专题03 同角三角比关系式及诱导公式（考点解读+考点归纳+11类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

专题03 同角三角比关系式及诱导公式 能根据三角比值的定义推导同角三角比值的基本关系式；掌握同角三角比值的基本关系式，并能根据一个角的三角比值，求其他三角比值；已知一个角的三角比值，求其他三角比值时，应注意分类讨论思想的应用；灵活运用同角三角比值基本关系式的不同变形，提高三角恒等变换的能力；理解和掌握诱导公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角比值的值，并进行简单三角比值的化简，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养； 一、《必修第二册》目录与内容提要 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 第六章内容提要 1、正弦、余弦、正切、余切 同角三角公式：，，，； 诱导公式：（），，，； 诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. 二、考点解读 1、同角三角比值的基本关系式 （1）平方关系： sin2α＋cos2α＝1. （2）商数关系： tan α＝. （3）倒数关系：tan αcot α＝1. . 【说明】1、注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立；2、sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． 3、注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立； 2、诱导公式 （1）角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系： cos(α＋k·2π)＝cosα；sin(α＋k·2π)＝sinα；tan(α＋k·2π)＝tanα. （2）角α与－α的三角函数间的关系： cos(－α)＝cosα；sin(－α)＝－sinα；tan(－α)＝－tanα. （3）角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系： cos[α＋(2k＋1)π]＝－cosα；sin[α＋(2k＋1)π]＝－sinα；tan[a＋(2k＋1)π]＝tanα. （4）角α＋nπ(n∈Z)的三角函数值 sin(α＋nπ)＝ cos(α＋nπ)＝ tan(α＋nπ)＝tanα(n∈Z)． （5）角α与α＋的三角函数间的关系： cos＝－sinα；sin＝cosα.； 以－α替代α可得另一组公式： cos＝sinα；sin＝cosα. 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1． （2）商数关系：tanα＝. 【说明】1、平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z). 2、同角三角函数的基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ②sin α＝tan αcos α. ③sin2α＝＝；cos2α＝＝. 3、在利用同角三角函数的平方关系时，若需要开方，要特别注意判断符号． 2、各角的终边与角α的终边的关系 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 图示 与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称 将α视为锐角，则－α，π±α，2kπ＋α(k∈Z)的正弦、余弦、正切函数名不变，符号根据象限可以快速得出；±α的三角函数名改变，正弦、余弦互换，符号根据象限得出． 3、诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 记忆口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号