创新交汇 三角函数、解三角形与其他知识的综合问题-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

创新交汇　三角函数、解三角形与其他知识的综合问题 备考指南 随着高考改革的不断深入，各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，以三角形为背景，其考查的知识内容和范围，涉及平面几何、立体几何、不等式、向量、新定义等学科分支，对综合运用各种知识解题的灵活性要求有所加强，应予以重视. 典例·讲解 典例精析 强技提能 一 课后·训练 巩固强化 综合测评 二 目录 / CONTENTS 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 类型一　三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题 【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn}是首项为1，公比为2的等比数列，记 ∠PnAPn＋1＝θn，n∈N*. 【通性通法】　三角函数、解三角形与其他知识的交汇问题，通常将已知条件转化为三角函数问题，或利用正、余弦定理进行边角互化，可以考查几何体中的线段长度或几何体角度之间的关系，或者构造长度、角度的函数求最值. （1）若tan θ3＝ ，求点A的坐标； 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 设A（0，t）（t＞0），根据题意得xn＝2n－1.由tan θ3＝ ，得 tan θ3＝tan（∠OAP4－∠OAP3）＝ ＝ ＝ ，解得t＝4或t＝ 8，故点A的坐标为（0，4）或（0，8）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若点A的坐标为（0，8 ），求tan θn的最大值及相应n的值. 解： 由题意，点Pn的坐标为（2n－1，0），tan∠OAPn＝ ，所以 tan θn＝tan（∠OAPn＋1－∠OAPn）＝ ＝ . 因为 ＋ ≥2 ，所以tan θn≤ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 n＝4时等号成立.故当n＝4时，tan θn最大，其最大值为 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练1】　（2025·山东潍坊二模）在△ABC中，AC＝ AB，D为边BC 上一点，满足BD＝2DC，以A，D为焦点作一个椭圆G，若G经过B，C 两点，则G的离心率为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 设｜DC｜＝m，｜AC｜＝n，则｜BD｜＝2m，｜AB｜＝ n，设该椭圆长半轴长为a，由椭圆的定义可知： 解得 高考专题辅导与测试·数学 目 录 所以｜BD｜＝a，｜DC｜＝ a，｜AC｜＝ a，｜AB｜＝ a，在△ABC中，显然有∠ADC＝π－∠ADB，所以 cos ∠ADC＝－ cos ∠ADB，设｜AD｜＝x，由余弦定理可知： ＝－ ，即 ＝－ ，解得x＝ a，因此椭圆的焦距为2c＝｜AD｜＝ a，所以椭圆的离心率为e＝ ＝ ＝ .故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 类型二　三角函数、解三角形的新定义问题 【例2】　（2025·江西景德镇模拟）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ 上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ 施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记（P，Q；M）＝ ；若点M在线段PQ外，（P，Q；M）＝－ .在△ABC中，角A，B， C的对边分别是a，b，c，点D在射线 BC上. （1）若AD是角A的平分线，且b＝3c，由A 点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； 【通性通法】　解决三角函数、 解三角形新定义问题的思路 （1）找出新定义的几个要素及 其所代表的意义； （2）把新定义下的概念、法则、 运算化归到常规的数学背景中； （3）利用三角函数的公式、性 质及正、余弦定理等解答问题.　 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 因为AD是角A的平分线，所以∠BAD＝∠DAC 且D在线段BC上， 所以（B，C；D）＝ ＝ ， 又b＝3c，所以（B，C；D）＝ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若A＝60°，a＝4，AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，（B， C；D）＝－4，求△ABC的周长； 解： 因为点D在射线BC上，∠BAC＝60°，且 AB⊥AD，所以D在线段BC外，且∠DAC＝30°， 所以（B，C；D）＝－ ＝－ ＝－ ＝－4， 所以c＝2b，在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以42＝b2＋4b2－4b2 cos 60°，即3b2＝16， 解得b＝ 或b＝－ （舍去）， 所以△ABC的周长为C△ABC＝a＋b＋c＝4＋4 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）若A＝120°，AD＝4，由A点对BC施以视角运算，（B，C；D） ＝ ，求b＋4c的最小值. 解： 因为（B，C；D）＝ ＞0，所以 ＝ ，则∠BAD＝∠DAC，因为A＝120°，所以∠BAD＝∠DAC＝60°， 又S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以 bc sin 120°＝ b·AD sin 60°＋ c·AD sin 60°， 又AD＝4，所以bc＝4（b＋c），所以 ＋ ＝1， 高考专题辅导与测试·数学 目 录 所以b＋4c＝（b＋4c）（ ＋ ）＝ ＋ ＋ 20≥2 ＋20＝36， 当且仅当 ＝ ，即b＝12，c＝6时等号成立，所以b ＋4c的最小值为36. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练2】　（2025·江西萍乡二模）已知x∈R，n为正整数，对于函数fn （x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，若对任意的θ，都有fn（ cos θ）＝ cos nθ，则称fn（x）为n次切比雪夫函数.例如：因为 cos 2x＝2 cos 2x－1，所以f2（x）＝2x2－1为二次切比雪夫函数. （1）求f3（x）； 【瓶颈突破】　 cos 3θ＝ cos （θ＋2θ）＝ cos θ cos 2θ－ sin θ sin 2θ. 解： 因为 cos 3θ＝ cos θ cos 2θ－ sin θ sin 2θ＝ cos θ（2 cos 2θ －1）－2 sin 2θ cos θ＝4 cos 3θ－3 cos θ，所以f3（x）＝4x3－3x. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）证明：对任意正整数n，都有fn＋2（x）＝2xfn＋1（x）－fn（x）； 解： 证明：因为 cos [（n＋2）x]＝ cos [（n＋1）x＋x]＝ cos [（n＋1）x]· cos x－ sin [（n＋1）x]· sin x， cos nx＝ cos [（n＋1）x －x]＝ cos [（n＋1）x]· cos x＋ sin [（n＋1）x]· sin x，两式相加得 cos [（n＋2）x]＋ cos nx＝2 cos x· cos [（n＋1）x]，即fn＋2（x）＝2xfn＋1 （x）－fn（x）. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）若函数g（x）＝ [f6（x）＋1]＋k有一个绝对值不大于1的零点， 证明：g（x）所有零点的绝对值都不大于1. 解： 证明：因为f3（ cos θ）＝ cos 3θ＝4 cos 3θ－3 cos θ， 所以f6（ cos θ）＝ cos 6θ＝2 cos 23θ－1＝2（4 cos 3θ－3 cos θ）2－1＝32 cos 6θ－48 cos 4θ＋18 cos 2θ－1， 即f6（x）＝32x6－48x4＋18x2－1，g（x）＝16x6－24x4＋9x2＋k， f6（ cos θ）＝ cos 6θ，当x∈[－1，1]时，f6（x）∈[－1，1]，g （x）＝ [f6（x）＋1]＋k∈[k，k＋1]， 因为g（x）有一个绝对值不大于1的零点，则 解得－ 1≤k≤0， 高考专题辅导与测试·数学 目 录 令t＝x2≥0，得h（t）＝16t3－24t2＋9t＋k，则h'（t）＝48t2－48t＋9， ①当x＞1时，即t＞1时，h'（t）＞h'（1）＝9＞0，则h（t）在（1，＋ ∞）上单调递增，g（x）在（1，＋∞）上单调递增， 即x＞1时，g（x）＞g（1）＝1＋k≥0，即g（x）＞0恒成立，即g （x）在（1，＋∞）上无零点； ②当x＜－1时，t＞1，h'（t）＞0，则h（t）在（1，＋∞）上单调递 增，则g（x）在（－∞，－1）上单调递减， 即x＜－1时，g（x）＞g（－1）＝1＋k≥0，即g（x）＞0恒成立，即g （x）在（－∞，－1）上无零点. 综合①②可知，g（x）所有零点的绝对值都不大于1. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：45分钟，满分：68分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共10分） 1. 已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能是 （　　） A. f（x）＝ sin （tan x） B. f（x）＝tan（ sin x） C. f（x）＝ cos （tan x） D. f（x）＝tan（ cos x） √ 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 根据题图可知函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f （x）为偶函数，且定义域为R，对于A、C，函数f（x）的定义域均为 {x｜x≠ ＋kπ，k∈Z}，不满足题意，故排除A、C；对于B，f（－x） ＝tan[ sin （－x）]＝tan（－ sin x）＝－tan（ sin x）＝－f（x），f （x）为奇函数，不满足题意，排除B，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2025·广东惠州二调）已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部 分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴 截面看成由线段AB，AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B，C所在 直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度” 与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得 线段的长度的最大值）的比值为 ，则 sin ∠BAC＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设优弧BC所在圆的圆心为O，半径为R，连接 OA，OB，OC，如图.易知“水滴”的“竖直高度”为OA＋ R，“水平宽度”为2R，由题意知 ＝ ，解得OA＝ R. 因为AB与圆弧相切于点B，所以OB⊥AB. 在Rt△ABO中， sin ∠BAO＝ ＝ ＝ ，又∠BAO∈（0， ），所以 cos ∠BAO＝ ＝ ，易知∠BAO＝∠CAO，故∠BAC＝2∠BAO，所以 sin ∠BAC＝2 sin ∠BAO cos ∠BAO＝2× × ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（6分） 3. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半 轴为始边，其终边经过点M（a，b），｜OM｜＝m（m≠0），定义f （θ）＝ ，g（θ）＝ ，则（　　） A. f（ ）＋g（ ）＝1 B. f（θ）＋f2（θ）≥0 C. 若 ＝2，则 sin 2θ＝ D. f（θ）g（θ）是周期函数 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由题意得，M（a，b）在角θ的终边上，且｜OM｜＝ m，所以 cos θ＝ ， sin θ＝ ，则f（θ）＝ ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin （θ＋ ），g（θ）＝ ＝ sin θ－ cos θ＝ sin （θ－ ）. 对于A，f（ ）＋g（ ）＝ sin ＋ cos ＋ sin － cos ＝1，故A正确； 对于B，f（θ）＋f2（θ）＝ sin θ＋ cos θ＋（ sin θ＋ cos θ）2，令t ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin （θ＋ ），t∈[－ ， ]，所以f（θ）＋ f2（θ）＝t＋t2＝（t＋ ）2－ ≥－ ，故B错误；对于C， ＝ ＝ ＝2，解得tan θ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 sin 2θ＝2 sin θ cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ，故C正确；对于D，f（θ）g（θ）＝（ sin θ＋ cos θ）·（ sin θ－ cos θ）＝ sin 2θ－ cos 2θ＝－ cos 2θ.因为y＝ cos 2θ为周期函数，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（5分） 4. 北京故宫堪称中国古代建筑的巅峰之 作，其规模宏大、布局严谨、装饰精美. 其中不少建筑的窗棂设计精妙，不仅满 足了实用功能，更体现了极高的美学价 值.冰裂纹是故宫窗棂中的一种纹饰图案 （图1），它往往包含着三角形、四边形、五边形等图形.图2为图1中冰裂纹的一部分抽象出的几何图形，其中AB＝AD，CB＝CD＝5，AB⊥BC，AD⊥DC， cos ∠BCD＝－ ，且 ＝－ ＋ .假设工作人员在日常维护过程中发现棂条AB和EF松动，需进行替换，则需替换的棂条总长度约为 .（结果保留一位小数， ≈51.16） 12.4 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析：如图，连接BD. 在△BCD中，由余弦定理可得BD＝ ＝8.由题意知∠ABC＝ ∠ADC＝ ，则∠BAD＋∠BCD＝π，所以 cos ∠BAD＝ ，在△BAD中，由余弦定理得BD＝ ＝8，又AB＝AD，解得AB＝AD＝ ，则AB≈6.7. · ＝ × × ＝ ，则由 ＝－ ＋ 可得 ＝（－ ＋ ）2＝ × －2× × × ＋ × ＝ ，所以EF＝ ≈5.7.所以总长度约为6.7＋5.7＝12.4. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 四、解答题（共47分） 5. （15分）对平面向量m，n，定义运算：｜m×n｜＝｜m｜｜n｜ sin θ，其中｜m｜，｜n｜分别表示m，n的模，θ是m与n的夹角.在 △ABC中，已知｜ × ｜＝4 ， · ＝4. （1）是否存在满足条件的△ABC，使得2｜ ｜＋｜ ｜＝6？若存 在，求｜ ｜的值；若不存在，请说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 不存在满足条件的△ABC. ∵｜ × ｜＝4 ， · ＝4， ∴｜ ｜｜ ｜ sin A＝4 　①， ｜ ｜｜ ｜ cos A＝4　②，解得tan A＝ . ∵A∈（0，π），∴A＝ ，∴｜ ｜｜ ｜＝8. 设｜ ｜＝c，｜ ｜＝b，｜ ｜＝a，∴bc＝8，由2｜ ｜＋｜ ｜＝6得2c＋b＝6， 联立 无解， ∴不存在满足条件的△ABC. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若2｜ ｜＋｜ ｜＝8，D是线段AC上一点，且 BD＝ AD，求 . 解： 由（1）知，A＝ ，bc＝8　③，由2｜ ｜＋｜ ｜＝8， 得2c＋b＝8　④，由③④解得 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝16＋4－2×4×2× ＝12，∴a＝ 2 . ∵a2＋c2＝b2，∴∠ABC＝ ，C＝ . 由 BD＝ AD，设BD＝ x，AD＝ x，其中x＞0，则CD＝4－ x. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 在△ABD中，由余弦定理得（ x）2＝4＋（ x）2－2×2× x× ， 即x2＋2 x－4＝0，得x＝ － （舍负），∴AD＝2 －2，CD＝6 －2 ， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 6. （15分）（2025·山东齐鲁名校联考）已知复数z， ，z2在复平面内对 应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是△ABC的外心. （1）求｜z｜； 解： ∵O是△ABC的外心，即｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜，∴｜ z｜＝｜ ｜＝｜z2｜. 只需考虑｜z｜＝｜z2｜，即｜z｜＝｜z｜2，又A在第一象限，∴｜z｜ ≠0，∴｜z｜＝1. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 ②求△ABC的面积. 解： ①证明：∵（b＋c）2＝a2＋4bc sin 2 ， ∴b2＋c2＋2bc＝a2＋2bc（1－ cos A）， ∴a2＝b2＋c2＋2bc cos A. 由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，两式相加可得a2＝b2＋c2，∴A＝ ， ∴△ABC是直角三角形. ②设z＝m＋ni，m，n∈R，则 ＝m－ni，z2＝m2－n2＋2mni， 可知A（m，n），B（m，－n），C（m2－n2，2mn）. （2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b＋c）2 ＝a2＋4bc sin 2 . ①证明：△ABC是直角三角形； 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 易知AB与复平面的实轴垂直，又A＝ ，∴AC与复平面的虚轴垂直， ∴n＝2mn，又点A在第一象限， ∴n＞0，∴m＝ ， 又｜z｜＝ ＝1，∴n＝ ， ∴A（ ， ），B（ ，－ ），C（－ ， ）， ∴｜AB｜＝ ，｜AC｜＝1， ∴△ABC的面积为 ｜AB｜｜AC｜＝ × ×1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 7. （17分）如果存在实数对（m，n），使函数f（x）＝m sin ωx＋n cos ωx（x∈R），那么我们就称函数f（x）为实数对（m，n）的“ω型正 余弦生成函数”，实数对（m，n）为函数f（x）的“ω型正余弦生成数 对”.　 （1）若函数y＝g（x）的“4型正余弦生成数对”为（1，－ ），求方 程g（x）＝ 在区间［ ， ］上的所有实根之和； 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 由函数y＝g（x）的“4型正余弦生成数对”为（1，－ ）， 可得g（x）＝ sin 4x－ cos 4x＝2 sin （4x－ ）， 方程g（x）＝ ，即2 sin （4x－ ）＝ ， 即 sin （4x－ ）＝ ， 由x∈［ ， ］，可得4x－ ∈［ ， ］， 设θ＝4x－ ，即 sin θ＝ ， 结合正弦函数y＝ sin θ的图象，可得方程 sin θ＝ 在区间［ ， ］上 有两个根， 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 设其为θ1，θ2，且θ1＝4x1－ ，θ2＝4x2－ ，由对称性可知θ1＋θ2＝ 3π，解得x1＋x2＝ ，则方程g（x）＝ 在区间［ ， ］上的所有实 根之和为 . 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若实数对（k，－1）的“2型正余弦生成函数”y＝h（x）在x＝x0 处取得最大值，其中2＜k＜3，求tan 4x0的取值范围. 解： 由题意得h（x）＝k sin 2x－ cos 2x＝ · sin （2x－ φ），其中tan φ＝ ， 由h（x）在x＝x0处取得最大值，可得2x0－φ＝2nπ＋ （n∈Z），所以 2x0＝2nπ＋ ＋φ（n∈Z）， 即tan 2x0＝tan（2nπ＋ ＋φ）＝tan（ ＋φ）＝－ ＝－k（n∈Z）， 可得tan 4x0＝ ＝ ＝ ， 又2＜k＜3，且y＝k－ 在（0，＋∞）上单调递增，所以 ＜ ＜ ，即 tan 4x0的取值范围为（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $