重难点09 三角函数零点问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点09 三角函数零点问题 题型一、求三角函数定区间上零点的个数 【方法点拨】1、对于正弦函数，当 为正弦函数的对称中心，也是其零点。 2、对于，当 为余弦函数的对称中心，也是其零点。 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，但是才是其零点。 【例1】函数的零点为 ； 【跟踪训练】 1.函数在区间内的零点个数是 . 2.函数在区间内的零点个数为 题型二、求复合型三角函数的零点个数 【方法点拨】复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。 【例2】已知函数，则在上的零点的个数为______ 【例3】在区间内，函数与图象的交点个数为 ． 【跟踪训练】 1.函数的零点个数为_______ 2.已知函数，则在上的零点有________ 3.已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是______ 4.已知函数，则方程解的个数是_______ 题型三、三角方程实数根与交点问题 【方法点拨】函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点。 若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函数换元后，它的取值范围问题。若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。 【例4】已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【例5】已知函数． (1)求的最小正周期． (2)求的单调递增区间． (3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 2.已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称. （1）求函数的解析式； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 题型四、由三角函数零点个数求的值与范围 【方法点拨】给出的已知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的区间内零点与参数的关系。 若函数是动函数（已知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。 【例6】已知函数在上恰有5个零点，则的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1.已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五、由三角函数零点个数求参数的范围 【例7】设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 【例8】设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【跟踪训练】 1.已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2.已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 3.已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 4.设． （1）当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． （2）①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 5.已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 6．对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 7．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 题型六、求三角函数零点的和 【例9】已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【例10】已知数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求解析式； （2）将函数图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域. （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值. 【跟踪训练】 1.函数的所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 2.若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 3．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 题型七、求三角函数零点的差 【方法点拨】对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。 【例11】已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 【跟踪训练】 1.已知函数在上仅有两个零点，且，则 ． 2.已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值． 题型八、综合提升 【例12】已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【例13】已知函数是定在上的函数，且满足关系． (1)若，若，求的值域； (2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 一、填空题 1.函数在上的零点个数为 ． 2.已知是函数在上的两个零点，则______ 3．方程的解的个数为______ 4.函数与交点的个数是______ 5．时，函数与的图象交点个数为______ 6.把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为______ 7．当时，确定方程的根的个数为_________-个. 8.若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为_______ 9.关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 . 10.将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，则的最小值为___________. 11．已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为__ 12．设函数，已知方程在上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是 . 13.已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________. 14.已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____. 15.若函数的两个零点分别为和，则 . 16.函数，若在有两个零点，，则 ． 二、选择题 17.已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18.设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 19.将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 20.已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 21.已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 22.已知函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若在上有两个零点，求的取值范围. 23.已知函数． （1）某同学打算用“五点法”画出函数再某一周期内的图像，列表如表： 0 0 1 0 0 0 0 0 请填写表的空格处，并写出函数的解析式； （2）若函数，将图像上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 24.某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值． 25.已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 27.已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点09 三角函数零点问题 题型一、求三角函数定区间上零点的个数 【方法点拨】1、对于正弦函数，当 为正弦函数的对称中心，也是其零点。 2、对于，当 为余弦函数的对称中心，也是其零点。 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，但是才是其零点。 【例1】函数的零点为 ； 【答案】 【详解】令，解得，， 又因为，所以， 所以的零点为， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.函数在区间内的零点个数是 . 【答案】4 【解析】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 2.函数在区间内的零点个数为 【答案】3 【分析】由直接求出函数零点，然后结合区间即可得解. 【详解】由得， 令，解得，即， 所以函数在区间内有3个零点. 故答案为：3 题型二、求复合型三角函数的零点个数 【方法点拨】复合函数的零点个数与求方程的根的个数的方法一致。 【例2】已知函数，则在上的零点的个数为______ 【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案. 【解析】∵ ∴ 设，画出图像    可得在图像上的零点的个数为3. 【例3】在区间内，函数与图象的交点个数为 ． 【答案】2 【分析】在同一直角坐标系中，作出函与在内的图象，根据图像即可得出答案. 【解析】解：如图，在同一直角坐标系中，作出函与在内的图象， 可得函数与的图象有2个交点． 故答案为：2. 【跟踪训练】 1.函数的零点个数为_______ 【解析】由题意可知：的定义域为， 且，可知为偶函数， 令，，可得，    由图象可知与在内有3个交点， 即在内有3零点， 结合对称性可知在定义域内有6个零点. 2.已知函数，则在上的零点有_______ 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、对数函数图象的应用 【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3． 3.已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是________ 【解析】由得函数周期是，又偶函数， 且在时，，因此可得， 是偶函数，作出函数与时，的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有5个交点. 又函数与均为偶函数， 所以函数的零点个数是10.， 即函数的零点个数是10． 4.已知函数，则方程解的个数是_______ 【知识点】对数函数图象的应用、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】将方程解的个数转化为函数与函数的图象的交点的个数，数形结合即可判断 【详解】根据题意，令，分别作出函数与函数的图象.    在区间内，函数单调递减，与函数有1个交点； 在区间内，函数的值域为，函数单调递增且值域为， 又当时，，结合图象，在区间内，函数与函数有3个交点， 故方程解的个数为4. 题型三、三角方程实数根与交点问题 【方法点拨】函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点。 若通过将其中的三角函数换元把方程变成能直接解的形式，则可以直接解方程，但是要注意的是三角函数换元后，它的取值范围问题。若方程比较复杂，则可以考虑能否通过画图，利用图像的交点个数来判断根的个数。 【例4】已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数与方程的综合应用 【分析】利用换元法，分离参变量，构造两个函数图象有交点问题，即可求参数范围. 【详解】令，则， 原方程可转化为关于的方程在上有解， 分离参变量得：， 即等价于直线与函数的图象在内有交点． 又因为的图象开口向下，对称轴为直线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 故答案为：. 【例5】已知函数． (1)求的最小正周期． (2)求的单调递增区间． (3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2)． (3) 【分析】（1）先将函数解析式化简整理得到，再由正弦函数的周期性，即可求出结果； （2）根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （3）关于的方程在上有解，则关于的方程在上有解，求出值域，即可得到关于的不等式，求解即可． 【解析】（1）函数 故函数的最小正周期为． （2）令，解得， ∴单调递增区间为． （3）因为， 所以， 所以， 所以的值域为， 关于的方程在上有解， 则关于的方程在上有解， 所以， 所以， 所以实数的取值范围是． 【跟踪训练】 1.已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【解析】（1）由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； （2）由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. 2.已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称. （1）求函数的解析式； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）化简得，再利用对称性求出函数的解析式； （2）先求出，再换元，令，，等价为在上成立，求出二次函数的最值即得解. 【详解】（1） 由于函数的图像与函数的图像关于轴对称， 设上任一点关于轴对称的点在的图像上， 即，故； （2）因为， 所以 所以，令， 则等式成立等价为在上成立， ， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 故得取值范围是 题型四、由三角函数零点个数求的值与范围 【方法点拨】给出的已知函数在动区间上零点个数问题，可以先画出函数图像，找到关键零点的位置，讨论给定的区间内零点与参数的关系。 若函数是动函数（已知，只上下左右移动），区间是定区间，则先确定区间内能容纳的零点个数，再去讨论函数位置。 【例6】已知函数在上恰有5个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】求出的范围，结合余弦函数的图象可得. 【详解】因为，且，所以， 结合余弦函数的图象可知，欲使函数在上恰有5个零点， 则，解得． 故的取值范围为. 【跟踪训练】 1.已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【解析】函数在上有且仅有2个零点， 由，，得， 所以，即， 所以的取值范围为. 故选：B 2.设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【解答过程】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 3.设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】令，解方程得或，在区间取6个零点即可. 【详解】由题意可知， 令， 即或， 即或， 当时，零点从小到大依次为， 因此有， 即． 故选：B． 4.已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦函数图象的应用、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：    所以，整理得：． 故选：A． 题型五、由三角函数零点个数求参数的范围 【例7】设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】零点存在性定理的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域； （2）根据零点个数可得函数在上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得； 【详解】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. 【例8】设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【答案】(1) (2) (3)；函数在区间上恰有个零点 【分析】（1）根据正弦函数对称轴方程即可求解. （2）利用二倍角的正切公式求出，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将变形后弦化切即可求解. （3）根据零点定义令得，再数形结合根据函数图像性质可求解. 【解析】（1）由题意， 所以，故，又， 所以，故. （2）因为，且为锐角， 所以 故由（1）. （3）由（1）， 令， 则函数在区间上恰有奇数个零点 在区间有奇数个解， 因为，最小正周期为，如图， 故由图像特征以及周期性质可知， 只有当时其在区间才有奇数个解， 此时，两边平方解得， 故此时或， 由图可知时有个解；时，有个解， 所以函数在区间上恰有个零点. 【点睛】易错点睛：在算函数在区间上的零点个数时，易漏算时这一组解导致零点个数算错. 【跟踪训练】 1.已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、正弦函数图象的应用 【分析】令，分析可知函数在上有两个不同的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围． 【详解】∵，令，，令，如下图所示： 要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，显然， 所以，，解得． 故选：C． 2.已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【解析】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    3.已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 4.设． （1）当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． （2）①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）①见解析；②的最小值为3，此时. 【解析】 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【小问1详解】 设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. 【小问2详解】 ①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. 5.已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【答案】(1)， (2)． 【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解； (2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解. 【解析】（1）， 当时，， 因为，取， ， 将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后， ， （2）由（1）得， ， 不妨设或，显然 若，则在上必有偶数个零点， 所以中至少有一个为或， 不妨设， 当，则（舍）； 当，则， 此时在上有3个零点， 又， 即， 综上所述，． 6．对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分讨论即可， （3）求解讨论得 【解析】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 7．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先求出表达式，根据图象的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【解析】（1）由，得，则 则为偶函数， 于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以， 又，所以，故. （2）因为，所以， 故，， 而恒成立， 即， 整理可得. 令，， 设，，设，且， 则， 由于，，则，所以， 即区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. （3）由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，， 分别恰有个零点， 所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有个零点， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问零点个数的处理可以考虑研究区间长度为的情况，发现规律后扩充到区间长度为整数倍的上进行求解. 题型六、求三角函数零点的和 【例9】已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【详解】（1）由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 【例10】已知数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求解析式； （2）将函数图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域. （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值. 【答案】（1）；（2）；（3），. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式化简，再根据相邻两对称轴间的距离为，所以求解即可； （2）根据三角函数的图象变换得到，再结合正弦函数的图象性质求解值域即可； （3）结合三角函数图象，画图分析的位置，再根据对称性的性质结论求解即可 【详解】（1）由题意，函数 因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得. 故 （2）将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像. 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像. 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域. （3）由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图像， 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即 解得 所以. 【跟踪训练】 1.函数的所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求零点的和、正弦函数对称性的其他应用、cosx（型）函数对称性的其他应用、函数与方程的综合应用 【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得. 【详解】由可得， 则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标. 对于函数，其最小正周期为， 当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3, 当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3. 类似可得函数在区间上的图象变化情况. 如图分别作出和在上的图象如下. 由图可知，两函数在上的图象关于直线对称， 故两者的交点与也关于直线对称， 故 即函数的所有零点的和为 故选：C. 2.若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【解析】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 3．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，故， 而方程在区间上有两个不相等的实数根， 且令，则在区间上有两个不相等的实数根， 故，，两个根为， 则与在区间上有两个不同的交点， 记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称， 则，解得，而， 得到，即，故C正确. 故选：C 4.已知函数的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再由函数的周期确定的值即得函数解析式； （2）先根据平移伸缩变换求得的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象性质即得的值域； （3）先求出函数的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可判断方程的解的个数，求得，再根据图象的对称性化简计算即得参数的值. 【解析】（1）由 ， 因相邻两对称轴间的距离为，则，解得， 故. （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 当时，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，即时，取得最小值， 当时，即 时，取得最大值， 故函数的值域为. （3）， 由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质的应用，属于较难题. 解决此类问题的关键是先利用三角恒等变换确定三角函数解析式，再将看成整体角，借助于正弦函数的图象的性质即可求解. 题型七、求三角函数零点的差 【方法点拨】对给定范围内的两个相邻的零点（通常为三角函数图像与直线的交点），这两个零点会关于三角函数的某个对称轴对称。即，再根据三角恒等变换可以求的正余弦值。 【例11】已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意，将函数在上恰有两个不同的零点转化为函数与在上恰有两个不同的交点，考查函数的单调性和端点、极值，作出函数的图象，推得，进而得到，求得，结合余弦函数的单调性求得的取值范围即可. 【详解】由，可得， 因在上恰有两个不同的零点， 即函数与在上恰有两个不同的交点， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 作出两函数的图象，可得.    由图可知，， 可得，故. 故选：C． 【跟踪训练】 1.已知函数在上仅有两个零点，且，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得为函数，的图象与直线的交点的横坐标，根据函数图像可得，代入结合诱导公式和的取值范围求出即可得解. 【详解】令，得， 则为函数，的图象与直线的交点的横坐标， 的图象如图所示， 易得，，， 所以， 则， 所以，易得， 因为，所以， 所以， 又，所以， 故答案为： 2.已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值． 【答案】(1)最大值和最小值分别为； (2). 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、cosx（型）函数对称性的其他应用、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得. （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得， 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. （2）由，得，即， 由函数在区间上恰有2个零点，得在上恰有2个根， 而当时，，显然余弦函数在上递增，在上递减， 且在上的图象关于直线对称， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上的图象关于直线线对称， 因此，. 题型八、综合提升 【例12】已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【答案】(1)， ；(2)；(3)． 【解析】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； （2）因为在上是严格增函数， 所以， 所以，又， 所以； （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 所以， 所以． 【例13】已知函数是定在上的函数，且满足关系． (1)若，若，求的值域； (2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域； （2）化简函数，通过对应图像即可得出恒成立，求的最小值； （3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图像与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有2022个零点，所有满足条件的与． 【解析】（1）由题意， 在中，， 在中， ， 当时，， ∴的值域为：. （2）由题意及（1）得， 在中， ①当即， ， 函数在定义域上单调递减 ，， ②当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ③当即时，， 函数在上单调递增， ，， ④当即时，， 函数在单调递增， 在单调递减， ，， ∴函数是周期为的周期函数，图像如下： 在中， 存在，对任意，有恒成立， ∴ ∴当最小时，由图像可知，， （3）由题意，， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， 设，， ∴函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有1~2个交点， ∵在周期内，与有1~2个交点， ∴在上有1~4个交点， ∴若在内恰有2022个零点，则， 在中， 当即或，此时有1个交点， ①当函数有两个零点时， 若均不为-1和1，此时与有2个交点，则在有4个交点， ，解得：， ∴当有2022个交点时，， 若有一个为-1或1，此时与有2个交点，则在有3个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， ②当函数有一个零点时，此时与有1个交点，则在有2个交点， ，解得：， 或，解得：， ∴当有2022个交点时，，， 综上： 当时，； 当时，； 当时，. 【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性. 一、填空题 1.函数在上的零点个数为 ． 【答案】4 【分析】列方程得到的零点，然后确定零点个数即可. 【详解】令，得， 所以， 由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零点个数为4． 故答案为：4. 2.已知是函数在上的两个零点，则______ 【分析】采用换元法结合图象先分析出的关系，然后利用诱导公式和已知条件求解出的值. 【详解】由题意可知，是方程的两根，且， 令，作出在上的图象如下图所示： 由图象可知，，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 3．方程的解的个数为______ 【解析】试题分析：本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数和的图象的交点的个数来解决，作出这两个函数的图象（如图），，，但当时，，而，故两个函数图象有三交点，即原方程有三个解． 4.函数与交点的个数是______ 【分析】分别作出和图象，由数形结合可得结果. 【解析】用图形计算器分别作出和在上的图象，由图可知两函数图象有10个交点. 5．时，函数与的图象交点个数为______ 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 6.把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为______ 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换可得到函数的解析式，作出函数以及的图象，数形结合，即可得答案. 【解析】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，再将该图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 即， 作出以及的图象，如图，    由图象可知的图象与直线的交点个数为3， 7．当时，确定方程的根的个数为_________-个. 【答案】3 【分析】将方程变形为令，在同一个坐标系中画出两函数的图象，根据图象的交点个数可求得方程的根据个数 【解析】将方程变形为令 在同一平面直角坐标系中， 首先作出与在内的图像， 当时，有 然后利用对称性作出时的两个函数的图像， 如图所示，由图像可知它们有三个交点. 所以方程有三个根. 故答案为:3 8.若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为_______ 【分析】由可得，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，解出的范围即可得出合适的选项. 【详解】由可得， 因为，当时，， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，，解得，即的最小值为. 9.关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据题意，换元令，分离参数转化为二次函数有解问题求解即可. 【详解】由可得． 令，则关于的方程在区间上有实数解． 则， ，时，，时，， 故实数的取值范围是． 故答案为： 10.将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】由三角函数平移变换可得解析式，将问题转化为在上至少有个根，利用整体对应的方法可构造不等式求得的范围，由此得到最小值. 【详解】由题意得：； 当时，， 令，则，原问题等价于方程在上至少有个根； ，解得：， 的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，通过研究整体所处的范围确定不等关系. 11．已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为__ 【详解】依题意，， 令，则，由，得， 显然，即方程有两个不等的实数根，， 即，，此时在上恰有3个实根， 而，因此，则. 12．设函数，已知方程在上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为 所以当时， 因为方程在上有且仅有2个不相等的实数根， 所以解得. 故答案为： 13.已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________. 【答案】 【详解】 由题意，令，解得. ∵函数的最小正周期为，， ∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得. ∴函数在上有条对称轴 根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，. ∵ ∴ ∴ 故答案为. 14.已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____. 【答案】 【分析】 由已知写出的对称轴方程及其周期，判断端点、的值，问题转化为在上与的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值. 【详解】 由，则，而，知：关于对称， 又最小正周期为，， ∴在上的函数图象如下，其与的交点横坐标，即为的根，，，，，， ∴如图，区间内共有6个根，且有， ∴. 故答案为：. 15.若函数的两个零点分别为和，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦公式求值即可. 【详解】由辅助角公式得函数， 其中锐角由确定，由， 得，而， 因此，即，则， 即，于是， 所以. 故答案为： 16.函数，若在有两个零点，，则 ． 【答案】/ 【分析】首先将原函数化简成正弦型函数的形式，根据正弦函数的性质可知关于对称，得到之间的关系式，然后将所求式子进行化简，利用二倍角的余弦公式即可求出结果. 【详解】， 因为在上有两个零点， 所以，即. 令，则， 根据正弦函数的性质可知，关于对称， 所以，即. 所以， 所以. 因为，所以， 所以. 故答案为：. 二、选择题 17.已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、cos2x的降幂公式及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于的不等式，即可求得实数得取值范围. 【详解】函数， 由，得， 要使函数在上有且仅有两个零点， 所以，则，得， 即的取值范围是. 故选：B. 18.设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将问题转化为研究在任意一个长度为的区间上的零点问题，分别求得相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最小距离，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移， 从而研究函数在区间上的零点问题， 即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题， 令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，， 故相邻三个零点之间的距离为，相邻四个零点之间的最小距离为， 所以要使函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点， 则需相邻三个零点之间的距离不大于，相邻四个零点之间的最小距离大于， 即，解得，即.故选：B 【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在. 三、解答题 19.将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换运算求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的零点列式求解即可. 【解析】（1）将函数的图像向右平移个单位，得到， 再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 20.已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解； （2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解. 【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 21.已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1)增区间是，减区间是； (2)． 【分析】（1）结合正弦函数的单调性求解； （2）由，得，考虑正弦函数在上的零点，可得关于的不等式，解之可得． 【解析】（1），，，则， 时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 因此增区间是，减区间是； （2）的最小正周期为，则，即， ，则， 由题意，解得． 22.已知函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1） 最小正周期， 因为，所以， 所以单调递减区间为 （2）若在上有两个零点， 等价于在上有两个不同的解， ，此时，结合函数的图象和单调性 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 因此要使在上有两个不同的解，    23.已知函数． （1）某同学打算用“五点法”画出函数再某一周期内的图像，列表如表： 0 0 1 0 0 0 0 0 请填写表的空格处，并写出函数的解析式； （2）若函数，将图像上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【分析】（1）根据数据确定参数的值，即可得函数解析式，即可完善表格； （2）根据三角函数图象的变换求出的表达式，即可求得的表达式，结合方程的解的情况，分类讨论确定其解，结合题意以及正弦函数的周期性，即可求得答案． 【解答】解：（1）由表中数据可得，，解得， 故， 令，可得， 令，可得，此时， 所以完善表列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 （2）若函数，将图像上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍， 再向右平移个单位，得到函数的图像， 则． 故，的周期为， 当，时，令，考虑方程的根的情况， 因为△，所以在上必有两个不同的实数根，，， 因为在恰有奇数个零点，所以，，或，， 若，则方程，在，共有4个不同的实数根， 在有0个或2个实数根， 所以在上有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，，， 则在，共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在上有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 同理，，，也不成立， 所以或， 若，代入，则， 此时的根为，， 方程，在，共有3个不同的实数根， 而在上，有两个不同的根，无解， 所以在上有个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，代入，则，此时方程的根为1，， 方程，在，共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在上有个根，符合题意． 综上，，在共有3037个不同的零点． 【点评】本题考查了五点作图法，三角函数图象的平移变换，函数零点个数的判断，考查运算求解能力，是难题． 24.某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值． 【分析】（1）根据表中数据可得关于，的方程组，解出，的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式． （2）先求出的解析式，再求出的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间． （3）令，设方程的根为，，分（1）；（2），，；（3），，三种情况讨论在，及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数． 【解答】（1）解：根据表中的数据可得，解得， 故，所以，又，故． 所以完表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以．函数如图： （2）解：将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为： 再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像， 故． 此时， 令，则，故． 当时，为增函数， 故为减函数； 当时，为减函数； 故为增函数． 所以的增区间为． （3）解：，的周期为， 当，时，令，考虑方程的根情况， 因为△，故在必有两个不同的实数根，，， 因为在有奇数个零点，故，或，． 若，则方程，在，共有4个不同的实数根， 在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去． 若，，，则在，共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或， 与有奇数个零点矛盾，舍去． 同理，，也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程在，共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程在，共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在有个根，符合题意． 综上，，在共有3031个不同的零点． 【点评】本题较为全面地考查了三角函数的图像和性质、三角函数的图像变换及复合函数零点的个数判断，考查学生的综合能力．属于难题． 25.已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出. 【解析】（1）函数， 若， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； （2）， ， ，所以或， 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为； （3）由题意， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取得最大值， 所以，所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键. 27.已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【解析】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $