湖南衡阳县第一中学2026届高三学情调研(二) 数学试卷

湖南衡阳县第一中学2026届高三学情调研(二)数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数与的图象（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于直线对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 4. 已知数列满足是数列的前n项和，则（ ） A. -7 B. -6 C. 6 D. 7 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 记O为坐标原点，已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 设抛物线的焦点为，直线交于两点（在不同的象限），交轴于点，且，过作的准线的垂线，垂足为，设点.则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 11. 若数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 任意 B. 任意 C. 任意 D. 任意 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 13. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是__________． 14. 现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 16. 如图，在等腰梯形ABCD中，，且，E是CD的中点．将沿AE折起到的位置． （1）若为棱上动点，是AE的中点，证明． （2）若平面平面ABCE，求二面角的余弦值． 17. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）证明：； （2）当时，求四边形ABCD面积的最大值． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4， F为其左焦点. （1）求C的方程; （2）设过点，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. ①若点A，B分别在C的左、右两支上，求k的取值范围; ②若x轴上存在一点M，使得点M是的外心，求点M的坐标. 19. 已知函数，其中． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若，求x的取值范围． （3）当时，若为函数的两个零点，试证明： 湖南衡阳县第一中学2026届高三学情调研(二)数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）0.9 （2） 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 ， 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①；② 【19题答案】 【答案】（1）在和上单调递减 （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $