专题2 培优点4 三角函数与解三角形中的最值（范围）问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形中的最值（范围）问题”专题，依据高考评价体系梳理了三角函数式化简、解三角形中的边长及面积范围等核心考点。通过近五年真题统计明确高频考点分布，归纳出利用三角函数有界性、基本不等式等典型题型，形成系统备考框架。 课件亮点在于“真题演练+素养提升”的复习模式，如以2024年石家庄质检题为例，通过辅助角公式化简与角范围确定，培养学生数学思维的推理能力和运算能力。特设“解题注意点”模块指导学生掌握“化简—定角—求最值”步骤，帮助学生高效突破考点，教师可借助专题训练实现精准复习。

培优点4　 三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 PART ONE 　　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题主要考查三角函数式、角、边长、周长及面积的最值（范围）问题，常利用三角函数的单调性（有界性）、基本不等式等求解. 三角函数中的最值（范围）问题 【例1】　已知函数f（x）＝（2 sin x－ cos x） cos x＋ sin 2x. （1）设x∈（0，π），求不等式f（x）≤1的解集； 解：f（x）＝（2 sin x－ cos x） cos x＋ sin 2x＝2 sin x cos x－ cos 2x＋ sin 2x＝ sin 2x－ cos 2x＝2 sin （2x－ ）， 因为f（x）≤1，所以 sin （2x－ ）≤ ， 所以 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 则 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. 又x∈（0，π），所以f（x）≤1的解集为 x｜0＜x≤ 或 ≤x＜π . （2）若当x∈［ ， ］时，不等式m≥f（x）恒成立，求实数m的取值 范围. 解：不等式m≥f（x）恒成立，等价于m≥f（x）max. 因为x∈［ ， ］，所以 ≤2x－ ≤ . 故当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取得最大值，最大值为f （ ）＝2. 所以m≥2，即实数m的取值范围为[2，＋∞）. 求三角函数式的最值（范围）问题的注意点 （1）把三角函数式正确地化简成单一函数形式； （2）根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函 数的单调性求三角函数式的范围. 感悟提升 　函数f（x）＝2 sin （x＋ ）＋ cos 2x的最大值为（　　） A. 1＋ B. C. 2 D. 3 √ 跟踪训练 解析：　f（x）＝2 sin （x＋ ）＋ cos 2x＝2 sin （x＋ ）＋ sin ［2 （x＋ ）］，令θ＝x＋ ，g（θ）＝2 sin θ＋ sin 2θ，所以g'（θ） ＝2 cos θ＋2 cos 2θ＝2 cos θ＋2（2 cos 2θ－1）＝4 cos 2θ＋2 cos θ－ 2＝2（2 cos θ－1）（ cos θ＋1），因为 cos θ＋1≥0恒成立，所以令2 cos θ－1＞0，解得θ∈（2kπ－ ，2kπ＋ ）（k∈Z），此时函数g （θ）单调递增，令2 cos θ－1＜0，解得θ∈（2kπ＋ ，2kπ＋ ） （k∈Z），此时函数g（θ）单调递减，所以当θ＝2kπ＋ （k∈Z） 时，g（θ）取得最大值，所以g（θ）max＝g（ ）＝2× ＋ ＝ ，即f（x）的最大值为 .故选B. 解三角形中的最值（范围）问题 【例2】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 （a＋b）（b－a）＝ab，且 cos （A－B）－ cos （A＋B）＝2 sin 2C. （1）证明：△ABC是直角三角形； 解：证明：（a＋b）（b－a）＝ab，即b2－a2＝ab，　① 因为 cos （A－B）－ cos （A＋B）＝2 sin 2C，所以 sin A sin B＝ sin 2C， 由正弦定理得， × ＝（ ）2， 其中R为△ABC外接圆的半径，所以ab＝c2，　② 由①②得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2， 所以△ABC是直角三角形. （2）求 的取值范围. 解：由（1）知B＝ ，所以 sin C＝ sin （ －A）＝ cos A. 根据正弦定理，得 ＝ ＝ sin A＋ cos A＝ sin （A＋ ）. 因为c＜b，所以ac＜ab＝c2，所以a＜c， 所以0＜A＜ ，所以 ＜A＋ ＜ ， 所以 ＜ sin （A＋ ）＜1， 所以1＜ sin （A＋ ）＜ ， 即 ＝ ＋1∈（2，1＋ ）. 所以 的取值范围是（2，1＋ ）. 解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤 （1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变 量，确定基本变量的范围； （2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转 化为基本变量的函数； （3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值. 感悟提升 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝1， cos A ＝ . 跟踪训练 （1）求角B的大小； 解：因为a＝1，所以 cos A＝ ， 由正弦定理 ＝ ＝ ， 可得 cos A＝ ， 整理可得2 sin B cos A＝2 sin C－ sin A， 又因为 sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A， 化简可得 sin A＝2 sin A cos B， 而 sin A≠0，则 cos B＝ ，又B∈（0，π）， 则B＝ . （2）如图，D为△ABC外一点，AB＝BD，∠ABC＝∠ABD，求 的最大值. 解：在△BCD中，由 ＝ 可得 sin ∠CDB＝ ， 在△ABC中，由 ＝ 可得 sin ∠CAB＝ ，所以 ＝ ， 设AB＝BD＝t（t＞0），由余弦定理CD2＝BD2＋BC2－ 2BD·BC· cos ∠CBD， AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC· cos ∠CBA， 可得CD2＝t2＋1＋t，AC2＝t2＋1－t， 因此 ＝ ＝1＋ ≤1＋ ＝3，当且仅当t＝ ，即t ＝1时等号成立， 所以 的最大值为 ，此时AB＝BD＝1. 课时跟踪检测 1. 在△ABC中，AB＝4，BC＝3，则当函数f（B）＝ cos 2B－ cos （B ＋ ）－ sin （B＋ ）＋5取得最小值时，AC＝（　　） A. B. 2 C. 4 D. 2 解析：　因为函数f（B）＝2 cos 2B－1－2 cos （B＋ － ）＋5＝2 cos 2B－2 cos B＋4＝2（ cos B－ ）2＋ ，所以当 cos B＝ 时，函数f （B）取得最小值，此时，由余弦定理，得AC＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 √ 2. 如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为 CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在 AB上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设 ∠APC＝θ（0＜θ＜ ），则当PC＋PD最小时，AP＝ km. 12 1 2 3 4 5 解析：由题意得，PC＋PD＝ ＋ ＝ ＋ （0＜θ＜ ），令y＝ ＋ （0＜θ＜ ），则y'＝ ，令y'＝ 0，则tan θ＝ ，当y'＞0时，tan θ＞ ，当y'＜0时，tan θ＜ .故当tan θ＝ 时，y取得最小值，此时AP＝ ＝ ＝12. 1 2 3 4 5 3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝4，且 sin A， sin B， sin C成等差数列，则△ABC面积的最大值为 ⁠. 解析：因为 sin A， sin B， sin C成等差数列，所以2 sin B＝ sin A＋ sin C. 由正弦定理可得2b＝a＋c，又a＋c＝4，所以2b＝4，即b＝2.所 以由余弦定理可得22＝a2＋c2－2ac cos B＝（a＋c）2－2ac－2ac cos B，即ac（1＋ cos B）＝6，又22＝a2＋c2－2ac cos B≥2ac－2ac cos B，即2≥ac（1－ cos B），当且仅当a＝c时等号成立.所以2×6≥ac （1－ cos B）×ac（1＋ cos B），即2×6≥（ac sin B）2.因为 sin B＞ 0，所以0＜ac sin B≤2 ，所以S△ABC＝ ac sin B≤ ，所以△ABC面 积的最大值为 . ​ 1 2 3 4 5 4. （2024·石家庄教学质量检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，设向量m＝（2 sin A， sin A＋ cos A），n＝（ cos A， cos A－ sin A），f（A）＝m·n，A∈［ ， ］. （1）求函数f（A）的最大值； 1 2 3 4 5 解：由题知，f（A）＝m·n＝（2 sin A， sin A＋ cos A）·（ cos A， cos A－ sin A）＝2 sin A· cos A＋ cos 2A－ sin 2A＝ sin 2A＋ cos 2A＝2 sin （2A＋ ）. 因为 ≤A≤ ，所以 ≤2A＋ ≤ ， 所以－1≤ sin （2A＋ ）≤ ，所以f（A）∈[－2， ]， 所以函数f（A）的最大值为 . 1 2 3 4 5 （2）若f（A）＝0，a＝ ， sin B＋ sin C＝ ，求△ABC的面积. 解：因为f（A）＝2 sin （2A＋ ）＝0， 所以2A＋ ＝kπ，k∈Z， 所以A＝ － ，k∈Z. 因为A∈［ ， ］，所以A＝ . 在△ABC中，由正弦定理得， ＝ ＝ ＝ ＝2， 1 2 3 4 5 所以b＋c＝ （ sin B＋ sin C）＝ ， 所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝6，　① 由余弦定理得b2＋c2－2bc cos A＝a2， 即b2＋c2－bc＝3，　② 由①②解得bc＝1， 所以△ABC的面积为 bc sin A＝ ×1× ＝ . 1 2 3 4 5 5. （2024·石景山一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，且2b sin A－ a＝0. （1）求角B的大小； 解：因为2b sin A－ a＝0，由正弦定理边化角得：2 sin B sin A－ sin A＝0， 所以（2 sin B－ ） sin A＝0， 由于在△ABC中， sin A≠0，所以2 sin B－ ＝0， 即 sin B＝ ，又0＜B＜ ，所以B＝ . 1 2 3 4 5 （2）求 cos A＋ cos C的取值范围. 解：由（1）可知B＝ ，所以A＋C＝ ， 所以 cos A＋ cos C＝ cos A＋ cos （ －A）＝ cos A＋ cos cos A＋ sin sin A ＝ cos A－ cos A＋ sin A＝ cos A＋ sin A＝ sin （A＋ ）， 由于在锐角△ABC中， 1 2 3 4 5 所以 ＜A＜ ， 所以 ＜A＋ ＜ ， 所以 sin ＜ sin （A＋ ）≤ sin ， 所以 ＜ sin （A＋ ）≤1，所以 cos A＋ cos C的取值范围为 （ ，1］. 1 2 3 4 5 $