精品解析：重庆市2025-2026学年九年级下学期第一次数学定时训练

数学定时训练 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的项点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，倒数的绝对值最小的是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【详解】解：四个数倒数的绝对值分别为，，，. ∵， ∴， ∴倒数的绝对值最小的数是 ， 2. 下列汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查2026年春节联欢晚会的收视率 B. 采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情 C. 检测国产大飞机 的零部件质量情况 D. 调查某批奥迪汽车的抗撞击能力 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查的范围，精度要求，是否具有破坏性判断，全面调查适用于要求结果准确，无破坏性，且工作量可控的调查. 【详解】解：根据全面调查结果准确，但工作量大，抽样调查适合工作量大，或具有破坏性，不需要极高精度的调查. ∵A中调查春晚收视率，范围广，工作量大，适合抽样调查， ∴A不符合要求. ∵B中采访晚点列车乘客心情，不需要全面调查，抽样即可满足需求， ∴B不符合要求. ∵C中检测大飞机零部件质量，对精度要求极高，每个零部件都必须检查合格，适合全面调查， ∴C符合要求. ∵D中检测汽车抗撞击能力属于破坏性试验，不能对每辆汽车都检测，适合抽样调查， ∴D不符合要求. 4. 已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知等式求出k的值，再计算反比例函数的比例系数，最后利用反比例函数图象上点的坐标满足比例系数，判断选项即可． 【详解】解：∵ ，，两边同乘，再整理得， 解得 ，， 经检验，，是方程的解， 当时，，此时反比例函数满足 ， 当时，，此时反比例函数满足， 依次计算各选项横纵坐标乘积： A、，不符合题意； B、，符合 ； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，可能得到一个矩形 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 平分弦的直径一定垂直于弦 【答案】C 【解析】 【分析】本题为概念辨析题，考查圆的性质、圆锥展开图、垂线定理等初中数学基础知识点，需要逐一判断各选项是否符合定义． 【详解】∵选项A中，相等圆心角所对弧相等的前提是同圆或等圆，选项未说明该前提，∴A错误． ∵选项B中，圆锥侧面沿母线展开后得到的是扇形，不可能是矩形，∴B错误． ∵选项C中，根据初中平面几何中垂线的基本定理，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴C正确． ∵选项D中，若被平分的弦本身是直径，那么平分该弦的直径不一定垂直于弦，定理要求被平分的弦不是直径，∴D错误． 故选：C． 6. 如图， 和 关于点O位似，若， 的周长为8，则 的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和 关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 7. 小果用不小心洒在地上的腰果仁按如图所示的规律摆放，如图所示．其中第①组有4粒，第②组有9粒，第③组有14粒……按此规律，则第⑪组腰果仁的粒数是（ ） A. 44 B. 49 C. 54 D. 59 【答案】C 【解析】 【分析】根据前几个图形，发现腰果仁的粒数规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①组腰果仁的粒数为， 第②组腰果仁的粒数为， 第③组腰果仁的粒数为， ， ∴第n组腰果仁的粒数为， ∴第⑪组腰果仁的粒数为． 8. 如图，在中，是直径，点和点是弧的三等分点，连接，过作的切线交的延长线于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合是直径，点和点是弧的三等分点，得，又因为切线的性质得，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是直径，点和点是弧的三等分点， ∴， ∵过作的切线交的延长线于点， ∴， 则， 故选：A． 9. 如图，在正方形 中，点是中点，点是上一点，连接、 ，满足 ．点是中点，点是 中点，连接、，与相交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，延长，截取，连接，取 的中点N，连接 ，取的中点K，连接， ，设，则，证明 ，得出 ， ，证明，得出，设 ，则，，根据勾股定理得出，求出 ，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，证明、H、K三点在同一直线上，求出，证明，得出，求出，，，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，延长，截取，连接，取 的中点N，连接 ，取的中点K，连接， ，如图所示： ∵四边形 为正方形， ∴，，， ∵为的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设 ，则，， 在 中，根据勾股定理得：， ∴， 解得： ， ∴， ∵F为的中点，为 的中点，， ∴，， ∴， 在 中，根据勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵H为 的中点，为的中点， ∴，， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴、H、K三点在同一直线上， ∴， ∵为的中点，H为 的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，， ∴． 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（ ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给定条件，逐个验证三个说法，利用枚举法、代入法计算即可得到结果． 【详解】解：由题知，为正整数，为自然数，为正整数，满足．验证①： 当时，， ， 是正整数， ， 又，或， 当，仅， 此时 ，， 当， 正整数解共3种：， 此时 ，每个． 所有的值总和为，①正确； 验证②： 若所有均为正整数，共有个系数，每个系数至少为1， ． ， ，解得 ． 是正整数， ，共3种可能，②正确． 验证③ ∵， ∴的所有奇次项系数之和为， 令，∴， 即（1）， 令，∴， 即（2）， 得， ∴的所有奇次项系数之和为，∴③正确； 综上，正确的说法共3个． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 假设2025年全国铁路旅客发送量为亿人，其中亿用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】解：亿． 12. 2026年全国铁路一季度调图自2026年1月26日起施行，重庆北站到成都东站的列车车次、时间有所变化．2月6日下午放假后，小懂准备从重庆北站乘坐高铁前往成都东站，他在18点30分左右可到达重庆北站，进站安检、检票、下站台乘车平均需约15分钟，他想在19点25分之前从重庆北站出发．假设小懂的出行预算足够，则在下表中18点30分到19点30分时段的列车，符合要求的概率是___________． 车次 D2373 D637 G3357 G8634 D2237 G3480 D953 G8684 D361 G978 G1015 D3057 列车类型 动车 动车 高铁 高铁 动车 高铁 动车 高铁 动车 高铁 高铁 动车 （重庆北站）发车时间 18∶33 18∶38 18∶41 18∶47 18∶50 19∶01 19∶06 19∶06 19∶12 19∶17 19∶23 19∶29 （成都东站）到站时间 20∶28 20∶33 21∶38 20∶02 20∶45 20∶37 21∶01 21∶09 21∶06 20∶45 21∶59 21∶46 【答案】 【解析】 【分析】先确定该时段列车的总数量，再根据小懂的时间条件筛选出符合要求的列车数量，最后依据概率的定义计算概率． 【详解】由表格可知，18点30分到19点30分时段的列车总共有12列． 根据题意，小懂 18∶30 到达重庆北站，进站安检、检票共需 15 分钟，因此他最早可乘车的发车时间为： 分钟 他想在 19∶25 之前出发，所以发车时间需满足： 发车时间 逐一核对列车发车时间，符合要求的列车有G8634、G3480、G8684、G978、G1015，共5列． 根据概率的定义，符合要求的概率为． 故答案为：． 13. 已知整数满足，则整数的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算，判断出，结合，可得，解得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵整数满足， ∴，解得． 14. 已知，则__________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题可利用已知条件将所求代数式中的高次项逐步降次，通过代入、化简，最终转化为含的形式，再代入计算求解． 【详解】解：已知，则，，， 对所求代数式进行变形化简： ． 15. 如图，点 、 、是上三点，是的直径．过点作 交于点，连接 ．将 沿 翻折得到 ，点在的外部，延长 交的延长线于点，若，则的长为__________，的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，根据，设，则，根据勾股定理得出，根据，得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，证明 ，得出，求出，最后根据线段间关系求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ， ∴， 根据折叠可得： ，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ∴， ∴ ， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵为的直径， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴； ． 16. 对于一个四位自然数，若它的各数位数字互不相等且均不为0，千位数字与十位数字 的和等于百位数字与个位数字的差的3倍，则称这样的四位数为“腰果数”．规定百位数字与千位数字组成的两位数加上个位数字与十位数字组成的两位数的和等于．若，则__________；若一个四位数（均为整数，且）是“腰果数”，且被11除余4，则满足条件的 的最大值和最小值的和为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“腰果数”的定义求出的关系式，再结合的定义求出的另一个关系式，再逐一判断即可；先确定四位数 各个数位上的数字根据“腰果数”的定义求出的关系式，再结合被11除余4，求出的代数式，再判断即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵（为整数），且是互不相等， ∴是正整数，是正整数，且是的整数倍，， ∴或或或或， ∵， ∴， 当时，则，（不符合题意）； 当时，则，（不符合题意）； 当时，则，（不符合题意）； 当时，则，（不符合题意）； 当时，则，（符合题意）； ∴； ∵是“腰果数”， ∴四位数 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且， ∴， ∵均为整数，且， ∴是整数，且是的整数倍， ∵， ∴， ∴或或或或， ∵， ∴， ∵被11除余4， ∴是11的整数倍， 当，时，则，即， ∵， ∴， ∵，且为整数， ∴（都不是 的整数倍，舍去）， 当，时，则，即， ∵， ∴， ∵，且为整数， ∴（除 都不是 的整数倍）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或或或， ∴或或或； 当，时，则，即， ∵， ∴， ∵，且为整数， ∴（除都不是 的整数倍）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或或或或或， ∴或或或或或； 当，时，则，即， ∵， ∴， ∵，且为整数， ∴（除都不是 的整数倍）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或； 当，时，则，即， ∵， ∴， ∵，且为整数， ∴（除都不是 的整数倍）， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∵， ∴满足条件的 的最大值和最小值的和为． 三、解答题：（本大题共9个小题，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组所有整数解的积． 【答案】0 【解析】 【详解】解：， 解不等式得， ， 解不等式得，， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的整数解是：， ∴， ∴不等式组的所有整数解的积为0． 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先化简多项式乘法部分与分式混合运算，并将两部分合并为最简分式，然后再利用负指数幂、绝对值和零次幂的运算法则，求出x，代入求值即可． 【详解】解： ； 当 时， 原式． 19. 在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线 于点E；作的角平分线交对角线 于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形 是菱形，对角线 、 交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形 中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和 中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在 上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 【答案】如图所示，就是所求作的图形： ①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），熟练掌握菱形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是关键．根据题意作图即可；由菱形的性质知，得到，结合角平分线可推得①，再证明，得出②，再证明四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形，得到④． 【详解】证明：在菱形 中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， 在和 中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在 上， ， 即， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 20. 为了解村民们寒假期间体育锻炼情况，西葫芦村对该村800名一组团村民和1000名二组团村民的平均每天体育锻炼时间进行了调查，现从中随机各抽取25名村民的平均每天体育锻炼时间（单位：）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间为： 20，25，45，30，35，35，40，40，45，65，45，45，50，50，30，50，55，40，55，60，45，60，60，65，70． 抽取的西葫芦村村民的平均每天体育锻炼活动时间的平均数、众数、中位数如下表所示： 平均数 众数 中位数 一组团 46.2 a b 二组团 46.2 40 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）____________，____________，____________； （2）如果村委要从中选取一位热爱运动的村民代表进行体育锻炼活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪一组团的村民较好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若平均每天体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民会被授予“运动达人”的称号，估计此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有多少？ 【答案】（1）45，45，40 （2） 解：∵一组团、二组团抽取的样本平均数相同，而一组团的众数和中位数高于二组团， ∴选择一组团的村民较好． （3）592人 【解析】 【分析】（1）先将一组团以及二组团村民的锻炼时间从小到大排列，然后根据中位数，以及众数的概念求解； （2）结合平均数，众数，中位数作出判断即可； （3）根据题意，可知，一组团村民体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民占比为，二组团村民体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民占比为，然后用总人数乘以相应占比列式计算即可． 【小问1详解】 解：将25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间按从小到大排列后： 20，25，30，30，35，35，40，40，40，45，45，45，45，45，50，50，50，55，55，60，60，60，65，65，70， ∵45出现次数最多， ∴一组团村民的众数为45，即， ∵总人数为25人， ∴中位数为第13个数据，也就是45，即； 根据条形统计图，二组团村民的平均每天体育锻炼时间从小到大排列后如下：20，25，25，30，30，30，35，35，35，35，40，40，40，40，40，45，45，45，45，50，50，50，55，55，60， 中位数为第13个数据40，即； 故答案为：45，45，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有592人． 21. 小李在毕业后的暑假为了挣零花钱，购进了紫皮腰果和香酥腰果两种类型的腰果在校门口销售．第一批小李两种类型的腰果共购进了100盒，其中紫皮腰果购进了56盒．已知每盒香酥腰果的进价比紫皮腰果的进价多15元，本次小李购进紫皮腰果的成本比购进香酥腰果的成本低360元． （1）求紫皮腰果和香酥腰果的进价； （2）第一批两种类型的腰果每盒售价均为50元．在第一批腰果销售完后，小李购进了第二批两种类型的腰果进价均未改变，聪明的小李在经过思考后，将紫皮腰果的售价提高元，并在第一批的基础上增加了 盒的进货量；香酥腰果的进货量为60盒，售价与第一次相同．但因小李的嘴馋，购进的香酥腰果中有被他自己吃掉而无法销售，结果第二批销售完后小李获利3002元，求的值． 【答案】（1）紫皮腰果进价为25元/盒，香酥腰果进价为40元/盒. （2）的值为4. 【解析】 【分析】题目涉及两个批次的腰果销售情况，第一问根据成本关系列方程组求解进价；第二问在已知进价和销售策略的基础上，结合数量变化、售价调整、损耗等因素建立总利润方程，解出未知数的值．解题过程中需理清各批次的数量、成本、售价、利润之间的关系． 【小问1详解】 解：设紫皮腰果每盒进价为元，则香酥腰果每盒进价为元． 由题意，第一批共购进100盒，其中紫皮腰果56盒，则香酥腰果为44盒． 紫皮腰果总成本：元 香酥腰果总成本：元 根据题意，紫皮腰果成本比香酥腰果低360元，即： 则香酥腰果进价为元． 答：紫皮腰果进价为25元/盒，香酥腰果进价为40元/盒． 【小问2详解】 第一批紫皮腰果售价为50元/盒． 第二批紫皮腰果售价提高元，即售价为元/盒． 进货量在第一批基础上增加 盒，即进货量为盒． 香酥腰果进货量为60盒，售价仍为50元/盒，但有被吃掉，无利润，即实际销售数量为盒． 紫皮腰果： 成本：元 收入：元 利润：收入-成本= 香酥腰果： 成本：元 收入：元 利润：元 第二批总利润为紫皮腰果利润+香酥腰果利润元 即： 解得：，（舍去） 所以 【点睛】本题综合考查方程建模能力，尤其第二问中涉及数量变化、售价调整及损耗处理，需仔细分析利润构成．通过分步建立方程并求解，得出最终结果．关键在于准确列出各部分的成本与收入，并注意实际销售数量受损耗影响的情况． 22. 如图，在矩形 中，点是 中点，连接 ，过作 交于点．动点以每秒2个单位长度的速度沿的方向匀速运动，同时动点 从 出发以每秒2个单位长度的速度沿 方向匀速运动，当有一个动点到达点时两个动点同时停止运动．点为射线上一点且满足．已知，连接．记为，线段的长度为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 的图像如图所示，结合图像可知的最大值为60（答案不唯一）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、函数表达式和函数图像及性质，根据题意能分段表示出是解题的关键． （1）根据矩形的性质求出 、 、 、、的长度，并分段表示出、、时，则的函数解析式即可求出；过点Q作，利用相似的性质求出，并表示出，化简即可求出的函数解析式； （2）利用描点法分段画出的图像即可，利用描点、连线法也可画出的图像，根据图像可看出的性质，如最值、增减性等； （3）根据与的图像交点位置，看看出时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形，点是 中点， ∴，， ∴， ∴，点Q最长的运动时间为秒， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ，即 为 的中位线， ∴，， ∴点P最长的运动时间为秒， ∵当有一个动点到达C点时两个动点同时停止运动， ∴点P，Q最长的运动时间为13秒， 当点P在线段 上，即时，如图1，点P在 上，， 则； 当点P在线段 上，即时，如图2，点P在 上，过点C作，则， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段上，即时，如图3，点P在上，过点O作， ，， ∴； ∴； 如图4，过点Q作，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图像，可知当时的取值范围是或， 故答案为：或． 23. 期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西 方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西方向．由于 之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：） （1）求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）； （2）小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数） 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】（1）由方位角得到，，，在中通过解直角三角形求出 即可解答； （2）设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为千米，通讯开始恢复．设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即，则，根据路程速度时间三者关系得到小金乘坐地铁行走了千米，即 ．过点F作于点N，根据解直角三角形表示出， 的长，再在中由勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 解：小金家B位于小月家A北偏西 方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处， ∴，， 小月家A在购物中心D的北偏东方向， ∴， ∴在中，， ∴小金家B和购物中心D之间道路的长度为千米． 【小问2详解】 解：如图，设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为千米，通讯开始恢复． 设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即，则， ∵地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍， ∴在相同的时间内，小金乘坐地铁行走的路程是小月乘坐私家车行走的路程的2倍， ∴小金乘坐地铁行走了千米，即 ． ∵ ，， ∴在中，， ∴． 过点F作于点N， ∵， ∴在中，， ， ∴， ∵在中，， ∴， 整理得， 解得， 即，， 当时，小金乘坐地铁行走的路程为，不合题意； 当时，小金乘坐地铁行走的路程为（千米）． ∴小金乘坐地铁行走千米时，方可再次向小月发送信息． 24. 如图，抛物线交轴于， 两点，交轴于点 ，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，为直线 上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作 轴交轴于点，交 于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、 ，求此时点坐标及的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点 是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、 ．是否存在点 满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）存在， 的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求得点 ，然后利用，求得点 ，然后利用待定系数法解题即可； （2）先求出直线 的表达式，接着不妨设点，那么，表示出，结合二次函数，求出其最值，以及，从而得到点坐标，接着求出直线，的表达式，得到点坐标，算得长度，接着判断四边形是平行四边形，那么，那么当取得最小值时，最小，过点作，过点作交 于，那么四边形是平行四边形，可得到，从而推出当、、三点共线时，取最小值，最小值为，不妨设点，利用平行四边形的性质，结合平移，表示出，，接着利用勾股定理求得即可； （3）先算得当点 满足时，，以及新抛物线的对称轴为直线 ，接着设新抛物线的对称轴交x轴于点T，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点，先证明，得到，，设，则，接着证明，通过算得答案． 【小问1详解】 解：当时，代入，解得， ∵抛物线交轴于点 ， ∴， ∴ ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交轴于，且过， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设直线 的表达式为，代入， 得， 解得， ∴直线 的表达式为：， 不妨设点，那么， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴此时， 设直线的表达式为，代入，， 得，解得， ∴直线的表达式为： ， ∵， ∴不妨设直线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 将代入，得，解得， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， 过点作，过点作交 于，如图所示： ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取最小值，最小值为， 如下图所示，、、三点共线： 不妨设点， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴ 点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点， ∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点， ∴， 同理，∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，，， ∴，且点为的中点， ∵ 轴于点，交 于点， ∴，垂直平分线段，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴当点 满足时， 则， ∵将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线 ， 如图，设新抛物线的对称轴交x轴于点T， ∴， 在 上取，连接， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点 在第一象限， 如图，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点， 则四边形和为矩形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， 不妨设，则， ∵四边形和为矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ， ∴点Q的坐标为或． 25. 如图，在中，，交于点． （1）如图1，延长 至点，使得 ，连接、 ．若 ，且，求 的长度； （2）如图2，过点作的角平分线交于点，过作 交于点，点是上一点，点是 上一点，满足 ，请你猜想、和 之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，如图3，过点作 交于点，点在线段上，点 在线段 上，且满足 ．连接、 ．若 ， ，当 取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 解： ，证明如下： 如图，延长至点，使得 ，连接 ， ∵平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线，交的延长线于点，与交于点， 容易证明 和 ，通过比的性质进行转化可得 ，因此．容易证明，则 ，，．利用平行可判定 ，从而得到 ，进一步得到．在直角中，利用勾股定理构造方程并解出 的值即可； （2）延长至点，使得 ，连接 ，利用角平分线的性质可证明，则 ， ．进而证明，则 ， ．利用角度转化可得 ，从而证明，由全等的性质得出结论； （3）作 于点，以 为边作 交 于点，使得 ，在 上截取线段 ，连接 、 ，过点作 的垂线，交 的延长线于点，容易证明，则 ，因此当、 、三点共线时， 最小，即 取得最小值．运用三角形的面积公式和相似三角形的性质以及勾股定理依次计算出，，，，，进而计算出 和 的面积．结合全等三角形的性质可得， 的面积即为 与 的面积之和，相除得到结果． 【小问1详解】 解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，与交于点， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ， 在和 中， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作 于点，以 为边作 交 于点，使得 ，在 上截取线段 ，连接 、 ，过点作 的垂线，交 的延长线于点， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当、 、三点共线时， 最小，即 取得最小值， ∵平分， 又∵ ， ， ∴ ， ， 在直角 中，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， 由勾股定理可得，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴，即， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形和相似三角形的判定与性质，熟练运用“倍长中线”模型和“半角”模型来构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时训练 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的项点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，倒数的绝对值最小的是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 2. 下列汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查2026年春节联欢晚会的收视率 B. 采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情 C. 检测国产大飞机 的零部件质量情况 D. 调查某批奥迪汽车的抗撞击能力 4. 已知，则在下列点中，可能是反比例函数图像上的点是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，可能得到一个矩形 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 平分弦的直径一定垂直于弦 6. 如图，和 关于点O位似，若，的周长为8，则 的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 7. 小果用不小心洒在地上的腰果仁按如图所示的规律摆放，如图所示．其中第①组有4粒，第②组有9粒，第③组有14粒……按此规律，则第⑪组腰果仁的粒数是（ ） A. 44 B. 49 C. 54 D. 59 8. 如图，在 中，是直径，点 和点 是弧的三等分点，连接，过 作 的切线交的延长线于点 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点 是 中点，点是上一点，连接、 ，满足 ．点是中点，点是 中点，连接、 ，与 相交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（ ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 假设2025年全国铁路旅客发送量为亿人，其中亿用科学记数法表示为___________． 12. 2026年全国铁路一季度调图自2026年1月26日起施行，重庆北站到成都东站的列车车次、时间有所变化．2月6日下午放假后，小懂准备从重庆北站乘坐高铁前往成都东站，他在18点30分左右可到达重庆北站，进站安检、检票、下站台乘车平均需约15分钟，他想在19点25分之前从重庆北站出发．假设小懂的出行预算足够，则在下表中18点30分到19点30分时段的列车，符合要求的概率是___________． 车次 D2373 D637 G3357 G8634 D2237 G3480 D953 G8684 D361 G978 G1015 D3057 列车类型 动车 动车 高铁 高铁 动车 高铁 动车 高铁 动车 高铁 高铁 动车 （重庆北站）发车时间 18∶33 18∶38 18∶41 18∶47 18∶50 19∶01 19∶06 19∶06 19∶12 19∶17 19∶23 19∶29 （成都东站）到站时间 20∶28 20∶33 21∶38 20∶02 20∶45 20∶37 21∶01 21∶09 21∶06 20∶45 21∶59 21∶46 13. 已知整数满足，则整数的值为__________． 14. 已知，则__________． 15. 如图，点 、 、 是 上三点，是 的直径．过点 作 交于点 ，连接 ．将 沿 翻折得到 ，点 在 的外部，延长 交的延长线于点，若，则的长为__________，的值为__________． 16. 对于一个四位自然数，若它的各数位数字互不相等且均不为0，千位数字与十位数字 的和等于百位数字与个位数字的差的3倍，则称这样的四位数 为“腰果数”．规定百位数字与千位数字组成的两位数加上个位数字与十位数字组成的两位数的和等于．若，则__________；若一个四位数（均为整数，且）是“腰果数”，且被11除余4，则满足条件的 的最大值和最小值的和为__________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组所有整数解的积． 18. 化简求值：，其中． 19. 在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线 于点E；作的角平分线交对角线 于点F；连接 、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线 、 交于点O． 平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和 中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在 上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 20. 为了解村民们寒假期间体育锻炼情况，西葫芦村对该村800名一组团村民和1000名二组团村民的平均每天体育锻炼时间进行了调查，现从中随机各抽取25名村民的平均每天体育锻炼时间（单位：）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间为： 20，25，45，30，35，35，40，40，45，65，45，45，50，50，30，50，55，40，55，60，45，60，60，65，70． 抽取的西葫芦村村民的平均每天体育锻炼活动时间的平均数、众数、中位数如下表所示： 平均数 众数 中位数 一组团 46.2 a b 二组团 46.2 40 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）____________，____________，____________； （2）如果村委要从中选取一位热爱运动的村民代表进行体育锻炼活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪一组团的村民较好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若平均每天体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民会被授予“运动达人”的称号，估计此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有多少？ 21. 小李在毕业后的暑假为了挣零花钱，购进了紫皮腰果和香酥腰果两种类型的腰果在校门口销售．第一批小李两种类型的腰果共购进了100盒，其中紫皮腰果购进了56盒．已知每盒香酥腰果的进价比紫皮腰果的进价多15元，本次小李购进紫皮腰果的成本比购进香酥腰果的成本低360元． （1）求紫皮腰果和香酥腰果的进价； （2）第一批两种类型的腰果每盒售价均为50元．在第一批腰果销售完后，小李购进了第二批两种类型的腰果进价均未改变，聪明的小李在经过思考后，将紫皮腰果的售价提高元，并在第一批的基础上增加了 盒的进货量；香酥腰果的进货量为60盒，售价与第一次相同．但因小李的嘴馋，购进的香酥腰果中有被他自己吃掉而无法销售，结果第二批销售完后小李获利3002元，求的值． 22. 如图，在矩形中，点 是 中点，连接 ，过 作 交 于点 ．动点以每秒2个单位长度的速度沿的方向匀速运动，同时动点从 出发以每秒2个单位长度的速度沿 方向匀速运动，当有一个动点到达 点时两个动点同时停止运动．点为射线上一点且满足．已知，连接．记为，线段 的长度为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西 方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西方向．由于 之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：） （1）求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）； （2）小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数） 24. 如图，抛物线交轴于， 两点，交轴于点 ，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，为直线 上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作 轴交轴于点 ，交 于点 ，过 作交轴于点，连接 ，点 是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、 、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，，交 于点 ． （1）如图1，延长至点，使得 ，连接、 ．若 ，且，求 的长度； （2）如图2，过点 作的角平分线交于点 ，过 作 交 于点，点是 上一点，点是 上一点，满足 ，请你猜想、和 之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，如图3，过点 作 交 于点 ，点在线段 上，点在线段 上，且满足 ．连接、 ．若 ， ，当 取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $