10.3 几个三角恒等式（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十章 三角恒等变换 10.3 几个三角恒等式 知识点一 积化和差、和差化积公式 1.积化和差公式： sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2.和差化积公式： sinx＋siny＝2sincos， sinx－siny＝2cossin， cosx＋cosy＝2coscos， cosx－cosy＝－2sinsin． 即学即练 （25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 知识点二 半角公式 sin＝±，cos＝±，tan＝±＝.符号由所在的象限决定． tan＝＝ 即学即练 （25-26高三上·安徽宣城·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点三 万能公式 ． 即学即练 题型01 积化和差问题 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·广东广州·期末）学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2.（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 和差化积问题 典｜例｜精｜析 （24-25高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有__________. ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，求的值． 2.（2025高三下·全国·专题练习）世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； 题型03 半角公式的应用 已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可． 由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件． 典｜例｜精｜析 （2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则____________. 题型04 万能公式的应用 万能公式给出了求α的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道tan的值及相应的条件，sinα，cosα，tanα便可求出． 典｜例｜精｜析 （2025高三·全国·专题练习）求证：． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24高一下·四川广元·月考）已知，求 (1)及的值； (2) 2．（23-24高一下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 题型05 给角求值型问题 给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）求值：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·全国·单元测试）_____． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型06 给值求值型问题 “给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·福建莆田·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·辽宁·期末）已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，且，则的最大值为________. 题型07 给值求角型问题 “给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·云南玉溪·开学考试）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 题型08 无条件的恒等式证明 化简与证明的常用方法： ①“切”化“弦”； ②积化和差，和差化积； ③平方降次； ④异角化同角，异次化同次，异名化同名． 典｜例｜精｜析 （22-23高一下·上海青浦·月考）（1）化简： （2）证明恒等式： 变｜式｜巩｜固 1．（22-23高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 2．（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 题型09 有条件的恒等式证明 在恒等式的证明中，“化繁为简”是化简一个三角函数式的一般原则，由复杂的一边化到简单的一边，按照目标确定化简思路．如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法． 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知，求证：． 题型10 判断三角形的形状 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．本题条件中没有边的相对位置关系，就从角入手，证明有一个角是直角，或者有两个角互余．当然，也可以由正弦值为1或余弦值为0得出结论． 典｜例｜精｜析 （13-14高一下·河北邢台·月考）关于x的方程有一根为1，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 变｜式｜巩｜固 1．（15-16高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 题型11 三角形中的三角恒等式 注意应用三角形内角和定理及三角形的性质. 典｜例｜精｜析 （20-21高一·江苏·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证＝. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，求证：． 2.（22-23高三上·辽宁丹东·期中）已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 题型12 三角恒等变换的综合问题 (1) 对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式； (2) 对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子； (3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·安徽安庆·开学考试）某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)证明：，其中，且． 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）的值为_____. 2．（25-26高一下·湖北黄冈·开学考试）化简求值 (1) (2) 题型13 三角恒等变换与函数的图象、性质 此类问题一般解法步骤是：降幂——应用辅助角公式——研究函数性质. 易忽视角的范围，无法准确确定函数的单调区间、值域（最值）等. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，且， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）定义，函数. (1)将化为的形式； (2)若的定义域为，求的单调递增区间； (3)若，，求的值. 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知，是函数在上的两个零点，且，求及的值. 题型14 三角函数的实际应用 此类问题一般解法步骤是：实际问题——三角函数表达式-----应用和差倍半、辅助角公式——研究函数性质-----确定最值. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·湖南常德·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·浙江·期末）如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 三角恒等变换 10.3 几个三角恒等式 知识点一 积化和差、和差化积公式 1.积化和差公式： sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2.和差化积公式： sinx＋siny＝2sincos， sinx－siny＝2cossin， cosx＋cosy＝2coscos， cosx－cosy＝－2sinsin． 即学即练 （25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】积化和差公式、和差化积公式 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 知识点二 半角公式 sin＝±，cos＝±，tan＝±＝.符号由所在的象限决定． tan＝＝ 即学即练 （25-26高三上·安徽宣城·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、半角公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式以及半角公式分别验证充分性、必要性可得结论. 【详解】由，可得， 利用半角公式可得，充分性不成立， 当时，， 可得，则必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选： B 知识点三 万能公式 ． 即学即练 （2025高三·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【知识点】求含tanx的二次式的最值、万能公式 【分析】当时，得到方程的解；当时，令，把原方程可得化为（*），求得方程根，结合，求得方程的解，得到答案. 【详解】当时，可得， 故是方程的解； 当时，令， 可得， ， 原方程可得化为（*）， 整理得，解得或， 代入方程（*）检验，知为（*）的增根，即为（*）的根， 由，解得， 综上可得，原方程的解为或，即， 所以原方程的解集为. 题型01 积化和差问题 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·广东广州·期末）学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】积化和差公式、有条件的恒等式证明、给值求值型问题 【分析】（1）将两角和与差的余弦公式进行相加除以2即可证明； （2）令代入后并利用二倍角公式即可得的值； （3）利用和诱导公式代入计算即可证明. 【详解】（1）利用余弦的和角、差角公式： ， ， 将两式相加： 两边同时除以2，得： . （2）已知， 利用（1）的恒等式，令，则： 结合已知条件，得； . （3）， 由，得， 故． 因为， 令，则： . 化简角，左边 令， . 化简得 再处理，用公式： . 将两部分代入右边： 右边. 左边与右边表达式完全相同，故： . 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积化和差公式、诱导公式二、三、四 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【详解】. 故选：B. 2.（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】特殊角的三角函数值、积化和差公式 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 题型02 和差化积问题 典｜例｜精｜析 （24-25高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有__________. ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【答案】①②③ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、和差化积公式 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】，①正确； 依题意，知为的中点，，②正确； 又为劣弧的中点，， 又，点的坐标为，③正确： 为的中点，，则点的坐标为， ， ， 点的坐标为，④错误. 故答案为：①②③. 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】和差化积公式 【分析】利用和差化积公式求解. 【详解】，， ，， 两式相除得． 2.（2025高三下·全国·专题练习）世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】和差化积公式、积化和差公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）首先利用降幂公式化简，再根据和差化积公式，即可求解； （2）利用积化和差公式，化简等式两边，再结合条件，即可证明. 【详解】（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式得： ． （2）左边 ， 右边 ． 由，得， 所以． 题型03 半角公式的应用 已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可． 由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件． 典｜例｜精｜析 （2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半角公式 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则____________. 【答案】 【知识点】半角公式 【分析】利用已知条件判断的范围，再利用半角公式即可求出. 【详解】因为，，则， 则由半角公式，得. 故答案为：. 题型04 万能公式的应用 万能公式给出了求α的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道tan的值及相应的条件，sinα，cosα，tanα便可求出． 典｜例｜精｜析 1．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、万能公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】启用万能公式，分别代入原式两边，进行代数式的变形，使两边经代数形式变换取得相等． 【详解】证明：设，由万能公式，则，， 分别代入原式两边，并进行代数式变形： 左边， 右边， ∵左边右边，∴原等式成立． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24高一下·四川广元·月考）已知，求 (1)及的值； (2) 【答案】(1)，， (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、万能公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）利用万能公式求出，利用同角三角函数关系求出正切值； （2）利用正弦差角公式求出答案. 【详解】（1）， ， 故； （2）. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 【答案】（1）；（2）. 【知识点】和差化积公式、万能公式 【分析】（1）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； （2）先用和差化积公式分别将进行变形，求出，再用万能公式求得的值； 【详解】（1）. 又. 由①②，得，即. ； （2）因为，所以.① 又因为，所以.  ② 因为， 所以由①②，得，即. 所以 . 题型05 给角求值型问题 给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）求值：． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给角求值型问题 【分析】根据二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得. 【详解】原式 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·全国·单元测试）_____． 【答案】/0.75 【知识点】和差化积公式、积化和差公式、二倍角的余弦公式 【分析】解法一：利用诱导公式、两角和的正弦公式及平方关系，将角度往方向转化求解即可； 解法二：利用诱导公式及和差化积与积化和差公式化简求解即可. 【详解】解法一：原式 ． 解法二：原式 . 答案为：. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】和差化积公式、积化和差公式 【分析】（1）根据积化和差公式化简计算即可； （2）根据积化和差公式化简计算即可； （3）根据和差化积公式化简计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 题型06 给值求值型问题 “给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·福建莆田·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】（1）根据及，结合，求出、的值，代入计算即可． （2）根据两角差的余弦公式及二倍角公式计算即可． 【详解】（1）因为，所以，故， 因为，则，结合， 所以，， 可得 （2）易知，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·辽宁·期末）已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】将拆成并用正弦差角公式，结合已知条件化简得到与的倍数关系，从而先求，再利用正切和角公式解出，最后计算的值. 【详解】由可得： 代入条件， 得 移项整理 则 ，代入 可得 即 ， 代入可得： 故选：A 2.（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，且，则的最大值为________. 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、给值求值型问题、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【详解】由，得， 则， 则. 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立， 从而， 此时， 又因为， 所以当取得最大值时，也取得最大值， 此时，平方得：， 解得：，又因为，所以. 故最大值为. 故答案为： 题型07 给值求角型问题 “给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·云南玉溪·开学考试）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【详解】（1）由题可得，，， ∴，， 又 ． （2）． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】给值求角型问题 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 题型08 无条件的恒等式证明 化简与证明的常用方法： ①“切”化“弦”； ②积化和差，和差化积； ③平方降次； ④异角化同角，异次化同次，异名化同名． 典｜例｜精｜析 （22-23高一下·上海青浦·月考）（1）化简： （2）证明恒等式： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【知识点】无条件的恒等式证明、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）从右边开始变形，利用倍角公式及两角和的正切公式变形证明即可. 【详解】（1）； （2）右边 左边. . 变｜式｜巩｜固 1．（22-23高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、无条件的恒等式证明 【分析】（1）首先通分，再应用辅助角公式、倍角正弦公式化简分子、分母即可证结论； （2）应用商数关系、倍角正余弦及和角余弦公式化简分子、分母即可证结论. 【详解】（1）； （2） . 2．（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式、辅助角公式、无条件的恒等式证明 【分析】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【详解】（1）. （2）左边 , 原式得证. 题型09 有条件的恒等式证明 在恒等式的证明中，“化繁为简”是化简一个三角函数式的一般原则，由复杂的一边化到简单的一边，按照目标确定化简思路．如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法． 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、无条件的恒等式证明 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3） 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明 【分析】化简得到，利用正余弦平方和关系化简得到，再次利用正余弦平方和关系得到证明. 【详解】因为，所以． 即． 去分母，得． 又 ， 所以， 即， 所以， 于是， 故． 题型10 判断三角形的形状 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．本题条件中没有边的相对位置关系，就从角入手，证明有一个角是直角，或者有两个角互余．当然，也可以由正弦值为1或余弦值为0得出结论． 典｜例｜精｜析 （13-14高一下·河北邢台·月考）关于x的方程有一根为1，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、二倍角的余弦公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】将1代入，根据二倍角公式和两角差的余弦公式，整理可得 ，即，根据角的范围，即可求出结果. 【详解】因为1是的根， 所以， 又， 所以有，， 整理可得，，即. 因为，，，所以. 则由可得，，所以. 所以一定是等腰三角形. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 1．（15-16高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 2．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用三角公式得到，求出，即可判断. 【详解】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形. 故选：B 题型11 三角形中的三角恒等式 注意应用三角形内角和定理及三角形的性质. 典｜例｜精｜析 （20-21高一·江苏·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证＝. 【答案】证明见解析 【知识点】有条件的恒等式证明 【分析】将已知条件化为，结合二倍角公式，化简证得结论成立 【详解】依题意， 所以， ， 所以， 而， ， 所以， 即＝. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】和差化积公式、无条件的恒等式证明、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据和差化积公式以及诱导公式即可求证. 【详解】由，得， ， 又， ∴ 右边， ∴原等式成立． 2.（22-23高三上·辽宁丹东·期中）已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形中的三角恒等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立； （2）推导出，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）证明：，所以． 因为，所以，所以． 由，可得． （2）解：因为， 所以，可得． 由（1）得 ． 因为为锐角三角形，由可知， 设，则， 当且仅当时取等号，再由（1）可得， 此时，解得或时， 即当或时，等号成立， 故的最小值为. 题型12 三角恒等变换的综合问题 (1) 对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式； (2) 对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子； (3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·安徽安庆·开学考试）某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)证明：，其中，且． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)证明见解析 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、解正弦不等式、用和、差角的正弦公式化简、求值、积化和差公式 【分析】（1）由两角和的正弦公式证明即可； （2）根据（1）中的结论可得，结合已知等式列方程求解； （3）将待证式左边同乘后再利用积化和差公式即可证明. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即. （2）由（1）知， 即， 又， 所以所以， 所以或. 当时，解得， 又，所以或1，即或； 当时，无解. 综上，方程的解为或. （3）设， 则由积化和差公式得，，，， 将上面n个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以，即原命题得证. 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）的值为_____. 【答案】 【知识点】和差化积公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据降幂公式，结合和差化积公式，即可化简求值. 【详解】 而， ， 所以原式. 故答案为： 2．（25-26高一下·湖北黄冈·开学考试）化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】积化和差公式、三角恒等变换的化简问题、cos2x的降幂公式及应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 题型13 三角恒等变换与函数的图象、性质 此类问题一般解法步骤是：降幂——应用辅助角公式——研究函数性质. 易忽视角的范围，无法准确确定函数的单调区间、值域（最值）等. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，且， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性求解. （2）（i）分析函数在上的性质，结合函数图象与直线交点个数求出范围；（ii）求出的值及的范围即可. 【详解】（1）函数， 由，得， 所以函数的单调递减区间为. （2）（i）由，得，则当时，函数单调递增， 函数值从增大到，当时，函数单调递减，函数值从减小到， 方程在上有两个不同的实根， 即直线与函数在上的图象有两个交点，则， 所以的取值范围是. （ii）由（i）知，，因此， 所以的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）定义，函数. (1)将化为的形式； (2)若的定义域为，求的单调递增区间； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2)、 (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换可化简函数的解析式； （2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求出函数在上的增区间； （3）由已知条件得出的值，利用同角三角函数的基本关系与二倍角的正弦公式可求出的值，再利用诱导公式可得出的值. 【详解】（1）由题意可得 . （2）当时，， 由可得，由可得， 故函数在上的增区间为、. （3）因为，所以， 因为，所以， 则， 所以， 所以. 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知，是函数在上的两个零点，且，求及的值. 【答案】(1)，. (2) (3)， 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）先利用二倍角公式及辅助角公式化简，再根据周期公式求最小正周期，最后通过解不等式求单调递增区间. （2）先确定的范围，再根据正弦函数性质确定的范围，进而求解值域. （3）先求出表达式，根据零点得，再结合角得范围求，将转化为,最后利用两角差公式求解即可. 【详解】（1） ， ∴的最小正周期为， 令，， 解得，. 函数的单调递增区间为，. （2）当时，， 所以，所以. 所以的值域为； （3）由（1）可知， ， ∴， 当时，， 因为，是函数在上的两个零点， 则， ，且， 所以， 又因为， 所以， . 题型14 三角函数的实际应用 此类问题一般解法步骤是：实际问题——三角函数表达式-----应用和差倍半、辅助角公式——研究函数性质-----确定最值. 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·湖南常德·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 【答案】(1)，定义域为. (2) (3)米时，照明装置费用最低，最低费用元. 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的实际应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用直角三角形锐角三角函数来表示边，结合勾股定理可得到周长的函数； （2）利用弦化切思想可求解长度； （3）由题意可知只需最小即可，然后利用换元思想，可转化为单调函数求最值. 【详解】（1）在，中，由， 得，， 又中，由勾股定理得， 因， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知，， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，， 设，则， ， ，由，得， ， , 于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用元. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·浙江·期末）如图，某游乐场的摩天轮半径为，圆心距离地面，设置有个座舱（逆时针编号号号），摩天轮每逆时针转动一圈，游客在座舱转到距离地面最近的位置（点位置）进舱.现甲、乙两人先后分别进入号舱和号舱. (1)游客甲从坐上号舱起，经过后距离地面高度为（单位：），求（单位：）关于时间（单位：）的函数； (2)在运行一周的过程中，求甲、乙两人距离地面的高度差的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的实际应用、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，可得出的值，求出旋转周期可得出的值，根据可得出的值，再根据初始位置可得出的值，即可得出关于的函数关系式； （2）经过后，甲乙距离地面的高度分别为、，，，利用三角恒等变换化简得出关于的函数关系式，结合以及余弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）以水平面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系， 根据题意，设， 由题意知旋转周期，得，， ，解得， 当时，游客甲位于，则， 由题意可得：. （2）设甲、乙两人所在号舱分别为、，则. 经过后，甲乙距离地面的高度分别为、， ，. 则甲、乙的高度差 ， 当时，， 所以当或时，即或时， 取最大值为，即甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为. 2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)建系见解析，点，点 (2) 【知识点】三角函数定义的其他应用、三角恒等变换的实际应用 【分析】（1）以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义、诱导公式可得出点、的坐标； （2）利用三角恒等变换化简四边形的面积关于的表达式，结合的取值范围以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为． （2），， 四边形的面积 ，     当时，即时，， 四边形的面积的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $