精品解析：重庆育才中学教共体重庆市育才中学校 等校2025-2026学年九年级下学期第一次自主作业 数学试卷

重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 7的相反数是（ ） A. B. C. 7 D. 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 全国初中生每天的运动量 B. 某校九年级1班所有同学的视力 C. 一批新生产的电池的续航时间 D. 某种品牌节能灯的使用寿命 3. 如图，，直线分别与、交于点、．若 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 如图，在和中， ， ，下列条件中不能判断与全等的是( ) A. B. C. D. 7. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 元降到每件元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. % B. % C. % D. % 8. 如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，……按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 9. 如图，正方形，连接，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式共有7个； ③若，且，则当 且时，满足条件的整式共有 个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 第十五届全运会于2025年11月9日在广州开幕，设34个竞技比赛和23个群众赛事活动，共有14000多名运动员参加．数据用科学记数法表示为_____． 12. 在不透明盒子中装有2张红桃扑克牌和1张黑桃扑克牌，这些扑克牌除花色外无其他差别．从盒子中一次性随机摸出2张扑克牌，则摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率是_____． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________ 14. 若关于的不等式的解集是，则的值为__________． 15. 如图，是的外接圆，沿折叠，劣弧恰好经过圆心O，且与相交于点D，若，，则的半径为________，的长为________． 16. 一个四位数M，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将M的千位数字和百位数字组成的两位数与M的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数4816，，4816是“方数”，则最小的“方数”是________；若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的M的最大值是________． 三、解答题：（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形 是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形 是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形 是菱形． 19. 为积极响应“体育强国”建设号召，推动青少年健康知识普及，某学校举办了“健康伴我行”体质健康知识竞赛活动．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为50分且为整数）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分四组：，，，），下面给出了部分信息： 八年级20名学生竞赛成绩是： 50，50，50，49，49，49，48，47，47，46， 46，46，46，45，44，44，43，42，40，39； 九年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：47，47，47，47，46，46，45，45，45． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 46 46 九年级 46 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生体质健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校八年级有学生1680人，九年级有学生1120人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是多少? 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程（组）解决下面问题 修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎． （1）某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？ （2）阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多 ．求每个B牌修正带的价格？ 22. 如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记 的面积为，与 的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西 方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，， ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接 ，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 25. 在中，． （1）如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，， ，求的长度． （2）如图2，M为中点，点P、Q分别为线段 上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与 的数量关系并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，若 ，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 7的相反数是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义． 根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数作答即可． 【详解】解：∵一个数a的相反数是， ∴7的相反数是． 故选：D． 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（） A. 全国初中生每天的运动量 B. 某校九年级1班所有同学的视力 C. 一批新生产的电池的续航时间 D. 某种品牌节能灯的使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：∵A项全国初中生数量大，调查成本高，难以全面调查； C项电池续航测试具有破坏性，只能抽样； D项节能灯寿命测试亦具有破坏性且耗时，不宜普查； 而B项某班级同学数量有限，易于全面调查且需精确数据， ∴最适合普查的是B． 故选：B． 3. 如图，，直线分别与、交于点、．若 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，根据对顶角相等可得，进而根据两直线平行同旁内角互补，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴ ∵， ∴ 故选：D． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则和合并同类项；根据同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方以及合并同类项的规则，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，故A正确； ∵ 积的乘方等于乘方的积， ∴ ，故B错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，故C错误； ∵ 与不是同类项，不能合并， ∴ ，故D错误； 故选：A． 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴ ∴， ∴ 故选：B． 6. 如图，在和中， ， ，下列条件中不能判断与全等的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】【考点】三角形全等的判定． 【分析】根据三角形全等的5种判定方法即可选出不能判断与全等的答案． 【解答】解：， A、由 ， ， ，根据AAS可以判断与全等，故本选项错误； B、由 ，， ，根据AAS可以判断与全等，故本选项错误； C、由 ， ，，根据SAS可以判断与全等，故本选项错误； D、由 ， ，，不能判断与全等，故本选项正确． 故选D． 7. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 元降到每件元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. % B. % C. % D. % 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，正确理解连续两次降价的模型是解题关键．设平均每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的价格关系列方程求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 平均每次降价的百分率为． 故选：B． 8. 如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，……按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：∵第①个图形中圆的个数为：， 第②个图形中圆的个数为：， 第③个图形中圆的个数为：， ， 第个图形中圆的个数为：， 第⑦个图形中圆的个数为：． 故选：B． 9. 如图，正方形，连接，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识为解题的关键． 如图，过点作于点，根据旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质可得；设，由勾股定理可得、，再证明易得、，再根据正方形的性质可得，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解∶如图，过点作于点， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设 ，， ∵， ∴， ∴，即 ，， 正方形中，， ， ． 故选A． 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式共有7个； ③若，且，则当 且时，满足条件的整式共有 个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式的定义、不等式的应用及组合计数，关键是根据每个说法的条件，结合多项式系数的限制，分类讨论求解符合条件的整式个数，逐一判断三个说法的正误． 【详解】解：①若，当 时，为正整数，为非负整数，且． 分两种情况讨论： 当时，，对应整式，共1个； 当时，，非负整数解为，对应整式、、，共3个； 综上，总计 个，故①正确； ②若，当时，为正整数， 分和讨论： 当时，，为正整数，为非负整数，式子变形为． 正整数解满足，解得、， 对应整式、，共2个； 当时，为正整数，为非负整数，式子为． 当时，式子变形为， 解得、，对应整式、，共2个； 当时，式子变形为， 解得、 ，对应整式、，共2个； 当时，式子变形为， 解得，对应整式，共1个； 当时，左边，无符合条件的解； 综上，时总计 个，结合的2个，共个，故②正确； ③若，且，当 且时： 由相邻项差，得，，，，故； 结合，得且，解得且， 结合，得，故； 由，得，即，结合为非负整数，得； 由，得，即；由，得；由，得； 列举的取值： 时，可取，共7个； 时，可取，共6个； 时，可取，共5个； 时，可取，共4个； 时，可取，共3个； 时，可取，共2个； 时，可取，共1个； 总计个； 又，若，则，无符合条件的解，故只能为4，满足条件的整式共 个，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数为3． 故选：． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 第十五届全运会于2025年11月9日在广州开幕，设34个竞技比赛和23个群众赛事活动，共有14000多名运动员参加．数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在不透明盒子中装有2张红桃扑克牌和1张黑桃扑克牌，这些扑克牌除花色外无其他差别．从盒子中一次性随机摸出2张扑克牌，则摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率．根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：将2张红桃扑克牌记为红1、红2，1张黑桃扑克牌记为黑1 列表如下， 红1 红2 黑1 红1 红1，红2 红1，黑1 红2 红2，红1 红2，黑1 黑1 黑1，红1 黑1，红2 共有种等可能结果，其中摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的有2种 ∴摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率为 故答案为：． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程与二次函数的关系．先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可知，关于直线的对称点为，因此一元二次方程的根为1与； 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， ∴关于直线的对称点为， 一元二次方程的根为与； 即，． 故答案为：，． 14. 若关于的不等式的解集是，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解3m-2x＜6，得x＞1.5m-3， 由不等式的解集为x3， 1.5m-3=3， 解得：m=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键． 15. 如图，是的外接圆，沿折叠，劣弧恰好经过圆心O，且与相交于点D，若，，则的半径为________，的长为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】作 ，交于点E，根据垂径定理和折叠的性质可得，再根据勾股定理求出半径；连接，并延长交于点G，可得 ，进而求出，然后说明，接下来根据特殊角三角函数求出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出，然后过点B作，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示，过点O作 ，交于点E， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得，负值舍去； 连接，并延长交于点G， ∵是的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则点D和点G关于对称， ∴． 在 中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点B作，于点H， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 根据勾股定理，得， 即． 16. 一个四位数M，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将M的千位数字和百位数字组成的两位数与M的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数4816，，4816是“方数”，则最小的“方数”是________；若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的M的最大值是________． 【答案】 ①. 1237 ②. 9351 【解析】 【分析】本题考查完全平方数，整式的加减，整除的性质，根据“方数”定义确定两个两位数和的所有可能完全平方数，求最小方数时，从最小千位、百位依次尝试得到最小四位数；再根据整除条件化简得到是的倍数，从大到小尝试得到最大的满足条件的． 【详解】解：设四位数，由题意得，是完全平方数， ∵各数位互不相等且均不为， ∴，， ， 的可能取值为， ①求最小的“方数”： 要得到最小的四位数，需 最小，得； 再使最小，，故，， 当时，， 此时四个数字为，互不相等且均不为，符合条件， 不存在比更小的符合条件的四位数，故最小的“方数”为； ②求满足是整数的最大： 化简分子： ， 原式是整数， 是的倍数， 从大到小尝试： ∵， 当时，，， 最大为，则 ， ，不是的倍数，不符合条件； 当时，分两种情况： i.，， 最大为，则， ，是的倍数，符合条件； 最大可取，则，四个数字互不相等且不为， 此时； ii. ，， 最大为，则， ， 不是的倍数，不符合条件． 故答案为：1237；9351． 三、解答题：（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】3，4 【解析】 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得， ； ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为：3，4． 18. 如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形 是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形 是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形 是菱形． 【答案】（1）见解析 （2） ； ；； 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，菱形的判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据题意作的角平分线交的延长线于点，连接； （2）根据平行四边形的性质得出 ，进而证明得出 ，进而证明得出四边形 是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得 ，即可得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，． ∵， 在和中 ∴ ， ， ． ， ． ∵且， 四边形 是平行四边形． 平分， ∵， ． ． ， 四边形 是菱形． 故答案为： ； ；；． 19. 为积极响应“体育强国”建设号召，推动青少年健康知识普及，某学校举办了“健康伴我行”体质健康知识竞赛活动．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为50分且为整数）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分四组：，，，），下面给出了部分信息： 八年级20名学生竞赛成绩是： 50，50，50，49，49，49，48，47，47，46， 46，46，46，45，44，44，43，42，40，39； 九年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：47，47，47，47，46，46，45，45，45． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 46 46 九年级 46 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生体质健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校八年级有学生1680人，九年级有学生1120人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是多少? 【答案】（1） ，，； （2）九年级学生的成绩更好，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b,用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论； （3）用九、八年级人数乘以大于47分的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：八年级20名学生竞赛成绩中 出现的次数最多，故众数为 ，即； 九年级20名学生竞赛成绩在组人数，则九年级20名学生竞赛成绩按从小到大排列的第10和第11名在组中，分别为和 ，故中位数为； 组占比为， ∴组占比为， ∴， 故答案为： ，，； 【小问2详解】 解：认为九年级学生的成绩更好，理由如下： 因为八年级学生与九年级学生的平均分相等，但九年级学生的中位数和众数都更大； 【小问3详解】 解：该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是（人）． 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，零指数幂与负整数指数幂，先去括号，把除法变为乘法把分式化简，同时进行整式的混合运算，再根据负整数指数幂与零指数幂求得，最后代入求值． 【详解】解：原式  当时，原式． 21. 列方程（组）解决下面问题 修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎． （1）某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？ （2）阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多 ．求每个B牌修正带的价格？ 【答案】（1）安排生产修正带外壳有名工人，生产齿轮工人有名 （2）每个B牌修正带的单价为元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设安排生产修正带外壳有名工人，则生产齿轮的工人有名，根据“修正带由一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产个外壳或生产个齿轮”列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每个B牌修正带的单价为 元，则每个A牌修正带单价为元，根据“用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多 ”列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设安排生产修正带外壳有名工人，则生产齿轮的工人有名， 由题可知：， 解得： ， ∴（名）， 答：安排生产修正带外壳有名工人，生产齿轮工人有名； 【小问2详解】 解：设每个B牌修正带的单价为 元，则每个A牌修正带单价为元， 由题可知：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：每个B牌修正带的单价为元． 22. 如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记 的面积为，与 的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 【答案】（1）； （2） 解：图象如图所示，即为所求： 函数的性质：当 时，随t的增大而增大；当 时，随t的增大而减小； （3） 或 【解析】 【分析】（1）过点B作于H，利用勾股定理求得，用t表示出 ；当点P在上时， ，此时 ；当点P在上时， ，此时 ；然后根据三角形面积公式求解即可； （2）利用描点法作出函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质即可； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，根据图像得出取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于H， ∵，，， ∴ ， 由题意可知， ， 当点P在上时， ，此时 ， 当点P在上时， ，此时 ， ∴； 当 时， ， 当 时，， ∴综上所述：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象可得：当 或 时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西 方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，取 交于点，不妨设，根据题意，可知，先求得 ，那么，接着利用等腰三角形的性质，得到，，然后利用外角求得，那么，然后在 中应用勾股定理求得答案； （2）过点作于点，不妨设，那么，，，然后证明 ，那么， ，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【小问1详解】 解： 过点作于点，取 交于点，不妨设，如图所示： 根据题意，可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵ ， ∴； 答：小福家B与学校D的距离为千米． 【小问2详解】 解：∵小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处， ∴不妨设，那么， ∴，， ∵的距离比的距离还少2千米， ∴， 过点作于点，如图所示： ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵ ， ∴． 答：博物馆C与小福家B的距离为 千米． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，， ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接 ，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】（1） （2）， （3）11或 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用， ，求出 ，，得，，再利用待定系数法求解即可； （2）如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作 ，过点N作于点M，使，则，先求出直线的解析式为，通过得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，由点到直线的最短距离可得当F、N、M三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，利用锐角三角函数进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为 ，联立抛物线求出，由勾股定理可得，即；如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，设，根据列方程可得；再求得直线的解析式并与的解析式联立即可求解；利用轴对称的性质可得，然后求出直线的解析式并与的解析式联立即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ，， ∴，， 代入抛物线得： ，解得：， ∴ ． 【小问2详解】 解：如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作 ，过点N作于点M，使，则， ∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为 ， 将，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 则，， ∴， ∵， ∴当时，最大， 此时，，即， 由点到直线的最短距离可得当F、M、N三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴最小值为． 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为 ， 联立， 解得：或， ∴， 如图：连接， ∴ ∴， ∴ 如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K， 设，则，， ∴，解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为， 与抛物线联立得， 解得： （舍），，即点K的横坐标为11； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K， 设，则，， ∴，解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线解析式为， 与抛物线联立得，解得： （舍），， 故点K的横坐标为． 综上所述，点K的横坐标为11或． 25. 在中，． （1）如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，， ，求的长度． （2）如图2，M为中点，点P、Q分别为线段 上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与 的数量关系并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，若 ，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 【答案】（1）3 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，再结合线段的和差即可解答； （2）如图：连接，可证得到 ，，延长 至点G，使得，连接，可证得到，，从而可得，，得到，证得，得到； （3）如图3，连接 ，延长 至点H，使得，连接，作交于K，令与交于点N，易证可得、，再通过证明四边形是矩形、得到，即，再根据三角形的中线可得，最后代入求比例即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图2，连接，延长 至点G，使得，连接， ∵， ∴，即， 在 和中 ， ∴， ∴ ，， ∵M为中点， ∴， 在 和中 ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， 在 和中 ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接 ，延长 至点H，使得，连接，作交于K，令与交于点N， ∵ ， ∴， ∴， ∵D、Q、M三点共线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为中点， ∴； ∴． 【点睛】正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $