第3讲 解三角形-【领跑高中】2026年高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

第3讲　解三角形 备考指南 正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.主观题与客观题均有涉及，难度中等或偏下. 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 一 典例·讲解 典例精析 强技提能 二 课后·训练 巩固强化 综合测评 三 目录 / CONTENTS 基础·回扣 诊断自测 知识回扣 目 录 1. 在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝（　　） A. B. C. ＋ D. ＋ 正弦定理： ＝ ＝ ＝2R （R为△ABC外接圆半径）. √ 解析： 　由题知B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理 ＝ ，得c＝ ＝ ＝ ＝ ＋ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋ ，AB＝ ， 则A＝（　　） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° √ 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A， 推论： cos A＝ . 解析： 　法一（通解）　 cos A＝ ＝ ＝ ， 因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜ 60°，排除B、C、D，故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3， A＝ ，则△ABC的解的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 √ 验证三角形解的情况： （1）任意两角之和小于π； （2）大边对大角，小边对小角.　 解析： 　法一　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所 以4＝9＋c2－6c· ，即c2－3 c＋5＝0，解得c＝ 或c＝ ，所以△ABC的解的个数是2. 法二　因为 sin B＝ ＝ ，b＞a，B有两解，所以△ABC解的个数 是2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝ （b－c）2，A＝ ，则△ABC的面积为 　2 　. 2 4. 三角形面积公式：S＝ ab sin C＝ ac sin B ＝ bc sin A，一般已知哪个角就用哪个公式. 解析：由a2－8＝（b－c）2，得b2＋c2－a2＝2bc－8，因为A＝ ，所以 由余弦定理推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，解得bc＝8，所以 △ABC的面积是 bc sin A＝ ×8× ＝2 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 典例·讲解 典例精析 强技提能 目 录 考点一　正、余弦定理 【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. （1）求B； 【通性通法】　三角形边角转化的主要策略 （1）对于边的“一次齐次式”，常利用正弦定理化边为角； （2）对于含角的余弦值或含边的二次关系的式子，常利用余弦定理进行边角互化. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab，可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ，又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cosB， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解： 由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ， 由正弦定理有 ＝ ，从而a＝ · c＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练1】　（1）（2024·全国甲卷理11题）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ ac，则 sin A＋ sin C＝ （　　） A. B. C. D. √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由正弦定理得 sin A sin C＝ sin 2B，因为B＝60°，所以 sin A sin C＝ sin 2B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac· cos B＝a2＋c2－ac＝ ac，所以a2＋c2＝ ac，所以 sin 2A＋ sin 2C＝ sin A sin C，所以（ sin A＋ sin C）2＝ sin 2A＋ sin 2C＋2 sin A sin C＝ sin A sin C＝ ，又 sin A＞ 0， sin C＞0，所以 sin A＋ sin C＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 下列判断正确的是（　　） A. 若a＞b，则 sin A＞ sin B B. 若 sin A＞ sin B，则A＞B C. 若 sin A＞ cos B，则△ABC为锐角三角形 D. 若△ABC为锐角三角形，则 sin A＞ cos B √ √ √ 【瓶颈突破】　解三角形问题注意隐含条件的挖掘 （1）在△ABC中，a＋b＞c，｜a－b｜＜c；A＞B⇔a＞b⇔ sin A＞ sin B⇔ cos A＜ cos B； （2）在△ABC中，A＋B＋C＝π， sin （A＋B）＝ sin C， cos （A＋ B）＝－ cos C， sin ＝ cos ； （3）若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞ ⇔A＞ －B⇔ sin A＞ cos B⇔ cos A＜ sin B. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　在△ABC中，若a＞b，则根据正弦定理可得 sin A＞ sin B， 选项A正确；由 sin A＞ sin B及正弦定理得a＞b，则A＞B，选项B正确； 若 sin A＞ cos B，即 cos （ －A）＞ cos B，当 cos B＜0， cos （ －A） ＞0时，△ABC为钝角三角形，选项C错误；若△ABC为锐角三角形，则A ＋B＞ ，则有 ＞A＞ －B＞0，又正弦函数在（0， ）上单调递增， 所以 sin A＞ sin （ －B），即 sin A＞ cos B，选项D正确.故选A、B、D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）（2025·江苏四市调研）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知2 cos B＋1＝ . ①证明：B＝2A； ②若 sin A＝ ，b＝ ，求△ABC的周长. 解：①证明：由2 cos B＋1＝ ，得（2 cos B＋1） sin A＝ sin C＝ sin （A ＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B， 从而得 sin A＝ sin B cos A－ cos B sin A＝ sin （B－A）， ∵A，B∈（0，π），∴B－A∈（－π，π）， ∴A＝B－A或A＋（B－A）＝π（舍），∴B＝2A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 ②由 sin A＝ ，结合①知A＋B＝3A∈（0，π），则A∈（0， ），得 cos A＝ ＝ ＝ ， sin B＝ sin 2A＝2 sin A cos A＝2× × ＝ ， cos B＝ cos 2A＝1－2 sin 2A＝1－2× ＝ ， ∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B＝ × ＋ × ＝ ＝ ， 由正弦定理得 ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，即得a＝2，c＝5. ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点二　最值（范围）问题 【例2】　（2025·东北四市联考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，且tan A＋tan B＝ . （1）求角A的大小； 解：因为tan A＋tan B＝ ，所以由余弦定理得tan A＋tan B＝ ＝ ， 由正弦定理得tan A＋tan B＝ ， 又tan A＋tan B＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ，显然 cos B≠0， 又在△ABC中， sin C＞0， 所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝1，所以A＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若BC＝2，求 · 的最大值. 【通性通法】　三角形中常见最值（范围）问题的解题策略 （1）利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b 与ab相互转化求最值或范围； （2）利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简， 利用三角函数的性质求最值或范围. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 法一　由余弦定理及A＝ 可得a2＝c2＋b2－2cb cos A＝c2＋b2 － cb＝4， 又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时“＝”成立， 所以4＋ bc≥2bc，则bc≤ ， · ＝cb cos A≤ × ＝2 ＋2， 所以 · 的最大值为2 ＋2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二　 · ＝bc cos A＝ bc＝ × sin B sin C＝4 sin B sin C＝ 2 [ cos （B－C）－ cos （B＋C）]＝2 ［ cos （B－C）＋ ］， 因为0＜B＜ ，0＜C＜ ，所以－ ＜B－C＜ ，则 · ≤2 （1＋ ）＝2 ＋2，当且仅当B＝C时“＝”成立. 故 · 的最大值为2 ＋2. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练2】　（1）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C 的对边.若B＝2A，则 的取值范围是（　　） A. （－2，2） B. （0，2） C. （ ， ） D. （ ，2） √ 【易错提醒】　涉及锐角三角形时， 要综合考虑三个角均为锐角的条件. 解析： 　∵B＝2A，∴ sin B＝ sin 2A. 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos A. ∵0＜2A＜ ，0＜π－3A＜ ，∴ ＜A＜ ，∴ ＜ cos A＜ ， ＜2 cos A＜ .故选C. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）〔多选〕（2025·山东济宁一模）在△ABC中，内角A，B，C的对 边分别为a，b，c，a＝ ，且2c－b＝2a cos B，则下列结论正确的是 （　　） A. A＝ B. △ABC外接圆的面积为π C. △ABC面积的最大值为 D. △ABC周长的最大值为3 √ √ √ 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　对于选项A，因为2c－b＝2a cos B，由余弦定理可得2c－b ＝2a× ＝ ，整理可得b2＋c2－a2＝bc，则 cos A＝ ＝ ＝ ，且A∈（0，π），所以A＝ ，故A错误；对于选项 B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝ ＝ ＝1，所以 △ABC外接圆的面积为πR2＝π，故B正确； 高考专题辅导与测试·数学 目 录 对于选项C，由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc，且b2＋ c2≥2bc，即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝ 时，等号成 立，所以△ABC面积的最大值为 ×3× ＝ ，故C正确；对于选项D， 由b2＋c2＝3＋bc可得（b＋c）2＝3＋3bc，即bc＝ ，且 bc≤ ，即 ≤ ，解得（b＋c）2≤12，即b ＋c≤2 ，当且仅当b＝c＝ 时，等号成立，所以△ABC周长的最大 值为2 ＋ ＝3 ，故D正确.故选B、C、D. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 考点三　多个三角形联立问题 【例3】　如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD， cos B＝ ， cos ∠ACB＝ ，BC＝ . 【通性通法】　解多个三角形联立问题的步骤 （1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； （2）在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； （3）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件. （1）求AC； 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： 由 cos B＝ ， cos ∠ACB＝ ，则 sin B＝ ＝ ， sin ∠ACB＝ ＝ ，又由∠CAB＝π－B－ ∠ACB， 所以 cos ∠CAB＝－ cos （B＋∠ACB）＝－（ × － × ） ＝ ， 又由∠CAB∈（0， ），可得∠CAB＝ ， 在△ABC中，由正弦定理得： ＝ ，即 ＝ ，可得AC＝ 2 . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若△ACD的面积为 ，求CD. 解： 由AB⊥AD，∠CAB＝ ，可得∠CAD＝ ， 由△ACD的面积为 ，有 ×2 AD× sin ＝ ，可得AD＝ ， 在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【训练3】　（2025·浙江稽阳联谊学校二模）在△ABC中，内角A，B， C的对边分别为a，b，c，BC＝1且b cos C＋ c sin B＝1＋2c. （1）求角B的大小； 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解： ∵b cos C＋ c sin B＝1＋2c＝a＋2c， ∴在△ABC中，由正弦定理得， sin B cos C＋ sin C sin B＝ sin A＋2 sin C， 由三角形内角和为180°可得 sin A＝ sin （B＋C）， ∴ sin B cos C＋ sin C sin B＝ sin （B＋C）＋2 sin C＝ sin B cos C＋ cos B sin C＋2 sin C，即 sin C sin B－ cos B sin C＝2 sin C， ∵0°＜C＜180°，∴ sin C≠0，∴ sin B－ cos B＝2， sin B－ cos B＝1， 即 sin （B－30°）＝1，又∵0°＜B＜180°，∴B－30°＝90°，即 B＝120°. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB＝B，CD＝ ，AC＝ AD，求 sin ∠BCA的值. 解：∵AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形，令∠DCA＝∠CDA＝α， ∴∠CAD＝180°－2α， 在△ACD中，由正弦定理得， ＝ ， 又CD＝ ，∴AC＝ ＝ . 在△ABC中，由正弦定理得， ＝ ， 高考专题辅导与测试·数学 目 录 又∠BAC＝α－60°，BC＝1，∴AC＝ ， ∴ sin （α－60°）＝ cos α， sin （α－60°）＝ sin （90°－ α），解得α＝75°， ∴ sin ∠BCA＝ sin （120°－75°）＝ . 高考专题辅导与测试·数学 目 录 课后·训练 巩固强化 综合测评 （时间：60分钟，满分：102分） 目 录 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 1. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2a sin B， bc＝4，则△ABC的面积为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　由b＝2a sin B，可得 sin B＝2 sin A sin B，因为0＜B＜π，所以 sin B＞0，则 sin A＝ ，S△ABC＝ bc sin A＝1，故选A. 高考专题辅导与测试·数学 目 录 2. （2023·全国乙卷文4题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝ ，则B＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由正弦定理及a cos B－b cos A＝c，得 sin A cos B－ cos A sin B＝ sin C，即 sin （A－B）＝ sin C＝ sin （A＋B）.因为A－B＜A＋B，所 以A－B＋A＋B＝π，解得A＝ .所以B＝π－A－C＝π－ － ＝ .故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 3. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ＝ sin 2 ，则 △ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 √ 解析： 　由 cos B＝1－2 sin 2 ，得 sin 2 ＝ ，所以 ＝ ， 即 cos B＝ .由余弦定理得 ＝ ，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋ b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 4. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝a cos C－2a cos B，则 ＝（　　） A. B. C. 1 D. 2 √ 解析： 　法一（正弦定理）　∵b－2c＝a cos C－2a cos B，∴b－a cos C＝2c－2a cos B，由正弦定理得 sin B－ sin A cos C＝2 sin C－2 sin A cos B，即 sin （A＋C）－ sin A cos C＝2 sin （A＋B）－2 sin A cos B，化简得 cos A sin C＝2 sin B cos A，∵△ABC为锐角三角形，∴ cos A＞0，∴ sin C＝2 sin B，由正弦定理得c＝2b，故 ＝2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二（余弦定理）　∵b－2c＝a cos C－2a cos B，∴b－a cos C＝2c－ 2a cos B，由余弦定理得b－a× ＝2c－2a× ，即 （2b2－a2－b2＋c2）c＝2（2c2－a2－c2＋b2）b，∵△ABC为锐角三角 形，∴ cos A＝ ＞0，∴b2＋c2－a2＞0，∴c＝2b，故 ＝2.故 选D. 法三（射影定理）　∵b－2c＝a cos C－2a cos B，∴b－a cos C＝2c－ 2a cos B，由射影定理得c cos A＋a cos C－a cos C＝2（b cos A＋a cos B）－2a cos B，即c cos A＝2b cos A，∵△ABC为锐角三角形，∴ cos A＞0，∴c＝2b，故 ＝2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 5. 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞 圈D能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置， 且A，B，D'三点共线，AD'＝40 cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到 完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时， ∠BAC的余弦值是（　　） A. － B. － C. － D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16 （cm），因为B为AD'的中点，所以AB＝AC＝ AD'＝20（cm），当伞完 全收拢时，AB＋BD＝AD'＝40（cm），所以BD＝20（cm），在△ABD 中， cos ∠BAD＝ ＝ ＝ ，所以 cos ∠BAC＝ cos 2∠BAD＝2 cos 2∠BAD－1＝2× －1＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 －a ＝ ，延长BC至点D，使得BC＝CD，连接AD，若AD＝ 2 ，AB＝2，则a＝（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　由 －a＝ ，可得b sin B＝a sin A＋（c－a） sin C，由正弦定理得b2＝a2＋（c－a）c，即a2＋c2－b2＝ac，所以 cos B ＝ ＝ ＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ ，由题意可知BD＝2a， AD＝2 ，AB＝2，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝22＋（2a）2－ 2×2×2a× cos ＝4＋4a2－4a＝12，解得a＝2（负值舍去）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a＋ b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5∶6∶7，则下列结论正确的是（　　） A. sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4 B. △ABC为钝角三角形 C. 若a＝6，则△ABC的面积是6 D. 若△ABC外接圆半径是R，内切圆半径为r，则 ＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，则a＝3t，b＝2t，c＝ 4t，对于A， sin A∶ sin B∶ sin C＝3∶2∶4，故A不正确；对于B，c 最大，所以C最大， cos C＝ ＝－ ＜0，故B正确；对于C， 若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，由 cos C＝－ ⇒ sin C＝ ，所以 △ABC的面积是S＝ ab sin C＝ ×6×4× ＝3 ，故C不正确；对 于D，由正弦定理推得R＝ ＝ ＝ t，△ABC的周长l＝9t，S ＝ ab sin C＝ t2，所以内切圆半径为r＝ ＝ t，所以 ＝ ，故 D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 8. （2025·全国Ⅰ卷11题）已知△ABC的面积为 ， cos 2A＋ cos 2B＋2 sin C＝2， cos A cos B sin C＝ ，则（　　） A. sin C＝ sin 2A＋ sin 2B B. AB＝ C. sin A＋ sin B＝ D. AC2＋BC2＝3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　A. cos 2A＋ cos 2B＋2 sin C＝1－2 sin 2A＋1－2 sin 2B＋2 sin C＝2，所以 sin 2A＋ sin 2B＝ sin C，故A正确；令a＝BC，b＝AC， c＝AB，则 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC的外接圆半径），由 sin 2A＋ sin 2B＝ sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.由 cos A cos B sin C＝ ，易知 A，B为锐角，若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞ ，即 A＞ －B，则 sin A＞ sin （ －B）＝ cos B，所以 sin C＝ sin 2A＋ sin 2B＞ cos 2B＋ sin 2B＝1，矛盾.故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝ ；B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 由 cos A cos B sin C＝ cos A cos B＝ ，所以 sin A sin B＝ .因为S△ABC＝ ab ＝ ，所以ab＝ ，所以 ＝（2R）2＝ ＝2，所以2R＝ ，所以 c＝2R· sin C＝ ，故B正确；C. （ sin A＋ sin B）2＝ sin 2A＋ sin 2B＋2 sin A sin B＝ sin C＋2 sin A sin B＝1＋2× ＝ ，所以 sin A＋ sin B＝ ，故 C正确；D. AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 三、填空题（每小题5分，共10分） 9. 在不等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且a为最大边.若a2＜b2＋c2，则A的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则 cos A＝ ＞0.∴A＜ 90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是{A｜60°＜A＜ 90°}. {A｜60°＜A＜ 90°} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 10. （2025·四川南充一诊）已知平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2， CD＝3，DA＝4，则该平面四边形ABCD面积的最大值为 ⁠. 解析：连接AC，如图，则AC2＝5－4 cos B＝25－24 cos D， 所以－ cos B＋6 cos D＝5　①.平面四边形ABCD的面积S＝ S△ABC＋S△ACD＝ ×2× sin B＋ ×3×4× sin D＝ sin B＋6 sin D　②，①2＋②2，得S2＋25＝ cos 2B－12 cos B· cos D＋ 36 cos 2D＋ sin 2B＋12 sin B· sin D＋36 sin 2D＝37－12 cos（B＋D），所以S2＝12－12 cos （B＋D），则当B＋D＝π时，有 ＝24，所以Smax＝2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 四、解答题（共30分） 11. （15分）（2025·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C的对边分 别为a，b，c.已知a sin B＝ b cos A，c－2b＝1，a＝ . （1）求A的值； 解： 因为a sin B＝ b cos A，所以由正弦定理可得 sin A sin B＝ sin B cos A， 因为B∈（0，π），所以 sin B＞0，所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝ . 又因为A∈（0，π），所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）求c的值； 解： 因为c－2b＝1，a＝ ， cos A＝ ，所以由a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）× ，化简得b2＋b－2＝0，又b ＞0，故b＝1. 由c＝2b＋1，得c＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （3）求 sin （A＋2B）的值. 解： 由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，解得 sin B＝ . 因为b＝1＜3＝c，所以B为锐角， cos B＝ ＝ . sin 2B＝2 sin B cos B＝ ， cos 2B＝2 cos 2B－1＝ . 所以 sin （A＋2B）＝ sin （ ＋2B）＝ sin cos 2B＋ cos sin 2B＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 12. （15分）（2025·广东综合能力测试）在△ABC中，内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，且2btan C＝c（tan A＋tan C）. （1）求角A的大小； 解： 在△ABC中，A＋C＝π－B， sin （A＋C）＝ sin B. 由2btan C＝c（tan A＋tan C）及正弦定理得，2 sin B· ＝ sin C（ ＋ ）＝ sin C· ＝ sin C· ＝ sin C· . 因为 sin B＞0， sin C＞0， 所以 cos A＝ ，又0＜A＜π，故A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若B＝ ，c＝4. ①求b； ②过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值. 解： ①在△ABC中，C＝π－ － ， 所以 sin C＝ sin （ ＋ ）＝ . 由正弦定理 ＝ ， 得 ＝ ，所以b＝4 －4. ②由∠PDB＝∠PEB＝ ， 得∠DPE与∠DBE互补，故 cos ∠DPE＝－ cos ∠DBE＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法一（单变量法）　设AD＝x，则PA＝2x，PD＝ x，PC＝4（ －1）－2x， PE＝PC· sin C＝2 － x，则DE2＝PD2＋PE2－2PD·PE· cos ∠DPE＝3x2＋（2 － x）2＋2· x·（2 － x）· ＝2x2－4x＋8＝2（x－1）2＋6， 所以当x＝1时，DE取得最小值，为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法二（四点共圆）　如图1，连接BP，由PD⊥AB， PE⊥BC，得P，E，B，D四点共圆，且BP为该圆 的直径. 由正弦定理得，DE＝BP sin ＝ BP，故求DE的最 小值等价于求BP的最小值. 当BP⊥AC时，BP最小，此时BP＝AB× sin A＝4×sin ＝2 ， DE＝ ×2 ＝ ，故DE的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 法三（建系法）　以AB的中点O为坐标原点，AB所 在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2，则A （2，0），B（－2，0），直线BC：y＝x＋2， 直线AC：y＝－ （x－2）. 设D（t，0），则P（t，－ （t－2））， 直线PE：y＝－（x－t）－ （t－2）. 联立 解得E（ t＋ －1， t＋ ＋1）， DE2＝（ t＋ －1）2＋（ t＋ ＋1）2＝ 2t2－4t＋8＝2（t－1）2＋6.当t＝1时，DE取得最小值，为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 【高考新风向】（13题5分，14题15分，共20分） 13. 〔创新交汇〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若a2，b2，2c2成等差数列，则tan（C－B）的最小值为（　　） A. B. C. － D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解析： 　因为a2，b2，2c2成等差数列，所以a2＋2c2＝2b2，则 cos B＝ ＝ ， cos C＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ，即tan B＝3tan C，设tan C＝t，则tan B＝3t（此 时t＞0，因为B，C为三角形内角，且tan B与tan C同号，若t＜0，则两角 均为钝角，矛盾）.所以tan（C－B）＝ ＝ ＝ ＝ ≥ ＝－ （当3t＝ ，即t＝ 时取等号）.故tan（C－B）的最小 值为－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 14. （15分）〔创新考法〕如图，∠AOD与∠BOC是对顶角，且∠AOD ＝∠BOC＝ ，AC＝2，BD＝2 ，BC＝AD. （1）证明：O为BD的中点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 解：证明：如图，设OB＝x，OC＝m，∴OD＝ 2 －x，OA＝2－m， 在△BOC与△AOD中分别由余弦定理⇒BC2＝AD2⇒m2 ＋x2－2mx· ＝（2－m）2＋（2 －x）2－2（2－m）·（2 － x）· ＝m2＋x2－4m－4 x＋12－8＋2 x＋4m－ mx，∴2 x＝4，x＝ ，∴BO＝OD＝ ，∴O为BD中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 （2）若 sin 2A＋ cos B＝ ，求OC的长. 解： 在△BOC与△AOD中，分别由正弦定理 得 ∵BC＝AD，BO＝OD， ∴ sin A＝ sin C，由图知显然A≠C，∴A＋C＝π，∴C＝π－A， ∴B＝A－ ， ＜A＜ ， ∴ sin 2A＋ cos （A－ ）＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 令 sin A＋ cos A＝t，t＞0， ∴ （t2－1）＋ t＝ ，解得t＝ （负值舍去），∴ sin A＋ cos A ＝ ， ∴（ － sin A）2＋ sin 2A＝1，∴ sin A＝ ， cos A＝ ， ∴ sin B＝ sin A－ cos A＝ × ＝ ， sin C＝ sin A＝ ， 在△BOC中，由正弦定理得 ＝ ，∴OC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高考专题辅导与测试·数学 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $