突破讲练二 2、3、5的倍数特征（第二单元 因数和倍数）知识梳理+四大题型讲练+优选题拔尖练 共36题-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲义【题型讲练】 突破讲练二 2、3、5的倍数特征 （第二单元 因数与倍数） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 重点难点 题型讲练 1 题型一：2、5的倍数特征 1 题型二：奇数与偶数的认识 2 题型三：3的倍数特征 3 题型四：2、3、5的倍数特征综合 3 培优检测 能力提升 4 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2、5、3倍数特征之间的联系。 题型一：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 【变式训练1】（24-25五年级下·浙江温州·期中）下面自然数中，“△”代表任意非零自然数，且所有的△都是同一个数，那么一定同时是2、3、5的倍数的是（    ）。 A．△0△0 B．△△0△ C．△△00△ D．△0△△0 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。 (1)2的倍数：__________________。 (2)3的倍数：__________________。 (3)5的倍数：__________________。 (4)既有因数3又有因数5的数：__________________。 【变式训练3】（24-25五年级下·河南南阳·期中）妈妈在商场买了一个吹风机，花了9□元，若这个两位数既是5的倍数又含有因数2，□里应该填( )；买洗衣机花了168□元，若这个四位数既是偶数又是3的倍数，□里应该填( )或( )。 题型二：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南永州·期中）优优、果果、皮皮他们三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是42岁，他们中最大的是（    ）岁。 A．12 B．14 C．15 D．16 【变式训练1】（24-25五年级下·湖北十堰·期末）任何两个奇数的和，一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．7 【变式训练2】（24-25五年级下·湖南·期末）李茜、王妙、江泽三人今年的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是27岁，她们中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 【变式训练3】（24-25五年级下·安徽黄山·期末）一个四位数“317□”，要使它是偶数，□里最大填( )；要使它是3的倍数，□里最小填( )；要使它既是2的倍数，又是5的倍数，□里应该填( )。 题型三：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期中）要使12□5是3的倍数，□里可以填（    ）。 A．1、4、7 B．2、5、8 C．3、6、9 【变式训练1】（24-25五年级下·河南南阳·期中）秦始皇陵兵马俑二号坑的内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位于整个军阵的东部前沿，这个方阵内四面环廊，站立着172件立射俑，中心部位是160件跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？（写出思考过程） 【变式训练2】（24-25五年级下·山东济宁·期中）78□是一个三位数，要使这个三位数既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填( )；要使这个三位数既是3的倍数又是5的倍数，□里只能填( )。 【变式训练3】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）从1，3，5，6中选出3个数字，组成一个同时有因数3和5的最大三位数，这个三位数是( )。 题型四：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·广西河池·期末）小新和爸爸、妈妈在网上购买电影票，他们此次电影票号码的后四位数字恰好是2、3、5的倍数，下面（    ）可能是他们此次票码的后四位数字。 A．3356 B．1503 C．1350 D．6522 【变式训练1】（24-25五年级下·广东汕头·期中）在12□0的方框里填上一个数，使它同时含有因数2、3和5，共有（    ）种填法。 A．3 B．4 C．5 【变式训练2】（24-25五年级下·湖北随州·期末）用0、1、4、7这四个数字组成一个四位数，使这个数既是2、5的倍数，又是3的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【变式训练3】（24-25五年级下·云南文山·期末）7□□这个三位数同时是2、3、5的倍数，个位上填( )，十位上最大填( )。 1．（24-25五年级下·河南南阳·期中）在2□0中的□里填一个数，使它同时是2、3、5的倍数，有（    ）种填法。 A．3 B．2 C．4 2．（24-25五年级下·河南南阳·期中）100以内的自然数（0除外），是3的倍数的数有（    ）个。 A．100 B．9 C．33 D．20 3．（24-25五年级下·河南信阳·期中）下列说法，正确的有（    ）个。 ①2×3＝6，2、3都是6的因数。②a×5＝b（a、b为不是0的自然数），b是a的倍数。③一个非零自然数的因数最小是1。④一个数至少有两个因数。⑤相邻两个自然数的积是偶数。⑥1既不是奇数也不是偶数。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25五年级下·河北唐山·期中）用写有数字2、3、4、6的四张卡片组成四位数。小明对小红说：“如果组成的数是2的倍数，算我赢；如果是3的倍数，算你赢。”则（    ）。 A．小明赢的可能性大 B．小红赢的可能性大 C．二人赢的可能性一样大 D．无法比较谁赢的可能性大 5．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。是（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．6 6．（25-26五年级上·广东揭阳·期末）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是( )。 7．（24-25五年级下·四川乐山·期中）一个两位数，至少加上2是5的倍数，这个两位数最大是( )；3的倍数中，最小的三位数是( )。 8．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）在123、175、182这些数中，其中( )是2的倍数，( )是3的倍数，( )是5的倍数。 9．（24-25五年级下·河南安阳·期中）宁波乙太书画院为弘扬优秀传统文化、构建和美文明华夏，在2024年9月15日举办了主题为“翰墨迎中秋，丹青颂中华”的书画展。40余位甬上书画名家与大咖，共展出作品60余幅，以书言志、以画传情，热烈庆祝新中国成立75周年以来的辉煌成就。 (1)画横线的数中，奇数有( )，偶数有( )。 (2)40的因数有( )。 (3)画横线的数中，既是2的倍数又是5的倍数的数有( )，同时是2、5、3的倍数的数是( )。 10．有10个灯泡，编号为1到10，前5个亮着，后5个没亮着，每个灯泡都只有一个开关控制他们，第一次按一下编号为2的倍数的灯泡的开关，第二次按一下编号为3的倍数的灯泡的开关，第三次按一下编号为4的倍数的灯泡的开关，第三次之后还有______个灯泡亮着。 11．（24-25五年级下·全国·课后作业）个位上是0的数，一定是2，3，5的倍数。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）如果一个数有因数9，那么这个数一定是3的倍数。( )（判断对错） 13．（24-25五年级下·河南南阳·期中）用4、7、1组成的任意一个三位数都是3的倍数。( )（判断对错） 14．（24-25五年级下·河南南阳·期中）有三个连续自然数的和是16874。( )（判断对错） 15．（24-25五年级下·全国·课后作业）先算一算，再按要求分类。（填序号） ①10＋2＝       ②2＋3＝       ③15＋17＝     ④24＋19＝       ⑤43＋15＝        ⑥21＋18＝     我发现：奇数＋奇数＝（    ） 奇数＋偶数＝（    ） 偶数＋偶数＝（    ） 16．（24-25五年级下·重庆江北·期中）为验证“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这个结论，聪聪把567进行了拆分（如图）。发现：5个99和6个9都是3的倍数，关键要看框中的几个1合起来是不是3的倍数，因为合起来共有18个1，也就是18，18是3的倍数，所以567就是3的倍数。请你像他一样写一个四位数，先拆分再说明它为什么是（不是）3的倍数。 17．（24-25五年级下·新疆·期中）有28个桃，每3个装一盘，至少再买多少个桃才能正好装完？至少要拿走多少个也能正好装完？ 18．（24-25五年级下·全国·课后作业）小商品市场里，有五种小商品的单价分别是1元、3元、5元、7元和9元。乐乐说：“我买了4件小商品，总价是29元。”园园说：“我买了5件小商品，总价是29元。”谁说得对？为什么？ 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）小宇和小恒一起玩转盘游戏，下面是小恒设计的游戏规则： （1）小宇认为小恒设计的游戏规则不公平，你知道为什么吗？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 20．（2025五年级下·全国·专题练习）判断以下6个数的整除性： 8875，198954，6512，93625，864，407。 （1）哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册专项培优讲义【题型讲练】 突破讲练二 2、3、5的倍数特征 （第二单元 因数与倍数） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 重点难点 题型讲练 1 题型一：2、5的倍数特征 1 题型二：奇数与偶数的认识 4 题型三：3的倍数特征 6 题型四：2、3、5的倍数特征综合 8 培优检测 能力提升 9 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2、5、3倍数特征之间的联系。 题型一：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 【答案】3件装 【思路引导】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、或8。 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【规范解答】根据题意分析：153不是2和5的倍数。 1＋5＋3＝9，9是3的倍数，153是3的倍数。 答：用3件装的纸箱正好装完。 【变式训练1】（24-25五年级下·浙江温州·期中）下面自然数中，“△”代表任意非零自然数，且所有的△都是同一个数，那么一定同时是2、3、5的倍数的是（    ）。 A．△0△0 B．△△0△ C．△△00△ D．△0△△0 【答案】D 【思路引导】同时是2和5的倍数的特征：个位数字必须是0；是3的倍数的特征：各位数字之和必须是3的倍数。 【规范解答】A．△0△0，数字和：△＋0＋△＋0＝2△，2△不一定是3的倍数； B．△△0△，个位数字不是0，不是2和5的倍数； C．△△00△，个位数字不是0，不是2和5的倍数； D．△0△△0，个位数字是0，并且数字和△＋0＋△＋△＋0＝3△，3△一定是3的倍数，符合要求。 即一定同时是2、3、5的倍数的是△0△△0。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·随堂练习）从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。 (1)2的倍数：__________________。 (2)3的倍数：__________________。 (3)5的倍数：__________________。 (4)既有因数3又有因数5的数：__________________。 【答案】(1)52；72 (2)27；57；72；75 (3)25；75 (4)75 【思路引导】（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数； （2）3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除； （3）5的倍数特征：个位上是0或5的数。 （4）既有因数3又有因数5的数的特征：各个数位上的数字相加，和是3的倍数，且个位上是0或5的数。 【规范解答】（1）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75；在组成的这些两位数中，个位是2的数有52、72，所以可以摆出的2的倍数有52、72； （2）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75； 27各位数字之和：，9是3的倍数，所以27是3的倍数； 57各位数字之和：，12是3的倍数，所以57是3的倍数； 72各位数字之和：，9是3的倍数，所以72是3的倍数； 75各位数字之和：，75是3的倍数，所以75是3的倍数； 所以3的倍数有27；57；72；75。 （3）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75；在组成的这些两位数中，个位是5的数有25、75，所以可以摆出的5的倍数有25、75。 （4）既有因数3又有因数5的数，就是既是3的倍数又是5的倍数的数。由前面的计算可知，是3的倍数的数有27、72、57、75，是5的倍数的数有25、75，所以既是3的倍数又是5的倍数的数是75。 【变式训练3】（24-25五年级下·河南南阳·期中）妈妈在商场买了一个吹风机，花了9□元，若这个两位数既是5的倍数又含有因数2，□里应该填( )；买洗衣机花了168□元，若这个四位数既是偶数又是3的倍数，□里应该填( )或( )。 【答案】 0 0 6 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【规范解答】9□既是5的倍数又含有因数2，个位上一定是0； 168□是偶数，则个位上可以是0、2、4、6、8； 1＋6＋8＋0＝15，是3的倍数； 1＋6＋8＋2＝17，不是3的倍数； 1＋6＋8＋4＝19，不是3的倍数； 1＋6＋8＋6＝21，是3的倍数； 所以168□既是偶数又是3的倍数，个位上可以是0或6。 填空如下： 妈妈在商场买了一个吹风机，花了9□元，若这个两位数既是5的倍数又含有因数2，□里应该填（0）；买洗衣机花了168□元，若这个四位数既是偶数又是3的倍数，□里应该填（0）或（6）。 题型二：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南永州·期中）优优、果果、皮皮他们三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是42岁，他们中最大的是（    ）岁。 A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【思路引导】是2的倍数的数叫偶数。在三个连续偶数中，中间的数正好是这三个数的平均数，先用42÷3，求出中间的数；再根据每两个相邻偶数之间相差2，所以最大的偶数比中间的偶数大2，用中间偶数再加上2，即可求出他们中最大的是多少岁，据此解答。 【规范解答】42÷3＝14（岁） 14＋2＝16（岁） 即优优、果果、皮皮他们三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是42岁，他们中最大的是16岁。 故答案为：D 【变式训练1】（24-25五年级下·湖北十堰·期末）任何两个奇数的和，一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【思路引导】不是2的倍数的数叫奇数；是2的倍数的数叫偶数；奇偶性的运算法则：奇数＋奇数＝偶数。 倍数：如果一个自然数a能被另一个数自然数b（b不为0）整除，那么a就是b的倍数。 【规范解答】A．根据奇偶性的运算法则：奇数＋奇数＝偶数，是2的倍数的数叫偶数，可知任何两个奇数的和，一定是2的倍数，因此A选项正确。 B．例如：奇数1加上奇数3等于4，4÷3＝1……1，4不是3的倍数；奇数9加上奇数3等于12，12÷3＝4，12是3的倍数，所以任何两个奇数的和，不一定是3的倍数，因此B选项错误。 C．例如：奇数1加上奇数5等于6，6÷5＝1……1，6不是5的倍数；奇数9加上奇数1等于10，10÷5＝2，10是5的倍数，所以任何两个奇数的和，不一定是5的倍数，因此C选项错误。 D．例如：奇数1加上奇数7等于8，8÷7＝1……1，8不是7的倍数；奇数9加上奇数5等于14，14÷7＝2，14是7的倍数，所以任何两个奇数的和，不一定是7的倍数，因此D选项错误。 故答案为：A 【变式训练2】（24-25五年级下·湖南·期末）李茜、王妙、江泽三人今年的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是27岁，她们中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 【答案】 7 11 【思路引导】由于是连续的奇数，相邻两个年龄相差2岁；假设最小的年龄是x岁，则另外两人的年龄分别是（x＋2）岁、（x＋4）岁。根据三个连续奇数的总和是27岁，把三人的年龄相加，和等于27，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设最小的年龄为x岁，则另外两人的年龄分别是（x＋2）岁、（x＋4）岁。 （岁） 她们中最小的是7岁，最大的是11岁。 【变式训练3】（24-25五年级下·安徽黄山·期末）一个四位数“317□”，要使它是偶数，□里最大填( )；要使它是3的倍数，□里最小填( )；要使它既是2的倍数，又是5的倍数，□里应该填( )。 【答案】 8 1 0 【思路引导】偶数是能够被2所整除的整数，其个位数字是0、2、4、6、8。要使“317□”是偶数，□里可以填0、2、4、6、8，其中最大的数是8。 一个数是3的倍数，那么这个数的各位数字之和是3的倍数。先计算已知数位上数字的和：3＋1＋7＝11。再看11分别加上哪些一位数是3的倍数，11＋1＝12（12是3的倍数），11＋4＝15（15是3的倍数），11＋7＝18（18是3的倍数），所以□里可以填1、4、7，其中最小的是1。 既是2的倍数又是5的倍数的数，其个位数字一定是0。 【规范解答】个位数字是0、2、4、6、8，其中最大的数是8。 各位数字之和是3的倍数：3＋1＋7＝11，11＋1＝12，12是3的倍数，即最小填1。 是2的倍数又是5的倍数的数，其个位数字一定是0。 个四位数“317□”，要使它是偶数，□里最大填（8）；要使它是3的倍数，□里最小填（1）；要使它既是2的倍数，又是5的倍数，□里应该填（0）。 题型三：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期中）要使12□5是3的倍数，□里可以填（    ）。 A．1、4、7 B．2、5、8 C．3、6、9 【答案】A 【思路引导】3的倍数的特征：各个数位上的数的和能被3整除；根据特征分析解答即可。 【规范解答】A．，，，9、12、15都能被 3整除，符合题意。 B．，，，10、13、16都不能被3整除，不符合题意。 C．，，，11、14、17都不能被3整除，不符合题意。 故答案为：A 【变式训练1】（24-25五年级下·河南南阳·期中）秦始皇陵兵马俑二号坑的内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位于整个军阵的东部前沿，这个方阵内四面环廊，站立着172件立射俑，中心部位是160件跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？（写出思考过程） 【答案】 3个3个地数不能正好数完；5个5个地数也不能正好数完；思考过程见详解 【思路引导】3的倍数特征：一个数的各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数是5的倍数。先计算出兵马俑总数量，再运用3的倍数、5的倍数特征，进而得出答案。 【规范解答】兵马俑总数为：172＋160＝332（个）； 332的各个数位上的数之和：3＋3＋2＝8，8不能被3整除，则332不能被3整除，不能3个3个地数完；332的个位上的数是2，则不是5的倍数，也不能5个5个地数出来。 答：3个3个数不能正好数完；5个5个数也不能正好数完。因为兵马俑的总数量都不是3或5的倍数。 【变式训练2】（24-25五年级下·山东济宁·期中）78□是一个三位数，要使这个三位数既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填( )；要使这个三位数既是3的倍数又是5的倍数，□里只能填( )。 【答案】 0、6 0 【思路引导】2的倍数特征是个位数是0、2、4、6、8；3的倍数特征是各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征是个位数是0或5。 【规范解答】（1）在780到790之间，是2的倍数的是：780、782、784、786、788、790，满足3的倍数特征的有780和786，即要使这个三位数既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填0或6； （2）在780到790之间，因为5的倍数特征是个位数是0或5，所以满足5的倍数特征的是780和785，个位上可以是0或5，又因为，，15为3的倍数，满足3的倍数特征，所以780是3的倍数，又因为，，21为3的倍数，满足3的倍数特征，所以786是3的倍数，所以满足3的倍数特征的有780和786，因此要使这个三位数既是3的倍数又是5的倍数，□里只能填0。 因此78□是一个三位数，要使这个三位数既是2的倍数又是3的倍数，□里可以填0或6；要使这个三位数既是3的倍数又是5的倍数，□里只能填0。 【变式训练3】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）从1，3，5，6中选出3个数字，组成一个同时有因数3和5的最大三位数，这个三位数是( )。 【答案】615 【思路引导】这个三位数需要满足3的倍数特征和5的倍数特征，3的倍数特征是各位上的数字之和是3的倍数，5的倍数特征是个位是0或5。从这四个数字中我们可以筛选出个位一定是5；那么最大的三位数我们可以让百位是6，6和5的和是11；我们需要找3的倍数，12是3的倍数，所以十位数字可以是1，据此解答。 【规范解答】这个三位数同时有因数3和5，那么这个三位数个位上的数字一定是5，要使这个三位数最大，则可以让这个三位数的百位是6。 6＋5＝11，12是3的倍数。 12－11＝1，所以十位上的数字是1。 因此这个三位数是615。 题型四：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·广西河池·期末）小新和爸爸、妈妈在网上购买电影票，他们此次电影票号码的后四位数字恰好是2、3、5的倍数，下面（    ）可能是他们此次票码的后四位数字。 A．3356 B．1503 C．1350 D．6522 【答案】C 【思路引导】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此判断各选项中号码的后四位是2，3，5的倍数即可。 【规范解答】A．3＋3＋5＋6＝17，3356是2的倍数，不是3和5的倍数，排除； B．1＋5＋3＝9，1503是3的倍数，不是2和5的倍数，排除； C．1＋3＋5＝9，1350是2、3、5的倍数，符合； D．6＋5＋2＋2＝15，6522是2和3的倍数，不是5的倍数，排除。 1350可能是他们此次票码的后四位数字。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25五年级下·广东汕头·期中）在12□0的方框里填上一个数，使它同时含有因数2、3和5，共有（    ）种填法。 A．3 B．4 C．5 【答案】B 【思路引导】2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数：一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数。 5的倍数：个位上是0或5的数。 因为含有因数2和5，个位只能是0，题中12□0已满足条件。计算各位数字之和为：1＋2＋□＋0＝3＋□，在12□0方框里填上一个数，当这个数满足3＋□的和是3的倍数，那么这个数就符合条件，据此解答。 【规范解答】1＋2＋□＋0＝3＋□ 当方框里填0，3＋0＝3，3是3的倍数，满足条件； 当方框里填1，3＋1＝4，4不是3的倍数，不满足条件； 当方框里填2，3＋2＝5，5不是3的倍数，不满足条件； 当方框里填3，3＋3＝6，6是3的倍数，满足条件； 当方框里填4，3＋4＝7，7不是3的倍数，不满足条件； 当方框里填5，3＋5＝8，8不是3的倍数，不满足条件； 当方框里填6，3＋6＝9，9是3的倍数，满足条件； 当方框里填7，3＋7＝10，10不是3的倍数，不满足条件； 当方框里填8，3＋8＝11，11不是3的倍数，不满足条件； 当方框里填9，3＋9＝12，12是3的倍数，满足条件。 在12□0的方框里填上0、3、6、9时，12□0同时含有因数2、3和5，因此共有4中填法。 故答案为：B 【变式训练2】（24-25五年级下·湖北随州·期末）用0、1、4、7这四个数字组成一个四位数，使这个数既是2、5的倍数，又是3的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 7410 1470 【思路引导】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】0＋1＋4＋7＝12 用0、1、4、7这四个数字组成一个四位数，使这个数既是2、5的倍数，又是3的倍数，有1470、1740、4170、4710、7140、7410，这个数最大是7410，最小是1470。 【变式训练3】（24-25五年级下·云南文山·期末）7□□这个三位数同时是2、3、5的倍数，个位上填( )，十位上最大填( )。 【答案】 0 8 【思路引导】2、3、5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】7□□这个三位数同时是2、3、5的倍数，个位上填0，7＋8＝15，十位上最大填8。 1．（24-25五年级下·河南南阳·期中）在2□0中的□里填一个数，使它同时是2、3、5的倍数，有（    ）种填法。 A．3 B．2 C．4 【答案】A 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数。要使一个数同时是2、3、5的倍数，个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数。 【规范解答】因为这个数同时是2和5的倍数，所以个位数字一定是0，题目中给出的数2□0个位已经是0，满足这一条件。各位数字之和为2＋□＋0＝2＋□，3的倍数有3、6、9、12…，3－2＝1，6－2＝4，9－2＝7，要使2＋□是3的倍数，□里可以填1、4、7。因此在2□0中的□里填一个数，使它同时是2、3、5的倍数，有3种填法。 故答案为：A 2．（24-25五年级下·河南南阳·期中）100以内的自然数（0除外），是3的倍数的数有（    ）个。 A．100 B．9 C．33 D．20 【答案】C 【思路引导】在100以内的非零自然数中，求3的倍数的个数，等于求100中有几个3，根据除法的意义求解，得数根据“去尾法”保留整数。 【规范解答】100÷3≈33（个） 100以内的自然数（0除外），是3的倍数的数有33个。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·河南信阳·期中）下列说法，正确的有（    ）个。 ①2×3＝6，2、3都是6的因数。②a×5＝b（a、b为不是0的自然数），b是a的倍数。③一个非零自然数的因数最小是1。④一个数至少有两个因数。⑤相邻两个自然数的积是偶数。⑥1既不是奇数也不是偶数。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】①②在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。据此解答； ③一个数（0除外）的最小因数是1，最大因数是它本身，据此解答； ④1只有一个因数，据此解答； ⑤根据奇数×偶数＝偶数，相邻自然数一个数是奇数，一个数是偶数，据此解答； ⑥不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数，据此解答。 【规范解答】①2×3＝6，2、3都是6的因数，原题干说法正确。 ②a×5＝b，a和5都是b的因数，b是a和5的因数， a×5＝b，b是a的倍数，原题干说法正确。 ③一个非零自然数的因数最小是1，原题干说法正确。 ④1的因数只有1，所以一个数不一定有两个因数，原题干说法错误。 ⑤如3和4 3×4＝12，12是偶数，所以相邻两个自然数的积是偶数，原题干说法正确。 ⑥1是奇数，不是偶数，原题干说法错误。 正确的有①②③⑤，一共有4个。 故答案为：C 4．（24-25五年级下·河北唐山·期中）用写有数字2、3、4、6的四张卡片组成四位数。小明对小红说：“如果组成的数是2的倍数，算我赢；如果是3的倍数，算你赢。”则（    ）。 A．小明赢的可能性大 B．小红赢的可能性大 C．二人赢的可能性一样大 D．无法比较谁赢的可能性大 【答案】B 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 根据题意，用2、3、4、6组成四位数，因为2＋3＋4＋6＝15，是3的倍数，那么组成的所有四位数都是3的倍数；根据2的倍数特征可知，个位上是2、4或6时组成的四位数才是2的倍数，即不是所有的四位数都是2的倍数，那么组成的数中3的倍数比2的倍数多，数量多的，赢的可能性就大。 【规范解答】2＋3＋4＋6＝15，15是3的倍数，即用2、3、4、6组成的所有四位数都是3的倍数； 用2、3、4、6组成的四位数有：4×3×2×1＝24（个） 个位上是2、4或6时组成的四位数才是2的倍数，是2的倍数有：1×2×3×3＝18（个） 24＞18，组成的数中3的倍数比2的倍数多。 则小红赢的可能性大。 故答案为：B 5．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。是（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】由题意可知，前两位数是2的倍数，说明是偶数，则可能是2、4、6；前三位数是3的倍数，说明是3的倍数；前四位数是4的倍数，则组成的两位数是4的倍数；前五位数是5的倍数，说明是5；整个六位数是6的倍数，说明这个六位数同时是2和3的倍数，即可能是2、4、6，且各个位上数字之和是3的倍数，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21是3的倍数，即这六个数字组成的六位数一定是3的倍数，只需考虑符合条件的偶数，据此分析确保满足题目中的所有条件。 【规范解答】分析可知，一定是5，可能是2、4、6，可能是2、4、6，可能是2、4、6，因为只有三个偶数，所以这三个偶数一定不相邻，前四位数是4的倍数，则可能是12、16、32、36，当为12时，只能是3，这个六位数是341256（3＋4＋1＝8，8不是3的倍数）或361254（3＋6＋1＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当为16时，只能是3，这个六位数是321654（3＋2＋1＝6，6是3的倍数）或341652（3＋4＋1＝8，8不是3的倍数），341652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数321654符合题意；当为32时，只能是1，这个六位数是143256（1＋4＋3＝8，8不是3的倍数）或163254（1＋6＋3＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当为36时，只能是1，这个六位数是123654（1＋2＋3＝6，6是3的倍数）或143652（1＋4＋3＝8，8不是3的倍数），143652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数123654符合题意，综上所述，这个六位数是321654或123654，所以是4。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要考查2、3、4、5、6的倍数特征，先确定的值，再从4的倍数特征解决问题，逐步分析找出符合所有条件的六位数是解答题目的关键。 6．（25-26五年级上·广东揭阳·期末）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是( )。 【答案】30 【思路引导】根据既是3的倍数，又是5的倍数，并且还是一个偶数，可知这个数是2的倍数，2、3、5倍数的特征：个位数必须是0，而且各个数位上的数字之和是3的倍数，要使这个数最小，个位是0，十位最小是3，此时这个数是30，3＋0＝3，3是3的倍数，所以这个数最小是30；据此解答。 【规范解答】由分析可得： 3＋0＝3 所以，一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是30。 7．（24-25五年级下·四川乐山·期中）一个两位数，至少加上2是5的倍数，这个两位数最大是( )；3的倍数中，最小的三位数是( )。 【答案】 98 102 【思路引导】5的倍数特征：个位上的数是0或5；两位数加上2得到能被5整除的数，可得到这个数；3的倍数特征：各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数，据此可得出答案。 【规范解答】一个两位数加上2是5的倍数，即100是5的倍数，则这个两位数是；3的倍数中，最小的三位数是102。 8．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）在123、175、182这些数中，其中( )是2的倍数，( )是3的倍数，( )是5的倍数。 【答案】 182 123 175 【思路引导】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。个位上是0或5的数是5的倍数。3的倍数，各个数位上数的和也是3的倍数。据此解题。 【规范解答】182的个位是2，所以182是2的倍数。 1＋2＋3＝6，6是3的倍数，所以123也是3的倍数。 175的个位是5，所以175是5的倍数。 在123、175、182这些数中，其中182是2的倍数，123是3的倍数，175是5的倍数。 9．（24-25五年级下·河南安阳·期中）宁波乙太书画院为弘扬优秀传统文化、构建和美文明华夏，在2024年9月15日举办了主题为“翰墨迎中秋，丹青颂中华”的书画展。40余位甬上书画名家与大咖，共展出作品60余幅，以书言志、以画传情，热烈庆祝新中国成立75周年以来的辉煌成就。 (1)画横线的数中，奇数有( )，偶数有( )。 (2)40的因数有( )。 (3)画横线的数中，既是2的倍数又是5的倍数的数有( )，同时是2、5、3的倍数的数是( )。 【答案】(1) 9、15、75 40、60 (2)1、2、4、5、8、10、20、40 (3) 40、60 60 【思路引导】（1）能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，据此解答即可； （2）找40的因数就是找两个数相乘得出40即可。 （3）2的倍数又是5的倍数的特征是末尾是0的整数，同时是2、5、3的倍数的特征就是末尾是0，且各个数位的和能被3整除。 【规范解答】（1）由分析可知，奇数有9、15、75，偶数有40、60； （2）1×40＝2×20＝4×10＝5×8 则40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40。 （3）由分析可知，既是2的倍数又是5的倍数的数有40、60，同时是2、5、3的倍数的数是60。 10．（2016三年级下·全国·竞赛）有10个灯泡，编号为1到10，前5个亮着，后5个没亮着，每个灯泡都只有一个开关控制他们，第一次按一下编号为2的倍数的灯泡的开关，第二次按一下编号为3的倍数的灯泡的开关，第三次按一下编号为4的倍数的灯泡的开关，第三次之后还有______个灯泡亮着。 【答案】5 【思路引导】2的倍数有2、4、6、8、10，3的倍数有3、6、9，4的倍数有4、8；开关按奇数次会改变原来的状态，按偶数次不会改变原来的状态；编号1，没按开关，亮着，编号2、 3按了一次开关，不亮，编号4按了两次开关，亮着，编号5，没按开关，亮着，编号6，按了两次开关，不亮着，编号7，没按开关，不亮，编号8，按了两次，不亮，编号9、10按了一次开关，亮着。据此可知，一共有5个灯泡亮着；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，第三次之后还有5个灯泡亮着。 【考点剖析】明确开关按奇数次会改变原来的状态，按偶数次不会改变原来的状态是解答本题的关键。 11．（24-25五年级下·全国·课后作业）个位上是0的数，一定是2，3，5的倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0的数一定是2和5的倍数，因为能被2和5整除；但3的倍数要求各个数位上的数字之和能被3整除，个位是0不一定满足这个条件。 【规范解答】个位上是0的数一定是2和5的倍数，但不一定是3的倍数。例如，10的个位是0，它是2和5的倍数（，），但10不能被3整除（，不是整数）。 故答案为：× 12．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）如果一个数有因数9，那么这个数一定是3的倍数。( )（判断对错） 【答案】 √ 【思路引导】根据因数和倍数的定义，若一个数有因数9，则这个数一定是9的倍数，即可以表示为9k（k为整数）。由于9是3的倍数，因此9k必然可以分解为3×3k，即该数也是3的倍数。 【规范解答】假设这个数为N，且有因数9，则N＝9k（k为整数）。 因为9＝3×3，所以N＝3×3k＝3×（3k），其中3k为整数。根据3的倍数定义，N能被3整除，因此N一定是3的倍数。 例如：当k＝2时，N＝9×2＝18，18÷3＝6，是3的倍数；当k＝5时，N＝45，45÷3＝15，也是3的倍数。由此可知，命题成立。 故答案为：√ 13．（24-25五年级下·河南南阳·期中）用4、7、1组成的任意一个三位数都是3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据3的倍数特征，若一个数的各位数字之和是3的倍数，则该数是3的倍数。计算4、7、1三个数字之和即可判断。 【规范解答】4、7、1三个数字组成的任意三位数，其各位数字之和为。由于是3的倍数（），因此无论这三个数字如何排列，组成的三位数都是3的倍数。例如：471、741、147等均满足条件，原题说法正确。 故答案为：√ 14．（24-25五年级下·河南南阳·期中）有三个连续自然数的和是16874。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】三个连续自然数的和一定是3的倍数，3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数，计算16874是否为3的倍数，1＋6＋8＋7＋4＝26，26不是3的倍数，那么16874不能表示三个连续自然数的和，据此解答。 【规范解答】假设三个连续自然数分别为a－1、a、a＋1。 a－1＋a＋a＋1 ＝a＋a＋a－1＋1 ＝3a 因为3a一定是3的倍数，所以三个连续自然数的和一定是3的倍数。 1＋6＋8＋7＋4＝26 因为26不是3的倍数，则16874不是3的倍数，所以三个连续自然数的和不可能是16874，题目说法错误。 故答案为：× 15．（24-25五年级下·全国·课后作业）先算一算，再按要求分类。（填序号） ①10＋2＝       ②2＋3＝       ③15＋17＝     ④24＋19＝       ⑤43＋15＝        ⑥21＋18＝     我发现：奇数＋奇数＝（    ） 奇数＋偶数＝（    ） 偶数＋偶数＝（    ） 【答案】12；5；32   43；58；39   ②④⑥；①③⑤；偶数；奇数；偶数 【思路引导】先把每个算式算出结果，再根据结果是奇数还是偶数进行分类，再由算式的特征得出发现，据此解答。 【规范解答】①，10和2都是偶数，所得的结果也是偶数，由此可知偶数＋偶数＝偶数 ②，2是偶数，3是奇数，所得的结果是奇数，由此可知偶数＋奇数＝奇数 ③，15和17都是奇数，所得的结果是偶数，由此可知，奇数＋奇数＝偶数 ④，24是偶数，19是奇数，所得的结果是奇数，由此可知偶数＋奇数＝奇数 ⑤，43和15都是奇数，所得的结果是偶数，由此可知，奇数＋奇数＝偶数 ⑥，21是奇数，18是偶数，所得的结果是奇数，由此可知即奇数＋偶数＝奇数 因此，得数是奇数的算式有（填序号）：②④⑥；得数是偶数的算式有（填序号）：①③⑤； 如下图： 我发现：奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 16．（24-25五年级下·重庆江北·期中）为验证“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这个结论，聪聪把567进行了拆分（如图）。发现：5个99和6个9都是3的倍数，关键要看框中的几个1合起来是不是3的倍数，因为合起来共有18个1，也就是18，18是3的倍数，所以567就是3的倍数。请你像他一样写一个四位数，先拆分再说明它为什么是（不是）3的倍数。 【答案】见详解 【思路引导】判断一个数是不是3的倍数，要看的是“各位”上数的和，先找到确定是3的倍数的部分，再看其余部分是不是3的倍数。 【规范解答】我写的是3459。 3个999，4个99和5个9都是3的倍数；方框中的几个1合起来是21个1，也是3的倍数。所以3459是3的倍数。 17．（24-25五年级下·新疆·期中）有28个桃，每3个装一盘，至少再买多少个桃才能正好装完？至少要拿走多少个也能正好装完？ 【答案】2个；1个 【思路引导】根据3的倍数的特征进行分析，一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】2＋8＝10 12－10＝2（个） 10－9＝1（个） 答：至少再买2个桃才能正好装完，至少要拿走1个也能正好装完。 18．（24-25五年级下·全国·课后作业）小商品市场里，有五种小商品的单价分别是1元、3元、5元、7元和9元。乐乐说：“我买了4件小商品，总价是29元。”园园说：“我买了5件小商品，总价是29元。”谁说得对？为什么？ 【答案】园园说得对。因为小商品的单价均是奇数，偶数个奇数的和应是偶数，只有奇数个奇数的和才是奇数。 【思路引导】由奇偶数的性质可知：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；据此解答。 【规范解答】乐乐买了4件小商品，商品的个数为偶数，商品的单价都是奇数，偶数个奇数和是偶数，所以乐乐说的不对； 圆圆买了5件小商品，商品的个数为奇数，商品的单价都是奇数，奇数个奇数的和是奇数，所以圆圆说的对 答：圆圆说的对。因为小商品的单价均是奇数，偶数个奇数的和应是偶数，只有奇数个奇数的和才是奇数。 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）小宇和小恒一起玩转盘游戏，下面是小恒设计的游戏规则： （1）小宇认为小恒设计的游戏规则不公平，你知道为什么吗？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】（1）不公平，理由见解析。 （2）示例：小宇转转盘，指针指到奇数小宇赢，指到偶数小恒赢。（答案不唯一） 【思路引导】（1）游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的可能性是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可。 （2）要想使游戏公平，就要使他们两人获胜的可能性同样大，根据题意设计公平的游戏规则即可（答案不唯一）。 【规范解答】（1）不公平，理由如下： 因为奇数＋奇数的和是偶数，偶数＋偶数的和也是偶数，所以不论指针指到几，按顺时针方向数相应的格数，得到的都是偶数，所以不论小宇转到几都是小恒赢。 所以不公平。 （2）一共有30个数，其中15个奇数，15个偶数，可以设计如下： 小宇转转盘，指针指到奇数小宇赢，指到偶数小恒赢。（答案不唯一） 【考点剖析】此题考查奇数和偶数的认识，可能性大小的比较，只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等。 20．（2025五年级下·全国·专题练习）判断以下6个数的整除性： 8875，198954，6512，93625，864，407。 （1）哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 【答案】（1）6512、864；6512、864 （2）8875、93625；8875、93625 【思路引导】（1）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除；一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数； （2）25的倍数特征：尾数是0或5，后两位数不是25、50、75就或是00；后三位数字如果是125的倍数，那么这个数就是125的倍数。 【规范解答】（1）12能被4整除，即6512能被4整除；64能被4整除，即864能被4整除。 512÷8＝64，即6512能被8整除；864÷8＝108，即864能被8整除。 答：能被4整除的数有：6512，864。能被8整除的数有：6512，864。 （2）8875、93625的后两位数是75、25，即8875、93625能被25整除。 875÷125＝7，即8875能被125整除；625÷125＝5，即93625能被125整除。 答：能被25整除的数有：8875、93625；能被125整除的有8875、93625。 【考点剖析】解答本题的关键是熟练掌握2、5的倍数的特征，在此基本上延伸出4、8、25及125的倍数的特征。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $