突破讲练三 质数和合数（第二单元 因数和倍数）知识梳理+三大题型讲练+优选题拔尖练 共32题-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲义【题型讲练】 突破讲练三 质数和合数 （第二单元 因数与倍数） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一：质数与合数 1 知识点二：分解质因数 2 重点难点 题型讲练 2 题型一：质数与合数的认识 2 题型二：质数与合数的综合应用 2 题型三：运算性质（奇数和偶数) 3 培优检测 能力提升 4 知识点一：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点二：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 题型一：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·河南许昌·期中）下面的说法中正确的有（    ）个。 ①偶数的因数一定比奇数的因数多； ②3，4，5这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数； ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数； ④除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）一列数是这样排列的：1，1，2，3，5，8，13…。按规律，这列数的第16个数是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．质数 【变式训练2】（24-25五年级下·天津和平·期末）哥德巴赫猜想的内容为“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。”下面符合这个猜想的算式是（    ）。 A．45＝2＋43 B．42＝11＋31 C．38＝25＋13 D．16＝7＋9 【变式训练3】（24-25五年级下·天津滨海新区·期末）中国获得第一枚奥林匹克运动会金牌的年份是一个四位数。这个四位数千位上的数字既不是质数也不是合数，百位上的数字是一位数中最大的合数，十位上数字的最大因数是8，个位上的数字是最小的合数。这一年是( )年。 题型二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【变式训练1】（23-24五年级下·全国·课后作业）你知道它们代表的数各是多少吗？ ( )  ( )  ( )  ( )  ( )  ( ) 【变式训练2】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【变式训练3】（23-24五年级上·河南驻马店·期中）用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？ 题型三：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 【变式训练1】（23-24五年级下·河北邯郸·期中）三个自然数之和是奇数，这三个数中不可能有偶数。( )（判断对错） 【变式训练2】．（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）1＋3＋5－7＋9＋11＋13－15＋……＋85－87的结果是( )。（填“偶数”或“奇数”） 【变式训练3】（24-25五年级下·河南新乡·期末）某数学家在1900年国际数学家大会上提出“孪生质数猜想”，孪生质数是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数并且相差2，那么3和5就是孪生质数，同理5和7也是孪生质数。 (1)请你再写出一组20以内的孪生质数( )。 (2)和表示孪生质数，那么是( )，是( )。（填“奇数”或“偶数”） 1．（24-25五年级下·广东东莞·期中）既是偶数，又是质数的是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．9 2．（23-24五年级下·河北唐山·期中）有三个数分别是37、47、57，这三个数中（    ）是合数。 A．37 B．47 C．57 3．（22-23五年级下·湖南长沙·期中）一个合数至少有（    ）个因数。 A．1 B．2 C．3 4．（24-25五年级下·浙江温州·期中）下面各种说法，正确的是（    ）。 ①一个数的最小倍数是它本身。             ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。             ④一个数至少有两个因数。 A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）用这三张数字卡片组成的三位数一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 6．（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个两位数只有两个因数，且它的十位数字比个位数字少1，这样的两位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25五年级下·江西赣州·期中）从下面四张数字卡中取出合适的卡片，按要求组数。 (1)组成两位数的质数________。 (2)组成3的倍数且是最小的三位数________。 (3)组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数________。 8．（24-25五年级下·浙江温州·期中）费马是法国业余数学家，他曾经提出一个猜想，猜想大致意思如下：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“＋”的形式。 例如17是一个奇质数，17÷4＝4……1，那么17可以写成“＋”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 请根据上面的内容，完成下面的题目。 (1)23是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或“不符合”） (2)写出一个30~40之间符合费马平方和定理的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 9．（24-25五年级下·重庆江北·期中）在a÷b＝c……d中（d≠0），若b是最小的合数，c是最小的质数，则a最大是( )，最小是( )。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 11．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 12．（24-25五年级下·全国·课后作业）7的倍数一定是合数。( ) 13．（24-25五年级下·全国·课后作业）两个质数的积是奇数，那么这两个质数一定都是奇数。( ) 14．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）一个边长是质数的正方形，其面积数一定也是质数。( ) 15．（2020五年级下·全国·专题练习）求出下面每组数的最大公因数。 （1）3和7      9和16        11和22 （2）6和24     88和11        63和9 16．（2020五年级下·全国·专题练习）用短除法将下列各数分解质因数。 56  64  84  96 17．（2025五年级下·浙江杭州·专题练习）一个长方形的周长是20厘米，它的长和宽是两个不同的质数。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 18．（24-25五年级下·浙江温州·期中）某个电影院电影票的价格比7的倍数多5.如果电影票的价格是在40和50之间，且是质数，那么电影票的价格可能是多少元？ 19．（25-26五年级上·河南商丘·期中）萱萱的QQ号是一个九位数，从左往右依次是：①2的最大因数；②最小的奇数的6倍；③10以内有因数3的偶数；④最大的一位数；⑤既不是质数，也不是合数的数；⑥最小的自然数；⑦10以内最大的质数；⑧既是质数，又是偶数的数；⑨最小的合数。请分析萱萱的QQ号是多少。 20．有两个质数，它们的和是小于40的奇数，且是5的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲义【题型讲练】 突破讲练三 质数和合数 （第二单元 因数与倍数） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一：质数与合数 1 知识点二：分解质因数 2 重点难点 题型讲练 2 题型一：质数与合数的认识 2 题型二：质数与合数的综合应用 4 题型三：运算性质（奇数和偶数) 6 培优检测 能力提升 8 知识点一：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点二：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 题型一：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·河南许昌·期中）下面的说法中正确的有（    ）个。 ①偶数的因数一定比奇数的因数多； ②3，4，5这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数； ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数； ④除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此举例说明即可； ②一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； ③只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果甲数和乙数是小数，则不在研究范围，举例说明即可； ④除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。奇数＋奇数＝偶数，据此分析。 【规范解答】①2是偶数，3是奇数，2的因数有1、2；3的因数有1、3；2和3的因数都有2个，偶数的因数一定比奇数的因数多这种说法错误； ②3＋4＋5＝12，12是3的倍数，3，4，5这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数，说法正确； ③如果甲数是4.5，乙数是0.3，4.5÷0.3＝15，如果甲数和乙数都是小数，不在因数和倍数的研究范围，原说法错误； ④2是质数中唯一的偶数，除2外，其他的质数都是奇数，奇数＋奇数＝偶数，其他任意两个质数的和都是偶数，说法正确。 说法中正确的有2个。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）一列数是这样排列的：1，1，2，3，5，8，13…。按规律，这列数的第16个数是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．质数 【答案】A 【思路引导】已知数列按1，1，2，3，5，8，13…排列，发现：从第3个数开始后一个数等于前两个数的和； 同时发现这个数列中1既不是质数也不是合数，1、2、3、8、13不是5的倍数，所以这个列数要么是奇数，要么是偶数。 发现这列数奇偶性的规律为：奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……，即每3个数为一组，按“奇数、奇数、偶数”的顺序循环；那么16里面有几个3，就循环几次，余数是几，就表示是一个循环里的第几个数，据此得出第16个数是奇数还是偶数即可。 【规范解答】规律：这列数是按“奇数、奇数、偶数”的顺序循环，每3个数字为一个循环周期。 16÷3＝5（组）……1（个） 余数是1，表示第16个数是第6组的第1个数，每组的第1个数是奇数。 所以，按规律，这列数的第16个数是奇数。 故答案为：A 【变式训练2】（24-25五年级下·天津和平·期末）哥德巴赫猜想的内容为“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。”下面符合这个猜想的算式是（    ）。 A．45＝2＋43 B．42＝11＋31 C．38＝25＋13 D．16＝7＋9 【答案】B 【思路引导】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；整数中，是2的倍数的数叫作偶数；结合质数、偶数的定义，分析算式中的和与加数，由此解答即可。 【规范解答】A．45＝2＋43，其中45不是偶数，所以这个算式45＝2＋43不符合哥德巴赫猜想。 B．42＝11＋31，42是偶数，11和31都是质数，所以算式42＝11＋31符合哥德巴赫猜想。 C．38＝25＋13，38是偶数，25的因数除了1和25外，还有因数5，所以25不是质数，所以算式38＝25＋13不符合哥德巴赫猜想。 D．16＝7＋9，其中9除了因数1和9外，还有因数3，所以9不是质数，算式16＝7＋9不符合哥德巴赫猜想。 所以符合哥德巴赫猜想的算式是42＝11＋31。 故答案为：B 【变式训练3】（24-25五年级下·天津滨海新区·期末）中国获得第一枚奥林匹克运动会金牌的年份是一个四位数。这个四位数千位上的数字既不是质数也不是合数，百位上的数字是一位数中最大的合数，十位上数字的最大因数是8，个位上的数字是最小的合数。这一年是( )年。 【答案】 1984 【思路引导】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其它因数的数是合数。一个数的最大因数是它本身，据此逐一分析出千位、百位、十位、个位上的数，从而得出这个四位数，确定年份。 【规范解答】千位：既不是质数也不是合数的数字只有1，因此千位是1； 百位：一位数中最大的合数是9（9的因数有1、3、9），因此百位是9； 十位：最大因数是8的数字是8（一个数的最大因数是它本身），因此十位是8； 个位：最小的合数是4（4的因数有1、2、4），因此个位是4。 将四位数字组合为1984，所以，这一年是1984年。 题型二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【思路引导】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【规范解答】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 【变式训练1】（23-24五年级下·全国·课后作业）你知道它们代表的数各是多少吗？ ( )  ( )  ( )  ( )  ( )  ( ) 【答案】 4 13 8 10 5 7 【思路引导】根据质数和合数的含义：在大于1的自然数中，如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数；合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。1既不属于质数也不属于合数。结合题意分析即可。 【规范解答】根据已知条件，质数和合数的和为17，则他们分别小于17，小于17的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16，小于17的质数有2、3、5、7、11、13，所以4＋13＝17，6＋11＝17，10＋7＝17，12＋5＝17，14＋3＝17，15＋2＝17，因为它们的积是52，4×13＝52，，所以这两个数为4和13。 两个合数的和为18，则这两个数是小于18的合数，小于18的合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16，所以4＋14＝18，6＋12＝18，8＋10＝18，9＋9＝18，因为这两个合数的差为2，10－8＝2，所以这两个数为8和10。 两个质数的和是12，则这两个数是小于12的质数，小于12的质数有2，、3、5、7、11，所以5＋7＝12，因为它们的积为35，5×7＝35，所以这两个数为5和7。 即它们代表的数各是4、13、8、10、5、7 【变式训练2】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【答案】4210958 【思路引导】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。 【规范解答】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。 【变式训练3】（23-24五年级上·河南驻马店·期中）用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？ 【答案】99平方厘米 【思路引导】根据长方形的周长公式，可得长＋宽＝40÷2＝20厘米，再根据质数和合数的定义，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。找出符合要求的质数和合数，最后利用长方形的面积公式即可得解。 【规范解答】40÷2＝20（厘米） 长和宽的米数是由一个质数和一个合数组成的。 20＝2＋18＝5＋15＝9＋11 2×18＝36（平方厘米） 5×15＝75（平方厘米） 9×11＝99（平方厘米） 36＜75＜99 答：它的面积最大是99平方厘米。 【考点剖析】此题主要考查质数和合数的定义以及长方形的周长、面积的计算方法。 题型三：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 【答案】(1) 偶 偶 偶 (2) 奇 偶 奇 (3) 奇 偶 【思路引导】（1）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断海海卡片上的数的奇偶性。根据“偶数＋偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数”进行解答。 （2）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断园园卡片上的数的奇偶性。根据“奇数＋奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数”进行解答。 （3）根据奇数与偶数的运算性质，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，进行判断即可。 【规范解答】（1），，，， 海海卡片上的数都是偶数，根据偶数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是偶数。 （2），，， 园园卡片上的数都是奇数，根据奇数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是奇数。 （3）海海和园园各拿出一张卡片，海海卡片上的数都是偶数，园园卡片上的数都是奇数，那么卡片上两数的和是奇数，积是偶数。 【变式训练1】（23-24五年级下·河北邯郸·期中）三个自然数之和是奇数，这三个数中不可能有偶数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，三个自然数的和为奇数，说明其中奇数的个数是奇数个（1个或3个）。当有1个奇数和2个偶数时，和仍为奇数，因此这三个数中可能存在偶数，举例说明即可。 【规范解答】三个自然数之和是奇数，这三个数中可能有偶数，如1（奇）＋2（偶）＋4（偶）＝7（奇）。 原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练2】．（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）1＋3＋5－7＋9＋11＋13－15＋……＋85－87的结果是( )。（填“偶数”或“奇数”） 【答案】偶数 【思路引导】观察式子可知，式子是由多个奇数通过“＋、＋、－”的规律分组计算，可将每4个奇数分为一组，如（1＋3＋5－7）、（9＋11＋13－15）、……、（81＋83＋85－87）。 第一组（1＋3＋5－7）：1＋3＋5－7＝（1＋3＋5）－7＝9－7＝2 第二组（9＋11＋13－15）：9＋11＋13－15＝（9＋11＋13）－15＝33－15＝18 可以发现每组计算结果都是偶数（2、18等，都能被2整除）。从1到87的奇数有44个（因为87÷2＝43……1，43＋1＝44），每4个一组，则组数为44÷4＝11组。因为每组结果都是偶数，根据偶数＋偶数＝偶数，11个偶数相加的和还是偶数。 【规范解答】由分析可知：式子可以分组为（1＋3＋5－7）、（9＋11＋13－15）、……、（81＋83＋85－87），每组的结果都是偶数，且可以分成11组，根据偶数＋偶数＝偶数，所以1＋3＋5－7＋9＋11＋13－15＋……＋85－87的结果是偶数。 【变式训练3】（24-25五年级下·河南新乡·期末）某数学家在1900年国际数学家大会上提出“孪生质数猜想”，孪生质数是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数并且相差2，那么3和5就是孪生质数，同理5和7也是孪生质数。 (1)请你再写出一组20以内的孪生质数( )。 (2)和表示孪生质数，那么是( )，是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】(1)11和13 (2) 奇数 偶数 【思路引导】（1）质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。孪生质数是相差为2的两个质数。所以要找出20以内满足相差2的质数对。 （2）因为m和n是孪生质数，除了2，其他质数都是奇数（因为2是唯一的偶质数），所以m和n都是奇数。根据奇数和偶数的运算性质：奇数＋偶数＝奇数，偶数×奇数＝偶数。 【规范解答】（1）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。其中相差2的质数对有3和5、5和7、11和13、17和19。 11和13是20以内的孪生质数。（答案不唯一） （2）因为m是奇数，2是偶数，奇数＋偶数＝奇数。 因为n是奇数，2是偶数，偶数×奇数＝偶数。 和表示孪生质数，那么是奇数，是偶数。 1．（24-25五年级下·广东东莞·期中）既是偶数，又是质数的是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】B 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【规范解答】A．1是奇数，1既不是质数也不是合数，不符合题意； B．2是偶数，又是质数，符合题意； C．4是偶数，又是合数，不符合题意； D．9是奇数，又是合数，不符合题意。 故答案为：B 2．（23-24五年级下·河北唐山·期中）有三个数分别是37、47、57，这三个数中（    ）是合数。 A．37 B．47 C．57 【答案】C 【思路引导】合数指的是除了1和它本身之外还有别的因数的数，据此解答。 【规范解答】A．37的因数只有1和37，不是合数； B．47的因数只有1和47，不是合数； C．57的因数有：1，3，19，57，是合数； 有三个数分别是37、47、57，这三个数中57是合数。 故答案为：C 3．（22-23五年级下·湖南长沙·期中）一个合数至少有（    ）个因数。 A．1 B．2 C．3 【答案】C 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；一个数，除了1和它本身两个因数，还有其它因数，这样的数叫做合数，一个合数至少有3个因数，据此解答。 【规范解答】根据分析，一个合数至少有3个因数，如4是合数，它的因数有：1，2，4。 故答案为：C 4．（24-25五年级下·浙江温州·期中）下面各种说法，正确的是（    ）。 ①一个数的最小倍数是它本身。             ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。             ④一个数至少有两个因数。 A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。 1既不是质数也不是合数。 【规范解答】①一个数的最小倍数是它本身，原题干说法正确。 ②一个数有无数个倍数，原题干说法正确。 ③一个数的最小倍数等于它的最大因数，即它本身，原题干说法错误。 ④1只有1个因数，原题干说法错误。 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）用这三张数字卡片组成的三位数一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 【答案】A 【思路引导】根据“一个数各个数位上的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数”，，9是3的倍数，所以用2、3、4 三张数字卡片组成的所有三位数都是3的倍数， 组成的所有三位数除了1和本身外还有因数3，所 以用2、3、4三张数字卡片组成的所有三位数一 定是合数。据此进行分析。 【规范解答】根据分析得：用这三张数字卡片组成的三位数一定是合数。 故答案为：A 6．（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个两位数只有两个因数，且它的十位数字比个位数字少1，这样的两位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】只有两个因数的数是质数，找出十位数字比个位数字少1的两位数，从里面筛选出其中的质数即可。 【规范解答】一个两位数只有两个因数，说明这个数是质数。十位数字比个位数字少1，这样的两位数只有12、23、34、45、56、67、78、89，而这些数中只有23、67和89是质数。这样的两位数有3个。 【考点剖析】先按条件列出所有符合“十位数字比个位数字少1”的两位数，再从中筛选出质数。 7．（24-25五年级下·江西赣州·期中）从下面四张数字卡中取出合适的卡片，按要求组数。 (1)组成两位数的质数________。 (2)组成3的倍数且是最小的三位数________。 (3)组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数________。 【答案】(1)23、31、13 (2)102 (3)3210 【思路引导】（1）一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；在四张数字卡所能组成的两位数中找出是质数的。 （2）3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。因为，，6和3都是3的倍数，因为要找最小的，所以由0、2、1组成的三位数较小且都是3的倍数，都找出来再比较大小。 （3）根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。因为要找最大的数，所组成的四位数最大，且，6是3的倍数，一个数同时是2和5的倍数，则这个数的末尾应是0，要找最大的，就把大的数依次从高位排向低位。 【规范解答】（1）四张数字卡所能组成的两位数有：20、23、21、30、32、31、10、12、13 其中是质数的是：23、31、13 （2）由0、2、1组成的三位数有：201、210、102、120 （3）据分析可知，组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数3210。 8．（24-25五年级下·浙江温州·期中）费马是法国业余数学家，他曾经提出一个猜想，猜想大致意思如下：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“＋”的形式。 例如17是一个奇质数，17÷4＝4……1，那么17可以写成“＋”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 请根据上面的内容，完成下面的题目。 (1)23是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或“不符合”） (2)写出一个30~40之间符合费马平方和定理的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 【答案】(1)不符合 (2) 37 6 1 【思路引导】（1）费马平方和定理的核心条件是：奇数除以4余1，然后尝试计算。 （2）找到30~40之间的奇质数，就可以写成“＋”的形式。 【规范解答】（1）23÷4＝5……3 23不符合费马平方和定理的要求。 （2）37÷4＝9……1 37＝ 这个数是37，它可以写成6²＋1²的形式。 9．（24-25五年级下·重庆江北·期中）在a÷b＝c……d中（d≠0），若b是最小的合数，c是最小的质数，则a最大是( )，最小是( )。 【答案】 11 9 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。最小的合数是4，最小的质数是2。根据余数与除数的关系，余数要比除数小，所以d小于b。被除数＝商×除数＋余数。 【规范解答】b＝4，c＝2， a最大：4×2＋3 ＝8＋3 ＝11 a最小：4×2＋1 ＝8＋1 ＝9 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 【答案】 7 9 11 8 10 12 【思路引导】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2、加上2即可得到答案；三个连续偶数的积是960，把960分解质因数，然后化成三个连续偶数的积，由此求解。 【规范解答】，， 这三个奇数分别是7，9，11。 这三个偶数分别是8，10，12。 【考点剖析】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键。 11．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 【答案】(1)不符合 (2) 5 1 2 【思路引导】（1）要判断31是否符合费马平方和定理的要求，需要先计算31÷4的结果。31÷4＝7⋯⋯3，余数是3而不是1。根据费马平方和定理，如果一个奇质数÷4余数为1，才能写成“a²＋b²”的形式。所以31不符合费马平方和定理中“除以4余数为1”的这个条件。 （2）20以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。其中质数有3、5、7、11、13、17、19。即是奇数又是质数的是：3、5、7、11、13、17、19，分别计算它们÷4的余数： 3÷4＝0⋯⋯3 5÷4＝1⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成“a²＋b²”的形式。 7÷4＝1⋯⋯3 11÷4＝2⋯⋯3 13÷4＝3⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成 “a²＋b²”的形式。 17÷4＝4⋯⋯1，余数为1，符合要求。可以写成“a²＋b²”的形式。 19÷4＝4⋯⋯3 5可以写成12＋22的形式。 13可以写成22＋32的形式。 17可以写成42＋12的形式。 但题目要求只写一个，所以选择5。 【规范解答】（1）31不符合费马平方和定理的要求。 （2）20以内符合要求的奇质数是5，它可以写成12＋22的形式。（答案不唯一） 【考点剖析】此题重点考查对奇质数概念的理解以及运用费马平方和定理进行分析判断的能力，同时要熟练掌握除法运算求余数。 12．（24-25五年级下·全国·课后作业）7的倍数一定是合数。( ) 【答案】× 【思路引导】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。7的最小倍数是7本身，7是质数，不是合数，因此7的倍数不一定是合数。 【规范解答】7是7的倍数，但7不是合数。所以原题干说法错误。 故答案为：× 13．（24-25五年级下·全国·课后作业）两个质数的积是奇数，那么这两个质数一定都是奇数。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据奇数和偶数的乘法性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。质数中，2是唯一的偶质数，其余都是奇质数。若两个质数的积是奇数，则这两个质数必须都是奇数（因为若有一个是偶数，即2，则积为偶数，与条件矛盾）。 【规范解答】由分析可知，两个质数的积是奇数时，这两个质数一定都是奇数。例如，3和5都是奇质数，它们的积15是奇数；若有一个质数是2（如2和3），积6是偶数，不满足条件。 故答案为：√ 14．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）一个边长是质数的正方形，其面积数一定也是质数。( ) 【答案】× 【思路引导】根据质数的定义，质数是指大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数。正方形的面积等于边长的平方。当边长为质数时，面积是该质数的平方，必然包含1、质数本身和平方数三个因数，因此面积一定是合数，而非质数。据此解答。 【规范解答】假设正方形的边长为质数，则面积。因为的因数有1、、，共三个因数，根据合数的定义（至少有三个因数的自然数），一定是合数。例如：边长为2（质数），面积，4是合数；边长为3（质数），面积，9是合数。因此，原题说法错误。 故答案为：× 15．（2020五年级下·全国·专题练习）求出下面每组数的最大公因数。 （1）3和7      9和16        11和22 （2）6和24     88和11        63和9 【答案】（1）3和7的最大公因数是1； 9和16的最大公因数是1； 11和22的最大公因数是11； （2）6和24的最大公因数是6； 88和11的最大公因数是11； 63和9的最大公因数是9。 【思路引导】找两个数的最大公因数时，先判断两个数的关系：如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，则较小的数是这两个数的最大公因数；如果两个数既不是互质关系，又不是倍数关系，可以先分别找出它们的因数再找最大公因数，据此解答即可。 【规范解答】（1）3和7互质，所以它们的最大公因数是1； 9和16是互质，所以它们的最大公因数是1； 11和22是倍数关系，较小的11是它们的最大公因数； （2）6和24是倍数关系，较小的6是它们的最大公因数； 88和11是倍数关系，较小的11是它们的最大公因数； 63和9是倍数关系，较小的9是它们的最大公因数。 【考点剖析】本题考查最大公因数，明确两个数不同关系下最大公因数的求法是解答本题的关键。 16．（2020五年级下·全国·专题练习）用短除法将下列各数分解质因数。 56  64  84  96 【答案】56＝2×2×2×7； 64＝2×2×2×2×2×2； 84＝2×2×3×7； 96＝2×2×2×2×2×3 【思路引导】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【规范解答】 56＝2×2×2×7； 64＝2×2×2×2×2×2； 84＝2×2×3×7； 96＝2×2×2×2×2×3。 【考点剖析】此题主要考查用短除法分解质因数，要注意分解质因数的书写形式。 17．（2025五年级下·浙江杭州·专题练习）一个长方形的周长是20厘米，它的长和宽是两个不同的质数。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】21平方厘米 【思路引导】已知一个长方形的周长是20厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可得长方形的长、宽之和＝周长÷2，据此求出长、宽之和；已知长方形的长和宽是两个不同的质数，根据质数的意义，找出哪两个质数之和等于长、宽之和，即可确定长方形的长、宽；最后根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。 【规范解答】20÷2＝10（厘米） 小于10的质数有：2，3，5，7。 10＝3＋7 3×7＝21（平方厘米） 答：这个长方形的面积是21平方厘米。 18．（24-25五年级下·浙江温州·期中）某个电影院电影票的价格比7的倍数多5.如果电影票的价格是在40和50之间，且是质数，那么电影票的价格可能是多少元？ 【答案】47元 【思路引导】先确定40~50之间7的倍数，分别加5得到候选数，排除超出范围的数，再筛选出其中的质数，即为电影票价格。 【规范解答】40~50之间7的倍数： 7×6＝42 7×7＝49 比7的倍数多5的数： 42＋5＝47 49＋5＝54 54大于50，不符合范围，舍去。 47是质数，满足所有条件。 答：电影票的价格可能是47元。 19．（25-26五年级上·河南商丘·期中）萱萱的QQ号是一个九位数，从左往右依次是：①2的最大因数；②最小的奇数的6倍；③10以内有因数3的偶数；④最大的一位数；⑤既不是质数，也不是合数的数；⑥最小的自然数；⑦10以内最大的质数；⑧既是质数，又是偶数的数；⑨最小的合数。请分析萱萱的QQ号是多少。 【答案】266910724 【思路引导】要得出萱萱的QQ号，我们按顺序分析每一位的数字：首先，2的最大因数是它本身，所以第1位是2；最小的奇数是1，它的6倍是6，第2位是6；10以内有因数3的偶数是6，第3位是6；最大的一位数是9，第4位是9；既不是质数也不是合数的数是1，第5位是1；最小的自然数是0，第6位是0；10以内最大的质数是7，第7位是7；既是质数又是偶数的数是2，第8位是2；最小的合数是4，第9位是4。把这些数字依次排列，萱萱的QQ号就是266910724。 【规范解答】2的最大因数是2；最小的奇数是1，它的6倍是6；10以内有因数3的偶数是6；最大的一位数是9；既不是质数，也不是合数的数是1；最小的自然数是0；10以内最大的质数是7；既是质数，又是偶数的数是2；最小的合数是4。 答：萱萱的QQ号是266910724。 20．有两个质数，它们的和是小于40的奇数，且是5的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 【答案】6、26或46 【思路引导】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【规范解答】2＋3＝5     2＋13＝15     2＋23＝25 2×3＝6     2×13＝26      2×23＝46 答：这两个质数的积可能是6、26或46。 【考点剖析】关键是通过奇数和5的倍数确定这两个质数的和，再确定这两个质数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $