1.3乘法公式—完全平方公式 自主学习达标测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《1.3乘法公式—完全平方公式》 自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如果多项式是一个完全平方式，则的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D． 2．下列运算：①；②；③．其中，运算错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知，，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．11 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．若长方形的周长为16，其邻边为整数，且满足则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．整式可以变形为，由此可知的最小值是5．那么按此方法，整式的最小值是（   ）． A． B． C． D． 7．如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，长方形的周长是，以、为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 10．若为整数，且不论取何值，关于的整式和的值都相等，则的值为 ． 11．若，则的值为 ． 12．已知，则 ． 13．如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．则根据这两个图形间的关系，得到代数式三者之间的数量关系为 ． 14．4个数，，，排列成，规定它的运算法则为： ．若 ，则 ． 15．如图，已知正方形与正方形，其面积之和为31，长方形的面积为9，则长方形的周长为 ． 16．有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ． 三、解答题（满分72分） 17．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．运用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)； (3) 20．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 21．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 22．仔细观察下列四个等式：，，，，…． (1)请写出第六个等式； (2)利用这几个等式的规律，归纳总结出一个表达此规律的等式； (3)将表示上述规律的等式的右边认真整理，你会发现什么？ 23．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)通过计算小正方形面积，可推出，，三者之间的等量关系式为 ； (2)利用（1）中的结论，试求：当时，求的值． 24．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．根据完全平方公式可进行求解． 【详解】解：∵， ∴如果是一个完全平方式，则m的值是9； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确． 综上，错误的有2个． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．由题意可知，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式和平方差公式，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．因为边长为a，b，根据周长为16可得，再将原式整理，整体代入求解即可． 【详解】解：依题意得．则， ∴，即， 解得：． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：， 则代数式的最小值是． 故选：C． 7．C 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．根据长方体的底为边长为的正方形，即可求解． 【详解】解：这个长方体盒子的底面积为， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，结合图形面积公式与完全平方公式进行展开变形是解题的关键．设长方形的边，，从而可表示出长方形的周长，正方形的面积和，再运用完全平方公式的变形计算即可得解． 【详解】解：设长方形的边，， 长方形的周长是， ， ， ， 又正方形和正方形的面积之和为， ， ， ， 即长方形的面积是． 故选：B ． 9． 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查了整式的无关型问题，由可得，进而可得，即得，再根据为整数解答即可求解，根据题意得到和是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵不论取何值，关于的整式和的值都相等， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴的值为或， 故答案为：或． 11．8 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 把已知条件变形为，两边平方，代入化简即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：8． 12．3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． ，据此即可求解．熟记公式形式是解题关键． 【详解】解： ∵， ∴，，， ∴ 故答案为：． 13． 【分析】根据题意可得，图2中正方形的边长为，中间阴影部分小正方形的边长为，根据大正方形的面积等于4个长为a宽为的长方形面积加上小正方形的面积，根据题意列式即可得出答案． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 图2中正方形的边长为，中间阴影部分小正方形的边长为，图1的面积为， 则． 故答案为：． 14． 【分析】根据题目给定的新运算法则，将所给行列式转化为方程，然后通过展开、化简方程求解的值．本题主要考查了新定义运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解：利用题中新定义得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 15．14 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正方形和长方形的面积公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得出，，再根据完全平方公式得出，求出即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴长方形的周长为： ． 故答案为：14． 16．95 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个正方形的边长分别为，图1和图2中阴影部分的面积分别为和，进而求出，则，即可得解． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 由图1可得：， ， 由图2可得：， ， ， ， 图2中大正方形的面积为， 故答案为：95． 17．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了完全平方公式， ，熟悉完全平方公式是解题关键. （1）根据完全平方公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可； （3）根据完全平方公式求解即可； （4）根据完全平方公式求解即可； （5）根据完全平方公式求解即可； （6）根据完全平方公式求解即可. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式. 18．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． （1）利用完全平方公式进行简便计算； （2）利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先逆用积的乘方计算，根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 20．(1)， (2)，1 【分析】本题考查了整式的化简与求值，涉及平方差公式、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把代入计算即可； （2）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 22．(1) (2) (3)是两数和的平方形式 【分析】本题主要考查了数字规律题，准确分析判断是解题的关键． （1）根据已知所反映的规律得出即可． （2）根据已知所反映的规律得出即可． （3）根据整式的混合运算求出即可． 【详解】（1）根据前个等式可得出： 第个等式为：， 第个等式为：； （2）根据题意可得： 第项为：， 第项为：， 第项为： ， 第项为：． （3）由（2）得：， ， 结果为两数和的平方形式． 23．(1) (2)52 【分析】本题主要考查乘法公式，完全平方公式； （1）根据小正方形面积等于大正方形面积减去4个长方形面积即可求出； （2）结合（1）得到的结论计算即可． 【详解】（1）解：小正方形面积为：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ∴． 24．（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积，完全平方公式变形求值； （1）根据两个图形的面积相等即可得出等式，进而将，代入公式进行计算即可求解； （2）设，则，，再根据完全平方公式变形，即可求解； （3）设，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，图1中阴影部分的面积为， 图1中阴影部分的面积为 ， ∵图1和图2中阴影部分的面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ∴． （3）解：设， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $