精品解析：江苏省常州市正行中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年第一学期高二年级期末调研 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程求，再求其准线方程. 【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为， 则，且抛物线的焦点在 轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 2. 已知数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件列方程可得，，由此判断的符号，结合等比数列性质求可得结论. 【详解】由题意可知，，， 易知，， 由等比数列的性质可知，，得， 由偶数项符号相同可知． 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. 12 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 4. 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 264 B. 520 C. 521 D. 263 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列通项公式以及分组求和即可. 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 可得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列， 可得，则， 所以． 5. 已知，是椭圆 ：的两个焦点， 为 上一点，且的内切圆半径为，若 在第一象限，则 点的纵坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解 点的纵坐标. 【详解】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为 ，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 6. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（ ） A. 11 B. 19 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列共项，利用等差数列求和公式表示所有奇数项的和与偶数项的和列方程，结合等差数列性质解方程求 即可. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有 项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 7. 已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意转化为函数的图象和的图象有两个交点，而函数的图象为半圆，利用直线与圆相交的位置关系求解. 【详解】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 关于直线的对称直线为， 故题意等价于函数的图象和的图象有两个交点， 令，即， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以 的取值范围是． 8. 将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（ ） A. 540 B. 504 C. 408 D. 390 【答案】D 【解析】 【分析】先分组后分配，再间接减去甲、乙在一起的情况即可. 【详解】总的分配方法有种. 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种，故不同的分配方法数为. 故选D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知是等差数列的前 项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时 的最大值是14 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，结合从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前 项和公式，判断各选项． 【详解】根据题意，数列是等差数列，设其公差为 ， 对于A，等差数列中，易得，又由，则， 故，数列为递减数列，A正确； 对于B，由的结论，，B错误； 对于C，由的结论，且，，可知数列为递减数列，故的最大值为，C正确； 对于D，，， 故使得时 的最大值是14，D正确． 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天， A：课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，有3！种排法，产生4个空位； 将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 排法数为，A错误. B：“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，B正确． C：用间接法：总排法，减去“数”在第一天的， “礼”在最后一天的，加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的． 排法数为，C正确． D：课程“书”在第1天或最后一天，有2种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 课程“书”不在第1天或最后天，有4种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 排法数为：，D正确. 11. 已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 若点 在第一象限，且，则直线 的斜率为 C. 存在点 、 ，使得 D. 过点作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，若点为 的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直线与抛物线的交点问题，联立方程利用韦达定理分析处理.焦点弦问题可结合抛物线定义处理. 【详解】对于选项 ：易知抛物线的焦点，当 垂直于 轴时，最小，此时，故选项A正确； 直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ，，， 联立，消去 并整理得，， 由韦达定理得，，所以，， 对于选项B：因为，所以，即， 可得，，所以，解得， 因为，所以，又，所以， 则直线 的斜率，故选项B正确； 对于选项C：因为，故选项C错误； 对于选项D：设，，抛物线 在点 处的切线方程为，联立， 消去 并整理得，此时，所以抛物线 在点 处的切线方程为， 同理得抛物线 在点 处的切线方程为， 而这两条切线的交点为，所以， 即点 ， 的坐标均满足方程， 联立，消去 并整理得， 解得，，所以， 易得抛物线 在点处的切线与直线平行， 设抛物线 在点处的切线方程为， 联立，消去 并整理得， 此时，解得， 此时，，即， 又点到直线 距离的最大值为， 则面积的最大值为，故选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式求系数即可． 【详解】的展开式的通项公式为，， 令，解得，所以项的系数为． 故答案为： 13. 已知圆与圆相交于 ， 两点，则两圆公共弦 的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】联立两圆方程，求得公共弦所在直线方程，根据圆心到公共弦所在直线的距离，由几何法求得公共弦长. 【详解】圆与圆相交于 ， 两点， 所以 ， 两点坐标均满足两圆方程. 由，可得，即， 故两圆公共弦所在的直线方程为； 因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线 的距离为， 所以， 则公共弦 的长为4． 14. 已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量共线求出 的坐标，然后求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，根据韦达定理求出，然后根据向量垂直求出直线的斜率，进而求出，从而得到的关系式，最后求出离心率即可. 【详解】设，则，所以， 由得，所以. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 将代入椭圆方程中，得到， 化简得，又满足， 即，根据韦达定理可得， 所以①. 由得，所以直线的斜率为. 而，解得②. ①②联立得，化简得. 所以离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前 项和满足，且 ． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，即可得到，从而得到是常数数列，即可得解； （2）由（1）可得，对 分奇、偶两种情况讨论，利用并项求和法计算可得. 【小问1详解】 因为，当 时， 所以，即， 所以， 所以，即是常数数列，又 ，所以，则. 【小问2详解】 因为， 当 为偶数时， ； 当 为奇数时， ； 综上可得. 16. 已知圆 经过点，圆心 在曲线上，且直线被圆 截得的弦长为. （1）求圆 的方程； （2）过点作圆 的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）与 【解析】 【分析】（1）设出圆心，再由垂径定理中的直角三角形三边关系列出方程，即可得解； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使圆心到直线的距离等于半径即可. 【小问1详解】 设圆心，设圆心 到直线的距离为 ，直线被圆 截得的弦长为 ，由，可得， 整理得：，解得 或（舍去）. 故圆心，圆上一点，半径， 故圆 的方程为：. 【小问2详解】 当过的直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离，故是圆 的切线； 当过的直线的斜率存在时，可设切线为， 可化成一般式，圆心 到该直线的距离为2，即， 整理得，解得，此时切线为， 化成一般式得. 综上所述，过 点作圆 的切线方程为与. 17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量 （单位：千辆）与年使用人次 （单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量 与年使用人次 的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量 与年使用人次 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出 关于 的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比.请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．， 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）适宜作为投放量 与年使用人次 的回归方程类型， （2）列联表见解析，认为是否报废与保养有关 【解析】 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于 与 的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【小问1详解】 由散点图判断，适宜作为投放量 与年使用人次 的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故 关于 的回归方程为. 【小问2详解】 设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 18. 已知为递增等差数列，，，为的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）用等差数列的性质求通项公式； （2）利用裂项相消法与分组求和法. 【小问1详解】 解：为正项等差数列，设公差为 ，，， ，， 解得 ，，， 则； 【小问2详解】 证明：， ， 则， 由，可得， 即有． 19. 已知双曲线 ：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. （1）求双曲线G的方程； （2）过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线 过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由题意得，故， 过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，故过的直线斜率不为0， 设过的直线方程为，联立得， 设，， 故，， 需满足，解得， ，故直线 的斜率为，直线 方程为， 由对称性分析可知直线 过的定点在 轴上， 故中，令得 ， 又，将其代入上式中得， 故直线 过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）求出渐近线方程，根据垂直关系得到方程，求出，再根据通径长得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设过的直线方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，并得到，，表达出直线 的方程，由对称性分析可知直线 过的定点在 轴上，又，从而求出，故直线 过定点； （ii）在（i）基础上，得到，换元得到，，根据单调性求出最值. 【小问1详解】 的两渐近线方程为， 由题意得，故， ， 中，令得，故， 又，故，结合得， 所以双曲线G的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii），由于直线 过定点，， 其中， 所以 ， 令，因为，所以，故，， 所以，由于在上单调递减， 故在上单调递增，故当时，取得最小值， 最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二年级期末调研 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. 12 B. C. D. 6 4. 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 264 B. 520 C. 521 D. 263 5. 已知，是椭圆 ：的两个焦点， 为 上一点，且的内切圆半径为，若 在第一象限，则 点的纵坐标为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（ ） A. 11 B. 19 C. 9 D. 21 7. 已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（ ） A. 540 B. 504 C. 408 D. 390 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知是等差数列的前 项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时 的最大值是14 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 11. 已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 若点 在第一象限，且，则直线 的斜率为 C. 存在点 、 ，使得 D. 过点作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，若点为 的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）. 13. 已知圆与圆相交于 ， 两点，则两圆公共弦 的长为______． 14. 已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前 项和满足，且 ． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前 项和． 16. 已知圆 经过点，圆心 在曲线上，且直线被圆 截得的弦长为. （1）求圆 的方程； （2）过点作圆 的切线，求切线的方程. 17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量 （单位：千辆）与年使用人次 （单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量 与年使用人次 的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量 与年使用人次 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出 关于 的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比.请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．， 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 已知为递增等差数列，，，为的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：． 19. 已知双曲线 ：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. （1）求双曲线G的方程； （2）过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线 过定点； （ii）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $