2026年北京市中考数学模考试卷

2026年北京市中考数学模考试题 姓名_______ 准考证号 考场号 座位号 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 《2025年中国卫星导航与位置服务产业发展白皮书》显示，去年我国卫星导航与位置服务产业总产值达5758亿元．将“5758亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5.某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6.如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（ ） A. B. C. D. 7.如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8.如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 分解因式_______________． 10.写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式______． 11.不等式组的整数解有_______个． 12. 如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为__________． 13.如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 14. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 15. 如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm． 16.如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17.计算：计算． 18.解不等式组. 19.先化简，再求值：，其中． 20.如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． （1）连接，求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 22. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_______； ②请补全抽取的学生成绩条形统计图； ③条形统计图中学生竞赛成绩得分众数为_________分； （2）在扇形统计图中：______，得分为“100分”这一项所对应圆心角是_____度； （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 23.数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 24.某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 25.如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点，将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当三角形ABC的面积为3时，求m的值． 26. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 27.如图1，在中，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； （3）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 28.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1.D 2.B 3.B 4.A 5.A 【解析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 由题意可得，，故选A. 6. D 【解析】解：∵正方形沿折叠，∴，， ∴，∴， ∴， ∵正方形，∴， ∴，故选：D. 7. D 【解析】解：作于点，如图， ∵矩形，∴四边形是矩形，∴， 由题意得，，， ∴， ∵，，∴， ∵，∴， 解得，故选：D． 8.B 【解析】解：是等边三角形， ∴， ∵，即， ，∴， 过点A作于G点，则， ∴∴，∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴，∴，∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意. 9. 10.（答案不唯一） 11.2 12. 13.4 【解析】解：∵，∴， ∵点为的中点，∴，∴， ∵，∴， 又∵点F为的中点，∴； 故答案为：4． 14. 【解析】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 15.12 【解析】解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠，∴， ∵是平行四边形，∴，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴； 故答案为：12． 16.6（答案不唯一，大于5均可） 【解析】解：直线经过点，，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴，， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 17. 18. 【解析】（1） 解不等式得：，解不等式得：， 故原不等式组的解集为. 19.， 【解析】解： ， 当时，原式． 20.（1）见解析； （2）． 【解析】【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切，∴，∴， 在和中 ∴∴，∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴，∴ ∵，∴为等边三角形，∴， 由（1）可知：， ∴， ∴，∴， ∴． 21.（1）15米； （2）当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【解析】【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； 【小问2详解】 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵，∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 22.（1）①；②作图见解析；③ （2）， （3）名 【解析】【小问1详解】 解：抽查的学生总数为（人）， 竞赛成绩为分的人数为：（人）， 补全学生成绩条形统计图： 由条形统计图可得，得分为分的人数最多，故众数为， 故答案为：①；③； 【小问2详解】 解：， ∴，∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， 答：该校得分不低于90分的学生有人． 23. 【解析】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：楼房高度约为． 24.（1）每个篮球60元，每个足球50元 （2）当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【解析】【小问1详解】 解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． 【小问2详解】 设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 25.（1） （2） 【解析】【小问1详解】 解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴，∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴；∴ ∵，， ∴； 解得：． 26.（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数，最小值为7 ， 最少开7条通道； 27.（1）见解析 （2）①30°；② （3）见解析 【解析】【小问1详解】 解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． 【小问2详解】 ①四边形为菱形．，， 又，， ， 切于，， ； ； ②设半径为， ，， ，， ； 解得：； 【小问3详解】 由题意，作图如下： 28.（1） （2）点D的坐标为， （3）点Q的坐标为或 【解析】【小问1详解】 解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $