精品解析：重庆文德中学校2025-2026学年九年级下学期数学定时练习

重庆文德中学校初三数学定时练习 一、单选题 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. （新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意, 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选：C． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可. 【详解】解：A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； B、对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意； C、对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； D、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图是由大小相同的★组成的图形，第①个图形中有4个★，第②个图形中有7个★，第③个图形中有10个★，第④个图形中有13个★，…，按此规律摆下去，第89个图形中共有多少个★？（   ） A. 265 B. 266 C. 267 D. 268 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的变化规律．仔细观察图形的变化，找到规律，利用规律求解． 【详解】解：第①个图形中有个★， 第②个图形中有个★， 第③个图形中有个★， 第④个图形中有个★， …， 第n个图形中共有个★． 当时，， 故选：D． 6. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的概念以及数的大小比较．熟练掌握科学记数法的概念是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值于小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数． 比较科学记数法表示的数时，先比较10的指数，指数大的数更大；若指数相同，则比较系数． 【详解】解：∵ 选项A和C的指数为，选项B和D的指数为，且， ∴ 最大数在B和D中产生． 又∵ B和D指数相同，比较， ∴ ， 故选D． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴交点在负半轴，可得，，，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴交点在负半轴， ，，， 一次函数的图象从左到右上升，与y轴交于正半轴，反比例函数的图象分布于一、三象限， 选项B符合题目要求． 故选：B． 8. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（ ）元． A. 3320 B. 3440 C. 3450 D. 3456 【答案】D 【解析】 【分析】设每月盈利的平均增长率为x，列方程解方程进而即可求解； 【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x， 根据题意，， 解得：（舍去）， 五月份这家商店的盈利为（元）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 9. 如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，，再根据折叠的性质可得,，进而得到、、，设，则、，在中运用勾股定理列方程可得，进而求得；然后再根据平行线的性质结合折叠的性质可得，，即，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵面积为16的正方形纸片， ∴，，, ∵正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处， ∴，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，说明点是的中点是解答本题的关键． 10. 已知整式，其中为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中单项式有个； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．说法①，当M为单项式时，要求除最高次项外其他系数为0，即 (正整数)， (正整数)，分别计算当时满足条件的M值；说法②，时，条件为 （），分别计算当时和当时，M可能的式子即可；说法③，按，2，3，4分类计算即可． 【详解】解：①当M为单项式时，要求除最高次项外其他系数为0，即 (正整数)， (正整数)； 条件简化为 ： 当时， （个）； 当时， （3个）； 当时， （2个）； 当时， （1个）； 总计个，说法①正确． ②时，条件为 （） 当时，M可能为，，，， 当时，M可能为， 求和得， 故说法②正确； ③按，2，3，4分类计算∶ 当时， 数量为； 当时， 数量为； 当时， 数量为； 当时， 数量为1； 总计个，说法③正确． 综上所述 ，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：D． 二、填空题 11. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有6种等可能性，4个白色棋子，有4种等可能性， ∴摸到白色棋子的概率是， 故答案为：． 12. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则__________________ ． 【答案】##50度 【解析】 【分析】利用两直线平行，内错角相等求得的度数，再证明，利用两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵与平行， ∴， ∵， ∴， ∵都与地面l平行， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 13. 已知，则整数的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算的大小，进一步可以得出答案． 【详解】解：， ， m为正整数，且， ． 故答案为：6． 14. 若实数x，y满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式有意义可知，被开方数为非负数，即，解得：． 将代入，得， 即， 解得， ∴． 15. 如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则________，线段________． 【答案】 ①. 3 ②. 2 【解析】 【分析】由圆周角定理得，利用直角三角形两锐角互余可得，进而可得；连接，根据垂径定理及等腰三角形的性质可得，，，则，设，则，，再证，则，得，列出方程求解，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 连接， 则，，则垂直平分， ∴， ∵直径垂直弦于点， ∴垂直平分， ∴，，，则， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，即，解得：，（舍去） ∴， 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，利用直角三角形互余和圆周角定理转化角度是解决问题的关键． 16. 我们规定：一个四位数，若M满足各个数位上的数字均不相等，且，则称这个四位数为“差异数”.（例如：四位数3421，因为各个数位上的数字均不相等，且，所以3421是“差异数”，按照这个规定，最小的“差异数”是______；一个“差异数”，将其千位和百位数字调换位置，十位和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，记，N的各个数位上数字之和记为.若能写成一个正整数的平方，则满足条件的正整数M的最大值与最小值的和为_____. 【答案】 ①. 2310 ②. 13508 【解析】 【分析】答题空1：首先，根据“差异数”的定义，找到满足条件的最小四位数，即千位数字a尽可能小，且满足和，各个数位上的数字互不相等．计算得出最小差异数为2310； 答题空2：先根据化简，得到，再由得到，，然后对于，分三种情况进行讨论，每一种都用枚举法列出符合条件的M的值，最后找到其最大值和最小值，求和为13508． 【详解】解：答题空1： 对于最小的“差异数”，千位数字a需最小， ∵， ∴， ∴当时，， 此时且各个数位上的数字均不相等， ∴若要求最小的“差异数”，则只需要，， 此时， 故最小差异数为2310； 答题空2：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． ，分三种情况讨论： ①当，时， ∵，此时N为两位数，十位数字为a，个位数字为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵能写成一个正整数的平方，，，M满足各个数位上的数字均不相等， ∴或， 即或； ②当，时， ∵，此时N为三位数，百位数字为1，十位数字为0，个位数字为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵能写成一个正整数的平方，，M满足各个数位上的数字均不相等， ∴没有这样的M满足以上条件，此情况无解； ③当，时， ∵，此时N为两位数，十位数字为，个位数字为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵能写成一个正整数的平方，，，M满足各个数位上的数字均不相等， ∴或 即或； ∴综上，M的最大值为8976，M的最小值为4532， ∴满足条件的正整数M的最大值与最小值的和为13508． 【点睛】本题主要考查了新定义，整式混合运算等知识点，理解新定义，按照题意进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 【答案】，，数轴表示见解析，，、、0． 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、解不等式组、不等式组的整数解、在数轴上表示一元一次不等式组的解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解决本题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可解答． 【详解】解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，，0． 18. 在学习了特殊平行四边形的性质与判定后，小西发现利用尺规作图可以在含角的菱形上作出一个矩形．现请根据她的想法和思路，完成以下作图与填空： 第一步：构造矩形 在菱形中，，小西已连接对角线并延长至点，使，作射线（如图）．请你利用尺规作图，过点作的垂线交射线于点，交于点，连接． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：∵四边形为菱形， ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∵四边形为菱形 ∴①_______________ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴③_______________ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵且 ∴④_______________ ∴平行四边形为矩形 【答案】图见解析；①；②；③；④． 【解析】 【分析】本题考查了垂直的尺规作图，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，矩形的判定等知识点，熟练掌握尺规作图是解题的关键． 第一步：根据垂直的尺规作图方法解答即可； 第二步：利用菱形的性质可推出①；利用全等三角形的判定方法推出②；利用边的等量关系推出③；利用边的等量关系推出④； 【详解】解：第一步如图所示： 第二步证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，为等边三角形 ∴， ∵四边形为菱形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵，且 ∴ ∴平行四边形为矩形 故答案为：①；②；③；④． 19. 重庆市某校开展了科学知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩在B中的数据是：83、88、87、85 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、73、79、85、90、90、92、96 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 a 82 众数 90 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，本次活动七、八年级都有500人参加，则请估计参加的学生中，七、八年级共有多少人得到A等级． 【答案】（1）；； （2）七年级的成绩更好，理由见解析 （3）七、八年级共有人得到A等级 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，扇形统计图，样本估计总体，理解题意，得到表中数据和扇形统计图的对应关系是解题的关键． （1）根据中位数的定义即可求得的值；根据众数的定义即可求得的值；求出所占的百分比，再用减去其他项所占比，即可求得的值； （2）根据平均数，中位数和众数的概念即可比较，再写出理由即可； （3）根据样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：七年级10名中B的占比为， ，即， 七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列，第位和第位是和，则中位数分； 八年级10名学生竞赛成绩出现次数最多的是分，故众数分， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： 根据数据可得七八年级的平均数和众数都相同，但是七年级的中位数大于八年级的中位数，所以七年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：七、八年级共有人得到A等级． 20. 先化简，再求值：，从中选择一个你最喜欢的整数代入计算． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值．先根据整式的乘法和分式的混合运算法则计算，再求出x的值，然后由分式有意义的条件求出符合条件的x的值，则即可计算出原式的值． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴整数x的值为， 根据题意得：且， ∴且， ∴， ∴原式 21. 随着新年来临，忠州特产供销两旺．李师傅的特产店在元旦节售出“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”共60公斤，已知每公斤“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”的利润分别是6元、5元，售出后共获利320元． （1）元旦节“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”各售出了多少公斤？ （2）元旦节后，根据市场调查，李师傅决定将“西厢阁汤圆粉”加价，“忠州嫩竹笋干”降价，已知“西厢阁汤圆粉”每加价1元则销量将下降了，且加价金额与降价金额相同．若售价调整后的第一天售出总量没变，但利润增加了元，求售价调整后每公斤“西厢阁汤圆粉”的合理利润． 【答案】（1）忠州嫩竹笋干售出20公斤，西厢阁汤圆粉售出40公斤 （2）7元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意列方程是解决本题的关键． （1）设“忠州嫩竹笋干”售出x公斤，“西厢阁汤圆粉”售出y公斤，根据题意列方程组为，进行求解即可； （2）设调价金额为a元，则汤圆粉调价后：利润为元公斤，销量为公斤；嫩竹笋干调价后：利润为元公斤，销量为公斤，再根据题意列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：设“忠州嫩竹笋干”售出x公斤，“西厢阁汤圆粉”售出y公斤． 根据题意得：， 解得． ∴“忠州嫩竹笋干”售出20公斤“西厢阁汤圆粉”售出40公斤； 【小问2详解】 解：设调价金额为a元， ∴汤圆粉调价后：利润为元公斤，销量为公斤； 嫩竹笋干调价后：利润为元公斤，销量为公斤， 根据题意得 解得或（舍去）， ∴调价后汤圆粉的利润为元公斤． ∴售价调整后每公斤“西厢阁汤圆粉”的合理利润为7元． 22. 如图，在中，，是边上的高，且，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点以每秒0.5个单位长度的速度从点出发，沿着运动，是射线上一动点，连接、、的面积是面积的一半，设点、的运动时间为，的面积为，点到的距离为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2） 函数图象如图所示： 函数的图象在时，有最大值6； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意，利用勾股定理求出，得到，分别求出，即可求出，过点作于点H，由，即可得到的表达式；再分点P在上和点P在上，即可表示出的面积的表达式； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到的性质； （3）根据函数图象， ，即为函数的图象在函数图象上方时，的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：在中，，是边上的高，且， ，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点H， ∴， ∵， ∴，即； 当点P在上时， ∵，， ∴，即， ∴，即； 如图，当点P在上时，， 根据题意得：， 同理：，即， ∴，即； 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）列表如下： 1 2 4 6 7 3 6 2 0 8 4 2 由函数图象得：函数的图象在时，有最大值6； 【小问3详解】 解：令，即，解得：或（舍去）； 令，即，解得：或（舍去）； 时，． 23. 随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东方向，且在C的正西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着前往D处取货，机器人乙从D出发沿着前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通信距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2）当甲距离C大于米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点A作，交的延长线于点F，推导出，，，求出，，得到米，进而求出米，则，计算求解即可． （2）设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，过点N作，交的延长线于点P，推导出米，，米，继而求出，再根据勾股定理，得到，求出或（不符合题意，舍去），即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E，过点A作，交的延长线于点F， ∴， 由题意及图，得 米， ∴， ∴， ∴， 米， ∴， ， ∴米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，如图，过点N作，交的延长线于点P， ∴， ∴， ∵，，米， ∴米， ∴米米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴当甲距离C大于米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，连接，过点作，连接，根据最大时，最大，利用二次函数的性质，求出点坐标，进而求出点坐标，求出，得到，结合垂线段最短得到时，最小，进行求解即可； （3）求出平移后的解析式，求出，连接，过点作轴于点，则四边形为正方形，得到，分两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 设，则：， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，最大，此时最大， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴，同法可得直线的解析式为：， ∴， ∴， 过点作，连接，则：， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为的长， 设与轴交于点，连接， ∵，当时，， ∴， ∴轴，， ∴， ∴， ∴的最小值为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：，则直线的解析式为， ∴为二，四象限的角平分线， ∴抛物线沿方向平移个单位，相当于先向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴， 连接，过点作轴于点，则四边形为正方形， ∴， ①在上方取点，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上， ∴点为射线与抛物线的交点， 同（2）法可得直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②在下方取点，过点作， 同法可得：， 点为射线与抛物线的交点，同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，胡不归问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25. 为等边三角形，E、F分别为射线、上的点，且，连接、，直线、相交于点D． （1）如图1，当点E在边上时，求的度数； （2）如图2，当点E在边的延长线上时，延长到点M，使得，连接交于点G、交于点H．请用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）若，在（2）的条件下，当取最大值时，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，得到，再利用三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解； （2）在上截取，连接、，先证明，进而得到，，则有是等边三角形，进而证明，得到，，再证明，得到，即可得出结论； （3）连接，根据三线合一性质可得，取的中点，连接、，当三点共线时，取最大值；过点作于点，根据以及三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，在上截取，连接、， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， 由（2）得，是等边三角形，， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取最大值； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， 由（2）得，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆文德中学校初三数学定时练习 一、单选题 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. （新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C. 对我市中学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 D. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 4. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由大小相同的★组成的图形，第①个图形中有4个★，第②个图形中有7个★，第③个图形中有10个★，第④个图形中有13个★，…，按此规律摆下去，第89个图形中共有多少个★？（   ） A. 265 B. 266 C. 267 D. 268 6. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（ ）元． A. 3320 B. 3440 C. 3450 D. 3456 9. 如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（ ）． A. 3 B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中单项式有个； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________． 12. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则__________________ ． 13. 已知，则整数的值为__________． 14. 若实数x，y满足，，则的值为________． 15. 如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则________，线段________． 16. 我们规定：一个四位数，若M满足各个数位上的数字均不相等，且，则称这个四位数为“差异数”.（例如：四位数3421，因为各个数位上的数字均不相等，且，所以3421是“差异数”，按照这个规定，最小的“差异数”是______；一个“差异数”，将其千位和百位数字调换位置，十位和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，记，N的各个数位上数字之和记为.若能写成一个正整数的平方，则满足条件的正整数M的最大值与最小值的和为_____. 三、解答题 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 18. 在学习了特殊平行四边形的性质与判定后，小西发现利用尺规作图可以在含角的菱形上作出一个矩形．现请根据她的想法和思路，完成以下作图与填空： 第一步：构造矩形 在菱形中，，小西已连接对角线并延长至点，使，作射线（如图）．请你利用尺规作图，过点作的垂线交射线于点，交于点，连接． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：∵四边形为菱形， ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∵四边形为菱形 ∴①_______________ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴③_______________ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵且 ∴④_______________ ∴平行四边形为矩形 19. 重庆市某校开展了科学知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩在B中的数据是：83、88、87、85 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、73、79、85、90、90、92、96 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 a 82 众数 90 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，本次活动七、八年级都有500人参加，则请估计参加的学生中，七、八年级共有多少人得到A等级． 20. 先化简，再求值：，从中选择一个你最喜欢的整数代入计算． 21. 随着新年来临，忠州特产供销两旺．李师傅的特产店在元旦节售出“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”共60公斤，已知每公斤“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”的利润分别是6元、5元，售出后共获利320元． （1）元旦节“忠州嫩竹笋干”和“西厢阁汤圆粉”各售出了多少公斤？ （2）元旦节后，根据市场调查，李师傅决定将“西厢阁汤圆粉”加价，“忠州嫩竹笋干”降价，已知“西厢阁汤圆粉”每加价1元则销量将下降了，且加价金额与降价金额相同．若售价调整后的第一天售出总量没变，但利润增加了元，求售价调整后每公斤“西厢阁汤圆粉”的合理利润． 22. 如图，在中，，是边上的高，且，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点以每秒0.5个单位长度的速度从点出发，沿着运动，是射线上一动点，连接、、的面积是面积的一半，设点、的运动时间为，的面积为，点到的距离为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东方向，且在C的正西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着前往D处取货，机器人乙从D出发沿着前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通信距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 25. 为等边三角形，E、F分别为射线、上的点，且，连接、，直线、相交于点D． （1）如图1，当点E在边上时，求的度数； （2）如图2，当点E在边的延长线上时，延长到点M，使得，连接交于点G、交于点H．请用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）若，在（2）的条件下，当取最大值时，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $