专项讲练六 挑战压轴题（第三单元 长方体和正方体）知识导图+经典题集训-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册专项训练【经典题集训】 专项讲练六 挑战压轴题（第三单元 长方体和正方体） 【解析版】 一、选择题 1．（24-25五年级下·广东东莞·期末）下面提供的材料正好能拼成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据长方体的特征，长方体的6个面，每2个相对的面的完全相同，共12条棱，每4条棱长相等；据此解答。 【规范解答】 A．，已知2cm、3cm的小棒各有6根，还缺少另一种长度的小棒4根，所以这些材料不能拼成长方体； B．，已知3cm的小棒有8根，4cm的小棒有4根，符合长方体的特征，所以这些材料正好能拼成长方体； C．，长方体的6个面都是长方形时，上下面、前后面、左右面各有2个；已知“3×2”有4个，“3×4”有2个，还缺少2个“4×2”的长方形，所以这些材料不能拼成长方体； D．，根据长方体的特征：长方体的6个面中有2个面是正方形时，其它的4个面都是相等的长方形；已知“4×3”有6个，还缺少2个“4×4”的长方形或2个“3×3”的长方形，所以这些材料不能拼成长方体。 提供的材料正好能拼成长方体的是。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·广东东莞·期末）一盒牛奶的净含量（容积）大约是250（    ）。 A．m3 B．dm3 C．L D．mL 【答案】D 【思路引导】体积单位的选择：计量小型物体的体积一般用立方厘米，手指尖的体积大约是1立方厘米；1个粉笔盒的体积大约是1立方分米；计量一些建筑等较大物体的体积时通常用立方米作单位，棱长是1米的正方体纸箱的体积是1立方米；容积单位的选择：1盒牛奶大约是200~300毫升，1升大概是4盒牛奶；据此根据生活实际和数据解答。 【规范解答】根据分析可知，一盒牛奶的净含量（容积）大约是250mL。 故答案为：D 3．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）如图，两个几何体是用相同的正方体摆成的，哪个几何体的表面积大一些？（    ） A．正方体 B．长方体 C．同样大 【答案】B 【思路引导】分析题目，把每个小正方体的棱长看作1，则第一个正方体的棱长是2，第二个长方体的长是4，宽是1，高是2，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，分别求出两个几何体的表面积，最后比较大小即可。 【规范解答】2×2×6 ＝4×6 ＝24 （4×1＋4×2＋1×2）×2 ＝（4＋8＋2）×2 ＝14×2 ＝28 因为24＜28，所以长方体的表面积大一些。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的几何体是用27块棱长为1cm的小正方体拼成的，从中取走1个小正方体，取走以后剩下部分几何体的表面积与原来比较，说法正确的是（    ）。 A．取走A后，表面积变小 B．取走B后，表面积变小 C．取走A后，表面积变大 D．取走C后，表面积变大 【答案】D 【思路引导】表面积是物体所露出面的面积；分析取走小正方体后，增加的面和减少的面的关系判断。 【规范解答】假设取走A，增加3个面，减少3个面。表面积不变。 假设取走B，增加4个面，减少2个面，表面积增加。 假设取走C，增加5个面，减少1个面，表面积增加。 综上，取走C后，表面积变大正确。 5．（23-24五年级下·北京顺义·期末）人体为了保持每天摄入水量和排出水量的动态平衡，需要通过食物和饮水来获得1500～2500（    ）的水量。 A．毫升 B．立方分米 C．升 D．千克 【答案】A 【思路引导】根据生活经验及数据的大小，人体每天需要获得1500~2500毫升的水量。 【规范解答】1立方分米＝1升＝1000毫升，人体每天需要获得1500~2500毫升的水量。 故答案为：A 6．把3个高为5cm的相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）。 A．180 B．120 C．60 【答案】C 【思路引导】把3个相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了 48cm2 ，减少的面积是小长方体的4个底面面积积，求出底面积，再乘高，求出3个长方体的体积之和，再求出一个小长方体体积即可。 【规范解答】 （立方厘米） 所以原来1个小长方体的体积是60立方厘米。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查长方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积和体积计算公式。 二、填空题 7．（24-25五年级下·云南昭通·期中）把一个棱长6cm的正方体铁块铸造成一个长9cm，宽6cm的长方体，这个长方体的表面积是( )dm2。 【答案】2.28 【思路引导】把正方体铁块铸成一个长方体，正方体铁块的体积等于长方体铁块的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，也是长方体铁块的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，高＝长方体的体积÷（长×宽），据此求出长方体铁块的高，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答，注意单位名数的换算。 【规范解答】6×6×6÷（9×6） ＝6×6×6÷54 ＝36×6÷54 ＝216÷54 ＝4（cm） （9×6＋9×4＋6×4）×2 ＝（54＋36＋24）×2 ＝（90＋24）×2 ＝114×2 ＝228（cm2） 228cm2＝2.28dm2 长方体的表面积是2.28dm2。 8．（24-25五年级下·河北衡水·期末）一个水槽，从里面量长是40厘米，宽是25厘米，高是30厘米，水面高度是20厘米，底部排水口每分钟排水4升，需要( )分钟才能把水排空。 【答案】5 【思路引导】先根据长方体的体积＝长×宽×高求出水的体积，再根据1升＝1000立方厘米把单位换算成升，最后用水的体积除以每分钟排出的水的体积即可解答。 【规范解答】40×25×20 ＝1000×20 ＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20升 20÷4＝5（分） 一个水槽，从里面量长是40厘米，宽是25厘米，高是30厘米，水面高度是20厘米，底部排水口每分钟排水4升，需要5分钟才能把水排空。 9．（24-25五年级下·湖南怀化·期末）手工课上，小林准备了许多不同长度的小棒和接头，其中有6根12厘米的，五根8厘米的，三根7厘米和四根4厘米的，搭成一个长方体框架，这个框架的棱长总和是( )厘米，给这个框架表面糊上彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸，这个框架内部的空间是( )立方厘米。 【答案】 96 352 384 【思路引导】长方体12条棱，需满足“4条长、4条宽、4条高”，因此需从给定小棒中选择3种长度，且每种长度至少有4根：12厘米有6根；8厘米有5根；7厘米3根；4厘米4根。因此，唯一符合条件的棱长组合是4根12厘米、4根8厘米、4根4厘米组成长为12厘米，宽为8厘米，高为4厘米的长方体。 长方体棱长总和公式为：棱长总和＝4×（长＋宽＋高），表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），体积＝长×宽×高，把数据分别代入公式计算即可 【规范解答】用4根12厘米、4根8厘米、4根4厘米组成长为12厘米，宽为8厘米，高为4厘米的长方体。 4×（12＋8＋4） ＝4×24 ＝96（厘米） 2×（12×8＋12×4＋8×4） ＝2×（96＋48＋32） ＝2×176 ＝352（平方厘米） 12×8×4＝384（立方厘米） 这个框架的棱长总和是96厘米，给这个框架表面糊上彩纸，至少需要352平方厘米的彩纸，这个框架内部的空间是384立方厘米。 10．（24-25五年级下·河南安阳·期中）灯笼又统称为“灯彩”，是一种古老的传统工艺品。王叔叔用木条钉了一个长方体灯笼框架，后因调整，又将这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架（如图），制作灯笼所需纱布比原来增加了480cm2，原来长方体框架的高是( )cm。 【答案】26 【思路引导】这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架，则原来的长方体是一个上下两个面是正方形的特殊长方体，则增加的表面积就是侧面四个宽是4cm的长方形面积和，则用增加的面积除以4得出每个长方形的面积，再除以4就是长方形的长和宽，也是这个长方体增加4cm后的高，减去4就是原来长方体的高。 【规范解答】480÷4＝120（cm2） 120÷4＝30（cm） 30－4＝26（cm） 则原来长方体框架的高是26cm。 11．（2025五年级下·全国·专题练习）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是_______。 【答案】6个 【思路引导】1．计算最底层正方体的表面积 正方体表面积公式为S＝6a2（a为棱长），最底层正方体棱长a＝2，其一个面的面积为2×2＝4，那么最底层正方体的表面积（包含底面）为6×4＝24 2．分析上层正方体一个面的面积规律 我们通过观察图形来确定上层正方体一个面的面积与下层的关系。可以发现，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，把下层正方体上底面的正方形沿对角线分割，能直观看到上层正方体底面占下层正方体底面的一半。所以最底层正方体一个面面积是4，从下往上数，第二层正方体一个面面积是4÷2＝2，第三层正方体一个面面积是2÷2＝1，依此类推。 3．计算不同层数时塔形的表面积并确定最少个数 当有2个正方体时，表面积为最底层正方体表面积加上第二层正方体4个侧面的面积（因为第二层上底面与第一层接触，不增加表面积），即24＋4×2＝32。 当有3个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1 当有4个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5 当有5个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25 当有6个正方体时，表面积为24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25＋4×0.125，超过了39。所以正方体个数至少是6个。 【规范解答】最底层正方体一个面面积：2×2＝4，最底层正方体表面积（含底面） 6×4＝24。 2个正方体时表面积：24＋4×2 ＝24＋8 ＝32 3个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1 ＝24＋8＋4 ＝36 4个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5 ＝24＋8＋4＋2 ＝38 5个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25 ＝24＋8＋4＋2＋1 ＝39 6个正方体时表面积： 24＋4×2＋4×1＋4×0.5＋4×0.25＋4×0.125 ＝24＋8＋4＋2＋1＋0.5 ＝39.5 所以正方体个数至少是6个。 【考点剖析】本题的关键在于通过直观观察图形，准确找出上层与下层正方体一个面面积的变化规律，再结合正方体表面积公式进行计算。在计算时，需明确每增加一层正方体，其各面在总表面积计算中所起的作用，即哪些面增加了表面积，哪些面因重合不产生影响，进而逐步算出不同正方体数量时塔形的表面积。 12．一个长5分米，高10分米的长方体木块，削去2分米高后，表面积减少了36平方分米，这个长方体木块原来的体积是( )立方分米。 【答案】200 【思路引导】根据题意可知，把长方体的高削去2分米，表面积减少的是高为2分米的4个侧面的面积，即2个长×高与2个宽×高；先用减少的表面积除以2，得到1个长×高与1个宽×高的面积之和；然后除以高2分米，得到1个长与宽的和，再减去长，就是宽；最后根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据计算即可。 【规范解答】36÷2＝18（平方分米） 18÷2－5 ＝9－5 ＝4（分米） 5×4×10 ＝20×10 ＝200（立方分米） 【考点剖析】掌握长方体切割的特点，明确减少的表面积是哪些面的面积。 13．用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从两个角度观察所得的图形如下，要符合这两个条件，那么摆这个几何体最少需要( )块，这个几何体的体积是( )。最多需要( )块，体积是( )。 【答案】 6 6cm3/6立方厘米 7 7cm3/7立方厘米 【思路引导】一个小正方体是1cm3，用几个这样的小正方体就是几立方厘米，根据从上面、正面看到的形状，这些小正方体分前、后两行。 ①这个几何体用小正方体的个数最少时形状如下： 不论哪种情况，都需要6个小正方体； 1×1×1×6＝6（cm3） ②几何体的体积最大时，从上面看到图中每摞正方体的个数为： 2＋2＋1＋2＝7，所以这个几何体最多由7个正方体组成。 1×1×1×7＝7（cm3） 【规范解答】①个数最少时的体积： 1×1×1×6＝6（cm3） ②个数最多时的体积： 1×1×1×7＝7（cm3） 【考点剖析】解答此题的关键是根据从正面、上面看到形状确定最少和最多用多少个这样的小正方体。 14．一个棱长为12的正方体是由1728个木制的棱长是1的小正方体堆垒而成。那么，你从一点最多能看到棱长是1的小正方体____个。 【答案】397 【思路引导】从正方体的一个顶点最多可以看到的3个面上的小正方体，每个面上144个，144乘3得到432个，但是由于重叠，会多算一部分，需要把多算的减去。 【规范解答】 顶点处多算2次，棱上多算1次； （个） 【考点剖析】本题将容斥问题和几何计数相结合，可以从棱长为3、4、5的正方体开始寻找规律，然后利用规律求解问题。 三、判断题 15．（23-24五年级下·贵州安顺·期末）可以折成一个正方体。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据正方体11种展开图进行分析，是正方体11种展开图里的情况可以折成正方体，不是正方体11种展开图里的情况不可以折成正方体，据此分析。 【规范解答】 ，1－4－1型正方体展开图，可以折成一个正方体，原题说法正确。 故答案为：√ 16．（23-24五年级下·重庆北碚·期末）一个棱长是1m的正方体，可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。( ) 【答案】√ 【思路引导】将棱长1m转化为10dm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算正方体体积，再去除以1dm3，即可得解。 【规范解答】1m＝10dm 10×10×10＝10000（dm3） 1000÷1＝1000（个） 一个棱长是1m的正方体，可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。说法正确。 故答案为：√ 17．（23-24五年级下·重庆潼南·期末）将一个长20cm，宽10厘米，高5厘米的长方体切成两个小长方体。两个小长方体表面积比原来长方体至少增加100平方厘米。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据长方体表面积的意义可知，把一个大长方体切成两个小长方体，要使两个小长方体的表面积和比原来的表面积增加的最少，也就是与原来长方体的最小面平行切开，表面积增加两个切面的面积，根据长方形的面积公式＝长×宽，把数据代入公式求出最少增加的表面积，然后与100平方厘米进行比较即可。 【规范解答】10×5×2 ＝50×2 ＝100（平方厘米） 所以两个小长方体的表面积比原来长方体至少增加100平方厘米。 故答案为：√ 18．从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少。( ) 【答案】√ 【思路引导】画图，从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，少了一部分，体积肯定是减少的，求表面积的话，可以画出现在这个图形的三视图，三视图的面积之和是不变的，所以表面积也是不变的。 【规范解答】如图所示： 从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少，题干阐述正确。 故答案为：√ 【考点剖析】从顶点处切，表面积不变，从棱上切，表面积增加两个小正方体的面，从面上切，表面积增加4个小正方体的面。 19．两个体积相等的长方体和正方体，长方体的表面积比正方体的表面积大．( ) 【答案】√ 四、计算题 20．（24-25五年级下·河南漯河·期中）下面的物体是由一个正方体和一个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 【答案】 表面积：1768平方厘米； 体积：4128立方厘米 【思路引导】组合体表面积是长方体表面积加上正方体4个侧面的面积，因为正方体的下面与长方体接触重合，不计入表面积，正方体的上面刚好与长方体被遮挡部分相抵消；已知正方体的棱长与长方体的宽相等，即12厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出正方体1个面的面积，再乘4计算出正方体4个侧面的面积；已知长方体长25厘米、宽12厘米、高8厘米，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出长方体的表面积；最后将两部分相加即可。 组合体的体积是正方体体积与长方体体积之和；已知正方体棱长是12厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体体积；已知长方体长25厘米、宽12厘米、高8厘米，根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出长方体的体积；最后将两部分相加即可。 【规范解答】（25×12＋25×8＋12×8）×2＋12×12×4 ＝（300＋200＋96）×2＋144×4 ＝（500＋96）×2＋576 ＝596×2＋576 ＝1192＋576 ＝1768（平方厘米） 所以该物体的表面积是1768平方厘米； 25×12×8＋12×12×12 ＝300×8＋144×12 ＝2400＋1728 ＝4128（立方厘米） 所以该物体的体积是4128立方厘米。 21．（24-25五年级下·河南南阳·期中）分别求出下面物体的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】386平方分米；420立方分米；150平方分米；113立方分米 【思路引导】（1）长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把图中数据代入公式计算； （2）由图可知，该物体原来的表面积需要计算小长方体上面、前面、右面3个面的面积，该物体现在的表面积需要计算小长方体下面、后面、左面3个面的面积，其它部分面积不变，该物体原来和现在需要计算的表面积相等，所以该物体的表面积等于大正方体的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，该物体的体积＝大正方体的体积－小长方体的体积，据此解答。 【规范解答】（1）表面积：（15×4＋15×7＋4×7）×2 ＝（60＋105＋28）×2 ＝193×2 ＝386（平方分米） 体积：15×4×7 ＝60×7 ＝420（立方分米） 所以，该物体的表面积是386平方分米，体积是420立方分米。 （2）表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 体积：5×5×5－2×3×2 ＝25×5－6×2 ＝125－12 ＝113（立方分米） 所以，该物体的表面积是150平方分米，体积是113立方分米。 22．求下列立体图形的表面积与体积。 （1）                                （2） 【答案】（1）324cm2；360cm3 （2）30m2；6m3 【思路引导】（1）根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）组合图形的表面积＝正方体表面积－长方体上下面的面积＋长方体的侧面积，其中长方体上下面是2个边长为1m的正方形，长方体的侧面是4个相同的长为2m、宽为1m的长方形；根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方形的面积公式S＝a2，长方形的面积公式S＝ab；代入数据计算求解； 组合图形的体积＝正方体的体积－长方体的体积；根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）表面积： （12×6＋12×5＋6×5）×2 ＝（72＋60＋30）×2 ＝162×2 ＝324（cm2） 体积： 12×6×5＝360（cm3） 长方体的表面积是324cm2，体积是360cm3。 （2）表面积： 2×2×6－1×1×2＋2×1×4 ＝24－2＋8 ＝30（m2） 体积： 2×2×2－1×1×2 ＝8－2 ＝6（m3） 组合图形的表面积是30m2，体积是6m3。 五、解答题 23．（24-25五年级上·山东济南·期中）一根绳子长7米，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果结头处的绳子长23厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 【答案】6个 【思路引导】捆扎这个礼盒需要2个长方体长的长度，2个长方体宽的长度，4个长方体高的长度，再加上结头处的长度，据此先求出捆扎一个礼盒需要的绳子的长度，再用绳子的总长度÷捆扎一个礼盒需要的长度，最后不管剩下绳子多长，只要不够捆扎一个礼盒的长度，就不能再捆扎一个礼盒，结果用“去尾法”解答，注意单位名数的统一。 【规范解答】7米＝700厘米 700÷（15×2＋10×2＋8×4＋23） ＝700÷（30＋20＋32＋23） ＝700÷（50＋32＋23） ＝700÷（82＋23） ＝700÷105 ≈6（个） 答：这根绳子最多可以捆扎6个这样的礼盒。 24．（24-25五年级上·山东济南·期中）要过教师节了，学校为每位教师定制了一个手提袋（如下图所示）。 （1）做100个这样的手提袋至少需要用料多少平方米？（接口处忽略不计） （2）这个手提袋的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）18.6平方米 （2）5400立方厘米 【思路引导】（1）根据手提袋的展开图，可以将展开图的面积看成两个长方形的面积和： 一个长方形的长为38厘米，宽是30厘米； 另一个长方形的长为（10＋30）厘米，宽是（38－10×2）厘米； 根据长方形的面积公式即可一个手提袋需要用料的面积； 用每个手提袋需要的用量面积乘制作的个数100即可求出需要用料的总面积； 根据1平方米＝10000平方厘米，将求出的面积换算为平方米。 （2）这个手提袋的容积可以抽象成一个长方体的体积： 这个长方体的长为（38－10×2）厘米，宽为10厘米，高为30厘米，利用长方体的体积公式：即可求出手提袋的容积。 【规范解答】（1） （平方厘米） 1860×100＝186000（平方厘米） 186000÷10000＝18.6（平方米） 答：做100个这样的手提袋至少需要用料18.6平方米。 （2） （立方厘米） 答：这个手提袋的容积是5400立方厘米。 25．（24-25五年级上·福建厦门·期中）朴朴超市有两种不同包装鲁花5s压榨一级花生油，现推出两种正在做特价活动（如下图）。 （1）“1.8升装”、“5升装”这两种包装，哪一种的单价更便宜？ （2）朴朴超市还想把“4升装”包装做特价活动，参考上面两种包装的价格，请你为“4升装”食用油定一个合理的价格，并说说你的理由。 【答案】（1）“5升装”的这种包装的单价更便宜； （2）130元；“4升装”的食用油的容量比“1.8升装”的食用油多，比“5升装”的食用油的容量少，根据容量越大单价越低，则“4升装”的食用油定价在129.6元到136元之间均合理（定价答案不唯一） 【思路引导】（1）根据“单价＝总价÷数量”，分别用不同装的食用油的总价除以其容量即可求出“1.8升装”、“5升装”这两种包装的单价，即可比较； （2）参考两种包装的单价，分别求出按照“1.8升装”、“5升装”这两种包装的单价计算“4升装”的总价，在价格的合理范围，即可定价。 【规范解答】（1）（元/升） （元/升） 34＞32.4 答：“5升装”的这种包装的单价更便宜。 （2）（元） （元） 129.6＜130＜136 答：“4升装”的食用油可定价为130元，“4升装”的食用油的容量比“1.8升装”的食用油多，比“5升装”的食用油的容量少，根据容量越大单价越低，则“4升装”的食用油定价在129.6元到136元之间均合理。（定价答案不唯一） 26．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，玻璃容器从里面量长为8dm，宽为6dm，高为3dm，现在水深为2.2dm。在容器中放入一个棱长为0.4m的正方体石块，水是否会溢出？若会溢出，请你算出溢出水的体积；若不会溢出，请说明理由。 【答案】 水会溢出，溢出水的体积为。 【思路引导】先计算容器剩余的体积，再将正方体石块的棱长单位换算成分米作单位，因为石块的棱长大于容器高度，所以可以先假设水会溢出，计算出正方体石头没入水的体积，与容器剩余容积比较大小，若没入水的石块体积大于剩余体积则水会溢出，用没入水的石块体积减去剩余体积得到溢出水的体积；据此解答。 【规范解答】容器剩余体积： （立方分米） 0.4米＝4分米 石块体积：（立方分米） （立方分米） 答：水会溢出，溢出水的体积为9.6立方分米。 【考点剖析】分别算出容器剩余体积和没入水的正方体石块体积，再比较大小来判断水是否溢出，是解题的关键，同时需注意换算单位计算。 27．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）有甲、乙两种长方体容器如图2所示。 甲容器长、宽、高分别为10cm、3cm、10cm，乙容器长、宽、高分别是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如图1所示。乙容器是空的。 如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60cm3 【思路引导】根据图1可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，求出容器中水面的高度，再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【规范解答】V水＝10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（cm3） 底面积之和：10×3＋5×4＝30＋20＝50（cm2） 高：150÷50＝3（cm） 乙中水：5×4×3＝20×3＝60（cm3） 答：需要从甲容器中倒出60cm3的水。 【考点剖析】本题考查了长方体体积的实际应用，灵活运用长方体的体积公式求解。 28．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【思路引导】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。 【规范解答】底面周长：（厘米） 底面边长：（厘米） 原来的高：（厘米） 原来的体积：（立方厘米） 答：原来长方体的体积为396立方厘米。 【考点剖析】理解表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和，由此求出正方体的棱长，是解题的关键。 29．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 【答案】320立方厘米 【思路引导】根据题意，先求出放入大玻璃球水上升的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先明确放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。 【规范解答】480÷10÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 15－6＝9（厘米） 13－9＝4（厘米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方厘米） 答：小玻璃球的体积是320立方厘米。 【考点剖析】解答此题的关键是要求出不放入任何物体时，水面的高度。要明确放入物体后水上升的体积即为所放物体的体积。 30．（23-24五年级下·湖北十堰·期中）一个长方体蓄水池，长30m、宽20m、深2.2m。 （1）这个蓄水池占地面积是多少平方米？ （2）池里的水离池口0.2m，池里一共蓄水多少立方米？ （3）如果在这个蓄水池的池底和四周铺上面积为0.25m2的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】（1）600平方米 （2）1200立方米 （3）3280块 【思路引导】（1）长方体蓄水池的占地面积即为长方体的底面积，用长×宽即30×20＝600（平方米），据此解答； （2）长方体容积的算法和体积相同，根据长方体的体积＝长×宽×高，池里的水离池口0.2m，即高度为2.2－0.2＝2（米），30×20×2＝1200（立方米），据此解答； （3）蓄水池的池底和四周铺上面积之和即为求无盖长方体的表面积，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，即30×20＋30×2.2×2＋20×2.2×2＝820（平方米），再用总面积除以每块瓷砖的面积即可得到需要瓷砖的块数；据此解答。 【规范解答】（1）30×20＝600（平方米） 答：这个蓄水池占地面积是600平方米。 （2）2.2－0.2＝2（米） 30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方米） 答：池里一共蓄水1200立方米。 （3）30×20＋30×2.2×2＋20×2.2×2 ＝600＋132＋88 ＝820（平方米） 820÷0.25＝3280（块） 答：至少需要3280块这样的瓷砖。 【考点剖析】本题考查长方体体积、无盖长方体的表面积，学生需熟练掌握。 31．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 【答案】（1）300立方厘米 （2）2厘米；304平方厘米 （3）长方体收纳盒表面积：20×16－4a2，或长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 【思路引导】（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，那么这个收纳盒的长为（20－2×5）厘米，宽为（16－2×5）厘米，高为5厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，计算出结果即可； （2）根据题意，减去的小正方形的边长必须要小于16厘米的一半，并且长度取整厘米，答案不唯一，取值符合实际；收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，代入数据正确计算即可； （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，那么这个收纳盒的长为（20－2a）厘米，宽为（16－2a）厘米，高为a厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，列出算式化简即可。 【规范解答】（1）20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 16－5×2 ＝16－10 ＝6（厘米） 10×6×5 ＝60×5 ＝300（立方厘米） 答：围成的长方体收纳盒的容积是300立方厘米。 （2）16÷2＝8（厘米） 减去的小正方形的边长还可以是1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或7cm。 例如，减去的小正方形的边长是2厘米。 20－2×2 ＝20－4 ＝16（厘米） 16－2×2 ＝16－4 ＝12（厘米） 20×16－2×2×4 ＝320－16 ＝304（平方厘米） 答：减去的小正方形的边长还可以是2厘米（长度取整厘米数），这时围成的长方体收纳盒的表面积是304平方厘米。 （3）长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 或长方体收纳盒表面积：20×16－4a2（写出一个即可） 【考点剖析】此题考查了长方体的体积、表面积以及展开图的知识，关键能够正确找出长、宽、高再解答。（写出一个即可） 32．一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。这个铁块的体积是多少？ 【答案】400cm3 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出水深7cm时的水的体积；当放入一个铁块水满时的体积是正方体容器的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出此时的体积包含浸没在水中6cm高的铁块的体积与原来水的体积两部分，所以减去原来水的体积，就是浸没在水中6cm高的铁块的体积；再根据长方体的底面积＝体积÷高，其中高是6cm，得到铁块的底面积；最后用铁块的底面积乘高8cm，求出这个铁块的体积。 【规范解答】10×10×10－10×10×7 ＝1000－700 ＝300（cm3） 300÷6＝50（cm2） 50×8＝400（cm3） 答：这个铁块的体积是400cm3。 【考点剖析】明确铁块没有完全浸没时，造成水上升部分的体积就是铁块浸没在水中部分的体积，掌握长方体、正方体的体积公式并灵活运用是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册专项训练【经典题集训】 专项讲练六 挑战压轴题（第三单元 长方体和正方体） 【原卷版】 一、选择题 1．（24-25五年级下·广东东莞·期末）下面提供的材料正好能拼成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·广东东莞·期末）一盒牛奶的净含量（容积）大约是250（    ）。 A．m3 B．dm3 C．L D．mL 3．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）如图，两个几何体是用相同的正方体摆成的，哪个几何体的表面积大一些？（    ） A．正方体 B．长方体 C．同样大 4．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的几何体是用27块棱长为1cm的小正方体拼成的，从中取走1个小正方体，取走以后剩下部分几何体的表面积与原来比较，说法正确的是（    ）。 A．取走A后，表面积变小 B．取走B后，表面积变小 C．取走A后，表面积变大 D．取走C后，表面积变大 5．（23-24五年级下·北京顺义·期末）人体为了保持每天摄入水量和排出水量的动态平衡，需要通过食物和饮水来获得1500～2500（    ）的水量。 A．毫升 B．立方分米 C．升 D．千克 6．把3个高为5cm的相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）。 A．180 B．120 C．60 二、填空题 7．（24-25五年级下·云南昭通·期中）把一个棱长6cm的正方体铁块铸造成一个长9cm，宽6cm的长方体，这个长方体的表面积是( )dm2。 8．（24-25五年级下·河北衡水·期末）一个水槽，从里面量长是40厘米，宽是25厘米，高是30厘米，水面高度是20厘米，底部排水口每分钟排水4升，需要( )分钟才能把水排空。 9．（24-25五年级下·湖南怀化·期末）手工课上，小林准备了许多不同长度的小棒和接头，其中有6根12厘米的，五根8厘米的，三根7厘米和四根4厘米的，搭成一个长方体框架，这个框架的棱长总和是( )厘米，给这个框架表面糊上彩纸，至少需要( )平方厘米的彩纸，这个框架内部的空间是( )立方厘米。 10．（24-25五年级下·河南安阳·期中）灯笼又统称为“灯彩”，是一种古老的传统工艺品。王叔叔用木条钉了一个长方体灯笼框架，后因调整，又将这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架（如图），制作灯笼所需纱布比原来增加了480cm2，原来长方体框架的高是( )cm。 11．（2025五年级下·全国·专题练习）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是_______。 12．一个长5分米，高10分米的长方体木块，削去2分米高后，表面积减少了36平方分米，这个长方体木块原来的体积是( )立方分米。 13．用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从两个角度观察所得的图形如下，要符合这两个条件，那么摆这个几何体最少需要( )块，这个几何体的体积是( )。最多需要( )块，体积是( )。 三、判断题 15．（23-24五年级下·贵州安顺·期末）可以折成一个正方体。( ) 16．（23-24五年级下·重庆北碚·期末）一个棱长是1m的正方体，可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。( ) 17．（23-24五年级下·重庆潼南·期末）将一个长20cm，宽10厘米，高5厘米的长方体切成两个小长方体。两个小长方体表面积比原来长方体至少增加100平方厘米。( ) 18．从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少。( ) 19．两个体积相等的长方体和正方体，长方体的表面积比正方体的表面积大．( ) 四、计算题 20．（24-25五年级下·河南漯河·期中）下面的物体是由一个正方体和一个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 21．（24-25五年级下·河南南阳·期中）分别求出下面物体的表面积和体积。（单位：分米） 22．求下列立体图形的表面积与体积。 （1）                                （2） 五、解答题 23．（24-25五年级上·山东济南·期中）一根绳子长7米，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果结头处的绳子长23厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 24．（24-25五年级上·山东济南·期中）要过教师节了，学校为每位教师定制了一个手提袋（如下图所示）。 （1）做100个这样的手提袋至少需要用料多少平方米？（接口处忽略不计） （2）这个手提袋的容积是多少立方厘米？ 25．（24-25五年级上·福建厦门·期中）朴朴超市有两种不同包装鲁花5s压榨一级花生油，现推出两种正在做特价活动（如下图）。 （1）“1.8升装”、“5升装”这两种包装，哪一种的单价更便宜？ （2）朴朴超市还想把“4升装”包装做特价活动，参考上面两种包装的价格，请你为“4升装”食用油定一个合理的价格，并说说你的理由。 26．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，玻璃容器从里面量长为8dm，宽为6dm，高为3dm，现在水深为2.2dm。在容器中放入一个棱长为0.4m的正方体石块，水是否会溢出？若会溢出，请你算出溢出水的体积；若不会溢出，请说明理由。 27．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）有甲、乙两种长方体容器如图2所示。 甲容器长、宽、高分别为10cm、3cm、10cm，乙容器长、宽、高分别是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如图1所示。乙容器是空的。 如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 28．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 29．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 30．（23-24五年级下·湖北十堰·期中）一个长方体蓄水池，长30m、宽20m、深2.2m。 （1）这个蓄水池占地面积是多少平方米？ （2）池里的水离池口0.2m，池里一共蓄水多少立方米？ （3）如果在这个蓄水池的池底和四周铺上面积为0.25m2的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 31．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 32．一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。这个铁块的体积是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $