20.1勾股定理及其应用（第2课时）——实际问题中的应用同步练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1勾股定理及其应用（第2课时）——实际问题中的应用解析版 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•如皋市期末）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据勾股定理得出斜边解答即可． 【解答】解：∵两条直角边分别用了3根和4根小木棒， ∴搭建斜边用的小木棒数量， 故选：C． 2．（2025秋•龙海区期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机因物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（　　） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【分析】由勾股定理可得出答案． 【解答】解：由题意知AB＝300米，BC＝400米， ∴AC500（米）， 故选：C． 3．（2025秋•高陵区期末）如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知∠AOB＝90°红方战舰A在雷达站O的北偏东60°方向，距离40nmile处，且红方战舰A与蓝方战舰B相距50nmile，则蓝方战舰B在雷达站O的（　　） A．南偏东30°方向，距离30nmile处 B．北偏东30°方向，距离30nmile处 C．南偏东60°方向，距离30nmile处 D．北偏东60°方向，距离30nmile处 【分析】根据∠AOB＝90°，点A在点O的北偏东60°方向，可知点B在点O的南偏东30°方向，根据勾股定理可知OB＝30nmile，即可求解． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，点A在点O的北偏东60°方向， ∴点B在点O的南偏东30°方向， 根据勾股定理可知， 综上可知点B在点O的南偏东30°方向，距离30（nmile）处． 故选：A． 4．（2025秋•濂溪区校级月考）将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出几的最大值和最小值即可． 【解答】解：当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h最大＝24﹣8＝16（cm）； 如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，连接AD， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， 由勾股定理得：， 此时h最小＝24﹣17＝7（cm）， ∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm， 故选：D． 5．（2025秋•高唐县期末）一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（　　） A．110mm B．170mm C．200mm D．240mm 【分析】直接根据勾股定理即可求得两圆孔中心A和B的距离． 【解答】解：根据题意，得AC＝80mm，BC＝150mm，∠ACB＝90°， 则，即两圆孔中心A，B之间的距离为170mm． 故选：B． 6．（2025秋•浚县期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为（　　） A．13cm B．15cm C．20cm D．24cm 【分析】由勾股定理求出AD＝25cm，则AB＝AD＝25cm，再由勾股定理求出AC的长即可． 【解答】解：由题意可知，AB＝AD，DE＝20cm，AE＝15cm，BC＝7cm， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD25（cm）， ∴AB＝AD＝25cm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC24（cm）， 故选：D． 7．（2025秋•侯马市期末）如图为一块光学直角棱镜的截面，记为Rt△ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB＝90°，BC＝10cm，现将一束单色光从AC边上的点O射入，折射后到达AB边上的点D，恰有CD⊥AB，再经过反射后，从点E射出，DE⊥BC，垂足为点E，已知BD＝6cm，则DE的长为（　　） A．8cm B．3.6cm C．4.8cm D．6.4cm 【分析】先由勾股定理计算得出CD＝8cm，再由等面积法计算即可得出结果． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， 在直角三角形BDC中，BC＝10cm，BD＝6cm， 由勾股定理得：CD8（cm）， ∵DE⊥BC， ∴S△BCDBD•CDBC•DE， ∴DE4.8（cm）， 故选：C． 8．（2025秋•苏州期末）某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（　　） A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm 【分析】结合勾股定理，先计算出BC的长度，令OB＝ x cm，则OC＝（x﹣2）cm，可根据OB2＝BC2+OC2得方程，解出方程即可． 【解答】解：根据题意，可得AB＝15cm，AC＝2cm， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝221（cm2）， 令OB＝xcm，则OC＝（x﹣2）cm， 由勾股定理得OB2＝BC2+OC2， 得方程x2＝221+（x﹣2）2， 解得， 故选：B． 9．（2025秋•桂平市期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面12cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置48cm（如图），则水的深度BC为（　　） A．60cm B．72cm C．90cm D．96cm 【分析】设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+12）cm，因荷花偏离原位置48cm，那么水深hcm与水平距离48cm组成一个以（h+12）cm为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+12）cm， 根据题意得（h+12）2＝482+h2，解得h＝90， 故选：C． 10．（2025秋•南郑区期末）如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升8cm至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了4cm，则橡皮筋原长AB的长是（　　） A．29cm B．30cm C．31cm D．32cm 【分析】设AC为xcm，可得AD的长为（x+2）cm，根据勾股定理，可求出AC、BC的长，则AC+BC即为橡皮筋原长． 【解答】解：由题意得：AC＝BC，AD＝DC，CD＝8cm，∠ACD＝90°， 设AC＝BC＝x， ∵橡皮筋的长度比原长伸长了4cm， ∴AD＝DC＝x+2， Rt△ACD中， 根据勾股定理，得：AC2+CD2＝AD2，即x2+82＝（x+2）2， 解得：x＝15， ∴AC＝CB＝15cm， ∴AB＝30cm． 故选：B． 二 填空题（共8题） 11．（2026春•南宁校级月考）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距10km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距　　 km． 【分析】由题意得，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，则有∠C＝90°，在Rt△ABC中利用余弦的定义即可求解． 【解答】解：由题意得，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴A，C两景点相距． 故答案为：． 12．（2025秋•拱墅区期末）某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形，如图，钢架AB的长为13米，中柱AD（D为BC的中点）的长为5米，则BC的长为　24　 米． 【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， 在Rt△ADB中，由勾股定理可得，BD （米）， ∴BC＝2BD＝24米， 故答案为：24． 13．（2025秋•曾都区期末）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示，若斜梁增加部分AE的长为1.2m，则立柱EF相比AD增高了　0.6　 m． 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AB＝AC＝4m，∠ADB＝90°，再由直角三角形的性质可得，求出BE＝5.2m，再由直角三角形的性质可得，即可得出结果． 【解答】解：∵立柱AD垂直平分横梁BC， ∴AB＝AC＝4m，∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴， ∵斜梁增加部分AE的长为1.2m，点E在BA的延长线上， ∴BE＝BA+AE＝5.2m， ∵EF⊥BC， ∴∠BFE＝90°， ∵∠B＝30°， ∴， ∵2.6﹣2＝0.6m， ∴立柱EF相比AD增高了0.6m， 故答案为：0.6． 14．（2025秋•永寿县期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 　2.7　 m． 【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论． 【解答】解：在Rt△AED中，∵∠AED＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米， ∴AD2＝0.72+2.42＝6.25． 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2， ∴AB2+1.52＝6.25， ∴AB2＝4． ∵AB＞0， ∴AB＝2米． ∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米． 答：小巷的宽度BE为2.7米， 故答案为：2.7． 15．（2025秋•洞口县期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30m的C处，过了2s后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为50m，AC⊥BC，这辆小汽车是否超速？　是　 （填“是”或者“否”） 【分析】根据勾股定理计算出BC的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【解答】解：由题意知，AC⊥BC，AC＝30m，AB＝50m， ∴， ∵小汽车从C到B用了2s， ∴小汽车的速度为40÷2＝20（m/s）， ∵20＞19， ∴小汽车是超速， 故答案为：是． 16．（2025秋•莱州市期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 　　 尺． 【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：设木柱长为x尺，根据题意得： AB2+BC2＝AC2， 则x2+82＝（x+3）2， 解得：x， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 17．（2025秋•古县期末）如图，受台风影响，一棵8米高的树被风刮断了，树顶落在离树根4米处，则折断处的高度AB为　3　 米． 【分析】假设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，根据勾股定理，可求出x的值，即可得出答案． 【解答】解：根据题意，可知三角形ABC为直角三角形， 根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2， 设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，结合BC＝4米， 可得方程（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3， 故AB的长度为3米， 故答案为：3． 18．如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　130　 cm． 【分析】取AB的中点O，由题意可知：OA＝OB＝AD＝BC，，设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝（x﹣5）cm，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【解答】解：如图，取AB的中点O， ∵双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm， ∴OA＝OB＝AD＝BC，， 设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝OA﹣OE＝（x﹣5）cm，AB＝2xcm， 在Rt△DEA中， ∵AD2＝AE2+DE2， ∴x2＝（x﹣5）2+252， 解得x＝65， ∴AB＝2×65＝130（cm）． 故答案为：130． 三、解答题（共4题） 19．小明买了一个风筝进行试放，如图1，牵风筝线的手到地面的距离AB为1.5m，假设牵风筝线的手A的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝C的水平距离BD为16m，手与风筝C之间的距离AC为20m，已知点A、B、D、C在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线剩1m的情况下，如图2，若想要让风筝的离地高度再上升1m至C′处，请判断小明能否成功，并说明理由． 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解； （2）延长DC至点C'，使CC'＝1m，连接AC'，根据勾股定理可得AC'＝5m，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥CD于点E， 则AE＝BD＝16m，AB＝DE＝1.5m，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：CE12（m）， ∴CD＝CE+DE＝12+1.5＝13.5（m）， 答：风筝离地面的垂直高度CD为13.5m； （2）小明能成功，理由如下： 如图2，延长DC至点C'，使CC'＝1m，连接AC'， ∴EC'＝CE+CC'＝12+1＝13（m）， 在Rt△AEC'中，AC'5（m）， ∵AC＝20m，余绳剩1m， ∴20+1＝21＞5， ∴能上升1m， 即小明能成功． 20．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为5米，若木马从B点运行到C点，上升的高度为1米，且绳索保持拉直的状态，求此时木马沿水平方向向前推进的距离． 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由题意得AB＝AC＝5米，BF＝1米，则AF＝AB﹣BF＝4米，再由勾股定理求出CF的长即可． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F， 根据题意得：AB＝AC＝5米，BF＝1米， ∴AF＝AB﹣BF＝5﹣1＝4（米）， 在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF3（米）， 答：此时木马沿水平方向向前推进的距离为3米． 21．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽AB与地面平行，墙面OC与地面OD垂直），点A到地面的距离为80cm．在图①中，一根长100cm的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点A处． （1）求小凳子顶点A与墙面OC的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处，若OC＝130cm，木杆BC比凳宽AB长70cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度． 【分析】（1）过A作AM垂直于墙面，垂足为点M，由勾股定理求出AM的长即可； （2）延长BA交墙面于点N，则∠BNC＝90°，设AB＝xcm，则CB＝（x+70）cm，BN＝（x+60）cm，CN＝50cm，在Rt△BCN中，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图①，过A作AM垂直于墙面，垂足为点M，则∠AMO＝90°， 由题意可知，OM＝80cm，OA＝100cm， 由勾股定理得：AM60（cm）， 答：小凳子顶点A与墙面OC的距离为60cm； （2）如图②，延长BA交墙面于点N，则∠BNC＝90°， 设AB＝xcm，则CB＝（x+70）cm，BN＝（x+60）cm，CN＝OC﹣ON＝130﹣80＝50（cm）， 在Rt△BCN中，由勾股定理得：BN2+CN2＝BC2， 即（x+60）2+502＝（x+70）2， 解得：x＝60， ∴AB＝60cm，BC＝60+70＝130（cm）， 答：小凳子宽AB的长度为60cm，木杆BC的长度为130cm． 22．【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内； （2）点D，F，B在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度CD＝EF＝1.5米，围墙的高度FG＝2.4米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外D处，无人机悬停在围墙上方G处，遥控器显示无人机到遥控器的距离CG＝4.1米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部A处，遥控器显示无人机到遥控器的距离AC＝15米； （3）无人机悬停在教学楼顶部A处，观测者从D向教学楼走到F处，遥控器显示无人机到遥控器的距离AE＝13米． 完成任务 （1）求观测点D到围墙的水平距离CE； （2）求教学楼的高度AB（忽略无人机自身尺寸）． 【分析】（1）依题意得四边形CDFE是矩形，根据CG＝4.1米，FG＝2.4米，GE＝GF﹣EF＝0.9米在Rt△CEG中，由勾股定理即可得出观测点D到围墙的水平距离CE的长； （2）延长CE交AB于点H，依题意得：AB⊥BD，CH∥BD，AE＝13米，AC＝15米，则BH＝CD＝1.5米，设EH＝x米，则CH＝CE+EH＝（4+x）米，在Rt△AHE和Rt△AHC，由勾股定理得得x＝5，继而得AH＝12米，由此即可得出教学楼的高度AB的长． 【解答】解：（1）依题意得：CD⊥BD，EF⊥BD，点G，E，F共线， ∴CD∥EF，∠CDF＝∠EFD＝90°， ∵CD＝EF＝1.5米， ∴四边形CDFE是矩形， ∴∠CEF＝90°， ∴∠CEG＝180°﹣∠CEF＝90°， ∴△CEG是直角三角形， ∵CG＝4.1米，FG＝2.4米， ∴GE＝GF﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9（米） 在Rt△CEG中，由勾股定理得：CE4（米）， 答：观测点D到围墙的水平距离CE为4米； （2）延长CE交AB于点H，如图所示： 依题意得：AB⊥BD，CH∥BD，AE＝13米，AC＝15米， ∴CH⊥AB，BH＝CD＝1.5米， ∴∠AHE＝90°， ∴△AHE和△AHC都是直角三角形， 设EH＝x米， ∴CH＝CE+EH＝（4+x）米， 在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH2＝AE2﹣EH2＝132﹣x2， 在Rt△AHC中，由勾股定理得：AH2＝AC2﹣CH2＝152﹣（4+x）2， ∴132﹣x2＝152﹣（4+x）2， 解得：x＝5， ∴AH12（米）， ∴AB＝AH+BH＝12+1.5＝13.5（米）， 答：教学楼的高度AB为13.5米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/16 17:24:42；用户：宋海侠；邮箱：13256308196；学号：12354775 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用（第2课时）——实际问题中的应用原卷版 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•如皋市期末）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025秋•龙海区期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机因物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（　　） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 3．（2025秋•高陵区期末）如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知∠AOB＝90°红方战舰A在雷达站O的北偏东60°方向，距离40nmile处，且红方战舰A与蓝方战舰B相距50nmile，则蓝方战舰B在雷达站O的（　　） A．南偏东30°方向，距离30nmile处 B．北偏东30°方向，距离30nmile处 C．南偏东60°方向，距离30nmile处 D．北偏东60°方向，距离30nmile处 4．（2025秋•濂溪区校级月考）将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中．如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm．则h的取值范围是（　　） A．h≤16cm B．h≥7cm C．7cm＜h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 5．（2025秋•高唐县期末）一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（　　） A．110mm B．170mm C．200mm D．240mm 6．（2025秋•浚县期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为（　　） A．13cm B．15cm C．20cm D．24cm 7．（2025秋•侯马市期末）如图为一块光学直角棱镜的截面，记为Rt△ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB＝90°，BC＝10cm，现将一束单色光从AC边上的点O射入，折射后到达AB边上的点D，恰有CD⊥AB，再经过反射后，从点E射出，DE⊥BC，垂足为点E，已知BD＝6cm，则DE的长为（　　） A．8cm B．3.6cm C．4.8cm D．6.4cm 8．（2025秋•苏州期末）某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（　　） A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm 9．（2025秋•桂平市期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面12cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置48cm（如图），则水的深度BC为（　　） A．60cm B．72cm C．90cm D．96cm 10．（2025秋•南郑区期末）如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升8cm至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了4cm，则橡皮筋原长AB的长是（　　） A．29cm B．30cm C．31cm D．32cm 二．填空题（共8小题） 11．（2026春•南宁校级月考）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距10km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距　 　 km． 12．（2025秋•拱墅区期末）某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形，如图，钢架AB的长为13米，中柱AD（D为BC的中点）的长为5米，则BC的长为　 　 米． 13．（2025秋•曾都区期末）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示，若斜梁增加部分AE的长为1.2m，则立柱EF相比AD增高了　 　 m． 14．（2025秋•永寿县期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 　 　 m． 15．（2025秋•洞口县期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过19m/s．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30m的C处，过了2s后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为50m，AC⊥BC，这辆小汽车是否超速？　 　 （填“是”或者“否”） 16．（2025秋•莱州市期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 　 　 尺． 17．（2025秋•古县期末）如图，受台风影响，一棵8米高的树被风刮断了，树顶落在离树根4米处，则折断处的高度AB为　 　 米． 18．如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　 　 cm． 三、解答题（共4题） 19．小明买了一个风筝进行试放，如图1，牵风筝线的手到地面的距离AB为1.5m，假设牵风筝线的手A的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝C的水平距离BD为16m，手与风筝C之间的距离AC为20m，已知点A、B、D、C在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线剩1m的情况下，如图2，若想要让风筝的离地高度再上升1m至C′处，请判断小明能否成功，并说明理由． 20．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为5米，若木马从B点运行到C点，上升的高度为1米，且绳索保持拉直的状态，求此时木马沿水平方向向前推进的距离． 21．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽AB与地面平行，墙面OC与地面OD垂直），点A到地面的距离为80cm．在图①中，一根长100cm的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在点A处． （1）求小凳子顶点A与墙面OC的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处，若OC＝130cm，木杆BC比凳宽AB长70cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度． 22．【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内； （2）点D，F，B在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度CD＝EF＝1.5米，围墙的高度FG＝2.4米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外D处，无人机悬停在围墙上方G处，遥控器显示无人机到遥控器的距离CG＝4.1米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部A处，遥控器显示无人机到遥控器的距离AC＝15米； （3）无人机悬停在教学楼顶部A处，观测者从D向教学楼走到F处，遥控器显示无人机到遥控器的距离AE＝13米． 完成任务 （1）求观测点D到围墙的水平距离CE； （2）求教学楼的高度AB（忽略无人机自身尺寸）． 学科网（北京）股份有限公司 $