2 3 4 5 √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　法一　设BC＝2x，则BD＝CD＝x.在△ACD 中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADC＝ ＝ .在△ABD中，由余弦定理的推论可得， cos ∠ADB＝ ＝ .又∠ADC＋∠ADB＝π，所以 cos ∠ADC＝－ cos ∠ADB，所以有 ＝－ ，整理可得x2＝12，解得x＝2 ，所以BC＝4 . 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二　 ＝ （ ＋ ），则 ＝ （ ＋ ＋2 · ），即 25＝ （25＋49＋2×5×7× cos ∠BAC），解得 cos ∠BAC＝ ，所以 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠BAC＝25＋49－2×5×7× ＝48，所 以BC＝4 . 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 A. B. 1 C. D. 2. （2025·湖北武汉四调）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a， b，c，且C＝ ，c＝6，△ABC面积为 ，D为边AB上一点，CD是 ∠ACB的平分线，则CD＝（　　） √ 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 因为∠ACB＝ ，且CD是∠ACB的平分线，所以∠ACD＝ ∠BCD＝ ，由S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，得 b·CD· sin ∠ACD＋ a·CD· sin ∠BCD＝ ，解得CD＝ .又S△ABC＝ ab sin ∠ACB＝ ab＝ ，所以ab＝4.因为c＝6，所以在△ABC中，由余弦定理得，c2＝ a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab，所以（a＋ b）2＝c2＋3ab＝36＋12＝48，所以a＋b＝4 ，所以CD＝ ＝ ＝1，故选B. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、填空题（共5分） 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝ ，c＝ ， BC边上的高等于 a，则△ABC的面积是 　　​ 　　， sin A＝ 　​ 　. ​ ​ 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为 D，则AD＝ a.又B＝ ，c＝ ，在Rt△ABD中，AB2 ＝AD2＋BD2，即 a2＋ a2＝2，解得a＝3，所以S△ABC＝ AB·BC· sin ∠ABD＝ × ×3× ＝ .在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝1＋4＝5，所以b＝ .由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，可得 sin A＝ . 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、解答题（共30分） 4. （15分）在△ABC中，已知 tan Atan B－tan A－tan B＝ ，角C的 平分线CD交AB于点D. （1）求证： ＝ ＋ ； 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 证明：∵ tan Atan B－tan A－tan B＝ ， ∴ （tan Atan B－1）＝tan A＋tan B， ∴ ＝－ ， ∴tan（A＋B）＝－ ，∴tan∠ACB＝ ， ∵0＜∠ACB＜π，∴∠ACB＝ ， ∵CD为角C的平分线，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD， ∴ ·CA·CB· sin ∠ACB＝ ·CD·CA· sin ∠ACD＋ ·CD·CB· sin ∠BCD， ∴ CA·CB＝CD·CB＋CD·CA， 即 ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若CD＝CB＝2，求△ABC的面积. 解： 将CD＝CB＝2代入 ＝ ＋ ， 可得CA＝ ＋1， ∴S△ABC＝ ×CA×CB× sin ∠ACB＝ ×2×（ ＋1）× ＝ . 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. （15分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且 ＝tan B＋tan C. （1）求角C； 解： 因为 ＝tan B＋tan C，所以 ＝ ＋ ， 即 ＝ ＝ ＝ ， 又A，B∈（0，π），所以 sin A≠0，所以tan C＝1. 因为C∈（0，π），所以C＝ . 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若c＝2，边AB的中点为D，求中线CD长度的取值范围. 解： 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ ab＝4， 又 ＝ （ ＋ ），则 ＝ （ ＋ ）2＝ （a2＋b2＋ ab）＝ ab＋1. 由正弦定理可得a＝2 sin A，b＝2 sin B＝ 2 sin （ －A）＝2 cos A＋2 sin A. 则ab＝4 sin 2A＋4 sin A cos A＝4 · ＋2 sin 2A＝4 sin （2A－ ）＋2 ， 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 由题意得 解得 ＜A＜ ，则2A－ ∈（ ， ），所 以 sin （2A－ ）∈（ ，1］， 所以ab∈（4 ，4＋2 ]，所以 ∈（5，3＋2 ]， 所以中线CD长度的取值范围为（ ，1＋ ]. 1 2 3 4 5 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $