第一章 整式的乘除（复习课件）数学新教材北师大版七年级下册

单元复习课件 第一章 整式的乘除 北师大版2024·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.回忆并梳理幂的运算性质（同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方）、整式乘法（单项式乘单项式/多项式、多项式乘多项式）、乘法公式和整式除法的核心法则与公式。 3.体会“幂的运算”是“整式乘除”的基础，“公式”是“乘法”的特例，感悟数学知识体系的连贯性与整体美。 2.经历将含有整式运算的复杂代数问题转化为清晰、规范的运算步骤的过程，体会程序化思想在代数运算中的应用。 单元学习目标 单元知识图谱 同底数幂的乘法：am·an=_____ (m，n都是正整数) 幂的乘方：(am)n=_____ (m，n都是正整数) 积的乘方：(ab)n=_____ (n是正整数) 同底数幂的除法：am÷an= _____ (a≠0，m，n都是正整数，且m＞n) 零指数幂：a0 =____(a≠0) 负整数指数幂：a-p =_____ (a≠0，p是正整数) 考点一 幂的运算 am+n amn anbn am-n 1   考点串讲 用科学记数法表示绝对值小于1的数： 一般地，一个绝对值小于1的数可以表示为a×10n，其中____≤|a|≤_____，n是负整数。 1 10 考点二：科学记数法 考点串讲 考点三：整式的乘法 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 单项式与单项式 相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 同底数幂的乘法 转化 单项式乘单项式 转化 单项式乘多项式 转化 考点串讲 考点四：乘法公式 完全平方公式 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们积的2倍。 考点串讲 考点五：整式的除法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 (a+b)÷m=a÷m+b÷m (m≠0) 考点串讲 题型一、同底数幂的乘法及其逆运算 【例题1】下列计算结果为a8的是 （    ） A．a4+a4 B．a4⋅a4 C．a4⋅a2 D．-（a2 ）4 【练习1】若m,n是正整数，且满足3m+3m+3m=3n⋅3n⋅3n，则下列m与n的关系式正确的是（    ） A．m=n B．m+1=3n C．m+1=n3 D．3m=n3 【练习2】若2m=5,2n=3，则2m+n=（    ） A．8 B．15 C．35 D．53 【练习3】如果2m⋅23=32，那么m＝ 。 B B B 2 题型剖析 题型二、幂的乘方及其逆运算 【例题1】下列计算正确的是 （    ） A．a2+a3=a5 B．a2⋅a3=a5 C．(a2)3=a5 D．a10÷a2=a5 【练习1】某细菌每经过1小时就会由1个分裂成102个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5×102 B．105 C．1010 D．1015 【练习2】计算（b2）3⋅b3的结果是（   ） A．b8 B．b9 C．b10 D．b11 【练习3】（1）已知273×94＝3x，求x的值．（2）已知10a＝2，10b＝3，求103a+b的值． B C D x=17 24 题型剖析 题型三、积的乘方及其逆运算 【例题1】下列计算正确的是 （    ） A．2a2−a=a B．a⋅a2=a3 C．（a2）3=a5 D．（2ab2）3=6a3b6 【练习1】计算（−2xy）3的结果是（    ）． A．−6x3y3 B．6x3y3 C．−8x3y3 D．8x3y3 【练习2】计算： (1)（2a）3； (2)（−ab2）2； (3)（−2ab2）2； (4)−（−3×103）2． B C 解：原式=8a3 解：原式=a2b4 解：原式=4a2b4 解：原式=−9×106 题型剖析 题型三、积的乘方及其逆运算   解：（1）50x＝10x×5x ＝ab   解：原式=0.12510×810×8 =（0.125×8）10×8 =1×8 =8     题型剖析 题型四、同底数幂的除法及其逆运算 【例题1】下列计算正确的是（   ） A．a2⋅a4=a8 B．a3+a3=2a3 C．a16÷a2=a4 D．（2a）4=8a4 【练习1】下列运算正确的是（   ） A．(−m3)2=−m5 B．3m3⋅2m3=6m9 C．m+2m2=3m3 D．3m4÷(−m)=−3m3 【练习2】已知3x=2，3y=5，则3x−2y的值为 ． 【练习3】已知9m÷27n=81，则4m−6n的值为 ． 【练习4】若3×27m÷9m=94，求m的值；已知ax=−2，ay=3，求a3x−2y的值． B D     解：∵3×(33)m÷(32)m=(32)4，∴33m+1−2m=38， ∴3m+1−2m=8，∴m=7．   题型剖析 题型五、同底数幂的除法及其逆运算   D A A   题型剖析 题型六、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例题1】“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅 花》，梅花的花粉直径约为 0.000036m ，用科学记数法表示0.000036为（   ） A．−0.36×10−4 B．3.6×10−5 C．−3.6×10−5 D．36×10−6 【练习1】2025年3月27日，在SEMICONChina2025展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”．已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（    ） A．7×10−8 B．7×10−7 C．7×10−9 D．7×109 B A 题型剖析 题型六、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【练习2】芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某芯片的晶体管栅极的宽度为0.000014cm．将数据0.000014用科学记数法表示为（    ） A．14×10−7 B．1.4×10−6 C．0.14×10−5 D．1.4×10−5 【练习3】2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在0.00035秒左右，将0.00035用科学记数法表示为 ． D 3.5×10−4 题型剖析 题型七、与幂有关的混合运算   解：原式=(2x2)4−x⋅x3⋅x4 =16x8−x8 =15x8； 解：原式(m4)2+m5⋅m3+(−m)4⋅m4 =m8+m8+m8 =3m8． 0 1 题型剖析 题型七、与幂有关的混合运算   解：（1）解：原式=−8a6−a8÷a2 =−8a6−a6 =−9a6； 解：（2）解：原式=9+1+（−2） =9+1−2 =8． 解： (1)x6 (2)(a−b)2 (3)(x+y)2 题型剖析 题型八、整式乘法的计算   D B 题型剖析 题型八、整式乘法的计算 【练习2】计算： (1)(−3a)⋅a+(−2a)2+6a． (2)−2x(x2+5y3−1) (3)−3x2⋅x4+（−2x3）2； (4)x(x+2)−(x−3)(x+1)． （1）解:原式=(−3a)⋅a+(−2a)2+6a =−3a2+4a2+6a =a2+6a； （2）解：原式=−2x(x2+5y3−1) =−2x3−10xy3+2x． （3）解：−3x2·x4+（−2x3）2 =−3x6+4x6 =x6； （4）解：原式==x2+2x−x2−2x−3 =x2+2x−x2+2x+3 =4x+3．． 题型剖析 题型九、整式乘法与看错问题 【例题1】甲、乙两人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b)，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x−10；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2−9x+10，求a，b的值． 解：由题意可知：甲：(2x−a)(3x+b)=6x2+11x−10，乙：(2x+a)(x+b)=2x2−9x+10， ∵6x2+11x−10=(2x+5)(3x−2)， ∴(2x−a)(3x+b)=(2x+5)(3x−2)， ∴a=−5，b=−2． 题型剖析 题型九、整式乘法与看错问题 【练习1】一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a，而把结果的一次项系数又写成了﹣b，等式如下：(x3+ax2+1)÷(x+1)=x2﹣bx+1，现请你帮他求出a，b的值． 解：∵x3+ax2+1=(x+1)•(x2﹣bx+1)=x3+(1﹣b)•x2+(1﹣b)•x+1， ∴a=1﹣b，1﹣b=0 解得：a=0，b=1． 题型剖析 题型九、整式乘法与看错问题 【练习2】欢欢和乐乐两人共同计算一道整式乘法题：(2x+a)⋅(3x+b)，由于欢欢错把a前的加号抄成减号，得到的结果为6x2−13x+6，乐乐由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2−x−6 (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？(2)计算出这道题的正确答案． 解：（1）根据题意可知：欢欢抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2−13x+6，那么(2x−a)(3x+b)=6x2+(2b−3a)x−ab =6x2−13x+6，可得2b−3a=−13①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2−x−6，可知(2x+a)(x+b)=2x2−x−6，即2x2+(2b+a)x+ab =2x2−x−6，可得2b+a=−1②，解关于①②的方程组，可得a=3，b=−2；（2）正确的式子：(2x+3)(3x−2)=6x2+5x−6． 题型剖析 题型十、整式乘法与不含某项问题 【例题1】已知关于x的多项式ax−b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为5，则ab的值为（    ） A．−13 B．13 C．−3 D．3 【练习1】（x2+px-2）（x2-5x+q）的展开式中，不含x3和x2项，则p-q的值是（　　） A．22 B．−22 C．32 D．−32 【练习2】已知多项式x−a与x2+x+1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（   ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 D B C 题型剖析 题型十一、整式乘法与几何表示问题 【例题1】如图，某区有一块长为6a−2b米，宽为4a−2b米的长方形广场，规划部门计划在广场内部A、B两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，A、B两个正方形区域的边长均为a米． (1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若a=2，b=1，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 解：由题意可知，绿化的总面积为(6a−2b)(4a−2b)−a2−a2 =24a2−12ab−8ab+4b2−2a2 =22a2−20ab+4b2（平方米）； 题型剖析 题型十一、整式乘法与几何表示问题 【练习1】学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为a+5b，宽为a+b的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为a−b的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若a=15米，b=5米，求实验操作区的面积． 题型剖析 （1）解：依题意，实验操作区的面积为(a+5b)(a+b)−2(a−b)2 =a2+6ab+5b2−2a2−2ab+b2 =a2+6ab+5b2−2a2+4ab−2b2 =−a2+3b2+10ab （2）当a=15米，b=5米， 实验操作区的面积为−152+3×52+10×15×5=−255+75+750=600平方米 题型剖析 题型十一、整式乘法与几何表示问题 【练习2】在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式． （1）请写出图1中的几何图形所表示的面积恒等式． （2）请用图2中的正方形与长方形（可重复使用）画出面积等于2a2+5ab+3b2的长方形． 解：(1) (a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2 (2)如图： 题型剖析 题型十二、利用平方差公式计算 【例题1】在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A．(−a−b)(a+b) B．(a−b)(a+b+c) C．(2a+b)(a−2b) D．(a−b)(a+b) 【练习1】已知x2−y2=6，x+y=−3，则x−y= ． 【练习2】若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝　 ，n＝ ． 【练习3】计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） D -2 4 8 解：（1）9x2﹣25a2b2；（2）x2﹣y4； （3）5x+9； （4）1+b2﹣a2﹣a2b2． 题型剖析 题型十三、利用完全平方公式计算 【例题1】下列乘法公式运用正确的是（    ） A．(a+b)(b−a)=a2−b2 B．(−m+1)(−m−1)=m2−1 C．(2x−1)2=2x2+4x−1 D．(a+1)2=a2+1 【练习1】若a=20222，b=2021×2023，则下列式子成立的是（    ） A．a=b−1 B．a=b C．a=b+1 D．a=b+2 【练习2】下列式子中，计算正确的有（    ） ①(2x−6y)2=4x2−12xy+36y2；②(2x+6)(x−6)=2x2−36；③(−x−2y)2=x2−4xy+4y2；④a+2b2=a2+4ab+4b2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B C A 题型剖析 题型十四、乘法公式表示的几何意义 【例题1】我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【练习1】将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 B A 题型剖析 题型十四、乘法公式表示的几何意义 【练习2】图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 【练习3】将形状大小完全相同四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是（　　） A．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mm D．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 C D 题型剖析 题型十五、利用乘法公式变形求值 【例题1】若(x−2y)2=(x+2y)2+m，则m等于（   ） A．−8xy B．8xy C．−4xy D．4xy 【练习1】若a+b=2，则a2+b2+2ab= ． 【练习2】若a，b满足a2b2+a2+b2+10ab+16=0，则a2+b2的值为 ． 【练习3】已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求： （1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值． A 4 8 解：∵a+b＝2， ∴（a+b）2＝4， 即a2+2ab+b2＝4， ∵a2+b2＝3， ∴3+2ab＝4， ∴ab=12； 解：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4×12=2； 解：a4+b4 ＝（a2+b2）2﹣2a2b2 ＝（a2+b2）2﹣2（ab）2 ＝32﹣2×（0.5）2 ＝9−0.5 =8.5． 题型剖析 题型十六、整式的除法   B A A C 题型剖析 题型十七、整式的混合运算 【例题1】计算： (1)(2x3y)2⋅(−2xy)+(−2x3y)3÷(2x2) (2)(6m2n−6m2n2−3m2)÷(−3m2) 解：原式=(2x3y)2⋅(−2xy)+(−2x3y)3÷(2x2) =4x6y2⋅−2xy+−8x9y3÷2x2 =−8x7y3−4x7y3 =−12x7y3； 解：原式=(6m2n−6m2n2−3m2)÷(−3m2) =6m2n÷(−3m2)−6m2n2÷(−3m2)−3m2÷(−3m2) =−2n+2n2+1． 题型剖析 题型十七、整式的混合运算 【练习1】计算： (1)−23a3b6−(−2ab)3⋅14a2b+24ab2(−ab2)2； (2)(2a+3b)2−4a(a+3b+1)． 解：原式=−23a3b6−(−8a3b3)⋅14a2b+24ab2(a2b4) =−23a3b6+2a5b4+24a3b6 =a3b6+2a5b4； 解：原式=4a2+12ab+9b2−4a2−12ab−4a =9b2−4a． 题型剖析 题型十八、整式的乘除的化简求值     题型剖析 题型十八、整式的乘除的化简求值     题型剖析 1.请在下列横线上填上适当的式子： （1）(___+3b) (2a-3b) =4a2-___； （2）(2x+___)2=___+20xy+___ ； （3）(x+2) (x+___)=x2+___x+2 ； （4）(___+4y) (x+2y)=3x2+___xy+8y2 。 2a 9b2 5y 25y2 4x2 1 3 3x 10 针对训练 2.计算： （1）(2x2)3-6x3(x3+2x2+x)； （3）[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy； （2）(x+y+z)(x+y-z)； （4）a2(a+1)2-2(a2-2a+4) 。 解:（1） 原式=(2x2)3-6x3(x3+2x2+x) =8x6-6x6-12x5-6x4 =2x6-12x5-6x4 ； （2）原式= (x+y+z)(x+y-z) =[(x+y)+z][ (x+y)-z] =(x+y)2-z2=x2+2xy+y2-z2； 针对训练 2.计算： （1）(2x2)3-6x3(x3+2x2+x)； （3）[(x+y)2-(x-y)2]÷2xy； （2）(x+y+z)(x+y-z)； （4）a2(a+1)2-2(a2-2a+4) 。 （3）解：原式= [(x+y)2-(x-y)2]÷2xy =[(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)]÷2xy =4xy÷2xy =2； （4）解：原式= a2(a+1)2-2(a2-2a+4) =a2(a2+2a+1) -2a2+4a-8 =a4+2a3+a2-2a2+4a-8 =a4+2a3-a2+4a-8 。 针对训练 3.求下列各式的值：           针对训练 3.求下列各式的值：       （2） [(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷xy = (x2y2-4-2x2y2+4)÷xy=-x2y2÷xy=-xy。   针对训练 3.求下列各式的值：       （3） x(x+2y)-(x+1)2+2x =x2+2xy-(x2+2x+1)+2x =x2+2xy-x2-2x-1+2x=2xy-1。   针对训练 4.利用整式乘法公式计算： （1）2 0012； （3）992-1 ； （5）1232-124×122。 （2）2 001×1 999； （4）889×901+1 ； 解:（1） 2 0012= (2000+1)2= 20002+2×2000×1+12 = 4004001； （2）2 001×1 999 =(2000+1) (2000-1) = 20002-12= 3999999； 针对训练 4.利用整式乘法公式计算： （1）2 0012； （3）992-1 ； （5）1232-124×122。 （2）2 001×1 999； （4）889×901+1 ； （3） 992-1 =(99+1) (99-1) = 100×98 = 9800； （4） 889×901+1 =(900-1) (900+1) +1 =9002-12+1 = 810000； （5） 1232-124×122 =1232-(123+1) (123-1) =1232-1232+1 = 1。 针对训练 5.把下图左框里的整式分别乘(a+2b)，将所得的积写在右框相应的位置上。 a2+4ab+4b2 a2-4b2 -a2+4b2 -a2-4ab-4b2 针对训练 6.分别计算下图中阴影部分的面积。 解:（1）图中S阴影=(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(a+b) = 6a2+3ab+4ab+2b2-(a2+ab+2ab+2b2) = 6a2+3ab+4ab+2b2-a2-ab-2ab-2b2 = 5a2+4ab； 针对训练 6.分别计算下图中阴影部分的面积。 （2）图中S阴影=(2a+3b)(2a+b)-2a·3b = 4a2+2ab+6ab+3b2-6ab = 4a2+2ab+3b2。 针对训练 7.如图，4个长为a、宽为b的小长方围成了一个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积。你能得到怎样的等式？请验证它的正确性。 解:方法1：S阴影=S小长方形=4ab。 方法2：S阴影=S大正方形-S小正方形 =(a+b)2 - (a-b)2。 因此，可以得到(a+b)2 - (a-b)2 =4ab 。 验证:(a+b)2 - (a-b)2 =(a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab。 针对训练 8.如图，我国自主研发的 500m 口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为 2.5×105m2；一个 11人制正规足球场的面积约为7.14×103 m2。“中国天眼”的反射面面积大约相当于多少个11人制正规足球场的面积(结果精确到1个)? 解:2.5×105÷(7.14×103) ≈0.35×102=35(个)。 针对训练 9.某种原子的质量为 0.000 000 000 000 000 000 000 019 93g，请用科学记数法把它表示出来。 解:1.993×10-23g。 针对训练 10. 分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片。 （1）用这些卡片拼一些新的长方形，并计算新长方形的面积； 解:（1）拼成如图①所示的新长方形，此新长方形的面积为(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2。 针对训练 10. 分别准备几张如图所示的长方形和正方形卡片。 （2）从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为(2a2+3ab)的长方形。 （2）面积为(2a2+3ab)的长方形如图②所示。 针对训练 幂的运算 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn am÷an=am-n 整式的乘法 整式的除法 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 单项式除以单项式 多项式除以单项式 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 特殊形式 互逆运算 课堂总结 感谢聆听! $