第三单元 长方体和正方体讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学五年级下册

第三单元 长方体和正方体 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、长方体和正方体的认识 2 二、长方体和正方体的展开与折叠 2 三、长方体和正方体的表面积 2 四、长方体和正方体的体积 3 五、实际应用要点 4 考点讲练 4 考点一：长方体和正方体的认识 4 考点二：长方体表面积的计算 5 考点三：长方体表面积的应用 6 考点四：正方体表面积的计算 7 考点五：正方体表面积的应用 8 考点六：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 9 考点七：组合体的表面积（长方体、正方体） 10 考点八：表面涂色的正方体 12 考点九：长方体的体积 12 考点十：正方体的体积 13 考点十一：体积单位之间的进率 14 考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体） 14 考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 15 考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 16 考点十五：容积和容积单位 17 考点十六：体积（容积）的大小比较 18 考点十七：长方体、正方体的容积 19 考点十八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 20 综合训练 20 知识梳理 一、长方体和正方体的认识 1.定义 长方体：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 正方体：长、宽、高都相等的长方体，也叫立方体，6个面都是正方形且完全相同，12条棱长度都相等。 2.各部分名称 面：长方体和正方体都有6个面。长方体中，相对的面形状相同、面积相等；正方体6个面完全相同。 棱：两个面相交的边叫做棱，长方体和正方体都有12条棱。长方体中，相对的棱长度相等，可分为3组（长、宽、高各4条）；正方体所有棱长度相等。 顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体和正方体都有8个顶点。 3.关系：正方体是特殊的长方体（长=宽=高）。 二、长方体和正方体的展开与折叠 1.展开图特征 长方体展开图：由6个长方形（可能有2个正方形）组成，相对的面在展开图中不相邻，且完全隔开。 正方体展开图：共11种类型，可分为“1-4-1型”（6种）、“2-3-1型”（3种）、“2-2-2型”（1种）、“3-3型”（1种），相对的面在展开图中必相隔一个面。 2.折叠规律：判断一个平面图形能否折叠成正方体或长方体，需确保相对的面不重叠，且各棱长度匹配。 三、长方体和正方体的表面积 1.定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2.计算公式 长方体表面积： ( S = 2(ab + ah + bh) ) （其中(a)为长，(b)为宽，(h)为高） 正方体表面积： ( S = 6a^2 ) （其中(a)为棱长） 3.特殊情况：计算无盖容器（如鱼缸）、无底容器或只有侧面的物体（如通风管）的表面积时，需减去相应面的面积。 例：无盖长方体鱼缸表面积 ( S = ab + 2ah + 2bh )。 四、长方体和正方体的体积 1.体积定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.体积单位 常用单位：立方厘米（(cm^3)）、立方分米（(dm^3)）、立方米（(m^3)）。 单位换算：(1m^3 = 1000dm^3)，(1dm^3 = 1000cm^3)，(1m^3 = 1000000cm^3)。 3.计算公式 长方体体积： ( V = abh ) （其中(a)为长，(b)为宽，(h)为高） 正方体体积： ( V = a^3 ) （其中(a)为棱长） 通用公式： ( V = Sh ) （其中(S)为底面积，(h)为高，适用于长方体和正方体） 4.体积与容积的区别 体积：物体所占空间的大小，测量时从物体外部量长、宽、高。 容积：容器所能容纳物体的体积，测量时从容器内部量长、宽、高，常用单位为升（L）、毫升（mL），(1L = 1dm^3)，(1mL = 1cm^3)。 五、实际应用要点 1.单位选择：根据物体大小选择合适的体积/容积单位（如冰箱容积用升，橡皮体积用立方厘米）。 2.公式灵活运用：已知体积和部分棱长/底面积，可通过逆运算求未知量（如(h = V÷S)）。 3.拼接与切割问题：多个小正方体/长方体拼接成大长方体时，表面积会减少（减少拼接面面积）；切割时表面积会增加（增加切割面面积）。 考点讲练 考点一：长方体和正方体的认识 【典例精讲】在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是（    ）。 A．“林” B．“匹” C．“克” 【变式训练】为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要 m长的彩灯线。 【变式训练】如图四个正方体，每个正方体六个面上的、、、、、六个字母的排列顺序完全相同，那么的对面是( )，的对面是( )，的对面是( )。 【变式训练】一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的表面涂色的长方体，分割成棱长1厘米的小正方体。这些小正方体中，三面涂色的有（    ）个。 A．4个 B．8个 C．12个 D．24个 考点二：长方体表面积的计算 【典例精讲】求下图的表面积。（单位厘米） 【变式训练】计算下面图形的表面积。 【变式训练】如下图所示的是一个长方体的前面和右面，求这个长方体的表面积。 【变式训练】一个长方体的展开图如下图所示，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 考点三：长方体表面积的应用 【典例精讲】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5dm、宽4dm、高3dm。做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 【变式训练】如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 【变式训练】粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【变式训练】李师傅用玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，长8分米，宽6分米，高5分米。做这个鱼缸需要多少平方分米玻璃？ 考点四：正方体表面积的计算 【典例精讲】下边立体图形中的每个小正方体的棱长都是1cm，它的表面积是( )，从左面看到的图形的面积是( )。 【变式训练】如图把一个长方体分成两个正方体后，表面积比原来增加了18平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式训练】一个正方体棱长由2厘米扩大到6厘米，那么它的表面积扩大为原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 【变式训练】如下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是( )平方厘米。 考点五：正方体表面积的应用 【典例精讲】一个正方体和一个长方体正好可以拼成一个新的长方体，它的表面积比原来长方体增加了4平方厘米，原来正方体的表面积是（    ）。 A．10cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2 如图，表面积增加了4平方厘米，即4个小正方形，用除法计算，求出一个小正方形的面积×6＝原正方体表面积。 【变式训练】用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是( )cm2。 【变式训练】中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 【变式训练】如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 考点六：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】一个长是8米，宽和高都是2米的长方体，把它分成两部分（如图所示），表面积增加了( )平方米。 【变式训练】把一个正方体平均分成两个长方体，已知每个长方体的表面积是120平方厘米，则原来正方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．200 B．180 C．160 D．120 【变式训练】把4个棱长为2厘米的小正方体按图①组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少( )平方厘米；按图②组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少( )平方厘米。 【变式训练】如下图所示，有一块长方体橡皮泥，小明想把它分割成两个同样大的小长方体。请你按要求分别在图中画一画。（单位：cm） （1）表面积增加最多的分法。 （2）表面积增加最少的分法。 考点七：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】计算下图的表面积。（单位：cm） 【变式训练】下图是一个由15个棱长为1分米的小正方体拼成的立体图形，其表面积为( )平方分米。 【变式训练】计算下面图形的表面积。 如图可知，立体图形的表面积＝长是12cm、宽是8cm、高是10cm的长方体的表面积－2个长是5cm、宽是（12－8）cm长方形的面积和，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【变式训练】下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 考点八：表面涂色的正方体 【典例精讲】一个正方体六个面都涂上红色，把每条棱都平均分成4份，切开，两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 【变式训练】把棱长为10cm的正方体木块表面涂上红色后，切成8个完全一样的小正方体木块。这些小正方体木块中，没有被涂上红色的所有面的面积和是( )cm2。 【变式训练】某商场用正方体木块在墙角搭建了一个休息区，如下图所示。为了美观，现准备将裸露在外面的小正方体涂上颜色。两面涂色的有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练】如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 考点九：长方体的体积 【典例精讲】一个长方体木块，若把高减少5厘米就成了一个正方体，体积也减少了80立方厘米，这个长方体木块原来的体积是多少立方厘米？ 【变式训练】用两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体所占空间是( )立方厘米，如果在这个长方体的表面贴一层彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸。 【变式训练】一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，小玻璃球的体积是( )立方厘米。 【变式训练】A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，把同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），A容器的水面比B容器的水面低，说明( )容器的底面积大。 考点十：正方体的体积 【典例精讲】一个长方体仓库，从里面量，长26米，宽8米，高6米。仓库里最多可以放（    ）个棱长为3米的正方体木箱。 A．46 B．32 C．40 D．50 【变式训练】下面是一个正方体硬纸片的展开图，与6号面相对的是( )号面；如果该正方体的棱长是4厘米，所用的硬纸片至少是( )平方厘米，所占的空间是( )立方厘米。 【变式训练】小智参加“2024年全国青少年航天创新比赛”，需要把棱长是8厘米的正方体粘土捏成一个长是16厘米，宽是4厘米的长方体粘土太空舱，这个长方体太空舱的高是多少厘米？ 【变式训练】小睿用一个长8厘米，宽7厘米，高6厘米的长方体容器做实验。他先往容器中倒入5厘米深的水，再把一块棱长4厘米的正方体铁块放入水中，水( )溢出来。（填“会”或者“不会”） 考点十一：体积单位之间的进率 【典例精讲】( )                0.07( ) 2200( )                9000( ) 【变式训练】一个长方体木箱的体积是，这个木箱的底面是一个边长为15cm的正方形。木箱的高是（    ）dm。 A．800 B．80 C．8 D．0.8 【变式训练】在横线里填上“＞“＜”或“＝”。                                          【变式训练】＝( )                  ＝( ) ( )＝                    ＝( ) ＝( )＝( )         ＝( ) 考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】劳动课上，聪聪需要把棱长8厘米的正方体黏土捏成一个高8厘米、宽4厘米的长方体黏土太空舱，这个长方体太空舱的长是多少厘米？ 【变式训练】一团橡皮泥，淘气第一次把它捏成长方体，第二次捏成正方体，第三次捏成球，捏成的三个物体的体积（    ）。 A．长方体大 B．正方体大 C．球大 D．一样大 【变式训练】把一个棱长是0.8米的正方体的钢块，铸造成一个长0.5米，宽0.4米的长方体钢柱，这个长方体钢柱高是多少米？（要求：方程法解答） 【变式训练】一个棱长15厘米的正方体，水槽中有水1.8升，现将一块长12厘米，宽7.5厘米的长方体石块浸没在水中（水未溢出），水面上升5厘米，石块的高是( )厘米。 考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】如图，把3个相同的小长方体拼成1个高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）cm3。 A．180 B．120 C．60 【变式训练】用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】聪聪把一根长4米的长方体木料沿横截面锯成3段，表面积增加了12平方分米，那么这根木料原来的体积是( )立方分米。 【变式训练】芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【变式训练】计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【变式训练】计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【变式训练】计算下面立体图形的体积和表面积（单位：cm）。 考点十五：容积和容积单位 【典例精讲】330mL＝( )L     1.4时＝( )时( )分 【变式训练】2米9厘米＝ 米     2.5千克＝ 克 370毫升＝ 升    860平方分米＝ 平方米 【变式训练】2.4时＝( )时( )分    1.2公顷＝( )平方米 4030千克＝( )吨( )千克   4800毫升＝( )升 【变式训练】单位换算。 (1)9.6米＝( )厘米 (2)升＝( )立方厘米 (3)2平方米4平方分米＝( )平方米 (4)0.75小时＝( )分钟 考点十六：体积（容积）的大小比较 【典例精讲】把两块石头分别放在甲、乙两个相同的杯子中，若注满水，则甲杯里的水和乙杯里的水相比，（    ）。 A．甲杯里的多 B．乙杯里的多 C．一样多 D．无法确定 【变式训练】一种调料分“桶装”和“袋装”两种不同的包装，“袋装”每袋200毫升，每袋2元；“桶装”每桶3升，每桶24元。 （1）一桶调料相当于几袋的容量？ （2）一个饭店想买9升这种调料，只买一种包装，买哪种比较合算？ 【变式训练】一个棱长是20分米的木箱，它的体积和容积相比（    ）。 A．体积大 B．容积大 C．一样大 D．无法比较 【变式训练】下面是小雨比较土豆和胡萝卜的体积时做的实验，长方体容器的长是12cm，宽是12cm，高是24cm。观察他的实验过程，下面说法正确的是（ ）。 A．土豆的体积大 B．胡萝卜的体积大 C．一样大 D．无法确定 考点十七：长方体、正方体的容积 【典例精讲】一种微波炉，外形尺寸（长×宽×高：440×360×260），腔体尺寸（长×宽×高：300×310×200），包装尺寸490×390×310（单位：毫米）。这个微波炉的容积大约是多少升？ 【变式训练】一个长方体纸箱，长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是( )升，做这样一个纸箱至少需要纸板( )平方分米。 【变式训练】如下图，A，B是两块不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后，焊接成一个底面是正方形的无盖的长方体铁桶。哪块铁皮焊接成的铁桶装水更多？多多少升？（铁皮的厚度忽略不计） 【变式训练】一个容积是216立方分米的正方体油箱里装满了油。把这箱油全部倒入另一个从里面量长8分米、宽5分米、高1米的长方体油箱内，油面离箱口有多少分米？ 考点十八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】如图所示，一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是( )立方厘米，整个铁块的体积是( )立方厘米。（玻璃的厚度忽略不计） 【变式训练】一个棱长是10厘米的正方体玻璃缸中有一块石头，往里面倒满水，再将石头取出，水面下降2厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 综合训练 1．一种小瓶可以装药水5毫升，现有药水0.1升，可以装满（    ）小瓶。 A．2 B．5 C．20 D．200 2．在一个长8分米、宽6分米、高9分米的长方体盒子中放入棱长2分米的小正方体木块，最多能放（    ）个。 A．54 B．72 C．48 D．60 3．下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 4．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1dm的小正方体（如图），这个玻璃鱼缸的容积是（    ）dm3。 A．126 B．96 C．90 D．72 5．一个长方体形状的玻璃杯（无盖），从外面量，长11厘米，宽11厘米，高16厘米。已知玻璃的厚度是0.5厘米，那么这个玻璃杯的容积是（    ）。 A．1936毫升 B．1500毫升 C．1708.875毫升 D．1550毫升 6．一张长方形纸长40厘米、宽8厘米，把它对折、再对折，打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面，如果要为这个长方体配一个底面，则底面的面积是（    ）。 A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 7．李师傅在一个底面积为的长方体水池中放进一块铁矿石（完全浸没且水没有溢出）后，水面上升了4.5cm。这块铁矿石的体积是( )。 8．小宇想求一块不规则的橡皮泥的体积，于是把橡皮泥捏成了一个长方体，这个长方体长5cm、宽4cm、高2cm，那么这块橡皮泥的体积是( )。 9．一个量杯中原来装有300mL的水，把一个土豆放入其中（土豆浸没在水中且水未溢出），水面刻度指向556mL，这个土豆的体积是( )。 10．在（    ）里填上合适的数。 ＝( )                 4040mL＝( )L 1.65L＝( )                       ＝( ) 5600mL＝( )L( )mL              4.08L＝( )L( )mL 11．如图，在一个长5dm、宽3dm、高4dm的容器中装有水和一个被水完全浸没的铁块，水深3dm。将铁块取出后，水面下降了2cm，这个铁块的体积是( )。 12．如图，用小棒和橡皮泥小球搭一个棱长总和是84cm的正方体框架。每根小棒的长度是( )cm，正方体的表面积是( )，正方体的体积是( )。（接头处忽略不计）。 13．计算下面图形的表面积和体积。 14．计算下面图形的体积。 15．计算图1中正方体的体积，图2中长方体的表面积和棱长和。 16．宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。孙师傅将宣纸裁成如图的形状，经过艺术创作后，准备加上木条制成长方体灯罩。要做成这样一个灯罩，至少需要多少厘米长的木条？ 17．一块铁皮长24厘米，王伯伯从铁皮的四个角各剪去了一个边长3厘米的正方形，如下图，再折起来焊接成一个无盖的长方体铁盒。已知这个铁盒的容积是648立方厘米，原来这块铁皮的面积是多少？ 18．把60升水倒入一个长5分米，宽4分米，高6分米的长方体玻璃水槽中，如果将一块石头完全浸没水中，这时量得水面离槽口2分米。这块石头的体积是多少？ 19．一根绳子长7米，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果结头处的绳子长23厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 20．一个游泳池长50米、宽21米，现在水深0.8米。工作人员要往池内加水，如果该游泳池每小时的进水量是300立方米，那么多少小时后水深达到1.8米？（蒸发损耗忽略不计） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 长方体和正方体 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、长方体和正方体的认识 2 二、长方体和正方体的展开与折叠 2 三、长方体和正方体的表面积 2 四、长方体和正方体的体积 3 五、实际应用要点 4 考点讲练 4 考点一：长方体和正方体的认识 4 考点二：长方体表面积的计算 6 考点三：长方体表面积的应用 8 考点四：正方体表面积的计算 11 考点五：正方体表面积的应用 14 考点六：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 16 考点七：组合体的表面积（长方体、正方体） 19 考点八：表面涂色的正方体 22 考点九：长方体的体积 25 考点十：正方体的体积 27 考点十一：体积单位之间的进率 29 考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体） 32 考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 33 考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 36 考点十五：容积和容积单位 39 考点十六：体积（容积）的大小比较 41 考点十七：长方体、正方体的容积 44 考点十八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 47 综合训练 48 知识梳理 一、长方体和正方体的认识 1.定义 长方体：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 正方体：长、宽、高都相等的长方体，也叫立方体，6个面都是正方形且完全相同，12条棱长度都相等。 2.各部分名称 面：长方体和正方体都有6个面。长方体中，相对的面形状相同、面积相等；正方体6个面完全相同。 棱：两个面相交的边叫做棱，长方体和正方体都有12条棱。长方体中，相对的棱长度相等，可分为3组（长、宽、高各4条）；正方体所有棱长度相等。 顶点：三条棱相交的点叫做顶点，长方体和正方体都有8个顶点。 3.关系：正方体是特殊的长方体（长=宽=高）。 二、长方体和正方体的展开与折叠 1.展开图特征 长方体展开图：由6个长方形（可能有2个正方形）组成，相对的面在展开图中不相邻，且完全隔开。 正方体展开图：共11种类型，可分为“1-4-1型”（6种）、“2-3-1型”（3种）、“2-2-2型”（1种）、“3-3型”（1种），相对的面在展开图中必相隔一个面。 2.折叠规律：判断一个平面图形能否折叠成正方体或长方体，需确保相对的面不重叠，且各棱长度匹配。 三、长方体和正方体的表面积 1.定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2.计算公式 长方体表面积： ( S = 2(ab + ah + bh) ) （其中(a)为长，(b)为宽，(h)为高） 正方体表面积： ( S = 6a^2 ) （其中(a)为棱长） 3.特殊情况：计算无盖容器（如鱼缸）、无底容器或只有侧面的物体（如通风管）的表面积时，需减去相应面的面积。 例：无盖长方体鱼缸表面积 ( S = ab + 2ah + 2bh )。 四、长方体和正方体的体积 1.体积定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.体积单位 常用单位：立方厘米（(cm^3)）、立方分米（(dm^3)）、立方米（(m^3)）。 单位换算：(1m^3 = 1000dm^3)，(1dm^3 = 1000cm^3)，(1m^3 = 1000000cm^3)。 3.计算公式 长方体体积： ( V = abh ) （其中(a)为长，(b)为宽，(h)为高） 正方体体积： ( V = a^3 ) （其中(a)为棱长） 通用公式： ( V = Sh ) （其中(S)为底面积，(h)为高，适用于长方体和正方体） 4.体积与容积的区别 体积：物体所占空间的大小，测量时从物体外部量长、宽、高。 容积：容器所能容纳物体的体积，测量时从容器内部量长、宽、高，常用单位为升（L）、毫升（mL），(1L = 1dm^3)，(1mL = 1cm^3)。 五、实际应用要点 1.单位选择：根据物体大小选择合适的体积/容积单位（如冰箱容积用升，橡皮体积用立方厘米）。 2.公式灵活运用：已知体积和部分棱长/底面积，可通过逆运算求未知量（如(h = V÷S)）。 3.拼接与切割问题：多个小正方体/长方体拼接成大长方体时，表面积会减少（减少拼接面面积）；切割时表面积会增加（增加切割面面积）。 考点讲练 考点一：长方体和正方体的认识 【典例精讲】在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是（    ）。 A．“林” B．“匹” C．“克” 【答案】C 【分析】观察第一个图形：从这个角度看，“林”字和“奥”字、“匹”字相邻。 观察第二个图形：从这个角度看，“奥”字和“学”字、“数”字相邻。 观察第三个图形：从这个角度看，“林”字和“数”字、“克”字相邻。“奥”字相邻的面有“林”“匹”“学”“数”，而正方体的六个面分别为“数、学、奥、林、匹、克”，所以“奥”字对面的字只能是“克”。据此解答。 【详解】在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是“克”。 故答案为：C 【变式训练】为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要 m长的彩灯线。 【答案】170 【分析】根据题意可知，地面的四条棱（两条长、两条宽）不计算，那么彩灯线的长度为剩余长方体的棱的组合，需计算四条高（连接上下底面的垂直棱）和天花板的四条边（两条长、两条宽），即总长度＝4×高＋2×长＋2×宽。 【详解】4×10＋2×40＋2×25 ＝40＋80＋50 ＝120＋50 ＝170（m） 因此，工人叔叔至少需要170m长的彩灯线。 【变式训练】如图四个正方体，每个正方体六个面上的、、、、、六个字母的排列顺序完全相同，那么的对面是( )，的对面是( )，的对面是( )。 【答案】 【分析】根据图示可知：与、、、相邻，所以与相对；与、、相邻，所以与相对；则与相对。 【详解】如图四个正方体，每个正方体六个面上的、、、、、六个字母的排列顺序完全相同，即的对面是，的对面是，的对面是。 【变式训练】一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的表面涂色的长方体，分割成棱长1厘米的小正方体。这些小正方体中，三面涂色的有（    ）个。 A．4个 B．8个 C．12个 D．24个 【答案】B 【分析】长方体的长、宽、高分别切割成8个、6个、4个小正方体，抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点： 1面涂色的在面上， 2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。 【详解】根据分析： 三面涂色的小正方体在8个顶点上。 故答案为：B 考点二：长方体表面积的计算 【典例精讲】求下图的表面积。（单位厘米） 【答案】432平方厘米 【分析】由图可知，长方体的长为12厘米，宽为8厘米，高为6厘米，根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可求出长方体的表面积。 【详解】（12×8＋12×6＋8×6）×2 ＝（96＋72＋48）×2 ＝（168＋48）×2 ＝216×2 ＝432（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是432平方厘米。 【变式训练】计算下面图形的表面积。 【答案】98平方厘米 【分析】如图所示，立体图形的表面积等于正方体四个面的面积之和加上长方体的表面积，根据正方体的表面积和长方体的表面积公式，把数据代入公式即可解答。 【详解】 （平方厘米） 立体图形的表面积是98平方厘米。 【变式训练】如下图所示的是一个长方体的前面和右面，求这个长方体的表面积。 【答案】288cm 【分析】根据长方体的特征可知，这个长方体的长是12cm，宽是6cm，高是4cm；用长方体表面积公式，据此解答。 【详解】 （cm） 答：这个长方体的表面积是288cm2。 【变式训练】一个长方体的展开图如下图所示，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】202平方厘米 【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是8厘米，宽是7厘米，高是3厘米，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】 （平方厘米） 答：这个长方体的表面积是202平方厘米。 考点三：长方体表面积的应用 【典例精讲】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5dm、宽4dm、高3dm。做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 【答案】74平方分米 【分析】因为鱼缸无盖，所以求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据，即可解答。 【详解】 （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要74平方分米的玻璃。 【变式训练】如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 【答案】4380元 【分析】根据题意可知，要给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖，即一根柱子贴瓷砖的面积＝下面长方体侧面积＋上面长方体侧面积＋最上面的面积，再用贴瓷砖的面积乘20求出20根柱子的贴瓷砖的面积，最后乘100即可，注意单位的换算。 【详解】 （平方厘米） （元） 答：这些柱子贴瓷砖一共要花4380元。 【变式训练】粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【分析】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【详解】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 【变式训练】李师傅用玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，长8分米，宽6分米，高5分米。做这个鱼缸需要多少平方分米玻璃？ 【答案】188平方分米 【分析】解答这道题需熟知长方体表面积的公式：长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2或长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，题目中已知长方体长8分米，宽6分米，高5分米。还需明确：这是一个无盖的长方体鱼缸，也就是长宽面只有1个。所以表面积公式可以结合题意改写为：玻璃面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。据此解答。 【详解】根据分析： （平方分米） 答：做这个鱼缸需要188平方分米玻璃。 考点四：正方体表面积的计算 【典例精讲】下边立体图形中的每个小正方体的棱长都是1cm，它的表面积是( )，从左面看到的图形的面积是( )。 【答案】18；3 【分析】从正面、上面、右面数出看到的正方形个数，再乘2，可得表面正方形个数，据此算出表面积。 【详解】正面正方形个数：3个、上面正方形个数：3个，右面正方形个数＝左面正方形个数：3个。 一个正方形面积：（平方厘米） 表面正方形个数：（个） 表面积：（平方厘米） 左面面积：（平方厘米） 下边立体图形中的每个小正方体的棱长都是1cm，它的表面积是18，从左面看到的图形的面积是3。 【点睛】用数表面正方形个数的方法解决表面积问题。 【变式训练】如图把一个长方体分成两个正方体后，表面积比原来增加了18平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】90 【分析】一个长方体分成两个正方体后，表面积会增加两个正方形的面积；根据条件可知两个正方形面积是18平方厘米，一个正方形面积就是9平方厘米；一个正方体六个面，表面积＝6×9＝54平方厘米，两个正方体表面积＝54×2＝108平方厘米；原来长方体的表面积＝两个正方体表面积－18＝108－18＝90平方厘米。 【详解】一个正方形面积：18÷2＝9（平方厘米） 一个正方体表面积：9×6＝54（平方厘米） 两个正方体表面积：54×2＝108（平方厘米） 长方体表面积：108－18＝90（平方厘米） 因此，把一个长方体分成两个正方体后，表面积比原来增加了18平方厘米。原来长方体的表面积是90平方厘米。 【点睛】关键点长方体分成两个正方体会增加两个面的面积。 【变式训练】一个正方体棱长由2厘米扩大到6厘米，那么它的表面积扩大为原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”分别计算出棱长2厘米和棱长6厘米的正方体的表面积；再用棱长6厘米的正方体表面积除以棱长2厘米的正方体表面积即可。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 216÷24＝9 一个正方体棱长由2厘米扩大到6厘米，那么它的表面积扩大为原来的9倍。 故答案为：C 【变式训练】如下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】120 【分析】正方体的表面积＝6×边长×边长，代入计算出正方体原表面积，因为前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，相当于每个小正方体的地方都增加了4个面，每个面的面积＝边长×边长。 【详解】正方体的表面积： 6×4×4 ＝24×4 ＝96（平方厘米） 6个小正方体增加的面积： 6×4×1×1 ＝24×1×1 ＝24×1 ＝24（平方厘米） 96＋24＝120（平方厘米） 所以它的表面积是120平方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的表面积，点睛之处在于，在挖掉一个小正方体后，需要弄清楚与之前对比表面积是增加了还是减少了，因为挖进去后的正方体有5个面，所以实际上对比之前增加了4个面，所以表面积会等于原表面积加上6个正方体增加的面，也就是24个小正方形。 考点五：正方体表面积的应用 【典例精讲】一个正方体和一个长方体正好可以拼成一个新的长方体，它的表面积比原来长方体增加了4平方厘米，原来正方体的表面积是（    ）。 A．10cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2 【答案】B 【分析】 如图，表面积增加了4平方厘米，即4个小正方形，用除法计算，求出一个小正方形的面积×6＝原正方体表面积。 【详解】4÷4×6 ＝1×6 ＝6（平方米） 原来正方体的表面积是6平方米。 故答案为：B 【变式训练】用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是( )cm2。 【答案】 7 6 144 【分析】铁丝的长度就是长方体的总棱长，根据长方体的特征，长方体4条长相等，4条宽相等，4条高相等，用铁丝的长度除以4再减去一条长和一条宽，即得到一条高的长度； 根据正方体的总棱长＝棱长×12，据此可得出正方体的棱长等于铁丝长度除以12，给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，则商标纸的面积就是正方体四个面的面积，据此求解即可。 【详解】 （cm） （cm） （cm2） 用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高7cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长6cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是144cm2。 【变式训练】中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 【答案】 2 16 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体灯笼的棱长；求四周围上灯笼布的面积，就是求正方体的侧面积，根据正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可解答。 【详解】24÷12＝2（dm） 2×2×4 ＝4×4 ＝16（dm2） 中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是2dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要16dm2的灯笼布。 【变式训练】如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 【答案】3456平方厘米 【分析】用彩带的长度减去打结处用的长度，求出剩下彩带的长度，也就是8条棱的长度，再除以8，求出每条棱多少厘米，再根据正方体表面积公式＝棱长×棱长×6，代入数值即可解答。 【详解】（209－17）÷8 ＝192÷8 ＝24（厘米） 24×24×6 ＝576×6 ＝3456（平方厘米） 答：至少需要3456平方厘米的硬纸板。 考点六：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】一个长是8米，宽和高都是2米的长方体，把它分成两部分（如图所示），表面积增加了( )平方米。 【答案】8 【分析】从图中可知，分割后增加的截面是边长为2米的正方形（因为长方体宽和高都是2米）。增加了2个这样的正方形截面，一个截面面积是2×2＝4平方米，那么增加的总面积是4×2＝8平方米。 【详解】分割后增加的截面是边长为2米的正方形。 2×2×2＝8（平方米） 表面积增加了8平方米。 【变式训练】把一个正方体平均分成两个长方体，已知每个长方体的表面积是120平方厘米，则原来正方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．200 B．180 C．160 D．120 【答案】B 【分析】把一个正方体平均分成两个长方体，已知每个长方体的表面积是120平方厘米，则两个小长方体的表面积之和是120×2＝240平方厘米；把正方体锯成两个大小相等的小长方体后，表面积是增加了两个正方体的面的面积，所以这两个小长方体的表面积之和正好是8个原正方体的面的面积，由此先求出原正方体的一个面的面积为240÷8＝30平方厘米；然后根据“正方体表面积＝底面积×6”计算出原来正方体的表面积。 【详解】120×2÷8 ＝240÷8 ＝30（平方厘米） 30×6＝180（平方厘米） 所以原来正方体的表面积是180平方厘米。 故答案为：B 【变式训练】把4个棱长为2厘米的小正方体按图①组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少( )平方厘米；按图②组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少( )平方厘米。 【答案】 24 32 【分析】按图①组合，一共有3个拼接处，每个拼接处有2个小正方形面，3个拼接处有6个小正方形面，表面积较原来4个小正方体表面积之和减少3×2＝6个正方形面，根据棱长×棱长×6求出减少的面积即可； 按图②组合，一共有4个拼接处，每个拼接处有2个小正方形面，一共减少了4×2＝8个正方形面，求出一个面的面积，再乘8即可解答。 【详解】3×2＝6（个） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 4×2＝8（个） 2×2×8 ＝4×8 ＝32（平方厘米） 所以小正方体按图①组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少24平方厘米，按图②组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少32平方厘米。 【变式训练】如下图所示，有一块长方体橡皮泥，小明想把它分割成两个同样大的小长方体。请你按要求分别在图中画一画。（单位：cm） （1）表面积增加最多的分法。 （2）表面积增加最少的分法。 【答案】见详解 【分析】当长方体被锯开时，表面积的增加量取决于新产生的两个面的面积。若按照平行于底面即长12cm，宽6cm，表面积的增加量为12×6×2；若按照平行于右面即宽6cm，高5cm，表面积的增加量为6×5×2；若按照平行于前面即长12cm，高5cm，表面积增加量为12×5×2，分别计算出表面积的增加量，并进行比较选择。 【详解】12×6×2＝144（cm2） 6×5×2＝60（cm2） 12×5×2＝120（cm2） 60＜120＜144 （1）表面积增加最多的分法：平行于长12cm，宽6cm的面锯开，如图所示： （2）表面积增加最少的分法：平行于宽6cm，高5cm的面锯开，如图所示： 考点七：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】计算下图的表面积。（单位：cm） 【答案】1364 cm2 【分析】观察上图可知，长方体上面有一个小正方体，组合体的表面积等于长方体的表面积加正方体4个面的面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，把数据代入分别计算出长方体的表面积和正方体4个面的面积，然后相加即可解答。 【详解】（20×10＋20×15＋10×15）×2＋4×4×4 ＝650×2＋64 ＝1300＋64 ＝1364（cm2） 图形的表面积是1364 cm2。 【变式训练】下图是一个由15个棱长为1分米的小正方体拼成的立体图形，其表面积为( )平方分米。 【答案】48 【分析】这个立体图形的表面积包括：前面、后面、左面、右面、上面、下面和凹槽面，且相对面的面积相等。我们只需算前面、左面、上面和凹槽面的面积，把它们相加，结果乘2即可。每一面的面积数一数有几个小正方形，面积就是几平方分米。 【详解】1个正方形的面积：1×1＝1（平方分米） 前面面积：1×7＝7（平方分米） 左面面积：1×7＝7（平方分米） 上面面积：1×9＝9（平方分米） 凹槽面面积：1×1＝1（平方分米） 立体图形的表面积： （7＋7＋9＋1）×2 ＝24×2 ＝48（平方分米） 表面积为48平方分米。 【点睛】知道组合图形的表面积是指所有外部表面的总面积。重点要关注凹槽处还有两个正方形，还要数清每个面包含的正方形的个数。 【变式训练】计算下面图形的表面积。 【答案】552cm2 【分析】 如图可知，立体图形的表面积＝长是12cm、宽是8cm、高是10cm的长方体的表面积－2个长是5cm、宽是（12－8）cm长方形的面积和，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】（12×8＋12×10＋8×10）×2－5×（12－8）×2 ＝（96＋120＋80）×2－5×4×2 ＝（216＋80）×2－5×4×2 ＝296×2－5×4×2 ＝592－20×2 ＝592－40 ＝552（cm2） 表面积是552cm2。 【变式训练】下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【答案】涂黄色油漆10800平方厘米；涂红色油漆13000平方厘米 【分析】对于涂黄色油漆的面，是颁奖台的前后两个面，是由三个长方体的前后两个面组成，共6个面； 对于涂红色油漆的面，可以看作三个长方体的3个上面和1号长方体的左右两个面组成。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积。 【详解】60×40×2＋60×20×2＋60×（40－10）×2 ＝60×40×2＋60×20×2＋60×30×2 ＝4800＋2400＋3600 ＝10800（平方厘米） 60×50×3＋50×40×2 ＝9000＋4000 ＝13000（平方厘米） 答：涂黄色油漆的面积是10800平方厘米，红色油漆的面积是13000平方厘米。 考点八：表面涂色的正方体 【典例精讲】一个正方体六个面都涂上红色，把每条棱都平均分成4份，切开，两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 24 24 【分析】 如图，两面涂色的小正方体在棱的中间，每条棱中间有2个小正方体，正方体有12条棱，每条棱两面涂色的小正方体个数×12＝两面涂色的小正方体总个数；一面涂色的小正方体在面的中间，每个面中间有4个，正方体有6个面，每个面一面涂色的小正方体个数×6＝一面涂色的小正方体总个数。 【详解】2×12＝24（个） 4×6＝24（个） 两面涂色的小正方体有24个，一面涂色的小正方体有24个。 【变式训练】把棱长为10cm的正方体木块表面涂上红色后，切成8个完全一样的小正方体木块。这些小正方体木块中，没有被涂上红色的所有面的面积和是( )cm2。 【答案】600 【分析】切成8个完全一样的小正方体木块时，需要切3次，每切1次增加2个大正方体的面，共增加（2×3）个面，也就是增加6个面，且切面没有被涂色。根据“正方形的面积＝边长×边长”先算出一个切面的面积，再乘6即可算出没有被涂色的所有面的面积。 【详解】2×3＝6（面） 10×10×6＝600（cm2） 所以没有被涂上红色的所有面的面积和是600 cm2。 【变式训练】某商场用正方体木块在墙角搭建了一个休息区，如下图所示。为了美观，现准备将裸露在外面的小正方体涂上颜色。两面涂色的有（    ）个。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】观察图形可知，这是一个3×3×3的正方体组合（在墙角，有三面靠墙）。对于两面涂色的小正方体，它们位于每条棱上，不包括顶点处的小正方体上。在这个组合中，有3条棱露在外面，因为是放在墙角，除去顶点后，所以每条棱上有2个两面涂色的小正方体，即两面涂色的小正方体有3×2＝6个。 【详解】有3条棱露在外面，每条棱上有2个两面涂色的小正方体， 3×2＝6（个） 所以两面涂色的共有6个。 故答案为：B 【变式训练】如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 【答案】 8 12 6 【分析】大正方体顶点处的小正方体是三面涂色，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体数量固定为8块； 位于大正方体棱上（非顶点）的小正方体是两面涂色，大正方体棱长3厘米，每条棱上有3个小正方体，顶点处2个是三面涂色，所以每条棱上两面涂色的有3－2＝1个，正方体有12条棱，因此两面涂色的小正方体数量是1×12＝12块； 处于大正方体每个面中间（非棱、非顶点）的小正方体是一面涂色，每个面上一面涂色的小正方体组成的是边长为（3－2）的正方形，所以每个面上一面涂色的有（3－2）×（3－2）＝1个，正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体数量是1×6＝6块。 【详解】（3－2）×12 ＝1×12 ＝12（块） （3－2）×（3－2）×6 ＝1×1×6 ＝1×6 ＝6（块） 因此，三面涂色的小正方体有8块，两面涂色小正方体有12块，一面涂色小正方体有6块。 考点九：长方体的体积 【典例精讲】一个长方体木块，若把高减少5厘米就成了一个正方体，体积也减少了80立方厘米，这个长方体木块原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】144立方厘米 【分析】根据“高减少5厘米变成正方体”，可知原长方体的长和宽相等，减少的80立方厘米是一个长、宽与原长方体一致、高为5厘米的小长方体体积；用80除以5求出小长方体的底面积（即正方体一个面的面积）为16平方厘米，进而推出正方体棱长为4厘米，即原长方体的长和宽均为4厘米；再算出原长方体的高为4＋5＝9厘米，最后根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出原长方体体积。 【详解】80÷5＝16（平方厘米） 4＋5＝9（厘米） 4×4×9 ＝16×9 ＝144（立方厘米） 答：这个长方体木块原来的体积是144立方厘米。 【点睛】本题关键在于由“高减少5厘米变成正方体”推出原长方体长、宽相等，将减少的体积转化为以原长、宽为底面、高5厘米的小长方体体积，进而求出正方体棱长，推导原长方体的高来计算体积。 【变式训练】用两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体所占空间是( )立方厘米，如果在这个长方体的表面贴一层彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸。 【答案】 128 160 【分析】根据题意，先计算长方体所占空间的大小（即体积），两个正方体拼成长方体后体积不变，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝两个正方体体积之和，再计算长方体的表面积，两个正方体拼成长方体后会减少2个贴合面的面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体表面积＝两个正方体表面积之和－2×单个贴合面面积，据此解答。 【详解】体积： 4×4×4×2 ＝16×4×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） 表面积： 4×4×6×2－4×4×2 ＝16×6×2－16×2 ＝96×2－32 ＝192－32 ＝160（平方厘米） 综上所述可得，这个长方体所占空间是128立方厘米，如果在这个长方体的表面贴一层彩纸，至少需要160平方厘米的彩纸。 【变式训练】一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，小玻璃球的体积是( )立方厘米。 【答案】320 【分析】根据题意，先将玻璃缸装满水，再将大玻璃球放入缸中。那么溢出水的体积等于大玻璃球的体积。先求出溢出的这些水原本在缸内的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先求出放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。 【详解】480÷10÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 15－6＝9（厘米） 13－9＝4（厘米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方厘米） 所以小玻璃球的体积是320立方厘米。 【变式训练】A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，把同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），A容器的水面比B容器的水面低，说明( )容器的底面积大。 【答案】A 【分析】A，B两个长方体容器中装有水的高度相同，同一个西红柿分别完全浸入A，B两个容器中（水都未溢出），西红柿体积相同，浸入容器后水升高的体积也相同，A容器的水面比B容器的水面低，根据长方体的体积公式，体积相同时，升高高度越小，底面积越大，据此解答。 【详解】根据长方体的体积公式，体积相同时，升高高度越小，底面积越大；A容器的水面比B容器的水面低，故A容器的底面积大。 考点十：正方体的体积 【典例精讲】一个长方体仓库，从里面量，长26米，宽8米，高6米。仓库里最多可以放（    ）个棱长为3米的正方体木箱。 A．46 B．32 C．40 D．50 【答案】B 【分析】要确定长方体仓库最多能放多少个棱长为3米的正方体木箱，需分别计算长方体仓库的长、宽、高分别包含多少个正方体的棱长，再将这三个方向能放的数量相乘，得到可放置的正方体木箱总数。 【详解】根据分析： 长方体仓库的长是26米，正方体木箱棱长为3米，那么长方向能放的数量为，其中余数2米不够再放一个正方体，所以长方向最多能放8个； 长方体仓库的宽是8米，正方体木箱棱长为3米，那么宽方向能放的数量为，余数2米不够放一个正方体，所以宽方向最多能放2个； 长方体仓库的高是6米，正方体棱长3米，高方向能放的数量为。 所以高方向最多能放2个； 计算总共能放的正方体数量，将长、宽、高方向能放的数量相乘，得到总共能放的正方体木箱数为：。 故答案为：B。 【变式训练】下面是一个正方体硬纸片的展开图，与6号面相对的是( )号面；如果该正方体的棱长是4厘米，所用的硬纸片至少是( )平方厘米，所占的空间是( )立方厘米。 【答案】 4 96 64 【分析】正方体的展开图找相对面时，先找同行，同行中间隔1个正方形的是相对面，再找异行，异行中间隔2个正方形的是相对面；利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出所需硬纸片的面积，利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出该正方体所占空间的大小，据此解答。 【详解】分析可知，1号面和3号面是相对面，4号面和6号面是相对面，2号面和5号面是相对面。 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，与6号面相对的是4号面，如果该正方体的棱长是4厘米，所用的硬纸片至少是96平方厘米，所占的空间是64立方厘米。 【变式训练】小智参加“2024年全国青少年航天创新比赛”，需要把棱长是8厘米的正方体粘土捏成一个长是16厘米，宽是4厘米的长方体粘土太空舱，这个长方体太空舱的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，根据题意知二者体积相等，代入数据即可求得长方体的高。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 512÷16÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 答：这个长方体太空舱的高是8厘米。 【变式训练】小睿用一个长8厘米，宽7厘米，高6厘米的长方体容器做实验。他先往容器中倒入5厘米深的水，再把一块棱长4厘米的正方体铁块放入水中，水( )溢出来。（填“会”或者“不会”） 【答案】会 【分析】根据，，求出正方体铁块的体积，容器内无水部分的体积，然后进行比较。如果铁块的体积小于或等于容器内无水部分的体积，水就不会溢出，否则水就会溢出。 【详解】4×4×4＝64（立方厘米） 8×7×（6－5） ＝56×1 ＝56（立方厘米） 64＞56 所以，水会溢出。 【点睛】本题考查正方体、长方体体积计算公式的灵活运用，也可以用正方体铁块的体积除以容器的底面积，求出水面上升的高度，与容器内无水部分的高度相比较，得出结论。 考点十一：体积单位之间的进率 【典例精讲】( )                0.07( ) 2200( )                9000( ) 【答案】 4060 70 2.2 9 【分析】高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换成高级单位除以进率； ①1m3＝1000dm3，4.06m3换算成dm3，用4.06乘1000，小数点向右移动三位即可； ②1dm3＝1000 cm3，0.07 dm3换算成cm3，用0.07乘1000，小数点向右移动三位即可； ③1dm3＝1000 cm3，2200 cm3换算成dm3，用2200除以1000，小数点向左移动三位即可； ④1m3＝1000dm3，9000dm3换算m3，用9000除以1000，小数点向左移动三位即可； 【详解】4.06×1000＝4060，因此4.06m3＝4060dm3 0.07×1000＝70，因此，0.07dm3＝70cm3 2200÷1000＝2.2，因此，2200cm3＝2.2dm3 9000÷1000＝9，因此，9000dm3＝9m3 【变式训练】一个长方体木箱的体积是，这个木箱的底面是一个边长为15cm的正方形。木箱的高是（    ）dm。 A．800 B．80 C．8 D．0.8 【答案】B 【分析】因为底面边长单位是厘米，需换算为分米，15cm换算为1.5dm，底面是边长为1.5dm的正方形，根据正方形面积公式S＝a×a（a为边长），底面积计算为2.25，已知长方体体积V＝180，根据 h＝V÷S，可得高为80dm。 【详解】15cm＝1.5dm （dm2） （dm） 故答案为：B 【变式训练】在横线里填上“＞“＜”或“＝”。                                          【答案】 ＜ ＞ ＞ ＞ ＜ ＞ 【分析】根据体积单位进率，；高级单位转成低级单位×进率把每组转成相同体积单位再比较大小。 【详解】，，即； ，，即； ，，，即； ，，即； ，，即； ，，即。 所以，；；； ；；。 【变式训练】＝( )                  ＝( ) ( )＝                    ＝( ) ＝( )＝( )         ＝( ) 【答案】 5240 15 1650 3.68 250 250000 2300 【分析】1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1m3＝1000000cm3； 高级单位换算低级单位，用乘法；低级单位换算高级单位，用除法，据此解答。 【详解】（dm3），； （m3），； （cm3），； （dm3），； （dm3），（cm3），； （dm3），。 考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】劳动课上，聪聪需要把棱长8厘米的正方体黏土捏成一个高8厘米、宽4厘米的长方体黏土太空舱，这个长方体太空舱的长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体黏土的体积；再根据长方体的长＝长方体的体积÷高÷宽，代入数据即可求出长方体的长。 【详解】8×8×8＝512（立方厘米） 512÷8÷4＝16（厘米） 答：这个长方体太空舱的长是16厘米。 【变式训练】一团橡皮泥，淘气第一次把它捏成长方体，第二次捏成正方体，第三次捏成球，捏成的三个物体的体积（    ）。 A．长方体大 B．正方体大 C．球大 D．一样大 【答案】D 【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积。题目中同一团橡皮泥被捏成不同形状，但橡皮泥的总量未变，据此解答。 【详解】据分析可知，一团橡皮泥，淘气第一次把它捏成长方体，第二次捏成正方体，第三次捏成球，捏成的三个物体的体积一样大。 故答案为：D 【变式训练】把一个棱长是0.8米的正方体的钢块，铸造成一个长0.5米，宽0.4米的长方体钢柱，这个长方体钢柱高是多少米？（要求：方程法解答） 【答案】2.56米 【分析】根据已知条件，可依据铸造前后体积不变，据此列方程求解。正方体体积公式V＝a3（a为棱长），长方体体积公式V＝abh（a，b，h分别为长、宽、高）。 【详解】解：设这个长方体钢柱高是x米。 0.5×0.4×x＝0.8×0.8×0.8 0.2x＝0.512 0.2x÷0.2＝0.512÷0.2 x＝2.56 答：这个长方体钢柱高是2.56米。 【变式训练】一个棱长15厘米的正方体，水槽中有水1.8升，现将一块长12厘米，宽7.5厘米的长方体石块浸没在水中（水未溢出），水面上升5厘米，石块的高是( )厘米。 【答案】12.5 【分析】水面上升的体积就是石块的体积，正方体底面积×水面上升的高度＝石块的体积，石块的体积÷长÷宽＝高。 【详解】15×15×5＝1125（立方厘米） 1125÷12÷7.5＝12.5（厘米） 石块的高是12.5厘米。 考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】如图，把3个相同的小长方体拼成1个高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）cm3。 A．180 B．120 C．60 【答案】C 【分析】把3个相同的小长方体拼成了1个高的大长方体，表面积减少了，减少的面积是小长方体的4个底面面积，用，求出一个小长方体的底面积，再用，求出一个小长方体的高，再根据长方体体积底面积高，即可求出一个小长方体的体积。 【详解】（48÷4）×（15÷3） ＝12×5 ＝60（） 所以原来1个小长方体的体积是60。 故答案为：C 【变式训练】用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】因为小正方体有12个，要拼成体积不变的长方体，12＝3×2×2，所以长方体的长、宽、高可以是3、2、2。观察原立体图形，要拼成长方体，可以把最顶层的1个单独的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边单独的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的单独的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面，此时刚好是一个长方体，且体积未有变化。 【详解】12＝3×2×2 长方体的长、宽、高可以是3、2、2。 把最顶层的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面。至少需要移动3个小正方体。 故答案为：B 【变式训练】聪聪把一根长4米的长方体木料沿横截面锯成3段，表面积增加了12平方分米，那么这根木料原来的体积是( )立方分米。 【答案】120 【分析】把长方体木料沿横截面锯成3段，增加了4个截面，增加的表面积÷增加的截面个数＝截面面积，根据长方体体积＝截面面积×长，列式计算即可。注意统一单位。 【详解】4米＝40分米 12÷（2×2） ＝12÷4 ＝3（平方分米） 3×40＝120（立方分米） 所以这根木料原来的体积是120立方分米。 【变式训练】芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 【答案】（1）40立方分米 （2）把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸；20平方分米 【分析】（1）体积表示物体所占空间的大小，所以包装好的大长方体礼物体积等于两个长方体的体积和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出一个长方体的体积，再乘2，即可解答。 （2）重合面的面积最大，叠放最节省包装纸；根据图可知，长是40厘米，宽是25厘米的面的面积是最大的，所以减少了两个长是40厘米，宽是25厘米面的面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（1）40×20×25×2 ＝800×25×2 ＝20000×2 ＝40000（立方厘米） 40000立方厘米＝40立方分米 答：包装后的长方体礼物体积是40立方分米。 （2）40×20＝800（平方厘米） 40×25＝1000（平方厘米） 20×25＝500（平方厘米） 1000＞800＞500；把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸。 40×25×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 2000平方厘米＝20平方分米 答：把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸，此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了20平方分米。 考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】有一个棱长为6dm的大正方体，在其一个顶点处挖去一个长为2dm、宽为2dm、高为3dm的小长方体（如图），此时该图形的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 216 204 【分析】在大正方体的一个顶点处挖去一个小长方体，原来大正方体表面减少了两个长3dm，宽2dm的长方形和一个边长2dm正方形的面积，同时又增加了两个长3dm，宽2dm的长方形和一个边长2dm正方形的面积，所以表面积没有变化。体积是减少了1个长2dm，宽2dm，高3dm的长方体体积，所以在计算体积时，需要用大正方体的体积减小长方体的体积。 根据正方体表面积公式S＝6a2（a为正方体的棱长），大正方体的棱长为6dm，把数据代入表面积公式计算即可。正方体体积公式为：V＝a×a×a（a为正方体棱长），长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高）。大正方体的棱长为6dm，小长方体长2dm，宽2dm，高3dm，把数据分别代入公式计算后，再用大正方体体积减小长方体的体积即可。 【详解】6×62 ＝6×36 ＝216（dm2） 6×6×6－2×2×3 ＝216－12 ＝204（dm3） 该图形的表面积是216dm2，体积是204dm3。 【变式训练】计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【答案】205立方分米 【分析】组合图形的体积等于棱长为5分米的正方体的体积加上长为10分米、宽为8分米、高为1分米的长方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】5×5×5＋8×10×1 ＝25×5＋80 ＝125＋80 ＝205（立方分米） 组合图形的体积是205立方分米。 【变式训练】计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【答案】112dm2；60dm3 【分析】将凹下去的（3×2）的面平移到上边空缺处，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出完整的大长方体表面积，再用大长方体的表面积减去前后空缺处的2个边长2dm的正方形的面积，然后加上增加的左右2个长3dm，宽2dm的长方形的面积，即可求出这个图形的表面积； 这个图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，大长方体的长为6dm、宽为3dm、高为4dm，小长方体的长为3dm、宽为2dm、高为2dm，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】（6×3＋6×4＋3×4）×2－2×2×2＋3×2×2 ＝（18＋24＋12）×2－8＋12 ＝54×2－8＋12 ＝108－8＋12 ＝112（dm2） 6×3×4－2×3×2 ＝72－12 ＝60（dm3） 这个图形的表面积是112dm2，体积是60dm3。 【变式训练】计算下面立体图形的体积和表面积（单位：cm）。 【答案】4104cm3；1700cm2 【分析】这个立体图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高；看上去表面积减少了3个面，里面又出现了同样的3个面，因此这个立体图形的表面积＝大长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式计算。 【详解】28×15×10－6×4×4 ＝4200－96 ＝4104（cm3） （28×15＋28×10＋15×10）×2 ＝（420＋280＋150）×2 ＝850×2 ＝1700（cm2） 这个立体图形的体积和表面积分别是4104cm3、1700cm2。 考点十五：容积和容积单位 【典例精讲】330mL＝( )L     1.4时＝( )时( )分 【答案】 0.33 1 24 【分析】因为1L＝1000mL，所以将mL换算成L要除以进率。 因为1时＝60分，所以将时换算成分要乘进率。 【详解】1L＝1000mL，330÷1000＝0.33（L），330mL＝0.33L； 1时＝60分，1.4时＝1时＋0.4时，0.4×60＝24（分），1.4时＝1时24分。 【变式训练】2米9厘米＝ 米     2.5千克＝ 克 370毫升＝ 升    860平方分米＝ 平方米 【答案】 2.09 2500 0.37 8.6 【分析】高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率；复名数换单名数，单位相同的不用换，单位不同的先统一单位，再加上之前没换单位部分的数。厘米化为米要除以100，千克化为克要乘1000，毫升化为升要除以1000，平方分米化为平方米要除以100。 【详解】9÷100＝0.09（米） 2米9厘米＝2.09米 2.5×1000＝2500（克） 2.5千克＝2500克 370÷1000＝0.37（升） 370毫升＝0.37升 860÷100＝8.6（平方米） 860平方分米＝8.6平方米 【变式训练】2.4时＝( )时( )分    1.2公顷＝( )平方米 4030千克＝( )吨( )千克   4800毫升＝( )升 【答案】 2 24 12000 4 30 4.8 【分析】①②2.4时拆成2时和0.4时，由于1时＝60分，时间大单位换算成小单位，则0.4乘进率即可换算； ③由于1公顷＝10000平方米，面积大单位换算成小单位，则1.2乘进率即可换算； ④⑤4030千克拆成4000千克和30千克，由于1吨＝1000千克，重量小单位换算成大单位，则4000除以进率即可换算； ⑥由于1升＝1000毫升，容积小单位换算成大单位，则4800除以进率即可换算。 【详解】①②； ③； ④⑤； ⑥。 【变式训练】单位换算。 (1)9.6米＝( )厘米 (2)升＝( )立方厘米 (3)2平方米4平方分米＝( )平方米 (4)0.75小时＝( )分钟 【答案】(1)960 (2)1400 (3)2.04 (4)45 【分析】（1）长度单位进行转化：1米＝100厘米，大单位米转化为小单位厘米需要乘进率进行转换 （2）容积与体积单位的转换：1升＝1立方分米＝1000立方厘米，需要乘进率进行转换； （3）面积单位转换：1平方米＝100平方分米，小单位平方分米转化为大单位平方米需要除以进率进行转换； （4）时间单位转换：1时＝60分，大单位时转化为小单位分需要乘进率进行转换； 【详解】（1），即9.6米＝960厘米； （2），，即升＝1400立方厘米； （3），2＋0.04＝2.04，即2平方米4平方分米＝2.04平方米； （4），即0.75小时＝45分钟。 考点十六：体积（容积）的大小比较 【典例精讲】把两块石头分别放在甲、乙两个相同的杯子中，若注满水，则甲杯里的水和乙杯里的水相比，（    ）。 A．甲杯里的多 B．乙杯里的多 C．一样多 D．无法确定 【答案】A 【分析】两个杯子是相同的，也就是说杯子的容积一样。当往杯子里注满水时，水的体积＝杯子容积－石头的体积。甲杯子里的石头小，乙杯子里的石头大。因为杯子容积相同，那么石头体积越小，剩下能装水的体积就越大，甲杯石头体积小。甲杯里水的体积＝杯子容积－小石头体积；乙杯里水的体积＝杯子容积－大石头体积。 【详解】水的体积＝杯子容积－石头的体积 甲杯子里的石头小，乙杯子里的石头大。 甲杯里水的体积＝杯子容积－小石头体积 乙杯里水的体积＝杯子容积－大石头体积 所以甲杯里的水比乙杯里的水多。 故答案为：A 【变式训练】一种调料分“桶装”和“袋装”两种不同的包装，“袋装”每袋200毫升，每袋2元；“桶装”每桶3升，每桶24元。 （1）一桶调料相当于几袋的容量？ （2）一个饭店想买9升这种调料，只买一种包装，买哪种比较合算？ 【答案】（1）15袋；（2）买桶装的 【分析】（1）根据“1升＝1000毫升”将3升换算成毫升，再计算3升里面包含几个200毫升即可。 （2）分别计算两种包装都买9升各需要多少钱，买此种包装的袋数（桶数）×每袋（每桶）需要的钱数＝买这种包装需要的钱数，依此计算并进行比较即可。 【详解】（1）3升＝3000毫升 5袋200毫升是1000毫升，3000毫升是3个1000毫升 5×3＝15（袋） 答：一桶调料相当于15袋的容量。 （2）按袋数买： 9升＝9000毫升 9000毫升是9个1000毫升，则需要买200毫升的袋数：5×9＝45（袋） 45×2＝90（元） 按桶数买：3个3升是9升，则9升需要买3桶； 3×24＝72（元） 72＜90 答：买桶装的比较合算。 【变式训练】一个棱长是20分米的木箱，它的体积和容积相比（    ）。 A．体积大 B．容积大 C．一样大 D．无法比较 【答案】A 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积，物体的体积需要从外部测量长、宽、高；容器所能容纳物体的体积叫做容积，容积需要从内部测量长、宽、高；据此解答。 【详解】木箱有一定的厚度，木箱的体积包括木箱的厚度，木箱的容积不包括木箱的厚度，则它的体积一定大于容积。 故答案为：A 【点睛】不忽略物体的厚度时，物体的体积一定大于它的容积。 【变式训练】下面是小雨比较土豆和胡萝卜的体积时做的实验，长方体容器的长是12cm，宽是12cm，高是24cm。观察他的实验过程，下面说法正确的是（ ）。 A．土豆的体积大 B．胡萝卜的体积大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】上升部分水的体积，就是放入的物体体积。放入土豆水面上升了（10.5－8）厘米，放入胡萝卜，水面上升了（13－10.5）厘米。哪个水面上升的高度大，放入的那个物体的体积就大。 【详解】10.5－8＝2.5（厘米） 13－10.5＝2.5（厘米） 土豆和胡萝卜让水面上升的高度一样，所以体积一样大。 故答案为：C 【点睛】上升部分水的体积，就是放入的物体体积。 考点十七：长方体、正方体的容积 【典例精讲】一种微波炉，外形尺寸（长×宽×高：440×360×260），腔体尺寸（长×宽×高：300×310×200），包装尺寸490×390×310（单位：毫米）。这个微波炉的容积大约是多少升？ 【答案】18.6升 【分析】这道题需明确：容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，据此通过题目中已知的腔体尺寸（长×宽×高：300×310×200）进行计算，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出微波炉的容积。注意统一单位。 【详解】根据分析： 300毫米＝3分米 310毫米＝3.1分米 200毫米＝2分米 3×3.1×2 ＝9.3×2 ＝18.6（立方分米） ＝18.6（升） 答：这个微波炉的容积大约是18.6升。 【变式训练】一个长方体纸箱，长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是( )升，做这样一个纸箱至少需要纸板( )平方分米。 【答案】 96 128 【分析】根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体容积。 根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个长方体的表面积，即需要纸板的面积，注意单位名数的换算。 【详解】6×4×4 ＝24×4 ＝96（立方分米） 96立方分米＝96升 （6×4＋6×4＋4×4）×2 ＝（24＋24＋16）×2 ＝（48＋16）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 一个长方体纸箱，长是6分米，宽是4分米，高是4分米，这个纸箱的容积是96升，做这样一个纸箱至少需要纸板128平方分米。 【变式训练】如下图，A，B是两块不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后，焊接成一个底面是正方形的无盖的长方体铁桶。哪块铁皮焊接成的铁桶装水更多？多多少升？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】B铁皮焊接成的铁桶装水更多；多4升 【分析】根据长方体的体积公式：，图①焊接成长方体的底面边长是厘米，高是厘米；图②焊接成长方体的底面边长是厘米，高是厘米，把数据分别代入公式求出它们的体积，然后单位换算，最后进行比较即可。 【详解】A：（厘米） （立方厘米） 立方厘米立方分米升 B：（厘米） （立方厘米） 立方厘米立方分米升 （升） 答：B铁皮焊接成的铁桶装水更多，多4升。 【点睛】此题考查的是理解长方体展开图的特征及应用，长方体的体积公式及应用，解题的关键是根据题意得出长方体的长、宽、高。 【变式训练】一个容积是216立方分米的正方体油箱里装满了油。把这箱油全部倒入另一个从里面量长8分米、宽5分米、高1米的长方体油箱内，油面离箱口有多少分米？ 【答案】4.6分米 【分析】油从一个正方体油箱倒入一个长方体油箱，油的体积没变。根据长方体的体积计算公式“”，用这些油的体积除以长方体油箱的长和宽即可求出油面高度，再用油箱的高度减油面高度，即可求出油面离箱口的高度。 【详解】 （分米） 1米＝10分米 （分米） 答：油面离箱口有4.6分米。 考点十八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】如图所示，一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是( )立方厘米，整个铁块的体积是( )立方厘米。（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】 300 400 【分析】（1）正方体容器棱长为10厘米，原来的水的高度是7厘米，可得水面上升的高度，水上升的体积就是铁块浸没在水中的体积，根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，即可求解； （2）已知铁块高8厘米，浸没部分的高度是6厘米，由（1）可知铁块浸没的体积，用铁块浸没的体积除以浸没部分的高度，即可求出铁块的底面积，整个铁块的体积＝底面积×总高，即可求解。 【详解】（1）水面上升的高度：（厘米） 浸没的体积： （立方厘米） （2）铁块的底面积：（平方厘米） 整个铁块的体积：（立方厘米） 因此一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是300立方厘米，整个铁块的体积是400立方厘米。 【变式训练】一个棱长是10厘米的正方体玻璃缸中有一块石头，往里面倒满水，再将石头取出，水面下降2厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】200立方厘米 【分析】根据用“排水法”测量实物体积的方法，这块石头的体积等于正方体玻璃缸中水下降的体积，下降水的体积相当于长和宽都是10厘米，高是2厘米的长方体体积，长方体体积＝长×宽×高，据此解答即可。 【详解】10×10×2 ＝100×2 ＝200（立方厘米） 答：这块石头的体积是200立方厘米。 综合训练 1．一种小瓶可以装药水5毫升，现有药水0.1升，可以装满（    ）小瓶。 A．2 B．5 C．20 D．200 【答案】C 【分析】根据1升＝1000毫升，将0.1升转化为0.1×1000＝100毫升，求100毫升可以装满几个5毫升的瓶子，用100除以5计算即可。 【详解】0.1升＝100毫升 100÷5＝20（瓶） 所以一种小瓶可以装药水5毫升，现有药水0.1升，可以装满20小瓶。 故答案为：C 2．在一个长8分米、宽6分米、高9分米的长方体盒子中放入棱长2分米的小正方体木块，最多能放（    ）个。 A．54 B．72 C．48 D．60 【答案】C 【分析】先分别计算长方体长、宽、高方向能容纳的小正方体数量，即用长方体的长、宽、高分别除以小正方体的棱长，再将三个方向的数量相乘，即可得到长方体内最多能放的小正方体的数量。 【详解】8÷2＝4（个） 6÷2＝3（个） 9÷2＝4（个）……1（分米） 由于小正方体不能分割，剩余的1分米不足以再放一个小正方体，因此只能放4个。 4×3×4 ＝12×4 ＝48（个） 因此，最多能放48个小正方体。 故答案为：C 3．下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此解答。 【详解】 A．属于“1－4－1”结构，可以折成正方体； B．属于“1－4－1”结构，可以折成正方体； C．不能折成正方体，不属于正方体展开图的类型； D．属于“1－3－2”结构，可以折成正方体。 故答案为：C 4．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1dm的小正方体（如图），这个玻璃鱼缸的容积是（    ）dm3。 A．126 B．96 C．90 D．72 【答案】D 【分析】从图中可以看出，无盖的长方体玻璃鱼缸的长可以放6个小正方体，则长是6dm；宽可以放4个小正方体，则宽是4dm；高可以放3个小正方体，则高是3dm；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个玻璃鱼缸的容积。 【详解】6×4×3 ＝24×3 ＝72（dm3） 这个玻璃鱼缸的容积是72dm3。 故答案为：D 5．一个长方体形状的玻璃杯（无盖），从外面量，长11厘米，宽11厘米，高16厘米。已知玻璃的厚度是0.5厘米，那么这个玻璃杯的容积是（    ）。 A．1936毫升 B．1500毫升 C．1708.875毫升 D．1550毫升 【答案】D 【分析】这个玻璃杯的容积为一个长方体，这个长方体的高为16－0.5＝15.5厘米，长为11－0.5－0.5＝10厘米，宽为11－0.5－0.5＝10厘米，再根据长方体的体积＝长×宽×高即可求出玻璃杯的体积，根据1毫升＝1立方厘米即可换算出这个玻璃杯的容积。 【详解】（11－0.5－0.5）×（11－0.5－0.5）×（16－0.5） ＝10×10×15.5 ＝1550（立方厘米） 1550立方厘米＝1550毫升 即这个玻璃杯的容积为1550毫升。 故答案为：D 6．一张长方形纸长40厘米、宽8厘米，把它对折、再对折，打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面，如果要为这个长方体配一个底面，则底面的面积是（    ）。 A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 【答案】B 【分析】 如图所示，把长方形纸对折、再对折，打开后长被平均分成4份，每份是40÷4＝10厘米，则该长方体的底面是以10厘米为边长的正方形，高是8厘米，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出这个长方体的底面积，据此解答。 【详解】40÷4＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 所以底面的面积是100平方厘米。 故答案为：B 7．李师傅在一个底面积为的长方体水池中放进一块铁矿石（完全浸没且水没有溢出）后，水面上升了4.5cm。这块铁矿石的体积是( )。 【答案】36 【分析】首先将4.5cm换算成0.45dm，再根据浸没在水里的物体体积＝水面上升部分体积＝水池底面积×水面上升部分高度，据此解答即可。 【详解】 （dm3） 所以这块铁矿石的体积是36dm3。 8．小宇想求一块不规则的橡皮泥的体积，于是把橡皮泥捏成了一个长方体，这个长方体长5cm、宽4cm、高2cm，那么这块橡皮泥的体积是( )。 【答案】40 【分析】橡皮泥由不规则捏成长方体，体积不变，故长方体的体积即为橡皮泥的体积；已知长方体长5cm、宽4cm、高2cm，根据长方体的体积公式，即可求出长方体的体积，据此解答。 【详解】（cm3） 因此，这块橡皮泥的体积是40cm3 9．一个量杯中原来装有300mL的水，把一个土豆放入其中（土豆浸没在水中且水未溢出），水面刻度指向556mL，这个土豆的体积是( )。 【答案】256 【分析】原来装有300mL的水，放入土豆后是556mL，根据：土豆的体积＝水与土豆一共的体积－水的体积，把数据代入计算即可。 【详解】（mL）（cm3） 这个土豆的体积是256。 10．在（    ）里填上合适的数。 ＝( )                 4040mL＝( )L 1.65L＝( )                       ＝( ) 5600mL＝( )L( )mL              4.08L＝( )L( )mL 【答案】 0.00508 4.04 1650 2.05 5 600 4 80 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1升＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以； 因为，，所以； 因为，，所以； 因为，，所以。 11．如图，在一个长5dm、宽3dm、高4dm的容器中装有水和一个被水完全浸没的铁块，水深3dm。将铁块取出后，水面下降了2cm，这个铁块的体积是( )。 【答案】3 【分析】由题意得：不规则铁块的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于长5dm、宽3dm、高为2cm的长方体的体积，根据长方体的体积=长×宽×高计算即可，注意单位的换算。 【详解】 （立方分米） 所以这个铁块的体积是3立方分米。 12．如图，用小棒和橡皮泥小球搭一个棱长总和是84cm的正方体框架。每根小棒的长度是( )cm，正方体的表面积是( )，正方体的体积是( )。（接头处忽略不计）。 【答案】 7 294 343 【分析】根据棱长＝正方体的棱长总和÷12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答即可。 【详解】（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 每根小棒的长度是7cm，正方体的表面积是294，正方体的体积是343。 13．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】224dm²；192dm³ 【分析】本题需要计算由3个相同小正方形拼成长方体的表面积和体积。需要明确长方体的长为4×3＝12dm，宽为4dm，高为4dm，再代入长方体的表面积和体积公式计算出结果。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。或者计算表面积时，看作由4个长12dm，宽4dm的长方形和2个边长为4dm的正方形组成；计算体积时看作由3个棱长为4dm的正方体组成的长方体。 【详解】（1）表面积：（12×4＋12×4＋4×4）×2 ＝（48＋48＋16）×2 ＝112×2 ＝224（dm²） 或4×4×2＋12×4×4 ＝32＋192 ＝224（dm²） （2）体积：12×4×4 ＝48×4 ＝192（dm³） 或4×4×4×3 ＝16×4×3 ＝64×3 ＝192（dm³） 图形的表面积是224 dm²，体积是192dm³。 【点睛】牢记长方体表面积和体积公式，灵活运用不同思路解题。 14．计算下面图形的体积。 【答案】160m3 【分析】如下图，把图形分割成两个长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，分别求出两个长方体的体积，再相加，就是这个图形的体积。 【详解】6×10×2＋2×10×（4－2） ＝6×10×2＋2×10×2 ＝120＋40 ＝160（m3） 图形的体积是160m3。 15．计算图1中正方体的体积，图2中长方体的表面积和棱长和。 【答案】图1：729cm3 图2：952cm2；160cm 【分析】图1：根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体体积； 图2：根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出长方体的表面积；长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体棱长总和。 【详解】图1： 9×9×9 ＝81×9 ＝729（cm3） 体积是729cm3。 图2： （22×10＋22×8＋10×8）×2 ＝（220＋176＋80）×2 ＝476×2 ＝952（cm2） （22＋10＋8）×4 ＝40×4 ＝160（cm） 表面积是952cm2，棱长总和是160cm。 16．宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。孙师傅将宣纸裁成如图的形状，经过艺术创作后，准备加上木条制成长方体灯罩。要做成这样一个灯罩，至少需要多少厘米长的木条？ 【答案】312厘米 【分析】根据题意可知，灯罩的长36cm、宽18cm、高24cm，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。 【详解】（18＋36＋24）×4 ＝78×4 ＝312（cm） 答：至少需要312厘米的木条。 17．一块铁皮长24厘米，王伯伯从铁皮的四个角各剪去了一个边长3厘米的正方形，如下图，再折起来焊接成一个无盖的长方体铁盒。已知这个铁盒的容积是648立方厘米，原来这块铁皮的面积是多少？ 【答案】432平方厘米 【分析】一块铁皮长24厘米，王伯伯从铁皮的四个角各剪去了一个边长3厘米的正方形，则焊接成一个无盖的长方体铁盒的长为24厘米减去两个边长3厘米，宽为原来铁皮的宽减去两个边长3厘米，高为3厘米； 用铁盒的容积是648立方厘米除以长方体铁盒的长，再除以长方体铁盒的高3厘米即可求出长方体铁盒的宽，再用长方体铁盒的宽加上两个边长3厘米即可求出原来铁皮的宽，再根据长方形的面积＝长×宽即可求出原来这块铁皮的面积是多少。 【详解】24－3×2 ＝24－6 ＝18（厘米） 648÷18÷3 ＝36÷3 ＝12（厘米） 12＋3×2 ＝12＋6 ＝18（厘米） 24×18＝432（平方厘米） 答：原来这块铁皮的面积是432平方厘米。 18．把60升水倒入一个长5分米，宽4分米，高6分米的长方体玻璃水槽中，如果将一块石头完全浸没水中，这时量得水面离槽口2分米。这块石头的体积是多少？ 【答案】20立方分米 【分析】石头的体积等于水面上升部分水的体积。根据1升＝1立方分米，得60升＝60立方分米。先根据长方体的高＝体积÷长÷宽，用60÷5÷4计算出未放入石头时水的高度，再用长方体玻璃水槽的总高度6分米减去放入石头后水面离槽口的2分米，得到放入石头后水面高度。再接着减去未放入石头前水面的高度，求出放入石头后水面上升的高度，最后用长方体的长乘宽乘水面上升的高度得到石头的体积。 【详解】60升＝60立方分米 60÷5÷4 ＝12÷4 ＝3（分米） 6－2－3 ＝4－3 ＝1（分米） 5×4×1 ＝20×1 ＝20（立方分米） 答：这块石头的体积是20立方分米。 19．一根绳子长7米，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果结头处的绳子长23厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 【答案】6个 【分析】捆扎这个礼盒需要2个长方体长的长度，2个长方体宽的长度，4个长方体高的长度，再加上结头处的长度，据此先求出捆扎一个礼盒需要的绳子的长度，再用绳子的总长度÷捆扎一个礼盒需要的长度，最后不管剩下绳子多长，只要不够捆扎一个礼盒的长度，就不能再捆扎一个礼盒，结果用“去尾法”解答，注意单位名数的统一。 【详解】7米＝700厘米 700÷（15×2＋10×2＋8×4＋23） ＝700÷（30＋20＋32＋23） ＝700÷（50＋32＋23） ＝700÷（82＋23） ＝700÷105 ≈6（个） 答：这根绳子最多可以捆扎6个这样的礼盒。 20．一个游泳池长50米、宽21米，现在水深0.8米。工作人员要往池内加水，如果该游泳池每小时的进水量是300立方米，那么多少小时后水深达到1.8米？（蒸发损耗忽略不计） 【答案】3.5小时 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，分别求出水深0.8米时，水的体积；水深1.8米时，水的体积，再用水深1.8米水的体积减去水深0.8米水的体积，求出需要加入水的体积；再用需要加入水的体积除以每小时的进水量，即可解答。 【详解】（50×21×1.8－50×21×0.8）÷300 ＝（1050×1.8－1050×0.8）÷300 ＝（1890－840）÷300 ＝1050÷300 ＝3.5（小时） 答：3.5小时后水深达到1.8米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $