专题3 培优点3 数列与其他知识的交汇问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 培优点3数列与其他知识的交汇问题 【例1】解：(1)因为0<0<号，1=a=tan0>0,由题意n>0. 又x+1还L,所以x∈(0，卫 22 由x<号，得+<，即2x2-5x2十2>0，求得x2<专或>2. 又2∈(0,1]，则0<x2<待 2 2tane 而=+x=1+=sin20,因此0<sin26<专， 因为20e(0,元)，所以0<0<是或钙<0<受 故的取值范围为(0，是)U(段，号)· (2)令x=y=0,得f(0)=0,令x=0,得f(0)一fy)=f(-y), 即f(一y)=一f(y),所以f(x)是奇函数. 由fc+）(高) 8。-x:】 =f(1x-xa)=f()f(-）=2f(), 即时=2，所以数列x)}是等比数列 故f(xm)=f(1)·2n-1=f(a)·2n-1=2m-2. 跟踪训练 解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，，a1=1,且a1,a3,a13成等比数列， .a=aa3,即(1+2d)2=1+12d,得d=2,.a=1+2(n-1)=2n-1. 数列{bn}的前n项和Sm=2bn一2，当n=1时，b1=2b1一2，.b1=2, 当n≥2时，bn=Sn-Sm-1=2bm-2bm-1,∴.bm=2bm-1, 故数列{bn}是首项为2、公比为2的等比数列，∴.bn=2m. (2)由(1)可得c=b.-a,=2n-(2n-1),T,=21-+2n1=2+1-2-2, 1-2 2 .Tn+2-n=2m+1-n-2. 令f(x)=2x+1-x-2(x≥1)，f(x)=2+ln2-1, x≥1，f(x)>0,f(x)单调递增， f(x)mm=f(1)=1. ∴.log2(1-a)<1,∴.0<1-a<2, .-1<a<1. 故实数a的取值范围为(-1,1). 【例2】解：(1)因为2Sm=n2+n, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk,com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以$=， 当n≥2时，a4=8,-8,-1=学-血1，m1l=n, 2 2 因为a1=1也满足上式，故an=n（n∈N). 1 (2)因为bm-Aa,且aa=n(n∈N), 所以ba=a+i= +1-√n (Wa+W+1)-1-va =√n+1-ū， 所以1，=(W2-√)+(W3-2)+(y4-3)++(W100-99)=100 -1=9. 即T9=9. (3)证明：由于病-站->m+i-瓜， 做右+病+右++病>反-15-反+00-丽=00-1 9. 所以原不等式成立. 跟踪训练 解：(1)由题意得{Sm一an}是等差数列，设其公差为d, 则S+1-a+1=S,=&。-a,十d则a,=d>0,故品=1. (2)由(1)可知，an=d>0,则Sm-a品>2可转化为Sm一a品=md-P>2, 故m>d什≥22，当且仅当d=V2时，d什后≥22取等号， 由于m为正整数，故最小正整数m的值为3， 当m=3时，取a=√2，则S-导-3y2-2>2,满足条件. 综上所述，正整数m的最小值是3. 【例3】解：(1)证明：由a为数列b}的前n项积，房十品=1， 可得n=1时，a1=b1,即有斋十号=1，解得a1=3; 当n≥2时，b=器，即有器十品=1， 可得an=au-1十2，即an一an-1=2, 则数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列. (2)由(1)可得a=3+2(n-1)=2n+1, 3ax5=6t35=3n-1, 2 2 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 可得2n十1}和{3n-1}中的相同项为5,11,17,23，， 即有C1=2,c2=3,c3=5,c4=7,s=8,c6=9,c7=11,c8=13, I6k-4,n=4k-3, 6k-3,n=4k-2, 可设cn= 6k-1n=4k-1,k∈N, 6k+1n=4k, 则Tn=(C1十c2十c3十c4)+(cs十c6十c7十cg)+.…+(c4-3十c4M-2十c4n-1十c4n)=17 +41+..+(24n-7)=克n(17+24n-7)=12n2+5m. 跟踪训练 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d. 由a-b2=a3-b3,知a1+d-2b1=a1+2d-4b1,所以d=2b1. 由a2-b2=b4-a4,知a1+d-2b1=8b1(4+3d), 所以a1十d-2b1=4d-（a+3d),整理得a=b1. (2)由(1)知d=2b1=2a,由b=am十a1知，b1·2k-1=a1+(m-1)·d+a1, 即b1·2k-1=b1十(m-1)·2b1+b1,即2k-1=2m, 因为1≤m≤500，所以2≤2k-1≤1000，所以k=2,3,4,.,10. 故集合{k|bk=am十a1,1≤m≤500}中元素的个数为9. ·独家授权侵权必究· 培优点3　数列与其他知识的交汇问题 　　数列与函数、不等式、集合等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、数列不等式的证明等. 数列与函数（导数）的交汇问题 【例1】　已知在数列{xn}中，x1＝a，xn＋1＝. （1）设a＝tan θ（0＜θ＜），若x3＜，求θ的取值范围； （2）定义在（－1，1）内的函数f（x），对任意x，y∈（－1，1），有f（x）－f（y）＝f（），若f（a）＝，试求数列{f（xn）}的通项公式. 感悟提升 数列与函数（导数）的综合问题涉及两类题型 （1）以数列为背景研究数列的函数性质，如研究数列的单调性、周期性、最值，不等式恒成立下的参数范围问题等.解决这类问题的关键是以构成数列的函数为载体，结合数列是一类特殊函数（定义域是正整数集或它的有限子集），利用函数的思想方法求解，体现由特殊到一般的思想转化； （2）以函数为背景知识研究数列问题，如已知函数的性质，求对应数列的通项公式，前n项和或比较最大项（最小项）等问题，解决该类问题的关键是构建符合函数特征的数列，体现由一般到特殊的转化思想. 　在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围. 数列与不等式的交汇问题 【例2】　（2024·甘肃二诊）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，求T99； （3）证明：＋＋＋…＋＞9. 感悟提升 数列与不等式的综合问题的常见题型及求解策略 （1）判断数列问题的一些不等关系，可以利用基本不等式进行求解； （2）与数列有关的不等式的证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，其大致可分为两类： ①先求和再放缩：对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式； ②先放缩再求和：若不易求和，可根据项的特征先放缩再求和，常见的放缩技巧如下： （ⅰ）对的放缩（下列n∈N*）： ＜＝－（n≥2）； ＜＝（－）（n≥2）； ＝＜＝2（－）（n≥1）. （ⅱ）对的放缩（下列n∈N*）： ＞＝－（n≥1）； ＜＝－（n≥1）. （ⅲ）对的放缩（下列n∈N*）： ＜（n≥2）； ＜＝－（n≥3）. 　记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知{Sn－an}是等差数列. （1）求； （2）求最小的正整数m，使得存在数列{an}，满足Sm－＞2. 数列与集合的交汇问题 【例3】　（2024·连云港阶段性调研）记an为数列{bn}的前n项积，已知＋＝1. （1）证明：数列{an}是等差数列； （2）若将集合{x｜x＝an，n∈N*}∪{x｜x＝，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，c4，…，求数列{cn}的前4n项和T4n. 感悟提升 　　数列与集合的综合问题的实质是研究以等差（比）数列为载体，结合集合的概念或运算而衍生出的新数列问题，是近几年新高考下的创新题型，即已知数列{an}的项组成集合A，数列{bn}的项组成集合B，数列{cn}的项组成集合C，在规定了数列{cn}的排序规则前提下，①若A∩B＝C，则c1，c2，…，ck为数列{an}，{bn}的公共项数列；②若A∪B＝C，则c1，c2，…，ck为数列{an}，{bn}的并项数列；③若满足C⊆A，则{cn}为{an}的有序子数列；④同时还可按照某种递推关系cn＝an＋bn及不等关系，求集合C中元素的个数等. 　已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. （1）证明：a1＝b1； （2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $