期中复习讲义02 三角函数6大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学（沪教版必修第二册）重难点讲义与测试

期中复习讲义02 三角函数 【考点一】 正弦函数的图象 【考点四】 求图象变化前（后）的解析式 【考点二】 正弦函数的性质 【考点五】 由图象确定正（余）弦型函数解析式 【考点三】 余弦函数的性质 【考点六】 正切函数的图象与性质 一、三角函数的概念 1. 任意角的概念 正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：不作旋转的角。 终边相同的角：与角终边相同的角的集合为（或用弧度制表示为）。 象限角：角的终边在第几象限，就称这个角为第几象限角；终边在坐标轴上的角不属于任何象限。 2. 弧度制与角度制的换算 核心换算公式： 推导公式： 弧长公式：（为弧所对圆心角的弧度数，为圆的半径） 扇形面积公式： 3. 任意角的三角函数定义 设角的终边上任意一点，到原点的距离为，则： ，， 补充：，，（期中低频，了解即可） 4. 三角函数值的符号 第一象限：，，（全正） 第二象限：，，（正弦正） 第三象限：，，（正切正） 第四象限：，，（余弦正） 5. 特殊角的三角函数值（期中必记） 角度 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 弧度 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 无意义 0 无意义 0 二、三角函数的基本关系与诱导公式 1. 同角三角函数基本关系（核心考点） 平方关系：（可变形为，） 商数关系： 注意：使用平方关系时，需结合三角函数值的符号判断开方后的正负。 2. 诱导公式（期中高频，记准符号） 核心原则：奇变偶不变，符号看象限（“奇、偶”指中的奇偶性；“符号”指原函数在目标象限的符号） 常用诱导公式（重点记前6组）： ，，（，周期性） ，， ，，（奇偶性） ，， ，（互余关系） ， ， ， 三、三角函数的图像与性质（期中压轴考点） 1. 正弦函数的性质 定义域： 值域：（最大值为1，最小值为-1） 周期性：最小正周期 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称，满足 单调性：在上单调递增；在上单调递减 对称中心：；对称轴： 2. 余弦函数的性质 定义域： 值域：（最大值为1，最小值为-1） 周期性：最小正周期 奇偶性：偶函数，图像关于y轴对称，满足 单调性：在上单调递增；在上单调递减 对称中心：；对称轴： 3. 正切函数的性质 定义域： 值域： 周期性：最小正周期 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称，满足 单调性：在上单调递增（无递减区间） 对称中心：；无对称轴 4. 三角函数的图像变换（期中高频） 以为基础，变换得到（），变换步骤（两种常用方法）： 方法一（先平移，后伸缩）： 方法二（先伸缩，后平移）： 关键参数含义： ：振幅，决定函数值域范围， ：决定周期，最小正周期（正切函数为） ：相位，决定图像左右平移 ：纵向平移量，决定函数图像的上下位置 四、三角恒等变换（期中重点难点） 1. 两角和与差的三角函数公式（核心） （注意差角公式中是“+”） 2. 二倍角公式（重点，可由两角和公式推导） （三种形式，灵活选用） 3. 降幂公式（由二倍角公式变形，期中高频应用） 4. 辅助角公式（期中压轴，用于化简三角函数式） ，其中（的象限由的符号决定） 常用特例：， 【考点一】正弦函数的图象 1．（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 2．函数与函数的图像的交点个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】作出函数和的图象，由图象可得交点个数， 【详解】的最小正周期是，， 时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点， 故选：C． 3．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．当时，函数在区间上恰有3040个零点 B．当时.函数在区间上恰有2026个零点 C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168 D．当时.函数在区间上给有4054个零点 【答案】C 【分析】将函数变形为，利用换元法可得，，根据二次函数零点可得原题等价与在题中所给区间的零点问题，结合正弦函数图象分析即可逐一判断. 【详解】. 令，所以， 因为.函数有两个零点. 记的两个零点分别为， 则，设. . 对于A.当时，.令.得或. 所以或. 当时，或或. 所以在上有3个零点. 而. 所以函数在区间上有个零点，故A正确： 对于B.当时，. . 所以<. 所以函数在上没有零点，在上有两个零点. 而. 所以函数在区间上有个零点，故B正确； 对于C.当时，. . 所以. 所以函数在上有两个零点，在上没有零点， 因为函数在区间上给有2168个零点. 而，所以或2168，故C错误； 对于D，当时，， . 所以，所以函数在上有两个零点，在上有两个雾点.而. 所以函数在区间上有个零点，故D正确； 故选：C. 4.（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为__________个. 【答案】5 【分析】将零点问题转化为函数交点问题，作出函数图像，求出交点个数即可. 【详解】方程的实数解的个数， 即为函数与图象交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数共有5个交点， 所以方程的实数解的个数为5. 故答案为：5. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其图像性质列不等式求解. 【详解】因为，所以函数的最小正周期． 因为在区间上有5个零点， 所以，即， 可得； 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是__________． 【答案】 【分析】设，进而可得点坐标，再根据条件列式，利用三角公式是计算可得答案. 【详解】设， 其中， 则， 于是． 因为是中点， 所以， 即或，又因为， 所以，即点的纵坐标是. 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海·期中）已知，若关于的方程，对任意的都至少有2个不同解，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据正弦函数的图象及性质分析即可求解. 【详解】由图可知，关于的方程，对任意的都至少有2个不同解， 则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海长宁·期中）若存在常数使关于的方程在闭区间上恰有三个不同解，则_________. 【答案】/ 【分析】方程化为，由函数在上的图象，可得满足题意，由此可求得，即可得结论． 【详解】方程即为， 由于的最小正周期是， 作出在时的图象，如图，只有直线与它有三个交点， 因此方程在闭区间上恰有三个不同解，不妨设，则，， 由，得， 所以． 故答案为：． 9．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标由小到大依次记为，，，…，则______． 【答案】/ 【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：， 令，得， 则或， 所以或， 由于的横标为轴右侧的点， 所以，，，，，，， 所以． 故答案为：． 10．设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间上零点的个数是8个，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分别作出与直线的图像，观察交点个数即可. 【详解】作出，的图像如下： 令，则， 则函数在区间上零点的个数，即为与直线的图像交点个数， 由图可知当是，图像有8个交点. 故答案为：. 【考点二】正弦函数的性质 11.（24-25高一下·上海金山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】假设，都是锐角，可得，与已知矛盾，从而可得以，中一定存在钝角，则角为锐角，从而可判断结论的真假. 【详解】假设，都是锐角，则，故是锐角. 则，同理，从而，矛盾. 故，中必定有一个为钝角，②对①错. 不妨设为钝角，则，为锐角. ， ， ， 看成关于的一元二次方程，注意到， 则判别式恒成立，且两根之积为负数. 从而对任意锐角，必存在唯一钝角符合关系式，因为， 所以也为钝角，所以为锐角. 故可取遍任意锐角， 所以，即，③正确， 又因为任意一个集合都是自身的子集，则，故④正确， 故选：C． 12．（24-25高一下·上海闵行·期中）函数在一个周期内的图象如图所示．为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．若，且，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数解析式，根据周期求出，即可得到函数解析式，从而得到，再求出，最后由两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为     ， 又为正三角形，所以， 则函数的最小正周期，所以，解得，则， 因为，所以， 即，因为，所以， 所以， 所以 . 故选：A. 13．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知狄利克雷函数 ，符号函数 ，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用. 有以下两个结论: ①函数 是奇函数且该函数在区间 上的有理数零点恰有 3 个； ②函数 既是偶函数，又是增函数. 那么 (     ). A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断及应用特殊三角函数值可判断①，对于分为无理数和有理数即可判断②. 【详解】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则， 当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数， 故，是奇函数； ，当为有理数时，，得出在区间上有，3个有理数零点，①正确； 当为无理数时，，也为无理数，，； 当为有理数时，也为有理数，， 当时，，， 所以， 当时，，，， 所以， 所以不是偶函数，故②错误； 故选：A 14.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调增区间是______. 【答案】, . 【分析】根据正弦函数性质求函数的单调增区间即可. 【详解】函数的单调增区间是, . 故答案为：, . 15．（24-25高一下·上海·期中）已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 【答案】 【分析】依题意可得，根据正弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】因为和是函数相邻的两个零点，设函数的最小正周期为， 所以，则，又，解得. 故答案为： 16．（25-26高一下·上海·期中）函数，的频率是，则______. 【答案】4 【分析】根据频率列式即可求出对应的参数. 【详解】由函数，的频率是，所以函数周期为，则，解得. 17．（23-24高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为__________． 【答案】 【分析】根据勾股定理及周期公式求解，再根据函数过点求解即可． 【详解】设，因为， 所以，解得， 所以， 所以，又时，， 所以，由得， 所以， 故答案为：． 18.（24-25高一下·上海长宁·期中）求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 【答案】最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】依题意，， 函数的最小正周期，函数的最大值为3， 当，即，时取得最大值． 19．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可求出的单调递增区间； （2）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域. 【详解】（1）函数， 令， 可得， 故函数的单调递增区间为：； （2）由，可得， 结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值， 当，即时，有最大值2， 即函数的值域为. 20．已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 【详解】（1）由可得， 所以， 所以函数单调递增区间为：； （2）令，由可得， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 所以在时有最小值-1，又，， 所以，所以函数在上的值域为． 【考点三】余弦函数的性质 21.（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【详解】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 22．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义、三角函数的单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，因为时， ，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，因为时， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递增，故C正确； 对于D，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递减，故D错误. 故选：C. 23．（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】分析得当且时，恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值． 【详解】， 当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减， 所以在半个周期内有个不同的值， 再根据对称性得在1个周期内有个不同的值， 由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为， 故选：B． 24．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果. 【详解】对于A，若，则， 因为，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，则， 因为，所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则， 因为，当时，，此时，故D错误. 故选：C. 25.（23-24高一下·上海·期中），的单调减区间是______. 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出函数的单调减区间. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求单调减区间是. 故答案为： 26．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为______. 【答案】/ 【分析】利用奇函数的性质及周期性有，再应用解析式即可求值. 【详解】由题设. 故答案为： 27．（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为_______． 【答案】 【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出． 【详解】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 28．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 29.已知：. (1)化简：； (2)求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用二倍角公式公式将函数变形，再根据余弦函数的有界性及二次函数的性质计算可得； 【详解】（1）解： 即 （2）解：因为， ， 当时，函数取得最小值，最小值为． 30．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解， （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可. 【详解】（1）当时, , 当时, ,则, 故, 因此 （2）当时, , 故,即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 【考点四】求图象变化前（后）的解析式 31.（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 32．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 33．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①函数的最小正周期为； ②函数的图象关于对称； ③是函数的一个零点； ④函数在上为严格减函数． A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可求解． 【详解】由题可知，， ，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 当时，， 因为在单调递增，所以④错误； 故选：C． 34.把函数图象上每一个点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为________． 【答案】 【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式. 【详解】将函数图象上每一个点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变， 所得图象的函数解析式为. 故答案为：. 35．（23-24高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为________． 【答案】 【分析】直接利用函数的图像的平移变换求解析式. 【详解】函数图像向左平移个单位， 所得图像的解析式为. 故答案为：. 36．（25-26高一下·上海·期中）将函数的图像先向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，所得函数图像的解析式为______． 【答案】 【详解】函数的图像先向左平移个单位得， 再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得. 37．（24-25高一下·上海徐汇·期中）把函数按进行平移，得到函数，且满足，则使得最小时，________． 【答案】 【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，依题意为奇函数，解得的取值，再求出的最小值，即可得解； 【详解】解：把函数按进行平移得到，即， 又，即为奇函数，所以，解得， 又，要使最小，即取得最小，所以； 故答案为： 38．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，可得， 则或， 解得或， 所以的取值大于等于的零点从小到大依次为， 若在上至少有个零点， 则不小于第个零点的横坐标即可， 所以的最小值为， 故答案为：． 39.（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值； （2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可； （3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值. 【详解】（1）由题意可得：. 因为，所以的最小值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 （3）当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 40．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换可得解析式，进而可得； （2）以为整体，结合正弦函数零点可得，运算求解即可. 【详解】（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到； 再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到； 所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以a的取值范围为. 【考点五】由图象确定正（余）弦型函数解析式 41.（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 42．设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意，，即. 由图可知，，解得，， 此时， 将点代入解析式， 可得，即， 所以，， 即，取，， 所以. 故选：A. 43．函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的图象，求出对称轴方程，从而求出函数的周期，由此求得的值， 再利用特殊点求出的值，得到函数的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质， 即可求出的取值范围． 【详解】因为轴，所以图象的一条对称轴方程为， 所以，则，所以， 又，，且， 所以， 故， 因为当时，不等式恒成立， 所以， 令， 因为，则，所以 所以的最小值为， 所以，即． 故选：． 44.（24-25高一下·上海·期中）如图为函数 的部分图象，则 的值为_____ 【答案】/ 【分析】根据函数图象确定函数周期，求出的值，再结合在函数单调递增区间上，代入求解，即可得答案. 【详解】由图可知，则， 由图象可知点在函数单调递增区间上，则， 则，则， 由于，故， 故答案为： 45．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么______.    【答案】 【分析】由求出，根据图象过求出，可得函数的解析式，从而得到的值． 【详解】根据函数，的部分图象，，两点之间的距离为5， 可得，求得． 根据图象过，可得，求得， ， ，可得， 故， 故答案为：． 46．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则______． 【答案】/ 【分析】根据图象求得，进而可得，再代入最大值点即可求得的值，进而可求得. 【详解】由已知可得，，所以，所以， 所以. 又因为在处取得最大值， 所以有， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 47．（24-25高一下·上海·期中）根据下图，函数的解析式为______    【答案】 【分析】根据函数图像判断函数性质，进而确定函数解析式. 【详解】由图像可知函数最小值为，且最小正周期， 又，， 则，， 根据函数的对称性可知函数经过点， 即， 解得，， 又， 即， 即， 故答案为：. 48.（23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）由振幅、初始相位定义以及最小正周期公式即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）由题得，即. （2）由（1）得函数的表达式为. 49．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 50．已知函数的图像如图. (1)根据图像，求的表达式及严格增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围. 【答案】(1)，增区间为； (2)[-1,2]. 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解的单调递增区间． （2）利用函数的图象变换规律，得到的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得的范围． 【详解】（1）根据函数的图象，可得， ，所以，， 由五点法作图，可得， ，故， 令，求得，Z， 的单调递增区间，Z． （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象， 把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象， 由在上有解，即在上有解， 因为，， 所以， 所以的取值范围为． 【考点六】正切函数的图象与性质 51.（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为， 将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折， 得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确； 故选：D 52．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列几个命题： （1）第一象限的角是锐角； （2）函数在定义域内是增函数； （3）函数的零点是， 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据象限角的定义可知（1）错误；正切函数只在同一个周期内是增函数，在定义域内不是增函数；易知函数的零点是或，可得结论. 【详解】对于（1），第一象限的角不一定是锐角，例如，即（1）错误； 对于（2），函数的定义域为，在同一个周期内是增函数，在定义域内不是增函数，所以（2）错误； 对于（3），令，可得，即或，可知（3）错误； 所以真命题的个数只有0个. 故选：A 53．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】先求出原函数的定义域，再运用三角恒等变换与同角三角函数将其化成正切函数，结合周期公式和原函数定义域即可求得其周期． 【详解】函数有意义，需使且， 即函数的定义域为：且， 因 ， 该函数的周期为π，但原函数的定义域且， 不满足以π为周期，而满足以2π为周期，故原函数的最小正周期为2π. 54．（25-26高一下·上海·期中）“”是“”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】由，如，则无意义，充分性不成立， 由，根据正切函数的周期性知，必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 55.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的最小正周期是______. 【答案】/ 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求结论. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 56．（24-25高一下·上海·期中）函数的最小正周期为______. 【答案】 【分析】根据正切型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 57．（25-26高一下·上海普陀·月考）若，，则________. 【答案】 【分析】根据正切函数的周期及反正切函数的定义可得. 【详解】因为正切函数的周期为，所以,且. 根据反正切函数的定义：反正切函数的值域为，满足， 因为,且,所以,即. 58．对于函数，其中．若，则________． 【答案】 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【详解】，故， . 故答案为： 59.求函数的值域 【答案】 【分析】根据函数与在区间上都是增函数，得到函数是增函数，代入即可求解函数的最值，得到答案． 【详解】由题意，根据正弦函数和正切函数的性质，可得函数与在区间上都是增函数，所以函数在区间上是增函数， 所以，， 所以函数的值域为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了正弦函数与正切函数的图象与性质的应用，其中解答中根据正弦函数和正切函数的单调性，得到函数的单调性是解答的关键． 60．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义02 三角函数 【考点一】 正弦函数的图象 【考点四】 求图象变化前（后）的解析式 【考点二】 正弦函数的性质 【考点五】 由图象确定正（余）弦型函数解析式 【考点三】 余弦函数的性质 【考点六】 正切函数的图象与性质 一、三角函数的概念 1. 任意角的概念 正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：不作旋转的角。 终边相同的角：与角终边相同的角的集合为（或用弧度制表示为）。 象限角：角的终边在第几象限，就称这个角为第几象限角；终边在坐标轴上的角不属于任何象限。 2. 弧度制与角度制的换算 核心换算公式： 推导公式： 弧长公式：（为弧所对圆心角的弧度数，为圆的半径） 扇形面积公式： 3. 任意角的三角函数定义 设角的终边上任意一点，到原点的距离为，则： ，， 补充：，，（期中低频，了解即可） 4. 三角函数值的符号 第一象限：，，（全正） 第二象限：，，（正弦正） 第三象限：，，（正切正） 第四象限：，，（余弦正） 5. 特殊角的三角函数值（期中必记） 角度 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 弧度 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 无意义 0 无意义 0 二、三角函数的基本关系与诱导公式 1. 同角三角函数基本关系（核心考点） 平方关系：（可变形为，） 商数关系： 注意：使用平方关系时，需结合三角函数值的符号判断开方后的正负。 2. 诱导公式（期中高频，记准符号） 核心原则：奇变偶不变，符号看象限（“奇、偶”指中的奇偶性；“符号”指原函数在目标象限的符号） 常用诱导公式（重点记前6组）： ，，（，周期性） ，， ，，（奇偶性） ，， ，（互余关系） ， ， ， 三、三角函数的图像与性质（期中压轴考点） 1. 正弦函数的性质 定义域： 值域：（最大值为1，最小值为-1） 周期性：最小正周期 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称，满足 单调性：在上单调递增；在上单调递减 对称中心：；对称轴： 2. 余弦函数的性质 定义域： 值域：（最大值为1，最小值为-1） 周期性：最小正周期 奇偶性：偶函数，图像关于y轴对称，满足 单调性：在上单调递增；在上单调递减 对称中心：；对称轴： 3. 正切函数的性质 定义域： 值域： 周期性：最小正周期 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称，满足 单调性：在上单调递增（无递减区间） 对称中心：；无对称轴 4. 三角函数的图像变换（期中高频） 以为基础，变换得到（），变换步骤（两种常用方法）： 方法一（先平移，后伸缩）： 方法二（先伸缩，后平移）： 关键参数含义： ：振幅，决定函数值域范围， ：决定周期，最小正周期（正切函数为） ：相位，决定图像左右平移 ：纵向平移量，决定函数图像的上下位置 四、三角恒等变换（期中重点难点） 1. 两角和与差的三角函数公式（核心） （注意差角公式中是“+”） 2. 二倍角公式（重点，可由两角和公式推导） （三种形式，灵活选用） 3. 降幂公式（由二倍角公式变形，期中高频应用） 4. 辅助角公式（期中压轴，用于化简三角函数式） ，其中（的象限由的符号决定） 常用特例：， 【考点一】正弦函数的图象 1．（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．函数与函数的图像的交点个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 3．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．当时，函数在区间上恰有3040个零点 B．当时.函数在区间上恰有2026个零点 C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168 D．当时.函数在区间上给有4054个零点 4.（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为__________个. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是__________． 6．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是__________． 7．（24-25高一下·上海·期中）已知，若关于的方程，对任意的都至少有2个不同解，则实数的取值范围是_____. 8．（24-25高一下·上海长宁·期中）若存在常数使关于的方程在闭区间上恰有三个不同解，则_________. 9．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标由小到大依次记为，，，…，则______． 10．设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间上零点的个数是8个，则实数a的取值范围是___________. 【考点二】正弦函数的性质 11.（24-25高一下·上海金山·期中）已知满足，有下列四个结论： ①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④． 以上结论中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25高一下·上海闵行·期中）函数在一个周期内的图象如图所示．为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．若，且，则的值是（    ）. A． B． C． D． 13．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知狄利克雷函数 ，符号函数 ，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用. 有以下两个结论: ①函数 是奇函数且该函数在区间 上的有理数零点恰有 3 个； ②函数 既是偶函数，又是增函数. 那么 (     ). A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 14.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调增区间是______. 15．（24-25高一下·上海·期中）已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 16．（25-26高一下·上海·期中）函数，的频率是，则______. 17．（23-24高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为__________． 18.（24-25高一下·上海长宁·期中）求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值． 19．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 20．已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求函数在的值域. 【考点三】余弦函数的性质 21.（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 22．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 24．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 25.（23-24高一下·上海·期中），的单调减区间是______. 26．（24-25高一下·上海·期中）定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为______. 27．（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为_______． 28．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为___________． 29.已知：. (1)化简：； (2)求函数的最小值. 30．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 【考点四】求图象变化前（后）的解析式 31.（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 32．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 33．（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①函数的最小正周期为； ②函数的图象关于对称； ③是函数的一个零点； ④函数在上为严格减函数． A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 34.把函数图象上每一个点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为________． 35．（23-24高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为________． 36．（25-26高一下·上海·期中）将函数的图像先向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，所得函数图像的解析式为______． 37．（24-25高一下·上海徐汇·期中）把函数按进行平移，得到函数，且满足，则使得最小时，________． 38．（24-25高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 39.（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 40．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【考点五】由图象确定正（余）弦型函数解析式 41.（23-24高一下·上海·期中）下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 42．设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（    ） A． B． C． D． 43．函数的部分图象如图，轴，当时，若不等式恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44.（24-25高一下·上海·期中）如图为函数 的部分图象，则 的值为_____ 45．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么______.    46．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则______． 47．（24-25高一下·上海·期中）根据下图，函数的解析式为______    48.（23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 49．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式； (2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 50．已知函数的图像如图. (1)根据图像，求的表达式及严格增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围. 【考点六】正切函数的图象与性质 51.（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列几个命题： （1）第一象限的角是锐角； （2）函数在定义域内是增函数； （3）函数的零点是， 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 53．（25-26高一下·上海·月考）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．不存在 54．（25-26高一下·上海·期中）“”是“”的（   ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．既非充分也非必要条件 D．充要条件 55.（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的最小正周期是______. 56．（24-25高一下·上海·期中）函数的最小正周期为______. 57．（25-26高一下·上海普陀·期中），，则________. 58．对于函数，其中．若，则________． 59.求函数的值域 60．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $