2026年中考数学复习：反比例函数的应用

2026年中考数学复习：反比例函数的应用 一、单选题 1．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（ ） A． B． C． D． 2．在公式ρ=中，当质量m一定时，密度与体积V之间的函数关系可用图象表示为（　　） A． B． C． D． 3．函数y=kx－k，与函数y=在同一坐标系中的图象大致如图，则有（ ） A．k＜0 B．k＞0 C．－1＜k＜0 D．k＜－1 4．如图，中，点A在第一象限，点B在第四象限，若点的坐标满足，则点的坐标所满足的关系式为 （     ）    A． B． C． D． 5．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数 y =的图象上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为 A．-3 B． C．-6 D． 6．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数（）和（）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴且交y轴于点C， 且OA⊥OB，，，则线段AB的长度为（ ） A． B． C． D．4 7．反比例函数的图象经过点（，3），则它还经过点…（ ） A．（6，-1） B．（-1，-6） C．（3，2） D．（-2，3.1） 8．面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若函数中，当时，，则函数解析式是_____________． 10．已知是正整数，(，)是反比例函数图象上的一列点，其中，，…，；记，，…，；若，则的值是_____________． 11．已知反比例函数的图象经过点（2，-1 )，则这个反比例函数的表达式为________. 12．如图，在四边形中，，，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，交于点．若，四边形的面积为，则的值为________． 13．如图，直线与双曲线交于，两点，则的值为________. 14．如图，是边长为的等边三角形，若反比例函数的图象经过点，则的值是________． 三、解答题 15．已知反比例函数经过点和． (1)求m和n的值； (2)若图像上有两点、，且试比较和的大小． 16．直线与双曲线的一个交点坐标为. （1）画出的图像； （2）求出点的坐标； （3）求反比例函数关系式； （4）求这两个函数图像的另一个交点坐标. 17．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示． 受力面积 1 0.5 0.25 0.2 桌面所受压强 100 200 400 500 800 (1)根据表中数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值； (2)现想将另一长、宽、高分别为，，，且与该长方体相同重量的长方体按如图2所示的方式（即面向上）放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由． 18．已知：关于的二次函数y=px2-(3p+2)x+2p+2(p>0） （1）求证：无论p为何值时,此函数图象与x轴总有两个交点; （2）设这两个交点坐标分别为（x1,0）,（x2,0）（其中x1＜x2）且S=x2-2x1,求S关于P的函数解析式 19．如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，Rt△PAO的面积为3，且∠OPA＝30°．求： （1）反比例函数解析式； （2）直线OP的表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C C B A C 1．C 【分析】根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：反比例函数， ， A、， 点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、， 点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、， 点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、， 点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 2．B 【详解】∵在公式ρ=中，且质量m一定， ∴是v的反比例函数，且图象在第一象限. 故选B. 3．A 【详解】试题分析：对于反比例函数：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限. 当时，y=kx－k的图象经过一、三、四象限，的图象在一、三象限； 当时，y=kx－k的图象经过一、二、四象限，的图象在二、四象限； 故选A. 考点：反比例函数的性质 点评：本题是反比例函数的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大. 4．C 【分析】分别过点A、B作分别垂直y轴于点C、D，由相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的性质得出的面积，进而根据三角形面积公式可得出结论． 【详解】解：分别过点A、B作分别垂直y轴于点C、D，    ， ， ， ， ， ， 中，， ， ， 点的坐标满足， ， ， 而点B坐标为， ， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 5．C 【详解】试题分析：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，）， ∵∠AOE+∠BOF=90°，∠OBF+∠BOF=90°， ∴∠AOE=∠OBF， 又∵∠BFO=∠OEA=90°， ∴△OBF∽△AOE， ∴ 即： 则：① ② ①×②得：k=-6. 故选C. 考点: 反比例函数综合题． 6．B 【详解】试题分析：∵，，∴，，∴，，∴两反比例解析式为，，设B点坐标为（，）（＞0），∵AB∥x轴，∴A点的纵坐标为，把y=t代入得：，∴A点坐标为（，），∵OA⊥OB，∴∠AOC=∠OBC，∴Rt△AOC∽Rt△OBC，∴OC：BC=AC：OC，即，∴，∴A点坐标为（，），B点坐标为（，），∴线段AB的长度=﹣（）=．故选B． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 7．A 【详解】试题分析：反比例函数图象上的点的坐标均满足. ∵，，，， ∴它还经过点（6，-1） 故选A. 考点：反比例函数图象上的点的坐标的特征 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征，即可完成. 8．C 【详解】试题分析：边长x一定是正数，故A、C错误；面积一定，x，y成反比例函数关系，则C正确．故选C． 考点：1．函数的图象；2．几何图形问题． 9． 【分析】将，代入函数解析式，求得，即可． 【详解】解：将，代入函数解析式，可得，解得 即函数的解析式为， 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求解反比例函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解反比例函数解析式． 10． 【详解】分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出原式=，进而求出即可． 解答：解：T1?T2?…?Tn=x1y2?x2y3…xnyn+1=x1??x2??x3?…xn?=x1?， 又因为x1=1，n=9， 又因为T1=1，所以x1y2=1，又因为x1=1，所以y2=1，即=1，又x2=2，k=2，所以原式=， 于是T1?T2?…?T9=x1（y2?x2）（y3?x3）…（y9?x9）y10===51.2． 故答案为51.2． 点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的特征，解答此题的关键是将x1??x2??x3?…xn? 的相同字母消掉，使原式化简为一个仅含k的代数式，然后解答． 11． 【详解】试题分析：设反比例函数解析式为，再把（2，-1 )代入，即可求得结果. 设反比例函数解析式为， ∵图象经过点（2，-1 )， ，， 这个反比例函数的表达式为. 考点：本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的解析式，即可完成． 12．−8. 【分析】设D(a,b)，则ab=k，再表示出B,C的坐标，得出，OA=−a，AB=2b．根据梯形OABC的面积为12列出方程，将ab=k代入即可求解． 【详解】设D(a,b)，则， ∵∠BAO=90°，顶点A在x轴的负半轴上，AD=BD， ∴B(a,2b)，A(a,0). ∵BC//AO，反比例的图象经过点C,点D， ∴. ∴． ∵梯形OABC的面积为12， ∴. ∴，即. ∴k=−8． 故答案为−8. 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，设点D(a,b)，能根据D点坐标表示其它点的坐标，并且通过这些点坐标表示梯形面积，从而根据梯形面积为12建立方程是解决本题的关键. 13．-10 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系和反比例函数图象上点的坐标特点求得，，再代入计算即可． 【详解】∵直线与双曲线交于，两点， ∴，，，， ∴，， ∴. 故答案是：-10. 【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数是中心对称图形，对称中心是原点，则过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，理解这一性质是关键． 14． 【分析】根据△OPQ的边长为2可求P点坐标，再设y=，把点P代入即可求得k，从而求出关系式． 【详解】过点P作PA⊥OQ于A． ∵△OPQ的边长为2的等边三角形，∴OP=2，OA=1，∴PA==，∴P点坐标为（1，）． 设y=，把点P代入得：k=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题要注意在实际意义中要考虑x的取值范围． 15．(1)， (2)当或时，，当时， 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，反比例函数的增减性，是解题的关键． （1）将点和代入反比例函数，即可求m和n的值； （2）根据点、，且．分或，比较和的大小． 【详解】（1）解：将点和代入反比例函数， 得， 解得， 答：m和n的值分别为：、； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为：， ∵点、也在比反比例函数的图象上，且， ∴当或时， 点、同在第三象限或第一象限， ∴； 当时， 点在第三象限，点 在第一象限， ∴． 16．（1）图像见解析；（2）点的坐标为；（3）反比例函数的解析式为：；（4）两个函数的另一个交点坐标为 【分析】（1）根据两点法，列表、描点、连线即可； （2）将代入中，即可求出A点坐标； （3）将（2）所求的A点坐标代入中，即可求出反比例函数关系式； （4）联立两函数解析式，解方程即可求出这两个函数图像的另一个交点坐标. 【详解】（1）列表如下： x 0 1 y 0 2 函数的图像如图所示： （2）根据题意将代入得， ∴点的坐标为 （3）将点的坐标代入，解得：， ∴反比例函数的解析式为： （4）联立两函数解析式，即， 解得：，， ∴两个函数的另一个交点坐标为 【点睛】此题考查的是画函数图像、求图像上点的坐标、求函数解析式和求两函数的交点坐标，掌握函数图像的画法、用待定系数法求函数解析式和联立函数关系式求交点坐标是解决此题的关键. 17．(1)， (2)这种摆放方式安全，理由见详解 【分析】本题考查了反比例函数的应用等知识． （1）根据表格可得压强是受力面积的反比例函数，利用待定系数法即可求出；把代入反比例函数关系式即可求出； （2）先求出图2摆放方式受力面积，代入反比例函数解析式求出压强，与2400比较即可得到这种摆放方式安全． 【详解】（1）解：由表格可知，压强与受力面积的乘积不变， 所以压强是受力面积的反比例函数， 设， 将代入得， 解得， ∴桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式为， 把代入得， 解得； （2）解：这种摆放方式安全，理由如下： 由图可得， ∴将长方体放置于该水平玻璃桌面时，， ∵， ∴这种摆放方式安全． 18．（1）证明过程见解析;（2）． 【详解】试题分析：（1）借助根的判别式来证明; （2）令y=0,用公式法求出两个交点坐标,确定,再代入S = x2-2x1,得到S关于P的函数解析式． 试题解析：（1）∵,且＞0, ∴＞0, ∴无论为何值,此函数图象与x轴总有两个交点; （2）令y=0得：或1, ∵＞0, ∴＞1, 又＜, ∴, ∴,即S关于P的函数为：． 考点：1. 根的判别式,2. 函数关系式． 19．（1）y＝；（2） 【分析】（1）根据直角三角形PAO的面积利用比例系数的几何意义求得k值即可； （2）设P（a，），将点P的坐标代入正比例函数的解析式求得k值即可． 【详解】（1）设反比例函数解析式为y． ∵Rt△PAO的面积为3，∴k＝6，∴y，∴反比例函数解析式是：y． （2）设直线OP的解析式为y＝kx，设P（a，），代入y＝kx得：k，∴yx． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义及待定系数法求正比例函数的解析式的知识，解题的关键是能够了解比例系数的几何意义，难度不大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $