突破讲练一 因数与倍数的特征及应用（第二单元 因数和倍数）知识梳理+六大题型讲练+优选题拔尖练 共38题-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲义【题型讲练】 突破讲练一 因数与倍数的特征及应用 （第二单元 因数与倍数） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 因数与倍数的定义 1 知识点二 找一个数的因数的方法 1 知识点三 因数的特征 1 知识点四 找一个数的倍数的方法 2 知识点五 倍数的特征 2 重点难点 题型讲练 2 题型一：因数和倍数的认识 2 题型二：找一个数的因数及因数的特征 2 题型三：根据因数的特征解决问题 3 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 3 题型五：根据倍数的特征解决问题 4 题型六：倍数和因数的综合应用 4 培优检测 能力提升 5 知识点一 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 知识点二 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 知识点三 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点四 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 知识点五 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 题型一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。 （1）（    ）先说“过”。 （2）像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？ 【变式训练1】（23-24五年级下·贵州铜仁·期末）在算式5÷2.5＝2中，5是2.5的倍数，也是2的倍数。( )（判断对错） 【变式训练2】下列各数中，既是42的因数，又是14的倍数的是（    ）。 A．28 B．14 C．7 D．21 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·广东中山·期末）6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫做完美数），根据这样的方法判断，下面（    ）是完全数。 A．9 B．28 C．29 D．30 【变式训练1】（24-25五年级下·北京昌平·期末）你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数( )。28是完美数吗？( )（括号里填“是”或者“不是”）。 【变式训练2】（24-25五年级下·云南玉溪·期中）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队在21时24分出场。“24”诉说着我国独有的文化魅力，那么24有（    ）个因数。 A．4 B．6 C．8 D．10 题型三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆忠县·期中）用40个相同的小正方形可以拼成（    ）种不同的长方形。 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·单元测试）红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练2】（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（2024·湖北恩施·小升初真题）一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．48 【变式训练1】（23-24五年级下·广东阳江·期末）20的因数有( )，40以内12的倍数有( )。 【变式训练2】下面说法正确的是（    ）。 A．18的因数和倍数都有无数个 B．一个数的倍数一定大于它的因数 C．一个数越大，它的因数的个数就越多 D．一个数是9的倍数，它一定也是3的倍数 题型五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【变式训练1】小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【变式训练2】妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？ 题型六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【变式训练1】小明妈妈今年的年龄既是70的因数，又是5的倍数，她今年是（    ）岁。 A．20 B．35 C．45 D．50 【变式训练2】猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 1．（24-25五年级下·河南焦作·期中）一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数最大是（    ）。 A．6 B．12 C．36 D．72 2．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）下面拼摆的图形中，（    ）不能表示12的因数。 A． B． C． D． 3．（23-24五年级下·重庆酉阳·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．一个数的倍数总是比这个数的因数大 B．一个数是9的倍数，它一定是3的倍数 C．因为15÷3＝5，所以15是倍数，3是因数 D．1.5÷0.5＝3，所以1.5是0.5的倍数。 4．（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）如果4b＝a，b÷2＝c（a，b，c均是非0自然数），那么下面说法中不正确的是（    ）。 A．a是b的倍数 B．c是b的因数 C．b是2的倍数 D．a是b和c的因数 5．根据m×6＝n（m、n均为非0自然数），下面说法正确的是（    ）。 A．m是6的因数 B．m是n的倍数 C．n是m的倍数 D．n是6的因数 6．a、b、c是三个不同的自然数，且a÷b＝c，那a至少有（    ）个不同的因数。 A．4 B．3 C．2 7．（23-24五年级下·海南海口·期末）因为8×9＝72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是72的因数。 8．（23-24五年级下·福建莆田·期末）一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝100，那么c＋d＝( )。 9．（23-24五年级下·河北承德·期末）一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是( )。 10．在5×6＝30中，( )和( )都是( )的因数；( )是( )的倍数，也是( )的倍数。 11．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝64，那么c＋d＝( )。 12．已知2个不同的一位数△，□和两位数，这3个数的乘积是三位数，那么△＋□等于________。 13．（24-25五年级下·山西忻州·期中）一个数的倍数不可能是它的因数。( )（判断对错） 14．（24-25五年级下·河南周口·期中）因为14÷7＝2，所以14是倍数，7是因数。( )（判断对错） 15．（24-25五年级下·山东济宁·期中）18的因数是有限的，24的倍数是无限的。( )（判断对错） 16．（24-25五年级下·贵州铜仁·期中）求下列各组数的最大公因数。 15和16        28和36                  7和63 17．（25-26五年级上·广东揭阳·期末）学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 18．（24-25五年级下·重庆江北·期中）医院打算购买一批疫苗，数量在100到200盒之间，并且比25的倍数多7盒，这批疫苗最多有多少盒？ 19．（24-25五年级下·上海杨浦·期末）新华书店周日卖出的文艺书180本，比卖出的科技书多100本，卖出的科技书是卖出的历史书的2倍，卖出的历史书有多少本？ 20．（23-24五年级下·贵州铜仁·期中）拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲义【题型讲练】 突破讲练一 因数与倍数的特征及应用 （第二单元 因数与倍数） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 因数与倍数的定义 1 知识点二 找一个数的因数的方法 1 知识点三 因数的特征 1 知识点四 找一个数的倍数的方法 2 知识点五 倍数的特征 2 重点难点 题型讲练 2 题型一：因数和倍数的认识 2 题型二：找一个数的因数及因数的特征 3 题型三：根据因数的特征解决问题 4 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 6 题型五：根据倍数的特征解决问题 7 题型六：倍数和因数的综合应用 8 培优检测 能力提升 10 知识点一 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 知识点二 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 知识点三 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点四 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 知识点五 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 题型一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，7名学生在玩“逢7过”的游戏，按顺时针方向依次报数，说到“7”的倍数时，要说“过”，而不能说出这个数字是几。 （1）（    ）先说“过”。 （2）像这样一直报下去，其他学生有可能说“过”吗？为什么？ 【答案】（1）乐乐 （2）不可能。 【思路引导】（1）根据题意，说到“7”的倍数要说“过”，结合报数顺序，依次找到第一个报“7”的人 （2）根据参与报数的人数及“7”的倍数的特点，据此判断解答。 【规范解答】（1）根据报数顺序，第一个报出“7”的倍数的人是乐乐，所以乐乐先说“过”； （2）因为一共有7名学生，7÷7＝1，只有乐乐的位置对应的数是7的倍数，也就是只有乐乐能说“过”；所以其他学生不可能说“过”。 【变式训练1】（23-24五年级下·贵州铜仁·期末）在算式5÷2.5＝2中，5是2.5的倍数，也是2的倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据因数和倍数的定义，倍数和因数的研究范围仅限于整数，且必须满足被除数、除数、商均为整数，题目中除数为小数，不符合条件。 【规范解答】在算式5÷2.5＝2中，虽然商是整数，但除数2.5是小数。由于2.5不是整数，因此5不是2.5的倍数，也不是2的倍数，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 【变式训练2】下列各数中，既是42的因数，又是14的倍数的是（    ）。 A．28 B．14 C．7 D．21 【答案】B 【思路引导】用列乘法算式法，求出42的因数，再找出14的倍数（小于等于42），再看哪个数既是42的因数，又是14的倍数，据此解答。 【规范解答】1×42＝42，2×21＝42，3×14＝42，6×7＝42，所以42的因数有1，2，3，6，7，14，21，42。 14×1＝14，14×2＝28，14×3＝42，所以42以内的14的倍数是14，28，42。 A．28不是42的因数，28是14的倍数； B．14是42的因数，14是14的倍数； C．7是42的因数，7不是14的倍数； D．21是42的因数，21不是14的倍数。 故答案为：B 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·广东中山·期末）6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫做完美数），根据这样的方法判断，下面（    ）是完全数。 A．9 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【思路引导】先按顺序找出选项中各数的所有因数，再求出除这个数本身之外其它所有因数的和，如果求出的和与这个数本身相等，那么这个数是完全数，如果求出的和与这个数本身不相等，那么这个数不是完全数，据此解答。 【规范解答】A．9的因数有1，3，9，1＋3＝4，4≠9，所以9不是完全数； B．28的因数有1，2，4，7，14，28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数； C．29的因数有1，29，29不是完全数； D．30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，1＋2＋3＋5＋6＋10＋15＝42，42≠30，所以30不是完全数。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级下·北京昌平·期末）你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数( )。28是完美数吗？( )（括号里填“是”或者“不是”）。 【答案】 1、2、4、7、14、28 是 【思路引导】先列举出28的全部因数，再把除了28以外的所有因数相加，如果和等于28，那么28就是完美数，反之，就不是完美数。 找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 “完美数”的定义：一个数除了它本身以外的所有因数之和等于它本身。 【规范解答】28＝1×28＝2×14＝4×7 28的因数：1、2、4、7、14、28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 所以，28是完美数。 填空如下： 请写出28的全部因数（1、2、4、7、14、28）。28是完美数吗？（是）。 【变式训练2】（24-25五年级下·云南玉溪·期中）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队在21时24分出场。“24”诉说着我国独有的文化魅力，那么24有（    ）个因数。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【规范解答】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，一共有8个。 故答案为：C 题型三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆忠县·期中）用40个相同的小正方形可以拼成（    ）种不同的长方形。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【思路引导】拼成的长方形中，每排正方形的个数×排数＝40，将40拆成2个正整数相乘的形式，有多少种拆法，就有多少种不同的长方形。 【规范解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 共有4种拆法。 故答案选：A 【考点剖析】此题主要考查数的拆分，需注意，5×8和8×5属于同一种拆法，拼出的长方形形状是完全一样的。 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·单元测试）红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】因为m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），所以m的因数有：1、m、a、b、c，还有三个质数两两相乘的积，即a×b、a×c、b×c，共有8个因数。 【规范解答】据分析可知，红树林是生长在海水中的森林，某座海脊（也称“海底山脉”）两边一共有m棵红树林，若m＝a×b×c（a、b、c是互不相同的质数），则m有8个因数。 故答案为：D 【变式训练2】（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【思路引导】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【规范解答】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 题型四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（2024·湖北恩施·小升初真题）一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．48 【答案】B 【思路引导】8的倍数包括8、16、24…，‌而24的因数包括1、2、3、4、6、8、12、24。‌据此可知既是8的倍数，又是24的因数是8和24。 【规范解答】一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是8和24。 故答案为：B 【变式训练1】（23-24五年级下·广东阳江·期末）20的因数有( )，40以内12的倍数有( )。 【答案】 1、2、4、5、10、20 12、24、36 【思路引导】找一个数的因数，可以一对一对的找，把20写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是20的因数，然后从小到大依次写出即可； 求一个数的倍数的方法用这个数分别乘自然数： 1、2、3、4、5……所得积就是这个数的倍数，据此写出40以内12的倍数即可。 【规范解答】20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有：1、2、4、5、10、20； 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48（超过40所以排除） 40以内12的倍数有：12、24、36。 【变式训练2】下面说法正确的是（    ）。 A．18的因数和倍数都有无数个 B．一个数的倍数一定大于它的因数 C．一个数越大，它的因数的个数就越多 D．一个数是9的倍数，它一定也是3的倍数 【答案】D 【思路引导】一个数的因数是有限的，倍数是无限的； 一个数的最小倍数是本身，最大因数也是本身； 一个数的因数个数的多少和这个数本身的大小没有关系； 9是3的倍数，那么9的倍数也一定是3的倍数。 【规范解答】A．18的因数有1、2、3、6、9、18，一共是6个因数。18的倍数有18、36、54……，18的倍数是无限的。所以，原说法错误； B．比如，2的最小倍数是2，2的最大因数也是2，那么一个数的因数可能和它的倍数相等。所以，原说法错误； C．比如，11的因数只有1和11，9的因数有1、3、9，所以一个数越大，它因数的个数不一定越多。原说法错误； D．9本身是3的倍数，那么9的倍数一定是3的倍数。比如18是9的倍数，同时18也是3的倍数。所以，原说法正确。 故答案为：D 题型五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【思路引导】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【规范解答】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 【考点剖析】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 【变式训练1】小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】见详解 【思路引导】根据可能性的大小与数量的多少有关，数量多则可能性就大，反之就小；2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，所以小军的胜率比小明的胜率大，这个游戏不公平；1、2、3、4、5、6这6个数，分别有3个单数，有3个双数，要使游戏是公平，可以猜单双数。据此解答即可。 【规范解答】2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，据此可知这个游戏不公平，因为2的倍数和3的倍数的个数不同，赢的可能性必然不同。设计一个公平的游戏规则如下：猜单数和双数，如果单数小明赢，双数小华赢。 【考点剖析】本题考查可能性，明确可能性的大小与数量的多少有关是解题的关键。 【变式训练2】妈妈买来16个凤梨，每2个装一盒，能正好装完吗？每5个装一盒，能正好装完吗？为什么？ 【答案】见详解 【思路引导】利用因数和倍数的概念，结合题意直接解题即可。 【规范解答】答：每2个装一盒，能正好装完，因为16是2的倍数；每5个装一盒，不能正好装完，因为16不是5的倍数。 【考点剖析】本题考查了因数和倍数的应用，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 题型六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【规范解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 【变式训练1】小明妈妈今年的年龄既是70的因数，又是5的倍数，她今年是（    ）岁。 A．20 B．35 C．45 D．50 【答案】B 【思路引导】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。据此找到既是70的因数，又是5的倍数的选项即可。 【规范解答】A．20不是70的因数，排除； B．35是70的因数，也是5的倍数，她今年35岁。 C．45不是70的因数，排除； D．50不是70的因数，排除。 故答案为：B 【考点剖析】关键是理解因数和倍数的含义，解决选择题的方法多种多样，排除法是常用的一种方法。 【变式训练2】猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】0592－5056831 【思路引导】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 【规范解答】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 【考点剖析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 1．（24-25五年级下·河南焦作·期中）一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数最大是（    ）。 A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【思路引导】列举出36的因数和6的倍数，找出满足题目条件的最大数。 【规范解答】因为6的倍数有6、12、18、24、30、36，…； 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数可能是：6，12，18，36，最大为36。 2．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）下面拼摆的图形中，（    ）不能表示12的因数。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】因数是指能够整除一个数的数。通过图形拼摆（可以理解为长方形的长和宽的组合，因为用小正方形拼长方形，长和宽的乘积就是小正方形的总数），判断哪个图形对应的数不是12的因数。 【规范解答】12的因数有1、2、3、4、6、12。 A．如果图形是长6、宽2的长方形，那么小正方形总数是6×2＝12，6和2都是12的因数。 B．图形是长12、宽1的长方形，小正方形总数是12×1＝12，12和1都是12的因数。 C．图形是长5、宽3的长方形，小正方形总数是5×3＝15，15不是12，而且5不是12的因数，3是12的因数，但这里长和宽的乘积不是12相关的，所以这个图形不能表示12的因数。 D．图形是长4、宽3的长方形，小正方形总数是4×3＝12，4和3都是12的因数。 所以这些拼摆的图形中，不能表示12的因数。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·重庆酉阳·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．一个数的倍数总是比这个数的因数大 B．一个数是9的倍数，它一定是3的倍数 C．因为15÷3＝5，所以15是倍数，3是因数 D．1.5÷0.5＝3，所以1.5是0.5的倍数。 【答案】B 【思路引导】若整数a能够被整数b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。利用因数、倍数的意义并结合选项，依次进行分析解答即可。 【规范解答】A．一个数的最大因数等于它的最小倍数，所以一个数的倍数一定比它的因数大的说法错误； B．因为9是3的倍数，所以一个数是9的倍数，它一定是3的倍数的说法正确； C．因为15÷3＝5，所以15是3的倍数，3是15的因数，该选项说法错误； D．因为1.5和0.5都不是整数，所以1.5÷0.5＝3，所以1.5是0.5的倍数的说法错误。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）如果4b＝a，b÷2＝c（a，b，c均是非0自然数），那么下面说法中不正确的是（    ）。 A．a是b的倍数 B．c是b的因数 C．b是2的倍数 D．a是b和c的因数 【答案】D 【思路引导】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数；如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；据此举例判断即可。 【规范解答】假设b＝2，则a＝4×2＝8，c＝2÷2＝1； A．因为2×4＝8，8是2的倍数，所以a是b的倍数；原说法正确；     B．因为1×2＝2，1是2的因数，所以c是b的因数；原说法正确；     C．因为2×1＝2，2是2的倍数，所以b是2的倍数；原说法正确；     D．因为2×4＝8，1×8＝8，8和1是2的倍数，所以a是b和c的倍数；原说法错误。 故答案为：D 5．根据m×6＝n（m、n均为非0自然数），下面说法正确的是（    ）。 A．m是6的因数 B．m是n的倍数 C．n是m的倍数 D．n是6的因数 【答案】C 【思路引导】如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然数），那么b，c就是a的因数，a就是b，c的倍数。因为m×6＝n（m、n均为非0自然数），所以n是m的倍数，n是6的倍数，m是n的因数，6是n的因数。 【规范解答】A．由m×6＝n（m、n均为非0自然数），不能说明m是6的因数，A选项错误。 B．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，m是n的因数，B选项错误。 C．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，n是m的倍数，C选项正确。 D．由m×6＝n（m、n均为非0自然数）可知，n是6的倍数，D选项错误。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 6．a、b、c是三个不同的自然数，且a÷b＝c，那a至少有（    ）个不同的因数。 A．4 B．3 C．2 【答案】A 【思路引导】整数除法中，商是整数且没有余数时，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，这样才能保证a、b、c均不为1，保证不重复的情况下，才能得到4个不同的因数，所以a至少有1、b、c、a，这4个因数。 【规范解答】a至少有1、b、c、a，这4个因数。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数的概念。 7．（23-24五年级下·海南海口·期末）因为8×9＝72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是72的因数。 【答案】 8 9 8 9 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。 【规范解答】因为8×9＝72，所以72÷8＝9，72÷9＝8，所以72是8的倍数，也是9的倍数；8和9都是72的因数。 8．（23-24五年级下·福建莆田·期末）一个自然数，它的因数从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝100，那么c＋d＝( )。 【答案】20 【思路引导】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，则a＝1，f就是这个自然数，根据a＋f＝100，求出这个数，再用除法求出这个数的所有因数，并按照从小到大的项序排列，即可求c和d的值，据此即可解答。 【规范解答】由分析可知，a＝1，则f＝100－1＝99 99÷1＝99 99÷3＝33 99÷9＝11 99的因数有1、3、9、11、33、99， c＋d＝9＋11＝20 9．（23-24五年级下·河北承德·期末）一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是( )。 【答案】15 【思路引导】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是15。 10．在5×6＝30中，( )和( )都是( )的因数；( )是( )的倍数，也是( )的倍数。 【答案】 5 6 30 30 6 5 【思路引导】如果a除以b等于整数，则此时a是b的倍数，b是a的因数；整数乘法中，两个乘数是积的因数，积是两个乘数的倍数。据此可得出答案。 【规范解答】在5×6＝30中，5和6都是30的因数；30是6的倍数，也是5的倍数。 11．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个自然数有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f。已知a＋f＝64，那么c＋d＝( )。 【答案】16 【思路引导】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，则a＝1，f就是这个自然数，根据a＋f＝64，求出这个数，再用除法求出这个数的所有因数，并按照从小到大的顺序排列，即可求得c和d的值，据此即可解答。 【规范解答】由分析可知，a＝1，则f＝64－1＝63 63÷1＝63 63÷3＝21 63÷7＝9 63的因数有：1，3，7，9，21，63； 所以，c＝7，d＝9； 7＋9＝16，即c＋d＝16。 12．已知2个不同的一位数△，□和两位数，这3个数的乘积是三位数，那么△＋□等于________。 【答案】10 【思路引导】因为△×□×＝，且＝□×111，所以△×＝111，将111拆分成2个整数相乘，111＝1×111＝3×37，△是一位数，是两位数，所以△是3，是37。据此解答。 【规范解答】因为＝□×111 所以△×＝111 111＝3×37 △＝3 ＝37 □＝7 3＋7＝10 所以△＋□等于10。 【考点剖析】明确可以拆分成□×111是解答本题的关键。 13．（24-25五年级下·山西忻州·期中）一个数的倍数不可能是它的因数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】一个数的最大因数是它本身，最小的倍数是它本身，据此举例说明即可。 【规范解答】15是15的倍数，也是15的因数，一个数的倍数可能是它的因数，所以原题说法错误。 故答案为：× 14．（24-25五年级下·河南周口·期中）因为14÷7＝2，所以14是倍数，7是因数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在，据此判断。 【规范解答】14÷7＝2，即7×2＝14 根据由此可知，14是7和2的倍数，2和7是14的因数。 原题干说法错误。 故答案为：× 15．（24-25五年级下·山东济宁·期中）18的因数是有限的，24的倍数是无限的。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【规范解答】18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个，是有限的；24的倍数有24、48、72……，因此24的倍数是无限的。原题说法正确。 故答案为√。 16．（24-25五年级下·贵州铜仁·期中）求下列各组数的最大公因数。 15和16        28和36                  7和63 【答案】1；4；7 【思路引导】对于不同的数，可根据数的特点选择合适方法。一般可以通过列举法、分解质因数法等找出两个数公有的因数中最大的那个，就是它们的最大公因数。如果两个数是互质数（公因数只有1的两个非零自然数），那么它们的最大公因数就是1；如果两个数存在倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数。 【规范解答】（1）15的因数有1、3、5、15。 16的因数有1、2、4、8、16。 15和16的最大公因数是1； （2）28的因数有1、2、4、7、14、28。 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 28和36的最大公因数是4； （3）63÷7＝9 7和63的最大公因数是7。 17．（25-26五年级上·广东揭阳·期末）学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【答案】48人 【思路引导】根据题意，这个数刚好是12和16的公倍数，首先我们先找出12和16的最小公倍数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48。而48又刚好小于50，即48就是所求答案。 【规范解答】根据分析， 12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48； 48＜50 答：这个班有48人。 18．（24-25五年级下·重庆江北·期中）医院打算购买一批疫苗，数量在100到200盒之间，并且比25的倍数多7盒，这批疫苗最多有多少盒？ 【答案】182盒 【思路引导】先确定25的倍数在100到200之间的最大值，因为要找最多的盒数，所以先计算200除以25得到8，但25×8＝200不符合“在100到200盒之间”的要求，因此取25的7倍，再加上7，即可得到符合条件的最大数量。 【规范解答】200÷25＝8 8－1＝7 25×7＋7 ＝175＋7 ＝182（盒） 答：这批疫苗最多有182盒。 19．（24-25五年级下·上海杨浦·期末）新华书店周日卖出的文艺书180本，比卖出的科技书多100本，卖出的科技书是卖出的历史书的2倍，卖出的历史书有多少本？ 【答案】 40本 【思路引导】根据题意，文艺书比科技书多100本，因此科技书数量为180本减去100本。科技书是历史书的2倍，所以历史书数量为科技书数量除以2。据此解答即可。 【规范解答】180－100＝80（本） 80÷2＝40（本） 答：卖出的历史书有40本。 20．（23-24五年级下·贵州铜仁·期中）拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 【答案】9次 【思路引导】分别找出50以内“明九”和“暗九”的次数，再相加，即可求出答案。 【规范解答】50以内“明九”有：9、19、29、39、49，共5次 50以内“暗九”有：18、27、36、45，共4次 5＋4＝9（次） 答：他过了9次“九”。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 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