10.3 几个三角恒等式（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

10.3 几个三角恒等式 题型一 降幂公式的应用 1．的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用降幂公式、积化和差公式以及诱导公式即可得到答案. 【详解】原式 . 故选：A. 2．(22-23高一下·重庆第一中学校·月考)在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积化和差、和差化积公式化简，利用辅助角公式求函数的最值. 【详解】， ， , ，（其中）， ， ，当时等号成立. 的最大值为. 故选：A 3．(22-23高一下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得，从而可得一个为最大值，一个为最小值，不妨设为最大值，为最小值，再根据正弦函数得性质求出，即可得解. 【详解】， 则， 因为，则一个为最大值，一个为最小值， 不妨设为最大值，为最小值， 则， 所以， 所以， 由，得， 所以当时，取得最小值. 故选：A. 4．(23-24高一下·广东茂名信宜信宜中学·期中)已知，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 5．(22-23高一下·江苏苏州昆山中学·期末)已知，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】设，，结合已知，把用的正余弦表示，再借助三角函数性质求解作答. 【详解】设，，则，而，显然， 因此 ，其中锐角由确定， 函数，当时，，当时，， 因此，即有， 所以的最小值为. 故答案为： 题型二 辅助角公式 1．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以． 故选：C 2．(24-25高一下·江苏邗江中学·月考)已知，则________． 【答案】 【分析】运用两角差的正弦公式及辅助角公式进行化简，再用降幂公式以及角的变换即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以，即，解得， 所以， 故答案为：. 3．(24-25高一下·江苏连云港赣榆高级中学等校·)已知，且，则的值为_____________． 【答案】 【分析】由已知，求得，得，可得，进而求得，，由，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 又，则， 所以， 所以， ， 所以 . 故答案为：. 4．(22-23高一下·广东珠海·期中)函数的最大值为________. 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解. 【详解】由 当时，即 所以的最大值为： 故答案为： 5．(22-23高一下·江苏苏州工业园区星海实验中学·月考)已知为锐角且满足，则______. 【答案】 【分析】利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可. 【详解】解：由，得 ， 则， 是锐角，. 故答案为：. 题型一 化简求值 1．(24-25高一下·江苏苏州工业园区西安交通大学苏州附属中学·月考)已知黄金分割比m还可表示为，则等于（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】由已知，将代入，利用三角函数的基本关系式，两角差的正弦公式及倍角公式进行运算，即可求解. 【详解】由已知， . 故选：B. 2．(24-25高一上·浙江杭州下沙区杭四吴山·期末)若，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】直接利用三角函数的二倍角公式以及两角差的正弦对原式进行变换即可求出的值. 【详解】解：， 即 . 故. 故选：C 3．(23-24高一下·江苏连云港海州高级中学·期中)（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦、通分、再根据两角差的正弦公式、二倍角公式和诱导公式可得结果. 【详解】 . 故选：A. 4．(23-24高一下·江苏启东中学·月考)（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换即可判断A、B，再利用A的结论以及，求出和的值，即可判断CD. 【详解】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有 ，故A正确； 同理 ，故B正确； ∵，∴， ∴ ∴，∴或（舍去）. ，故C正确，D错误； 故选：ABC. 5．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·调研)________． 【答案】2 【分析】利用余弦二倍角，辅助角公式和诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 故答案为：2 题型二 给值求值 1．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)若，，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将和平方后相加，结合的已知值，建立方程求解. 【详解】设，已知，令， 根据三角恒等式可得： 代入已知条件，， 得：， 计算得： ，即. 由于，均为非负数，故，即. 故选：B 2．(23-24高一下·江苏镇江、南京联盟校·)若，，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用三角恒等变换化简整理可得，然后利用同角三角函数的基本关系求得，进而得，从而由可得结果. 【详解】， 化简得，即， 整理得. 因为，所以. 整理得，又，即， 所以，即，进而， 于是. 故选：D. 3．(23-24高一下·江苏南通·)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用差角的正弦公式化简给定等式得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，， 则，所以. 故选：A 4．(23-24高一上·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)已知，，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得，由题意，利用同角三角函数的关系求得，，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解. 【详解】， ，得， ，，， ，，， . 故选：A 5．(24-25高一下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，则______． 【答案】 【分析】将变形结合两角和与差的正弦公式得到的关系，进而可求. 【详解】由得， ①，②， 即，， ∴ ∵， ∴. 故答案为：. 题型三 给值求角 1．(24-25高一下·江苏四十一校·)已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用同角基本关系式和的范围求，接着利用二倍角公式求； （2）先求，再利用得解； （3）利用二倍角正切公式得，再求，结合角的范围得解. 【详解】（1）因为，且所以， 又，所以， 因此，； （2）因为，，所以， 又，则， 则 ， 则， 所以； （3）因为，，则，且， 则， 又，所以. 2．(23-24高一下·江苏镇江·期末)已知角，满足，，且，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以 . （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 3．(23-24高一下·江苏镇江、南京联盟校·)已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出，解出、，进而解出即可； （2）由均为锐角，先解出的取值范围；再解出，进而解出的值即可. 【详解】（1）∵，，，，∴、均为正数. ∴，， . ∴； （2）∵，，∴， 又∵， ∵，∴. 4．(23-24高一下·江苏南通·)已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【详解】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 5．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·)已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由同角的三角函数关系得到，再利用差角的正切展开式结合同角的三角函数关系解方程组可得； （2）方法一：由差角的正切公式结合特殊角的正切值可得；方法二：由同角的三角函数关系结合两角和的余弦展开式可得. 【详解】（1）由，为锐角，则， 又，则， 所以， 即， 所以……①   又……② 由为锐角，由①②解得：． （2）由（1）知，又， 即． 由，且，则，所以， 又，则，所以． 法二：因为，为锐角，，，解得：，， 由，又， 所以， 则 ， 由，且，则，所以， 又，则，所以． 题型一 恒等变换的实际应用 1．(25-26高一上·四川广安·期末)如图，是半径为的半圆的直径，点、在弧上，若，则四边形周长的最大值为_____． 【答案】 【分析】连接，分别取、的中点、，连接、，则，，设，求出、关于的表达式，利用二倍角的余弦公式以及二次函数的基本性质可求得四边形周长的最大值. 【详解】连接，分别取、的中点、，连接、，则，， 设，因为，则，所以，故， 因为，为的中点，所以，， 同理可知，， 所以， ， 所以四边形的周长为 ， 由题意可知，可得，所以，则， 令，令，则， 故当时，函数取最大值为，所以四边形周长的最大值为. 故答案为：. 2．(22-23高一下·江苏淮安高中校协作体·期中)现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【答案】(1)，矩形面积的最大值为 (2)矩形面积的最大值为，第一种方案更优. 【分析】（1）计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值； （2）取中点，连接，设，设，其中，计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值，与方案一中矩形的面积比较大小，可得出结论. 【详解】（1）解：由题得，则， 则， 所以，， 所以矩形面积为 ， 因为，则，故当时，即当时， 矩形的面积取最大值，且最大值为. （2）解：取中点，连接，设，如下图所示： 设，其中，由圆的几何性质可知， ，， 因为四边形为矩形，则且， 因为，则，且，所以，四边形为矩形， 所以，，即为的中点， 又因为，则，所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 则矩形的面积为 ，其中， 因为，则， 所以当，即时取最大值，矩形的面积取最大值，且最大值为 ， ，则，所以第一种方案更优. 3．(25-26高一·浙江杭州富阳区,钱塘区,桐庐县,淳安县,建德·期末)如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，可得出的值，求出旋转周期可得出的值，根据可得出的值，再根据初始位置可得出的值，即可得出关于的函数关系式； （2）经过后，甲乙距离地面的高度分别为、，，，利用三角恒等变换化简得出关于的函数关系式，结合以及余弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）以水平面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 根据题意，设， 由题意知旋转周期，得，， ，解得， 当时，游客甲位于，则， 由题意可得：. （2）设甲、乙两人所在号舱分别为、，则. 经过后，甲乙距离地面的高度分别为、， ，. 则甲、乙的高度差 ， 当时，， 所以当或时，即或时， 取最大值为，即甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为. 4．如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)建系见解析，点，点 (2) 【分析】（1）以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义、诱导公式可得出点、的坐标； （2）利用三角恒等变换化简四边形的面积关于的表达式，结合的取值范围以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为． （2），， 四边形的面积 ，     当时，即时，， 四边形的面积的最大值为． 5．(25-26高一·广东东莞·)如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上的动点，且的周长为2. (1)证明为定值，并求出该定值； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）设， 在直角三角形中表示出，进而表示出的周长，根据已知化简得出，结合角的范围即可得出答案； （2）方法一：利用角的正弦表示出面积，然后根据角的范围结合三角函数的性质得出最值；方法二：，将面积表示成角的正切形式，根据正切运算结合基本不等式求解得出答案；方法三：设，根据已知三角形的周长，化简得出，然后表示出三角形的面积，进而根据基本不等式求解即可得出答案. 【详解】（1）设， 由已知可得，，， 所以，，. 因为的周长为2， 所以， 即， 所以. 所以，. 又， 所以， ， 所以，为定值. （2）方法一： 所以最小值为. 方法二： . 由， 化简得. 因为，当且仅当时，等号成立 所以，， 整理可得， 所以， 整理得， 所以. 方法三： 设 . 令， 则. 当且仅当时，S的最小值为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.3几个三角恒等式 题型一降幂公式的应用 基础达标题 题型二辅助角公式 题型一化简求值 几个三角恒等式 能力提升题 题型二给值求值 题型三给值求角 拓展培优题 题型一恒等变换的实际应用 基础达标题 题型一降幂公式的应用 1.sin220°+cos280°+V3sin20°cos80°的值是() A.青 B.青 C. D.1 2.(22-23高一下.重庆第一中学校月考)在△ABC中，若sinA=3 cos B cosC,则cos2B十cos2C的最大值 为() A.3+1因 B.+因 6 c.2+13 6 D.245 3.(22-23高一下辽宁大连滨城高中联盟期中)函数f(x)=V3sin2x+2cos2x,若f(x1)·f(x2)=-3 ,则x1十X2的最小值是( A.晋 B.零 c.胃 D. 4.(23-24高一下，广东茂名信宜信宜中学.期中)已知cos6=-寻元<6<变，则sin号+sin号cos号= 5.(22-23高一下江苏苏州昆山中学.期末)已知x2-3xy+2y2=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值为 题型二辅助角公式 1/5 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(24-25高一下江苏南京协同体十校期中)已知cosa+V3sina=号，则cos(2a+)的值是() A第 B.器 c. D. 2.(24-25高一下江苏邢江中学·月考)已知sin6+sin(6-青)=1，则sin(26+若)= 3.(24-25高一下江苏连云港赣榆高级中学等校)已知aE(0,π)，且sin(a-号)+V3cosa=寻，则 cos(2a-是)的值为 4.(22-23高一下广东珠海期中)函数fx)=2sin(胥+4x)+sin(4x-需)的最大值为 5.(22-23高一下.江苏苏州工业园区星海实验中学·月考)已知α为锐角且满足1十8c=0,则α= B 能力提升题 题型一化简求值 1.(24-25高一下江苏苏州工业园区西安交通大学苏州附属中学.月考)已知黄金分割比m还可表示为 2sin22.5°，则_m4m cos155等于() A.V2 B.2 c号 D.1 3 2.24-25高一上浙江杭州下沙区杭四吴山期末)若品。。=4，则实数m=（） A.5 B.2 C.1 D.2 3.(23-24高一下.江苏连云港海州高级中学期中)sin40°(tan10°-V3)=（) A.-1 c.- D.号 4.(23-24高一下江苏启东中学月考)（多选）下列等式正确的是（) A.cos3x=4cos3x-3cosx B.sin3x=3sinx-4sin3x c.sin18°= 0.cos18°=25 4 cos10(1+y3tan10) 5.(24-25高一下.江苏南京六校联合体.调研 1上20s65 题型二给值求值 1.24-25高一下-江苏苏州中学校期中)若cosa十c0sB=号，c0s(a-B)=青，其中aBE(0,), 2/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则sin&+sinB=() A.号 B.30 6 c.君 D.42 6 2.23-24高-下江苏镇江、南京联盟校)若9E(0,),sin0cos(0+号)=号cos20,则tan20=（) A.克 8.号 c.5 D. 3.(23-24高一下江苏南通)已知sin日+sim(6-)=1,则sin(28+)=() A.青 B.-青 c.克 D.-克 4.(23-24高一上重庆渝中区巴蜀中学校期末)已知a∈(-，若)，B∈（罗，π），且满足 cos(a+君)=V3cosa-号，sinB=,则cos(a+B+号)=() A.-需 8.鵠 c器 D.器 5.(24-25高一下-湖南常德临澧县第一中学.期中)已知sinacosB=2 cosasin3/,sin(&+B)=幸，则 sin(B-a)= 题型三给值求角 1.2425商一下江苏四十一夜已知a∈（等，），sin=票 (1)求tan和sin2a的值； 2若sin(c+B)=.怎，B为锐角，求sin(a-B)的值， (3)若tanB=专，B为锐角，求角e+23 2四24商下江苏镇江期末已如角a,B满足ma=誓，c0sB=专，且-号<a<号，0<B<元 (1)求sin(2x-阝)的值； 2)求a+号的大小 3.(23-24高一下江苏镇江、南京联盟校)已知锐角，B满足cos= sing=so 10 (1)求sin(2a-B)的值； (2)求&+B的大小 4.2324高-下江苏南通已知tan(&+)=-3,c0s日=.号，且a,B∈0，，求 (1)sin2a的值； (2)2&-B的值、 3/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.245高一下江苏镇江丹阳已知a,B为锐角，tanx=京，且c0s(a+B)=县。 (1)求sinB的值； (2)求角2+的值. 拓展培优题 题型一恒等变换的实际应用 1.(25-26高一上四川广安期末)如图，AD是半径为2的半圆0的直径，点B、C在弧AD上，若 |AB|=BC,则四边形BCDO周长的最大值为 2.(22-23高一下江苏淮安高中校协作体.期中)现某公园内有一个半径为20米扇形空地0AB,且 ∠AOB=号，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形MNPQ的老年活动场所，如下 图所示有两种情况可供选择。 B B M M 图一 图二 (1)若选择图一，设∠NOA=,请用表示矩形MNPQ的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形MNPQ的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据 V2≈1.414，V5≈1.732) 3.(25-26高一浙江杭州富阳区，钱塘区，桐庐县，淳安县，建德期末)如图，某游乐场的摩天轮半径为10m,圆 心0距离地面15m,设置有30个座舱（逆时针编号1号~30号），摩天轮每10min逆时针转动一圈，游客在 4/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 座舱转到距离地面最近的位置（点P位置)进舱现甲、乙两人先后分别进入1号舱和6号舱， mn (1)游客甲从坐上1号舱起，经过tmin后距离地面高度为H(单位：m),求H(单位：m)关于时间t(单 位：min)的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差h的最大值. 4.如图，AB为半圆的直径，AB=6,0为圆心，P是半圆上的一点，∠B0P=8(0°<日<90)，将射 线0P绕0逆时针旋转90到OQ,过P、Q分别作PM⊥AB于M,QN⊥AB于N. 0 10 (1)建立适当的直角坐标系，用6的三角函数表示P、Q两点的坐标： (2)求四边形PQNM面积的最大值. 5.(25-26高一广东东莞)如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为AB,DA上的动点，且△APQ的 周长为2 (1)证明∠PCQ为定值，并求出该定值： (2)求△PCQ面积的最小值 5/5