第三单元 长方体和正方体（举一反三讲义）知识梳理+27个考点讲练+真题演练+难度分层练 共79题-2025-2026学年人教版数学五年级下册重难点培优讲义

2025-2026学年人教版数学五年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第三单元 长方体和正方体 【导图+知识精讲+27个考点讲练+真题演练+难度分层练 共79题】 （解析版） 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一：长方体的认识及特征 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）手工课上，聪聪要制作一个规格为4dm×2dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择的木板尺寸有（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】长方体有6个面，分为3组完全相同的对面，每组对面的长和宽分别对应长方体的长、宽、高的两两组合。先明确长方体的长、宽、高，再找出对应的三组面的尺寸，最后与木板尺寸进行匹配。 【规范解答】长方体三组对面尺寸：4dm×2dm、4dm×3dm、2dm×3dm ①4dm×2dm：与长方体第一组对面尺寸一致 ②3dm×3dm：长方体无此尺寸的面 ③2dm×3dm：与长方体第三组对面尺寸一致 ④4dm×3dm：与长方体第二组对面尺寸一致 需要选择的木板尺寸有①③④。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）中秋节是我国的传统节日，有赏月、吃月饼等民俗。园园给爷爷买了一盒月饼，并用一根丝带捆扎礼盒（如下图）。如果打结处用的丝带长30cm，求这根丝带的长度。 【答案】116cm 【思路引导】观察图形可知，丝带的长度由两部分组成：一部分是长方体不同的棱长的长度之和（包括两条长，两条宽和四条高 ），另一部分是打结处所用丝带的长度，把两部分加在一起即为这根丝带的长度；据此解答。 【规范解答】 （cm） 答：这根丝带的长度是116cm。 高频考点二：长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河北唐山·期中）已知一个长方体礼品盒长20厘米，宽20厘米，高15厘米。用丝带对礼品盒进行包扎，接头处长30厘米。至少需要丝带多少米？ 【答案】1.7米 【思路引导】观察丝带的包扎方式，包扎礼盒所需的丝带长度为2条长、2条宽和4条高，再加上接头处的30厘米，接着分别求出这些棱的长度总和，最后将单位换算成米，即可求出至少需要的丝带长度。 【规范解答】20×2＋20×2＋15×4＋30 ＝40＋40＋60＋30 ＝170（厘米） 170厘米＝1.7米 答：至少需要丝带1.7米。 【变式训练】（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个长方体，长6m，宽5m，高4m，它的棱长之和是( )m，放在地面上最小的占地面积是( )。 【答案】 60 20 【思路引导】第①空：棱长之和利用长方体12条棱分成“4条长、4条宽、4条高”，用（长＋宽＋高）×4计算出12条棱的总长度； 第②空：占地面积是底面面积（长×宽），需算出长×宽、长×高、宽×高三个面的面积，找最小值。 【规范解答】第①空： （6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（m） 第②空： 6×5＝30（） 6×4＝24（） 5×4＝20（）。 30＞24＞20 比较后最小面积是20。 高频考点三：长方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆忠县·期末）如图所示：这是一个长方体展开图，将它还原成长方体后，如果①号面在底面，那么( )号面在上面。 【答案】⑤ 【思路引导】长方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小长方形（中间隔着一个小长方形）是长方体的两个对面，据此判断出长方形的相对面，再根据底面的相对面是上面确定即可。 【规范解答】根据长方体的展开图可知：②号面和⑥号面相对，①号面和⑤号面相对，③号面和④号面相对；如果①号面在底面，则和①号面相对的⑤号面在上面。 这是一个长方体展开图，将它还原成长方体后，如果①号面在底面，那么⑤号面在上面。 【变式训练】（24-25五年级下·重庆巴南·期末）一张长方形纸长80厘米，宽12厘米，把它对折两次，打开后可围成一个高为12厘米的长方体的侧面，如果要给这个长方体匹配一个底面，那么底面积是( )平方厘米。 【答案】400 【思路引导】一张长方形纸长80厘米，宽12厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高12厘米的长方体的侧面，说明对折的是长方形的长；对折两次，长被平均分成4份，由此求得长方体的底面的边长为80÷4＝20（厘米），长方体的底面是一个正方形，进一步利用边长×边长＝正方形面积求得答案。 【规范解答】80÷4＝20（厘米） 20×20＝400（平方厘米） 所以底面积是400平方厘米。 高频考点四：正方体的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）填一填。 (1)图( )是正方体，它有( )个完全相同的面，每个面都是( )形，其中一个面的面积是( ) 。 (2)图( )是有且仅有4个面相同的( )体，这4个面的面积都是( ) 。 【答案】(1)②；6；正方； (2)①；长方； 【思路引导】（1）根据正方体的特征，图②的长、宽、高均为，所以图②是正方体。正方体有6个完全相同的面，每个面都是正方形。根据正方体面积公式（其中a为边长），即可求出一个面的面积； （2）图①的长、宽、高分别为、、，所以图①是有且仅有4个面相同的长方体。这4个相同的面是长为、宽为的长方形，根据长方形面积公式（其中a为长，b为宽），即可求出一个面的面积。 【规范解答】根据分析可知： （1）（） 图（②）是正方体，它有（6）个完全相同的面，每个面都是（正方）形，其中一个面的面积是（）。 （2）（） 图（①）是有且仅有4个面相同的（长方）体，这4 个面的面积都是（）。 【变式训练】（2025·山东·小升初真题）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，黄色面和绿色面朝上的可能性相等，需要有( )个面涂上红色。 【答案】4 【思路引导】根据题意，一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，要使红色面朝上的可能性最大，则涂红色面的数量最多；黄色面和绿色面朝上的可能性相等，则涂黄色面和绿色面的数量相同；据此解答。 【规范解答】如果黄色面和绿色面各1个，则红色面有6－1－1＝4（个）； 4＞1，1＝1；红色面数量需最多，黄色和绿色面数量相等，符合题意。 如果黄色面和绿色面各2个，则红色面有6－2－2＝2（个）； 三种颜色的面都是2个，不符合题意。 所以，需要（4）个面涂红色。 高频考点五：正方体有关棱长的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图所示的是用27个棱长均是2cm的小正方体拼成的大正方体。 （1）右面的三个图形中，哪一个是这个大正方体的面？（在括号里打“√”） （2）这个大正方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】（1）见详解 （2） 【思路引导】（1）已知大正方体由27个棱长为2cm的小正方体拼成，因为，所以大正方体每条棱长有3个小正方体。小正方体棱长为2cm，大正方体的棱长为。正方体的面是边长等于其棱长的正方形，即边长为6cm，据此做出判断； （2）根据正方体的特征，正方体有12条棱，且每条棱长度相等，已知大正方体的棱长为6cm，根据正方体棱长总和公式：正方体棱长总和＝棱长12，即可计算出结果。 【规范解答】（1）根据分析可知： （2） 答：这个大正方体的棱长总和是72厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·河南南阳·期中）李师傅用一根铁丝正好做了一个棱长是8厘米的正方体框架，后来他又用同样长的铁丝做了一个长方体框架，它的长是10厘米，宽是8厘米，接头处忽略不计，长方体框架的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【思路引导】铁丝长度相当于正方体和长方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。 【规范解答】8×12＝96（厘米） 96÷4－10－8 ＝24－10－8 ＝6（厘米） 答：长方体框架的高是6厘米。 高频考点六：正方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）如图，将这个展开图围成正方体后，与“树”字相对的是（    ）字。 A．黄 B．布 C．瀑 D．大 【答案】B 【思路引导】正方体展开图找相对面的规律：“同层隔一面”、“异层隔两面”、“相邻不相对”，对于不在同一行的，“Z”字端处的小正方形是正方体的对面据此解答即可。 【规范解答】根据正方体展开图的规律可知：将这个展开图围成正方体后，与“树”字相对的是布。 故答案为：B 【变式训练】（24-25五年级下·广西柳州·期末）小亮画正方体的展开图（如图）。请把漏画的一个面补充完整，使得这个展开图折叠后能围成一个正方体。 【答案】见详解 【思路引导】方体展开图一共有11种。 （1）“1－4－1”型，中间4个一连串，两边各一随便放； （2）“2－3－1”型，二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2－2－2”型，两两相连各错一； （4）“3－3”型，三个两排一对齐 正方体一共有6个面，题中已经有5个面，只需要再补充1个面即可。 【规范解答】如图： 高频考点七：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆江北·期中）下图是长方体的展开图，先添上虚线画出长方体的六个面，然后计算出长方体的表面积。（单位：分米） 【答案】图见详解；100平方分米 【思路引导】画图时，把左边部分分成4个面，把右边部分分成2个面。 用18分米减去（2×2）分米，算出两条长的长度，再除以2算出一条长的长度。长方体的宽是4分米，高是2分米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2解决。 【规范解答】 （18－2×2）÷2 ＝（18－4）÷2 ＝14÷2 ＝7（分米） （7×4＋7×2＋4×2）×2 ＝（28＋14＋8）×2 ＝50×2 ＝100（平方分米） 答：长方体的表面积是100平方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）计算下面图形的表面积。 【答案】98平方厘米 【思路引导】如图所示，立体图形的表面积等于正方体四个面的面积之和加上长方体的表面积，根据正方体的表面积和长方体的表面积公式，把数据代入公式即可解答。 【规范解答】 （平方厘米） 立体图形的表面积是98平方厘米。 高频考点八：长方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）万老师用铁皮制作一个环保回收箱（无盖），他已经画出其中的两个面，如图。（每个小方格的边长表示1dm） (1)回收箱上相交于一个顶点的三条棱的长度分别是( )dm、( )dm、( )dm。 (2)要保证制作回收箱所用的铁皮最少，请你在方格纸上画出回收箱的其他三个面。 (3)做这样一个回收箱至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】(1) 6 4 4 (2)见详解 (3)104dm2 【思路引导】（1）观察给出的两个面，结合长方体棱的特征（相交于同一顶点的三条棱分别对应长、宽、高），可以确定三条棱的长度分别为6dm、4dm、4dm。 （2）无盖回收箱缺少一个顶面，要让铁皮用量最少，需要让最大的面（6×4）作为底面，再围绕底面画出另外两个长×高的面和一个宽×高的面，保证各个面的边长与已知棱长相匹配。 （3）无盖长方体的表面积只需计算5个面的面积之和，即1个底面（6×4）＋2个长×高的侧面（6×4）＋2个宽×高的侧面（4×4）。 【规范解答】（1）回收箱上相交于一个顶点的三条棱的长度分别是6dm、4dm、4dm。 （2）画图如下： （3）6×4＋（6×4＋4×4）×2 ＝24＋（24＋16）×2 ＝24＋40×2 ＝24＋80 ＝104（dm2） 【变式训练】（24-25五年级下·河南三门峡·期末）为争创“五星”村部，河堤村决定重新粉刷会议室。会议室长8米，宽6米，高3米，门窗面积9.5平方米。 (1)算式“8×6”所解决的问题是( )。 (2)如果每平方米需要涂料0.5千克，一共需要涂料多少千克？ 【答案】(1)会议室地面（或天花板）的面积是多少平方米？ (2)61.25千克 【思路引导】（1）“8×6”是用会议室的长乘宽，长方形面积＝长×宽，可知解决的是会议室地面或天花板的面积问题。 （2）粉刷5个面，即天花板和四周的墙壁，地面不粉刷，总面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，再用总面积减去门窗的面积，得出实际需要粉刷的面积。最后用每平方米所需涂料的重量乘实际粉刷面积，即可求出一共需要的涂料重量。 【规范解答】（1）算式“8×6”所解决的问题是会议室地面（或天花板）的面积是多少平方米？ （2）8×6＋8×3×2＋6×3×2－9.5 ＝48＋24×2＋18×2－9.5 ＝48＋48＋36－9.5 ＝96＋36－9.5 ＝132－9.5 ＝122.5（平方米） 0.5×122.5＝61.25（千克） 答：一共需要涂料61.25千克。 高频考点九：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）计算下面图形的表面积。 【答案】294平方厘米 【思路引导】已知阴影部分的两个面的面积之和是98平方厘米，正方体有6个面，都是正方形，用98除以2求出一个正方形的面积，再乘6，即可算出表面积，据此解答。 【规范解答】 （平方厘米） 所以图形的表面积是294平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）园园用长为48dm的铁丝做了一个正方体框架，她想在正方体框架的外面贴上一层彩纸，至少要用多少平方分米的彩纸？（不计损耗） 【答案】 96平方分米 【思路引导】先根据正方体棱长总和（48dm）求出棱长：棱长之和除以12，再利用棱长计算正方体表面积，正方体表面积，即为所需彩纸面积。据此解答。 【规范解答】（分米） （平方分米） 答：至少要用96平方分米的彩纸。 高频考点十：正方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕头·期末）张老师做一个棱长是80厘米的正方体无盖鱼缸，每平方米的费用是160元，一共需要付多少元？ 【答案】512元 【思路引导】做一个棱长是80cm的正方体无盖鱼缸，所以其表面积为5个面的面积之和，正方体一个面的面积为：S＝a×a（a表示棱长），即无盖鱼缸面积为：S＝a×a×5，棱长是80厘米，把数据代入计算即可得出做这个无盖鱼缸所需要的面积，把计算得出的结果单位换算成平方米，然后再与160相乘，即可得出做这个无盖鱼缸所需要的费用。 【规范解答】80×80×5＝32000（平方厘米） 1平方米＝10000平方厘米 32000÷10000＝3.2（平方米） 160×3.2＝512（元） 答：一共需要付512元。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）涛涛和爸爸一起用36分米长的铁丝做了一个正方体孔明灯框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，这个孔明灯至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？ 【答案】45平方分米 【思路引导】根据题意，用36分米长的铁丝做了一个正方体孔明灯框架，那么正方体的棱长总和等于铁丝的长度；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体的棱长； 这个正方体孔明灯除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，即正方体的5个面要糊安全阻燃纸，根据“棱长×棱长×5”求出至少需要安全阻燃纸的面积。 【规范解答】36÷12＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：这个孔明灯至少需要45平方分米的安全阻燃纸。 高频考点十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 【答案】(1) 4 4 (2)64 【思路引导】（1）原来的长方体木料的宽＝高＝原来的长方体木料的长÷平均锯的段数，注意先要进行单位换算； （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料多的表面积＝（截的段数－1）×2×（横截面的棱长×棱长）。 【规范解答】（1）1.2米＝12分米 12÷3＝4（分米） 原来的长方体木料的宽是4分米，高是4分米。 （2）（3－1）×2×（4×4） ＝2×2×16 ＝4×16 ＝64（平方分米） 【变式训练】．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体。变成正方体后表面积增加了多少？ 【答案】96平方厘米 【思路引导】已知一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体，所以增加的表面积是4个相同长方形的面积之和，长方形的长为8厘米，宽为3厘米，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个长方形的面积，再乘4，即可算出变成正方体后表面积增加的部分，据此解答。 【规范解答】 （平方厘米） 答：变成正方体后表面积增加了96平方厘米。 高频考点十二：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昭通·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】552cm2 【思路引导】 如图可知，立体图形的表面积＝长是12cm、宽是8cm、高是10cm的长方体的表面积－2个长是5cm、宽是（12－8）cm长方形的面积和，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【规范解答】（12×8＋12×10＋8×10）×2－5×（12－8）×2 ＝（96＋120＋80）×2－5×4×2 ＝（216＋80）×2－5×4×2 ＝296×2－5×4×2 ＝592－20×2 ＝592－40 ＝552（cm2） 表面积是552cm2。 【变式训练】（24-25五年级下·天津和平·期末）把9个棱长是1厘米的小正方体摆在一起（如图）。如果从前面和上面看，所看到的图形面积之和是（    ）平方厘米。 A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【思路引导】观察可知，从前面可以看到6个小正方形，从上面可以看到5个小正方形，所看到的图形面积之和＝一个小正方形的面积×看到小正方形的总个数，据此解答。 【规范解答】1×1＝1（平方厘米） （6＋5）×1 ＝11×1 ＝11（平方厘米） 所以，所看到的图形面积之和是11平方厘米。 故答案为：B 高频考点十三：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 【答案】 8 12 6 【思路引导】大正方体顶点处的小正方体是三面涂色，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体数量固定为8块； 位于大正方体棱上（非顶点）的小正方体是两面涂色，大正方体棱长3厘米，每条棱上有3个小正方体，顶点处2个是三面涂色，所以每条棱上两面涂色的有3－2＝1个，正方体有12条棱，因此两面涂色的小正方体数量是1×12＝12块； 处于大正方体每个面中间（非棱、非顶点）的小正方体是一面涂色，每个面上一面涂色的小正方体组成的是边长为（3－2）的正方形，所以每个面上一面涂色的有（3－2）×（3－2）＝1个，正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体数量是1×6＝6块。 【规范解答】（3－2）×12 ＝1×12 ＝12（块） （3－2）×（3－2）×6 ＝1×1×6 ＝1×6 ＝6（块） 因此，三面涂色的小正方体有8块，两面涂色小正方体有12块，一面涂色小正方体有6块。 【变式训练】（24-25五年级下·河南商丘·期中）一些棱长是2分米的小正方体堆放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面的面积是( )平方分米。 【答案】 14 56 【思路引导】堆在墙角的小正方体，露在外面的面包括正面、上面、侧面。通过观察图形，分别数出三个方向露在外面的面的数量，再求和。每个面的面积是2×2＝4（平方分米），用面的数量乘单个面面积得总面积。公式：S＝a2（S是正方形面积，a是棱长）。 【规范解答】数露在外面的面：正面有5个，上面有5个，侧面有4个，总共5＋5＋4＝14（个）。 单个面面积：2×2＝4（平方分米） 总面积：14×4＝56（平方分米） 有14个面露在外面，露在外面的面的面积是56平方分米。 高频考点十四：体积的认识 【典例精讲】（23-24五年级下·福建莆田·期中）下列说法错误的是（    ）。 A．一个三位数，各个数位上的数字都是相同的，这个数一定是3的倍数 B．两个质数的积一定是合数 C．一个包装盒的体积是1dm3，它的底面积一定是1dm2 D．a是一个大于3的奇数，那么a－3的结果是偶数 【答案】C 【思路引导】A．3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数，据此解答； B．质数：除了1和它本身之外没有别的因数的数，合数：除了1和它本身还有别的因数的数，两个质数的积至少有因数：1，这两个质数本身，这两个质数的乘积，据此举例判断； C．包装盒的体积＝底面积×高，根据体积是1dm3，只能确定底面积和高的乘积是1dm3，不能确定具体的底面积，据此解答； D．奇数：不能被2整除的数，偶数：能被2整除的数，a是大于3的奇数，3是奇数，奇数－奇数＝偶数，据此解答。 【规范解答】A．一个三位数，各个数位上的数字都是相同的，则各个数位的数字之和能被3整除，所以这个数一定是3的倍数； B．假设这两个质数是3和5，3×5＝15，15的因数有：1，3，5，15；所以两个质数的积一定是合数； C．根据包装盒的体积是1dm3，可以确定包装盒的底面积和高的乘积是1dm3，不能确定底面积的具体数值； D．a和3都是奇数，奇数－奇数＝偶数，所以a－3的结果是偶数。 故答案为：C 【变式训练】（23-24五年级下·重庆巴南·期末）如下图所示，小球的体积是( )立方厘米，大球的体积是( )立方厘米。 【答案】 2 5 【思路引导】先看第2个图可知，放入1个大球和1个小球后水溢出了7立方厘米，因为溢出水的体积就是放入球的体积，所以1个大球和1个小球的体积和是7立方厘米；再看第3个图可知，放入了1个大球和4个小球后水溢出了13立方厘米，因为溢出水的体积就是放入球的体积，所以1个大球和4个小球的体积和是13立方厘米，那么3个小球的体积就是（13－7）立方厘米，再用除法求出1个小球的体积，最后用7立方厘米减去1个小球的体积求出1个大球的体积。 【规范解答】13－7＝6（立方厘米） 6÷（4－1） ＝6÷3 ＝2（立方厘米） 7－2＝5（立方厘米） 小球的体积是2立方厘米，大球的体积是5立方厘米。 【考点剖析】解题的关键是分析出溢出水的体积就是放入球的体积。 高频考点十五：体积单位的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）同学们学习体积后，在整理与复习的过程中发现：长度、面积、体积的测量有相同之处（如图），你认为相同之处是（    ）。 A．长度、面积、体积的单位 B．测量的图形 C．长度、面积、体积大小 D．都是数出相应测量单位的个数 【答案】D 【思路引导】长度用于衡量物体或线段的长短，常用单位有厘米（cm）、分米（dm）、米（m）等；面积用于衡量平面图形或物体表面的大小，常用单位有平方厘米（cm2）、平方分米（dm2）、平方米（m2）等；体积用于衡量立体图形所占空间的大小，常用单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）等；据此逐一分析选项。 【规范解答】A．长度单位有厘米、分米、米等，面积单位有平方厘米、平方分米、平方米等，体积单位有立方厘米、立方分米、立方米等，它们的单位不同，该选项错误； B．长度测量的是线段，面积测量的是平面图形，体积测量的是立体图形，它们测量的图形不同，该选项错误； C．长度测量线的长短，面积测量面的大小，体积测量空间的大小，它们所表示的意义不同，大小也无法直接比较，该选项错误； D．对于长度，图中线段长6cm，是数出有6个1cm的长度单位；对于面积，图形面积是6cm2，是数出有6个1cm2的面积单位；对于体积，图形体积是6cm3，是数出有6个1cm3的体积单位，所以长度、面积、体积的测量相同之处是都是数出相应测量单位的个数，该选项正确。 故答案为：D 【变式训练】（24-25五年级下·广东揭阳·期中）用棱长1cm的小正方体搭成下边的立体图形，它的体积是( )cm3。 【答案】24 【思路引导】先数出立体图形由多少个小正方体组成，每列有3个小正方体的有7列，有2个小正方体的有1列，有1个小正方体的有1列，一共有（3×7＋2＋1）个小正方体； 已知每个小正方体的棱长是1cm，则体积是1cm3，用每个小正方体的体积乘小正方体的个数，即是立体图形的体积。 【规范解答】3×7＋2＋1 ＝21＋2＋1 ＝24（个） 1×24＝24（cm3） 它的体积是24cm3。 高频考点十六：长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）按要求计算。 （1）求棱长总和。 （2）求表面积。 （3）求体积。 【答案】（1）48米 （2）94平方米 （3）60立方米 【思路引导】（1）长方体有12条棱，4条长，4条宽，4条高，所以棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 （3）长方体的体积＝长×宽×高。 【规范解答】（1）（5＋3＋4）×4 ＝12×4 ＝48（米） （2）（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方米） （3）5×3×4 ＝15×4 ＝60（立方米） 【变式训练】（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个长方体无盖玻璃鱼缸，长5.2分米、宽3分米、高4分米。 (1)为了加固鱼缸，在它的面与面之间的棱上涂玻璃胶，涂玻璃胶的长度是多少分米？ (2)做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？ (3)鱼缸里有高度为3.5分米的水，此时放入一块长3.4分米、宽2分米、高是1.5分米的铁块，水会不会溢出来？如果没有溢出，鱼缸空的部分的体积是多少立方分米？如果溢出，溢出部分水的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】(1)32.4分米 (2)0.812平方米 (3)水会溢出，溢出部分水的体积是2.4立方分米 【思路引导】（1）这个无盖长方体鱼缸缺少由长和宽组成的顶面，涂玻璃胶的棱是底面的两条长、两条宽和四条高，长度和＝长×2＋宽×2＋高×4。 （2）做这个无盖鱼缸需要的玻璃面积，等于底面的面积加上四个侧面的面积，所以玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，再将单位从平方分米换算为平方米； （3）先根据长方体体积＝长×宽×高，分别求出鱼缸内现有水的体积和铁块的体积，再将两者相加得到总体积；再用长×宽×鱼缸高度求出鱼缸的总容积；最后比较水和铁块的总体积与鱼缸容积的大小，若总体积大于容积则水会溢出，溢出体积等于总体积减去鱼缸容积，若总体积小于或等于容积则水不会溢出，剩余体积等于鱼缸容积减去总体积。 【规范解答】（1）5.2×2＋3×2＋4×4 ＝10.4＋6＋16 ＝32.4（分米） 答：涂玻璃胶的长度是32.4分米。 （2）5.2×3＋（5.2×4＋3×4）×2 ＝15.6＋（20.8＋12）×2 ＝15.6＋32.8×2 ＝15.6＋65.6 ＝81.2（平方分米） 81.2平方分米＝0.812平方米 答：做这个鱼缸要用0.812平方米的玻璃。 （3）水的体积：5.2×3×3.5＝54.6（立方分米） 铁块体积：3.4×2×1.5＝10.2（立方分米） 水和铁块总体积：54.6＋10.2＝64.8（立方分米） 鱼缸总容积：5.2×3×4＝62.4（立方分米） 64.8＞62.4，所以水会溢出。 溢出体积：64.8－62.4＝2.4（立方分米） 答：水会溢出，溢出部分水的体积是2.4立方分米。 高频考点十七：正方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·河南三门峡·期末）计算下面图形的表面积和体积。                          【答案】长方体：表面积是122cm2，体积是84cm3；             正方体：表面积是216cm2，体积是216cm3。 【思路引导】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高； 正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】长方体表面积：（7×3＋7×4＋3×4）×2 ＝（21＋28＋12）×2 ＝（49＋12）×2 ＝61×2 ＝122（cm2） 体积：7×3×4 ＝21×4 ＝84（cm3） 正方体表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm2） 体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）有一个长2分米、宽14厘米、高12厘米的长方体，先从这个长方体上切下一个尽可能大的正方体，然后从剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体，最后从第二次剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体。最后一次切下的这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【思路引导】从一个长方体上切下一个尽可能大的正方体，要以长方体最短的一条棱的长度为棱长进行切割。第一次切下的正方体的棱长是12厘米，2分米＝20厘米，20－12＝8（厘米），所以第二次切下的正方体的棱长是8厘米，14－8＝6（厘米），所以第三次切下的正方体的棱长是6厘米，根据正方体的体积计算公式可以求出它的体积。 【规范解答】2分米＝20厘米 （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：最后一次切下的这个正方体的体积是216立方厘米。 高频考点十八：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（24-25五年级下·云南玉溪·期末）一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 【答案】15厘米 【思路引导】已知长方体容器平放时，从里面量的长是20厘米，宽是16厘米，水深7厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出水的体积； 如果把这个容器竖起来放，再完全浸没一个西红柿，此时水的体积加上西红柿的体积等于一个底面积为“10×16”的长方体的体积，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水面的高度。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【规范解答】20×16×7 ＝320×7 ＝2240（立方厘米） 0.16立方分米＝160立方厘米 （160＋2240）÷（10×16） ＝2400÷160 ＝15（厘米） 答：此时水面的高度是15厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·云南昭通·期中）一个容积为500mL的量杯中装有300mL水。先放入4颗相同的小球，水未满，再放1颗，水满溢出。1颗小球的体积范围是（    ）cm3。 A．25～35 B．35～40 C．40～50 D．50～55 【答案】C 【思路引导】将单位毫升换算成立方厘米，放入4颗小球水未溢出，放入5颗小球后水溢出，用总容积减去水的体积，再分别除以4和除以5即可得出1颗小球的体积范围。 【规范解答】由题，，， 放入四颗小球时水未溢出， 则四颗小球的体积应小于， 故一颗小球的体积应小于； 放入五颗小球时水刚好溢出， 则五颗小球体积应大于， 故一颗小球体积应大于。 故答案为：C 高频考点十九：体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·江西宜春·期末）为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，县二小开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。乐乐参加这次活动时，将3个横截面的面积是9.6平方厘米，长是4厘米长方条橡皮泥改捏成一个长8厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）乐乐的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面（不含底面）涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）3.6厘米 （2）118.4平方厘米 【思路引导】（1）根据长方体体积＝横截面的面积×长，求出1个橡皮泥的体积，乘3是橡皮泥总体积；再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，即可求出底座的高； （2）涂色的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【规范解答】（1）9.6×4×3＝115.2（立方厘米） 115.2÷8÷4＝3.6（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是3.6厘米。 （2）8×4＋8×3.6×2＋4×3.6×2 ＝32＋57.6＋28.8 ＝118.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是118.4平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期中）把一个棱长是0.8米的正方体的钢块，铸造成一个长0.5米，宽0.4米的长方体钢柱，这个长方体钢柱高是多少米？（要求：方程法解答） 【答案】2.56米 【思路引导】根据已知条件，可依据铸造前后体积不变，据此列方程求解。正方体体积公式V＝a3（a为棱长），长方体体积公式V＝abh（a，b，h分别为长、宽、高）。 【规范解答】解：设这个长方体钢柱高是x米。 0.5×0.4×x＝0.8×0.8×0.8 0.2x＝0.512 0.2x÷0.2＝0.512÷0.2 x＝2.56 答：这个长方体钢柱高是2.56米。 高频考点二十：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·北京海淀·期末）用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】因为小正方体有12个，要拼成体积不变的长方体，12＝3×2×2，所以长方体的长、宽、高可以是3、2、2。观察原立体图形，要拼成长方体，可以把最顶层的1个单独的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边单独的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的单独的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面，此时刚好是一个长方体，且体积未有变化。 【规范解答】12＝3×2×2 长方体的长、宽、高可以是3、2、2。 把最顶层的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面。至少需要移动3个小正方体。 故答案为：B 【变式训练】（24-25五年级下·重庆南川·期末）聪聪把一根长4米的长方体木料沿横截面锯成3段，表面积增加了12平方分米，那么这根木料原来的体积是( )立方分米。 【答案】120 【思路引导】把长方体木料沿横截面锯成3段，增加了4个截面，增加的表面积÷增加的截面个数＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式计算即可。注意统一单位。 【规范解答】4米＝40分米 12÷（2×2） ＝12÷4 ＝3（平方分米） 3×40＝120（立方分米） 所以这根木料原来的体积是120立方分米。 高频考点二十一：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【答案】112dm2；60dm3 【思路引导】将凹下去的（3×2）的面平移到上边空缺处，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出完整的大长方体表面积，再用大长方体的表面积减去前后空缺处的2个边长2dm的正方形的面积，然后加上增加的左右2个长3dm，宽2dm的长方形的面积，即可求出这个图形的表面积； 这个图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，大长方体的长为6dm、宽为3dm、高为4dm，小长方体的长为3dm、宽为2dm、高为2dm，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【规范解答】（6×3＋6×4＋3×4）×2－2×2×2＋3×2×2 ＝（18＋24＋12）×2－8＋12 ＝54×2－8＋12 ＝108－8＋12 ＝112（dm2） 6×3×4－2×3×2 ＝72－12 ＝60（dm3） 这个图形的表面积是112dm2，体积是60dm3。 【变式训练】（24-25五年级下·广西百色·期末）有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 216 204 【思路引导】在大正方体的一个顶点处挖去一个小长方体，原来大正方体表面减少了两个长3dm，宽2dm的长方形和一个边长2dm正方形的面积，同时又增加了两个长3dm，宽2dm的长方形和一个边长2dm正方形的面积，所以表面积没有变化。体积是减少了1个长2dm，宽2dm，高3dm的长方体体积，所以在计算体积时，需要用大正方体的体积减小长方体的体积。 根据正方体表面积公式S＝6a2（a为正方体的棱长），大正方体的棱长为6dm，把数据代入表面积公式计算即可。正方体体积公式为：V＝a×a×a（a为正方体棱长），长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高）。大正方体的棱长为6dm，小长方体长2dm，宽2dm，高3dm，把数据分别代入公式计算后，再用大正方体体积减小长方体的体积即可。 【规范解答】6×62 ＝6×36 ＝216（dm2） 6×6×6－2×2×3 ＝216－12 ＝204（dm3） 该图形的表面积是216dm2，体积是204dm3。 高频考点二十二：容积单位间的进率与换算（升和毫升) 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕头·期末） 4.6m3＝( )dm3       850cm3＝( )mL＝( )L 【答案】 4600 850 0.85 【思路引导】1m3＝1000dm3，1L＝1000mL，1mL＝1cm3，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【规范解答】4.6×1000＝4600 4.6m3＝4600dm3 850÷1000＝0.85 850cm3＝850mL＝0.85L 【变式训练】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）5600立方厘米＝( )立方分米；3.2升＝( )毫升；960毫升＝( )立方分米；0.38立方米＝( )立方分米。 【答案】 5.6 3200 0.96 380 【思路引导】根据1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1立方分米＝1升，1立方米＝1000立方分米，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【规范解答】5600÷1000＝5.6（立方分米），5600立方厘米＝5.6立方分米。 3.2×1000＝3200（毫升），3.2升＝3200毫升。 960÷1000＝0.96（升）、0.96升＝0.96立方分米，960毫升＝0.96立方分米。 0.38×1000＝380（立方分米），0.38立方米＝380立方分米。 高频考点二十三：体积、容积单位的选择 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）在括号里填上合适的单位。 一个足球的体积大约是5300( )。     一个人一天大约喝水1.5( )。 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 【思路引导】常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米等，立方厘米常用于计量较小的物体，如弹珠、橡皮擦等的体积；立方分米通常描述一些稍大一点的物体，如小盆栽、小水桶等的体积；立方米常用于计量较大的物体或空间，如房屋的空间大小、集装箱的体积等。 常用的容积单位有升和毫升等，升一般用于计量较大容器的容积，比如油桶、大水壶；毫升常用于计量较小容器的容积，或者少量液体的体积，如口服液、小瓶药水。 【规范解答】足球的体积属于“较小但不算极小”的物体，1立方厘米大概是手指头尖的大小，5300个手指头尖的体积和足球大小接近，所以用立方厘米。 1升大概是1个粉笔盒的容积，1.5个粉笔盒的水量符合人一天的饮水量，所以用升。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）在括号里填上合适的单位。 周日，爸爸开车带小刚和妈妈去离家30( )的景区游玩。出发前爸爸先去楼下的超市买水，超市的占地面积约为300( )，从容积约500( )的冰柜内拿了3瓶500( )的矿泉水。在景区门口，妈妈给小刚买了一个体积约为5( )的气球。回家后，小刚拿出体积为300( )的日记本将今天的经历进行了记录。 【答案】 千米/km 平方米/m2 升/L 毫升/mL 立方分米/dm3 立方厘米/cm3 【思路引导】常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米等，立方厘米常用于计量较小的物体，如弹珠、橡皮擦等的体积；立方分米通常描述一些稍大一点的物体，如小盆栽、小水桶等的体积；立方米常用于计量较大的物体或空间，如房屋的空间大小、集装箱的体积等。 常用的容积单位有升和毫升等，升一般用于计量较大容器的容积，比如油桶、大水壶；毫升常用于计量较小容器的容积，或者少量液体的体积，如口服液、小瓶药水。 常用的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米等，平方厘米、平方分米用来度量较小的面积，平方米用来度量较大的面积，如房间面积、操场面积等。 常见的长度单位有毫米、厘米、分米、米、千米等。毫米常用于计量微小物体的长度，如硬币厚度、纸张厚度；厘米常用于计量小型物品的长度，如铅笔长度、手指宽度；分米常用于计量中等物品的长度，如课本宽度、手掌长度；米常用于计量日常物品或空间的长度，如身高、房间宽度；千米常用于计量较长距离，如城市间路程、公路长度等，据此解答即可。 【规范解答】1千米大概是标准操场2圈半的长度，家到景区的距离较远，和30个“操场2圈半”的长度差不多，所以用“千米”。 1平方米大概是1块地砖的面积，超市的占地规模和300块地砖铺成的面积相当，所以用“平方米”。 1升大概是1个粉笔盒的容积，冰柜的容纳量和500个粉笔盒装满的量差不多，所以用“升”。 1毫升大概是1个手指尖的体积，一瓶矿泉水的量和500个手指尖的体积相当，所以用“毫升”。 1立方分米大概是1个书包的体积，充气后气球的体积和5个书包的体积差不多，所以用“立方分米”。 1立方厘米大概是1颗骰子的体积，日记本的体积和300颗骰子堆起来的大小相当，所以用“立方厘米”。 高频考点二十四：体积（容积）大小的比较 【典例精讲】（23-24五年级下·河南信阳·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 23000dm3( )23m3   8.04L( )804mL ( )    ( )1.75 【答案】 ＝ ＞ ＞ ＜ 【思路引导】（1）根据1m3＝1000dm3，低级单位转化为高级单位除以进率，先把23000dm3转化为以m3为单位的数，再进行比较。 （2）根据1L＝1000mL，高级单位转化为低级单位乘进率，先把8.04L转化为以mL为单位的数，再进行比较。 （3）异分母分数比较大小的方法：先通分，把分母化成一样，比分子，分子越大，这个分数就越大，据此解答。 （4）把转化为小数，再进行比较。 【规范解答】23000dm3＝23m3 23＝23 8.04L＝8040mL 8040＞804 故，23000dm3＝23m3         8.04L＞804mL                                 【变式训练】（21-22五年级下·河南洛阳·期末）观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（    ）。    A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】水面升高的体积就是浸入水中物体的体积，容器相同，比较水面升高的高度即可。 【规范解答】放入小球水面升高：9.5－8＝1.5 放入珊瑚水面升高：12－9.5＝2.5 2.5＞1.5，珊瑚大。 故答案为：B 【考点剖析】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为长方体进行分析。 高频考点二十五：体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（25-26六年级上·河南周口·月考）将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装( )毫升牛奶。 【答案】(1)E (2)240 【思路引导】（1）在长方体的展开图中，相对的面不相邻，A面与E面相对，所以当A面在下面时，E面在上面。 （2）根据图中的数据可知长方体长为10厘米、宽为6厘米、高为4厘米、利用长方体体积公式＝长×宽×高，计算体积，再根据1立方厘米＝1毫升，将体积换算成毫升为单位即可。 【规范解答】（1）如果A面在下面，那么E面在上面。 （2）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装240毫升牛奶。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）一个长方体的水池，从里面量，尺寸如下图。水池内固定了一个小长方体铁块。铁块底面是边长10厘米的正方形，高是24厘米。现在往水池里面注水，水管以每分钟4.2立方分米的流量注水，至少需要多长时间能将小长方体淹没？ 【答案】8分钟 【思路引导】要淹没小长方体铁块，需注入的水的体积＝（水池底面积－铁块底面积）×铁块的高度（即淹没所需的水深），再根据时间＝注水体积÷注水流量计算时间。 【规范解答】计算需注水的体积： （50×30－10×10）×24 ＝（1500－100）×24 ＝1400×24 ＝33600（立方厘米） 33600立方厘米＝33.6立方分米 计算注水时间： 33.6÷4.2＝8（分钟） 答：至少需要8分钟能将小长方体淹没。 高频考点二十六：长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·新疆·期中）一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 【答案】500平方厘米；1000立方厘米 【思路引导】无盖纸板的面积＝长方形纸板的面积－4个小正方形的面积； 纸盒的容积＝纸盒的长×纸盒的宽×纸盒的高，纸盒的长＝长方形纸板的长－5×2，纸盒的宽＝长方形纸板的宽－5×2，纸盒的高为5cm。 【规范解答】30×20－5×5×4 ＝600－25×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） （30－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（30－10）×（20－10）×5 ＝20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 答：这个纸盒所用的纸板是500平方厘米，纸盒的容积是1000立方厘米。 【变式训练】（2025五年级下·浙江杭州·专题练习）一个无盖的长方体玻璃缸，底面长8分米，宽4分米，高6分米。制作这个玻璃缸需要玻璃的面积是( )平方分米，这个玻璃缸的容积是( )升。（玻璃的厚度不计） 【答案】 176 192 【思路引导】已知一个无盖的长方体玻璃缸，底面长8分米，宽4分米，高6分米，根据无盖长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入长、宽、高的数值，求出制作这个玻璃缸需要玻璃的面积。因为玻璃厚度不计，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出体积，再依据1立方分米等于1升的换算关系，将体积单位转换为容积单位，即可得到玻璃缸的容积。 【规范解答】8×4＋（8×6＋4×6）×2 ＝32＋（48＋24）×2 ＝32＋72×2 ＝32＋144 ＝176（平方分米） 8×4×6 ＝32×6 ＝192（立方分米） 192立方分米＝192升 所以。制作这个玻璃缸需要玻璃的面积是176平方分米，这个玻璃缸的容积是192升。 高频考点二十七：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 【答案】500 【思路引导】石头的体积＝长方体容器的长×宽×（原来水的高度－拿出石块后水面的高度＋原来没有水的高度）。 【规范解答】15－3＝12（厘米） 10×10×（12－10＋3） ＝10×10×（2＋3） ＝10×10×5 ＝100×5 ＝500（立方厘米） 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）杨小渔家有一个高25cm的无盖无水观赏鱼缸（如下图），现在里面放着一块高15cm、体积为的假山石。如果水龙头以每分钟的流量往观赏鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将这块假山石淹没？ 【答案】6.45分钟 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高15厘米时水的体积，再减去假山石的体积就是应注入水的体积； 应注入水的体积除以每分钟水的流量即可确定将假山石完全淹没所用的时间。 【规范解答】 （立方厘米） （分） 答：至少需要6.45分钟才能将这块假山石淹没。 【真题演练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 【答案】50 【思路引导】把正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积比原来增加了2个切面的面积，切面的面积与正方体的任意一个面的面积一样。 【规范解答】5×5×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 即将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加50平方厘米。 【真题演练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为( )平方厘米。 【答案】216 【思路引导】首先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长，再分别计算每个小正方体的体积（正方体体积＝棱长×棱长×棱长），再将它们相加得到大正方体的体积，最后根据大正方体的体积求出大正方体的棱长并计算表面积。 【规范解答】第一个：54÷6＝9，因为9＝3×3，所以棱长为3厘米； 第二个：96÷6＝16，因为16＝4×4，所以棱长为4厘米； 第三个：150÷6＝25，因为25＝5×5，所以棱长为5厘米。 第一个体积：3×3×3＝27（立方厘米）； 第二个体积：4×4×4＝64（立方厘米）； 第三个体积：5×5×5＝125（立方厘米）； 大正方体的体积： 27＋64＋125 ＝91＋125 ＝216（立方厘米） 因为216＝6×6×6，所以大正方体的棱长为6厘米。 大正方体的表面积： （6×6）×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 因此，将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为216平方厘米。 【考点剖析】本题核心是通过小正方体的表面积求出棱长，再结合体积关系确定大正方体棱长，最终利用表面积公式求解。关键在于熟练运用正方体的表面积与体积公式，把握“体积不变”这一隐含条件。 【真题演练3】（2025·四川绵阳·小升初真题）两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【答案】0.0304平方米 【思路引导】把两个长方体面积最小的面拼成一起，拼成的长方体的表面积最大，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入求出一个长方体的表面积，再乘2，等于2个长方体的表面积和，然后减去2个最小面的面积，即等于拼成后的长方体的最大表面积，最后把平方厘米换算成平方米即可解答。 【规范解答】（10×4＋10×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝82×2×2－24 ＝328－24 ＝304（平方厘米） ＝0.0304平方米 答：拼成后的长方体表面积是0.0304平方米。 【真题演练4】（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【思路引导】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【规范解答】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 【真题演练5】（2025·湖南邵阳·小升初真题）一个四周用木条围成的花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.8米。 （1）做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米木条？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米泥土？（木条厚度忽略不计） 【答案】（1）4.8平方米；（2）1.8立方米 【思路引导】（1）四周需要的木条面积是长方体四个侧面的总面积。由于底面是正方形，四个侧面为形状相同的长方形，每个侧面的面积为，总面积为。 （2）填泥土的体积等于长方体体积，计算公式为，底面积为，再乘高0.8。 【规范解答】（1） （平方米） 答：四周大约需要4.8平方米木条。 （2） （立方米） 答：大约需要1.8立方米泥土。 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级下·江西赣州·期中）用一根52米长的铁丝，正好可以焊成长6米，宽4米，高（    ）米的长方体教具。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”代入数值即可计算长方体的高。 【规范解答】52÷4－6－4 ＝13－6－4 ＝7－4 ＝3（米） 用一根52米长的铁丝，正好可以焊成长6米，宽4米，高3米的长方体教具。 2．（24-25五年级下·新疆·期中）长方体木箱的体积与容积比较（    ）。 A．一样大 B．体积大 C．容积大 D．无法比较大小 【答案】B 【思路引导】体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积。 【规范解答】求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。因此长方体木箱的体积与容积比较体积大。 3．（24-25五年级下·全国·课后作业），，，这组数据中，体积最大的是（    ），体积最小的是（    ）。 A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【思路引导】将各体积单位统一为根据体积单位换算关系： 1＝1000， 1＝0.001，208000换算为：208000乘0.001为208，20.8换算为：20.8乘1000为20800， 2.08换算为： 2.08乘1000为2080，2800保持不变； 统一单位后，各体积为：，，，，比较数值大小： ，所以 【规范解答】 故答案为：B 4．（24-25五年级下·河北唐山·期中）把一根长100厘米的铁丝，做成一个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体后，还剩下( )厘米。 【答案】20 【思路引导】要求剩余铁丝的长度，需要先计算做长方体所需的铁丝长度，即长方体的棱长总和。长方体的棱长总和＝4×（长＋宽＋高），再用总长度减去棱长总和，即可得到剩余长度。 【规范解答】4×（10＋6＋4） ＝4×20 ＝80（厘米） 100－80＝20（厘米） 所以，还剩下20厘米。 5．（24-25五年级下·河北唐山·期中）一个长方体（非正方体）的宽和高都是7.5厘米，它的6个面中有( )个面是正方形。 【答案】2 【思路引导】长方体有6个面，当长方体的两个维度长度相等时，由这两个维度组成的一组相对面就是正方形。其余面是完全相同的长方形。 【规范解答】由于长方体的宽和高都是7.5厘米，且长方体是非正方体，即长不等于7.5厘米，长方体的面分为三组：前后面（由长和高组成）、左右面（由宽和高组成）、上下面（由长和宽组成）。左右面中宽和高相等，都是7.5厘米，所以左右面是正方形；而其他面由长与宽或长与高组成，这些面都是长方形。所以，只有2个面是正方形。 6．（24-25五年级下·河北唐山·期中）用2个棱长是6厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方厘米。长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 72 360 【思路引导】减少的表面积等于两个接触面的面积。每个接触面的面积是棱长×棱长。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，代入数据求出一个正方体的表面积，进而得出2个正方体的表面积，再减去减少的面积就是长方体的表面积。 【规范解答】2×（6×6） ＝2×36 ＝72（平方厘米） 6×（6×6）×2－72 ＝6×36×2－72 ＝432－72 ＝360（平方厘米） 7．（24-25五年级下·河南焦作·期中）将5个棱长1cm的小正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少了6cm2。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】当5个棱长1cm的小正方体拼成一个长方体时，只能拼成1×5的长方体（一字排开）。拼合过程中，有4个接触面，每个接触面导致两个小正方体的面重合，减少2个面的表面积，即共减少。每个面的面积为1cm2，据此计算减少的面。 【规范解答】小正方体的每个面的面积为1×1＝1（cm2） （cm2） 表面积比原来减少了8cm2，不是6cm2，原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）有12条棱、6个面和8个顶点的立体图形一定是正方体。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】长方体也具有12条棱、6个面和8个顶点的特征，但长方体不一定是正方体（例如长方体的长、宽、高可能不相等）。因此，具有这些特征的立体图形不一定是正方体。 【规范解答】长方体有12条棱、6个面和8个顶点。因此，有12条棱、6个面和8个顶点的立体图形不一定是正方体，也可能是长方体。原题说法错误。 故答案为：× 9．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 【答案】800平方厘米 【思路引导】由图形可知，这个组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体侧面积的和。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的侧面积（4个面的面积）＝棱长×棱长×4，把数据分别代入计算。 【规范解答】（15×10＋8×10＋15×8）×2＋5×5×4 ＝（150＋80＋120）×2＋25×4 ＝350×2＋25×4 ＝700＋100 ＝800（平方厘米） 这个图形的表面积是800平方厘米。 10．（24-25五年级下·河北唐山·期中）一间长方体仓库，长8米，宽6米，高4米。仓库装有一扇门，门宽2米，高2米（如图）。给仓库四面墙和地面涂上防潮漆，每平方米用漆0.8千克，至少需要买多少千克防潮漆？ 【答案】124.8千克 【思路引导】根据题意可知，涂漆的面积＝底、左、右、前、后面的面积－门的面积，据此用长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门的宽×门的高即可求出涂漆的面积，再乘0.8即可求出需要买多少千克防潮漆。 【规范解答】8×6＋（8×4＋6×4）×2－2×2 ＝48＋（32＋24）×2－4 ＝48＋56×2－4 ＝48＋112－4 ＝160－4 ＝156（平方米） 156×0.8＝124.8（千克） 答：至少需要买124.8千克防潮漆。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·江西赣州·期中）把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个长方体。下图中（    ）的切法增加的表面积最多。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】根据切面处会增加两个面的面积，逐项计算各种切法增加的表面积再比较。 【规范解答】A．增加的表面积是2个底面面积：（平方厘米）。 B．增加的表面积是2个侧面面积：（平方厘米）。 C．增加的表面积是2个正面面积：（平方厘米）。 2．（24-25五年级下·河南焦作·期中）在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（    ）cm2的玻璃。 A．126 B．111 C．96 D．84 【答案】C 【思路引导】通过观察图形可知，这个鱼缸的长是6cm，宽是5cm，高是3cm，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高，把数据代入公式解答即可。 【规范解答】6×5＋6×3×2＋5×3×2 ＝30＋36＋30 ＝66＋30 ＝96（） 制作这个玻璃鱼缸至少需要96的玻璃。 3．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面是一个正方体的展开图，将它折叠成一个正方体，可能是图形（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先看展开图是“一四一”型，带三角形（△）的面是关键特征面，折叠时关注相邻的面图案间的关系，据此逐个分析选项。 【规范解答】A．横线与△面的方向不对，所以A不符合； B．展开折叠后图中中间一行的横线面摆在前面，且呈现横线状，可形成B的结构，符合题意； C．选项中两条横线相连，与展开图不符，所以C不符合； D．选项中有三个空白面，与展开图不符，所以D不符合。 将它折叠成一个正方体，可能是图形。 4．（24-25五年级下·河北唐山·期中）长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的表面积就扩大到原来的( )倍。 【答案】4 【思路引导】长方体的表面积公式：表面积＝2（ab＋ah＋bh）其中a是长，b是宽，h是高。 【规范解答】当长、宽、高都扩大到原来的2倍时，新的长、宽、高分别为2a、2b、2h，代入公式计算新表面积： ＝2[（2a）（2b）＋（2a）（2h）＋（2b）（2h）] ＝2[4ab＋4ah＋4bh] ＝8（ab＋ah＋bh）​ 对比原来的表面积S＝2（ab＋ah＋bh），可以发现＝4S，因此表面积扩大到原来的4倍。 5．（24-25五年级下·河北唐山·期中）如图所示，是一个长方体的展开图，这个长方体有两个相对的面是正方形。这个长方体的表面积是( )。 【答案】432 【思路引导】先根据展开图中24cm是4条相等的边长，用24除以4求出正方形的边长是6cm，也就是长方体的宽和高都是6cm，长方体的长是15cm，再根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值，求出长方体的表面积。 【规范解答】24÷4＝6（cm） （15×6＋15×6＋6×6）×2 ＝（90＋90＋36）×2 ＝216×2 ＝432（cm2） 6．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个长方体的装水容器，长8分米，宽5分米，把一石块完全放入水中后水面从原来的6分米上升为10.5分米，石块的体积是( )立方分米。 【答案】180 【思路引导】石块完全放入水中，上升的水的体积就是石块的体积。上升的水形成长方体，长方体体积＝长×宽×高（这里“高”是水面上升的高度）。水面从6分米上升到10.5分米，上升高度为10.5－6分米；容器长8分米、宽5分米，所以石块体积＝长×宽×上升高度。 【规范解答】8×5×（10.5－6） ＝8×5×4.5 ＝40×4.5 ＝180（立方分米） 7．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 从一个长方体的一个角挖去一个小正方体，求挖去后图形的体积。 【答案】292立方厘米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；分别计算出长方体和正方体的体积；再用长方体的体积减去正方体的体积。 【规范解答】10×5×6－2×2×2 ＝50×6－4×2 ＝300－8 ＝292（立方厘米） 8．（24-25五年级下·江西赣州·期中）“水立方”与“鸟巢”被称为2008北京奥运会的两大标志性建筑，你知道吗？在“水立方”内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深2.5米。 (1)如果沿着游泳池走一圈，一共要走多少米？ (2)如果给游泳池的四周和池底铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】(1)150米 (2)1625平方米 【思路引导】（1）求沿泳池走一圈的长度，就是求泳池底面长方形的周长，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，将长50米、宽25米代入即可解答。 （2）求铺瓷砖的面积，是求长方体无盖时的表面积，根据无盖长方体表面积公式：表面积  ＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把长50米、宽25米、深2.5米代入公式，分别求出池底和四周的面积再求和。 【规范解答】（1）（50＋25）×2 ＝75×2 ＝150（米） 答：一共要走150米。 （2）50×25＋（50×2.5＋25×2.5）×2 ＝1250＋（125＋62.5）×2 ＝1250＋187.5×2 ＝1250＋375 ＝1625（平方米） 答：铺瓷砖的面积是1625平方米。 9．（24-25五年级下·河南焦作·期中）龙门小学游泳馆建有一个四季恒温的长方体游泳池，长50米，宽21米，深1.5米，具备24小时水循环过滤系统，为同学们提供了安全、规范、专业的游泳设施。 (1)如果给游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要多少平方米的瓷砖？ (2)如果游泳池内水深1.2米，那么游泳池共注入了多少立方米的水？ 【答案】(1)1263平方米 (2)1260立方米 【思路引导】（1）给游泳池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积＝长方体的底面积＋四周的面积，贴瓷砖的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可； （2）注入的水的体积＝长×宽×水深，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）50×21＋（50×1.5＋21×1.5）×2 ＝50×21＋（75＋31.5）×2 ＝1050＋106.5×2 ＝1050＋213 ＝1263（平方米） 答：一共需要1263平方米的瓷砖。 （2）50×21×1.2 ＝1050×1.2 ＝1260（立方米） 答：游泳池共注入了1260立方米的水。 10．（24-25五年级下·浙江温州·期中）为了测量一块鹅卵石的体积，四位同学做了如下实验，但实验步骤被打乱了。 ①小明准备了一个长方体玻璃缸，并从里面测出玻璃缸的长是20cm，宽是8cm。 ②小林用直尺量出玻璃缸的高是15cm。 ③小兰往玻璃缸中倒入10cm深的水。 ④小红把这块鹅卵石放入玻璃缸中，发现水正好淹没这块鹅卵石，测出水面此时高度为13cm。 (1)要求这块鹅卵石的体积，上面的信息中必须用到( )。（填序号） (2)根据他们的测量结果，算出这块鹅卵石的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)①③④ (2)480立方厘米 【思路引导】（1）要求这块鹅卵石的体积，需要知道水面上升的高度，玻璃缸的长和宽。 （2）这块鹅卵石的体积＝长方体玻璃缸的长×宽×（鹅卵石放入玻璃缸中水面的高度－原来水面的高度）。 【规范解答】（1）上面的信息中必须用到①③④。 （2）20×8×（13－10） ＝160×3 ＝480（立方厘米） 答：这块鹅卵石的体积是480立方厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学五年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第三单元 长方体和正方体 【导图+知识精讲+27个考点讲练+真题演练+难度分层练 共79题】 （原卷版） 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一：长方体的认识及特征 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）手工课上，聪聪要制作一个规格为4dm×2dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择的木板尺寸有（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）中秋节是我国的传统节日，有赏月、吃月饼等民俗。园园给爷爷买了一盒月饼，并用一根丝带捆扎礼盒（如下图）。如果打结处用的丝带长30cm，求这根丝带的长度。 高频考点二：长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河北唐山·期中）已知一个长方体礼品盒长20厘米，宽20厘米，高15厘米。用丝带对礼品盒进行包扎，接头处长30厘米。至少需要丝带多少米？ 【变式训练】（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个长方体，长6m，宽5m，高4m，它的棱长之和是( )m，放在地面上最小的占地面积是( )。 高频考点三：长方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆忠县·期末）如图所示：这是一个长方体展开图，将它还原成长方体后，如果①号面在底面，那么( )号面在上面。 【变式训练】（24-25五年级下·重庆巴南·期末）一张长方形纸长80厘米，宽12厘米，把它对折两次，打开后可围成一个高为12厘米的长方体的侧面，如果要给这个长方体匹配一个底面，那么底面积是( )平方厘米。 高频考点四：正方体的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）填一填。 (1)图( )是正方体，它有( )个完全相同的面，每个面都是( )形，其中一个面的面积是( ) 。 (2)图( )是有且仅有4个面相同的( )体，这4个面的面积都是( ) 。 【变式训练】（2025·山东·小升初真题）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，黄色面和绿色面朝上的可能性相等，需要有( )个面涂上红色。 高频考点五：正方体有关棱长的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图所示的是用27个棱长均是2cm的小正方体拼成的大正方体。 （1）右面的三个图形中，哪一个是这个大正方体的面？（在括号里打“√”） （2）这个大正方体的棱长总和是多少厘米？ 【变式训练】（24-25五年级下·河南南阳·期中）李师傅用一根铁丝正好做了一个棱长是8厘米的正方体框架，后来他又用同样长的铁丝做了一个长方体框架，它的长是10厘米，宽是8厘米，接头处忽略不计，长方体框架的高是多少厘米？ 高频考点六：正方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州黔南·期末）如图，将这个展开图围成正方体后，与“树”字相对的是（    ）字。 A．黄 B．布 C．瀑 D．大 【变式训练】（24-25五年级下·广西柳州·期末）小亮画正方体的展开图（如图）。请把漏画的一个面补充完整，使得这个展开图折叠后能围成一个正方体。 高频考点七：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆江北·期中）下图是长方体的展开图，先添上虚线画出长方体的六个面，然后计算出长方体的表面积。（单位：分米） 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）计算下面图形的表面积。 高频考点八：长方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）万老师用铁皮制作一个环保回收箱（无盖），他已经画出其中的两个面，如图。（每个小方格的边长表示1dm） (1)回收箱上相交于一个顶点的三条棱的长度分别是( )dm、( )dm、( )dm。 (2)要保证制作回收箱所用的铁皮最少，请你在方格纸上画出回收箱的其他三个面。 (3)做这样一个回收箱至少需要铁皮多少平方分米？ 【变式训练】（24-25五年级下·河南三门峡·期末）为争创“五星”村部，河堤村决定重新粉刷会议室。会议室长8米，宽6米，高3米，门窗面积9.5平方米。 (1)算式“8×6”所解决的问题是( )。 (2)如果每平方米需要涂料0.5千克，一共需要涂料多少千克？ 高频考点九：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）计算下面图形的表面积。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）园园用长为48dm的铁丝做了一个正方体框架，她想在正方体框架的外面贴上一层彩纸，至少要用多少平方分米的彩纸？（不计损耗） 高频考点十：正方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕头·期末）张老师做一个棱长是80厘米的正方体无盖鱼缸，每平方米的费用是160元，一共需要付多少元？ 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）涛涛和爸爸一起用36分米长的铁丝做了一个正方体孔明灯框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，这个孔明灯至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？ 高频考点十一：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 【变式训练】．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体。变成正方体后表面积增加了多少？ 高频考点十二：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昭通·期中）计算下面图形的表面积。 【变式训练】（24-25五年级下·天津和平·期末）把9个棱长是1厘米的小正方体摆在一起（如图）。如果从前面和上面看，所看到的图形面积之和是（    ）平方厘米。 A．12 B．11 C．10 D．9 高频考点十三：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 【变式训练】（24-25五年级下·河南商丘·期中）一些棱长是2分米的小正方体堆放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面的面积是( )平方分米。 高频考点十四：体积的认识 【典例精讲】（23-24五年级下·福建莆田·期中）下列说法错误的是（    ）。 A．一个三位数，各个数位上的数字都是相同的，这个数一定是3的倍数 B．两个质数的积一定是合数 C．一个包装盒的体积是1dm3，它的底面积一定是1dm2 D．a是一个大于3的奇数，那么a－3的结果是偶数 【变式训练】（23-24五年级下·重庆巴南·期末）如下图所示，小球的体积是( )立方厘米，大球的体积是( )立方厘米。 高频考点十五：体积单位的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）同学们学习体积后，在整理与复习的过程中发现：长度、面积、体积的测量有相同之处（如图），你认为相同之处是（    ）。 A．长度、面积、体积的单位 B．测量的图形 C．长度、面积、体积大小 D．都是数出相应测量单位的个数 【变式训练】（24-25五年级下·广东揭阳·期中）用棱长1cm的小正方体搭成下边的立体图形，它的体积是( )cm3。 高频考点十六：长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）按要求计算。 （1）求棱长总和。 （2）求表面积。 （3）求体积。 【变式训练】（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个长方体无盖玻璃鱼缸，长5.2分米、宽3分米、高4分米。 (1)为了加固鱼缸，在它的面与面之间的棱上涂玻璃胶，涂玻璃胶的长度是多少分米？ (2)做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？ (3)鱼缸里有高度为3.5分米的水，此时放入一块长3.4分米、宽2分米、高是1.5分米的铁块，水会不会溢出来？如果没有溢出，鱼缸空的部分的体积是多少立方分米？如果溢出，溢出部分水的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 高频考点十七：正方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·河南三门峡·期末）计算下面图形的表面积和体积。                【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）有一个长2分米、宽14厘米、高12厘米的长方体，先从这个长方体上切下一个尽可能大的正方体，然后从剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体，最后从第二次剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体。最后一次切下的这个正方体的体积是多少立方厘米？ 高频考点十八：体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（24-25五年级下·云南玉溪·期末）一个完全封闭的盛有水的长方体容器，从里面量长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（如下面左图）。如果把这个容器竖起来放，打开盖子（水无渗漏），放入一个体积为0.16立方分米的西红柿（完全浸没），此时水面的高度是多少？ 【变式训练】（24-25五年级下·云南昭通·期中）一个容积为500mL的量杯中装有300mL水。先放入4颗相同的小球，水未满，再放1颗，水满溢出。1颗小球的体积范围是（    ）cm3。 A．25～35 B．35～40 C．40～50 D．50～55 高频考点十九：体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·江西宜春·期末）为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，县二小开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。乐乐参加这次活动时，将3个横截面的面积是9.6平方厘米，长是4厘米长方条橡皮泥改捏成一个长8厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）乐乐的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面（不含底面）涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期中）把一个棱长是0.8米的正方体的钢块，铸造成一个长0.5米，宽0.4米的长方体钢柱，这个长方体钢柱高是多少米？（要求：方程法解答） 高频考点二十：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·北京海淀·期末）用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】（24-25五年级下·重庆南川·期末）聪聪把一根长4米的长方体木料沿横截面锯成3段，表面积增加了12平方分米，那么这根木料原来的体积是( )立方分米。 高频考点二十一：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【变式训练】（24-25五年级下·广西百色·期末）有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 高频考点二十二：容积单位间的进率与换算（升和毫升) 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕头·期末） 4.6m3＝( )dm3       850cm3＝( )mL＝( )L 【变式训练】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）5600立方厘米＝( )立方分米；3.2升＝( )毫升；960毫升＝( )立方分米；0.38立方米＝( )立方分米。 高频考点二十三：体积、容积单位的选择 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）在括号里填上合适的单位。 一个足球的体积大约是5300( )。     一个人一天大约喝水1.5( )。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）在括号里填上合适的单位。 周日，爸爸开车带小刚和妈妈去离家30( )的景区游玩。出发前爸爸先去楼下的超市买水，超市的占地面积约为300( )，从容积约500( )的冰柜内拿了3瓶500( )的矿泉水。在景区门口，妈妈给小刚买了一个体积约为5( )的气球。回家后，小刚拿出体积为300( )的日记本将今天的经历进行了记录。 高频考点二十四：体积（容积）大小的比较 【典例精讲】（23-24五年级下·河南信阳·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 23000dm3( )23m3   8.04L( )804mL ( )    ( )1.75 【变式训练】（21-22五年级下·河南洛阳·期末）观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（    ）。    A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定 高频考点二十五：体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（25-26六年级上·河南周口·月考）将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装( )毫升牛奶。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）一个长方体的水池，从里面量，尺寸如下图。水池内固定了一个小长方体铁块。铁块底面是边长10厘米的正方形，高是24厘米。现在往水池里面注水，水管以每分钟4.2立方分米的流量注水，至少需要多长时间能将小长方体淹没？ 高频考点二十六：长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·新疆·期中）一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 【变式训练】（2025五年级下·浙江杭州·专题练习）一个无盖的长方体玻璃缸，底面长8分米，宽4分米，高6分米。制作这个玻璃缸需要玻璃的面积是( )平方分米，这个玻璃缸的容积是( )升。（玻璃的厚度不计） 高频考点二十七：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）杨小渔家有一个高25cm的无盖无水观赏鱼缸（如下图），现在里面放着一块高15cm、体积为的假山石。如果水龙头以每分钟的流量往观赏鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将这块假山石淹没？ 【真题演练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 【真题演练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为( )平方厘米。 【真题演练3】（2025·四川绵阳·小升初真题）两个完全一样的长方体长10厘米，宽4厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积是多少平方米？ 【真题演练4】（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【真题演练5】（2025·湖南邵阳·小升初真题）一个四周用木条围成的花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.8米。 （1）做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米木条？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米泥土？（木条厚度忽略不计） 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级下·江西赣州·期中）用一根52米长的铁丝，正好可以焊成长6米，宽4米，高（    ）米的长方体教具。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25五年级下·新疆·期中）长方体木箱的体积与容积比较（    ）。 A．一样大 B．体积大 C．容积大 D．无法比较大小 3．（24-25五年级下·全国·课后作业），，，这组数据中，体积最大的是（    ），体积最小的是（    ）。 A．； B．； C．； D．； 4．（24-25五年级下·河北唐山·期中）把一根长100厘米的铁丝，做成一个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体后，还剩下( )厘米。 5．（24-25五年级下·河北唐山·期中）一个长方体（非正方体）的宽和高都是7.5厘米，它的6个面中有( )个面是正方形。 6．（24-25五年级下·河北唐山·期中）用2个棱长是6厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方厘米。长方体的表面积是( )平方厘米。 7．（24-25五年级下·河南焦作·期中）将5个棱长1cm的小正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少了6cm2。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）有12条棱、6个面和8个顶点的立体图形一定是正方体。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 10．（24-25五年级下·河北唐山·期中）一间长方体仓库，长8米，宽6米，高4米。仓库装有一扇门，门宽2米，高2米（如图）。给仓库四面墙和地面涂上防潮漆，每平方米用漆0.8千克，至少需要买多少千克防潮漆？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·江西赣州·期中）把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个长方体。下图中（    ）的切法增加的表面积最多。 A． B． C． 2．（24-25五年级下·河南焦作·期中）在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（    ）cm2的玻璃。 A．126 B．111 C．96 D．84 3．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面是一个正方体的展开图，将它折叠成一个正方体，可能是图形（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25五年级下·河北唐山·期中）长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的表面积就扩大到原来的( )倍。 5．（24-25五年级下·河北唐山·期中）如图所示，是一个长方体的展开图，这个长方体有两个相对的面是正方形。这个长方体的表面积是( )。 6．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个长方体的装水容器，长8分米，宽5分米，把一石块完全放入水中后水面从原来的6分米上升为10.5分米，石块的体积是( )立方分米。 7．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 从一个长方体的一个角挖去一个小正方体，求挖去后图形的体积。 8．（24-25五年级下·江西赣州·期中）“水立方”与“鸟巢”被称为2008北京奥运会的两大标志性建筑，你知道吗？在“水立方”内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深2.5米。 (1)如果沿着游泳池走一圈，一共要走多少米？ (2)如果给游泳池的四周和池底铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 9．（24-25五年级下·河南焦作·期中）龙门小学游泳馆建有一个四季恒温的长方体游泳池，长50米，宽21米，深1.5米，具备24小时水循环过滤系统，为同学们提供了安全、规范、专业的游泳设施。 (1)如果给游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要多少平方米的瓷砖？ (2)如果游泳池内水深1.2米，那么游泳池共注入了多少立方米的水？ 10．（24-25五年级下·浙江温州·期中）为了测量一块鹅卵石的体积，四位同学做了如下实验，但实验步骤被打乱了。 ①小明准备了一个长方体玻璃缸，并从里面测出玻璃缸的长是20cm，宽是8cm。 ②小林用直尺量出玻璃缸的高是15cm。 ③小兰往玻璃缸中倒入10cm深的水。 ④小红把这块鹅卵石放入玻璃缸中，发现水正好淹没这块鹅卵石，测出水面此时高度为13cm。 (1)要求这块鹅卵石的体积，上面的信息中必须用到( )。（填序号） (2)根据他们的测量结果，算出这块鹅卵石的体积是多少立方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $